交換法則

交換法則（こうかんほうそく、英: Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則（かかんそく）や交換律（こうかんりつ）ともいう。

概要

集合 S に二項演算 · が定義されているとき S の任意の二元 [math]\, a,\, b[/math]について

[math]a\cdot b = b\cdot a[/math]

が成立するならば、この演算は交換法則を満たすという。また、この演算は可換である、可換性を持つという。

たとえば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。

• 4 + 5 = 5 + 4 (両辺とも値は9である)
• 2 × 3 = 3 × 2 (両辺とも値は6である)

しかし引き算や割り算はそうではない。

• [math] 4 - 5 \neq 5 - 4[/math]
• [math] 6 \div 3 \neq 3 \div 6[/math]

その他に交換法則を満たすものとしては主に次のようなものがある。

• 有理数、実数、複素数の加算や乗算
• 行列、数ベクトルの加算
• 集合の共通部分や和集合

また、交換法則を満たさない主要な演算としては次のようなものがある。

• 行列の乗算、3次元数ベクトルのベクトル外積
• 写像の合成（例として関数の合成等）
• 四元数の乗算

ただしベクトルの外積のように絶対値および絶対値に相当する数を考えたときに交換法則は成り立つものも多い。

関連項目

• 結合法則
• 分配法則
• アーベル群
• 代数的構造
• 加法
• 乗法
• かけ算の順序問題