二次体

二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。

性質

体論・環論

• 任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
• その整数環がユークリッド整域となる二次体 [math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] は、d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
• その整数環が一意分解整域となる虚二次体 [math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] は、d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 だけである。
• 任意の二次体 K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。

1. [math](p) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2[/math] ([math]\mathfrak{p}_1,\ \mathfrak{p}_2[/math] は、相異なる K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で完全分解であるという。)
2. [math](p) = \mathfrak{p}^2[/math] ([math]\mathfrak{p}[/math] は、K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で不分解であるという。)
3. [math](p)[/math] は、K の素イデアルである。　(このとき、p は、K で不分岐であるという。)

二次体の判別式

• 二次体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] の判別式を D としたとき、

[math] D = \begin{cases}d & (d\equiv 1 \mod 4),\\ 4d & (d\equiv 2, 3 \mod 4).\end{cases}[/math]

従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、[math]\scriptstyle\{1,\ (1+\sqrt{D})/2 \}[/math]、それ以外のときは、[math]\scriptstyle\{1,\ \sqrt{D}\}[/math] が、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] の整基底となる。

二次体の単数

• E_K を、二次体 [math]\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] の単数群としたとき、

1. d = − 1 のとき：E_K = { ± 1, ± i } 。
2. d = −3 のとき：E_K = { ± 1, ± ω, ± ω² } 　(ω = (− 1 + √− 3)/2) 。
3. d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき：E_K = { ± 1 } 。
4. d > 0 のとき：[math]\scriptstyle E_K = \{\pm\varepsilon_0^n | n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}[/math] 　(ε₀ は基本単数)。

• D を、二次体 [math]\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] の判別式とし、自然数 x^*, y^* を、

x² − Dy² = ± 4の最小の有理整数解としたとき、(x^* + y^*√D)/2 は、K の基本単数である。

[math]\scriptstyle d\le 14[/math] に対する基本単数

d	2	3	5	6	7	10	11	13	14
基本単数	[math]1+\sqrt{2}[/math]	[math]2+\sqrt{3}[/math]	[math](1+\sqrt{5})/2[/math]	[math]5+2\sqrt{6}[/math]	[math]8+3\sqrt{7}[/math]	[math]3+\sqrt{10}[/math]	[math]10+3\sqrt{11}[/math]	[math](3+\sqrt{13})/2[/math]	[math]15+4\sqrt{14}[/math]

二次体と円分体

• 任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 [math]\scriptstyle K\sub\mathbb{Q}(\zeta_n)[/math] 。ここで、[math]\zeta_n[/math] は、1 の原始 n 乗根である。

特に、n = 2^q (q ≥ 3) とすれば、円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_n)[/math] には、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-2})[/math] が含まれる。

• 上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。

二次体と初等整数論

二次体と初等整数論との関係を述べる。

平方剰余の相互法則

[math]\left(\frac{a}{p}\right)[/math] をルジャンドル記号とすると、次が成立する。

• 平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、

[math]\left(\frac{a}{p}\right) = 1[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] [math](p)[/math] は、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a})[/math] 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。

• このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。

二次形式

有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、 二次体 [math]\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})[/math] の(代数体としての)類数を、h_K とすると、H(D) = h_K である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。

二次体の類数

ディリクレの類数公式

二次体 K の判別式を D とし、χ を [math]\scriptstyle (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times}[/math] に対するクロネッカーの指標とする。K に対する ディリクレの L 関数を用いて、K の類数 h_K は

[math]h_K = \frac{1}{\kappa}L(1, \chi)[/math]

で与えられる。但し、κ は、

[math]\kappa = \begin{cases} \frac{2\log\varepsilon_0}{\sqrt{D}} & (D \gt 0),\\ \frac{2\pi}{w\sqrt{-D}} & (D \lt 0),\end{cases}[/math]

で与えられる 0 でない実数である。ここで、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数、ε₀ は、K の基本単数とする。

さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。

• K が実二次体のとき

[math]h_K = -\frac{1}{2\log\varepsilon_0}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)\log\sin\frac{a\pi}{d}[/math].

• K が虚二次体のとき

[math]h_K = -\frac{w}{2d}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)a[/math].

但し、ε₀ は、K の基本単数、d = |D|、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。

これらの式を総称してディリクレの類数公式という。

類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数の [math]s = 1[/math] での留数で表現するものも知られている。

[math]\zeta_K(s)[/math] を、二次体 K のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。

[math]\kappa h_K = \operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K(s)[/math]。

但し、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。

類数に関するガウスの予想

ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。 ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。

1. K を虚二次体とし、D_K, h_K を K の判別式、類数としたとき、[math]\scriptstyle |D_K|\to\infty[/math] ならば、[math]\scriptstyle h_K\to\infty[/math] である。
2. 類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
3. 与えられた自然数 k に対して、類数が k である虚二次体は有限個しか存在しない。
4. 類数が 1 である虚二次体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-d})[/math] は、d が以下の場合に限る。

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

予想 1 について。

予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。

[math]\lim_{|D_K|\to\infty}\frac{\log h_K}{\log\sqrt{|D_K|}} = 1[/math]。

予想 2 について。

現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。

予想 3 について。

1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。

予想 4 について。

この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)

その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。

参考文献

• 河田, 敬義 『数論 -古典数論から類体論へ-』 岩波書店、東京、1992年。
• ノイキルヒ, J. 『代数的整数論』 足立恒雄(監修)・梅垣敦紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年。
• Watkins, M. (2004). “Class numbers of imaginary quadratic fields”. Math. Comp. 73: 907-938. 

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Class Number”. MathWorld（英語）. (類数が 25 以下の虚二次体のリストアップされている。しかし、d が二次体の判別式であることに注意)
• List of Class Numbers (d < 1000 の虚二次体の類数のリスト)

関連項目

• 二次形式
• 代数体
• 円分体
• ガロア拡大での素イデアルの分解