五角数

ファイル:Pentagonal number.gif

はじめの5つの五角数の図示

五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

一般項

1		5		12		22
*		** * * *		*** ** * * * * * * *		**** *** * ** * * * * * * * * * * * *

n番目の五角数を P_n とすると、図より

P₁ = 1 , P_n+1 = P_n + 3n + 1

が成り立つ。よって五角数は

[math]P_n = P_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \frac{n(3n-1)}{2}[/math]

で与えられる。五角数を小さいものから順に列記すると

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … （オンライン整数列大辞典の数列 A326）

となる。

性質

n番目の五角数は3n-1番目の三角数の1/3に等しい。また 1 から n番目までの五角数の相加平均はn番目の三角数に等しい。

五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て合成数である。

五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。

全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。（→多角数定理）

五角数の逆数の無限和は

[math] \frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + ... = 3 \log {3} - \frac{\sqrt {3} \pi}{3} = 1.4820375...[/math]

である。

五角数が三角数であるものは 1, 210, 40755, 7906276[math]\cdots[/math] (オンライン整数列大辞典の数列 A014979)

五角数がハーシャッド数であるものは 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, [math]\cdots[/math] (オンライン整数列大辞典の数列 A242043)

五角数が平方数であるものは 0, 1, 9801, 94109401,[math]\cdots[/math] (オンライン整数列大辞典の数列 A036353)

関連項目

• 図形数
• 多角数
• 三角数
• 平方数（四角数）
• オイラーの五角数定理

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Pentagonal Number”. MathWorld（英語）.