三角錐数
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ファイル:Pyramid of 35 spheres animation.gif
n=5 のときの三角錐数である35個の球。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。
三角錐数（さんかくすいすう、triangular pyramidal number）は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数（しめんたいすう、tetrahedral number）ともいう。
例： 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)
n 番目の三角錐数 Tn は1から n 番目の三角数 n(n + 1)/2 までの和に等しいので
- [math]\begin{align} T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} &= \frac{1}{2} \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)\\ &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\ \end{align}[/math]
また組み合わせの記号を用いると [math]T_n = {}_{n+2}{\rm C}_{3} \,[/math] となる。
三角錐数を小さい順に列記すると
性質
- 三角錐数のうち平方数でもある数は 1, 4 と 19600 (=1402) の3つのみである。(オンライン整数列大辞典の数列 A003556)
- 三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は 1 のみである。
- 2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。
- 三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=12+32+52、56=22+42+62)
- 奇数の時 [math]\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6} [/math]
- 偶数の時 [math]\sum_{k=1}^n (2k)^2=\frac{2n(2n+1)(2n+2)}{6} [/math]
- (奇数…オンライン整数列大辞典の数列 A015219、偶数…オンライン整数列大辞典の数列 A015220)
ファイル:Pascal triangle.svg
パスカルの三角形
- モナド(単数)の数列 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, 1,…
- 自然数の数列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, [math]{}_{n}{\rm C}_{1} \,[/math] ,…
となっている。上にある数列はその一つ下の数列の階差数列である。
- [math]\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}} &= 6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}\right)\\ &= 3 \bigg\{\left(\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{\not1}{\not3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\not2}{\not3} + \frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4}\right) + \left(\frac{\not1}{\not3} - \frac{\color{Red}\not2}{\color{Red}\not4} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) + \cdots \bigg\}\\ &= \frac{3}{2}\end{align}[/math]
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Tetrahedral Number”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。