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| − | '''三つ子素数'''（みつごそすう、prime triplet）もしくは'''三つ組素数'''とは、3個の[[素数]]の組で、{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} または {{math|(''p'', ''p'' + 4, ''p'' + 6)}} のタイプのもののことである。 | + | '''三つ子素数'''（みつごそすう、prime triplet）もしくは'''三つ組素数''' |
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| − | == 概要 ==
| + | [[素数]]（1と自身以外に約数をもたない2以上の自然数）はすべて奇数だが、3と5、5と7、11と13のように、2だけ離れた素数の組を双子素数という。双子素数も無限にあることが知られている。現在知られている最も大きい双子素数は200,700桁のものである。自然数を並べた[[数列]]をもとに素数をふるいわける[[エラトステネスの篩]]（ふるい）の結果から、3と5の組み合わせ以外の双子素数は6n－1と6n＋1の形になるものということがわかる。 |
| − | 三つ子素数は[[双子素数]]、[[いとこ素数]]、[[セクシー素数]]を含む。
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| − | なお、双子素数は「2つの素数の組 {{math|(''p'', ''p'' + 2)}}」と定義されるのに対し、3つの素数の組である三つ子素数を「{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 4)}}」と定義'''していない'''。
| + | 三つ子素数は、(3，5，7)は別にして、差が2と4の素数の組で、(7，11，13)，(11，13，17)，(13，17，19)，(17，19，23)，……などがあげられる。 |
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| − | この形は {{math|(3, 5, 7)}} に限られることと、{{math|''p''}} が5以上の素数の場合、「{{math|(''p'' + 2, ''p'' + 4)}}」のいずれかが'''必ず3の倍数になる'''からだ。
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
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| − | 三つ子素数を小さい順に並べると、次のようになる。
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| − | :{{math|(5, 7, 11)}}, {{math|(7, 11, 13)}}, {{math|(11, 13, 17)}}, {{math|(13, 17, 19)}}, {{math|(17, 19, 23)}}, {{math|(37, 41, 43)}}, {{math|(41, 43, 47)}}, {{math|(67, 71, 73)}}, {{math|(97, 101, 103)}}, …
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| − | 三つ組の中で最小の素数のみを並べると、
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| − | :{{math|5}}, {{math|7}}, {{math|11}}, {{math|13}}, {{math|17}}, {{math|37}}, {{math|41}}, {{math|67}}, {{math|97}}, {{math|101}}, {{math|103}}, {{math|107}}, {{math|191}}, {{math|193}}, {{math|223}}, {{math|227}}, {{math|277}}, {{math|307}}, {{math|311}}, {{math|347}}, {{math|457}}, {{math|461}}, {{math|613}}, {{math|641}}, {{math|821}}, {{math|823}}, {{math|853}}, {{math|857}}, {{math|877}}, {{math|881}}, {{math|1087}}, …（{{OEIS|A7529}}）
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| − | である。このうち、{{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} のタイプのものは
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| − | :{{math|5}}, {{math|11}}, {{math|17}}, {{math|41}}, {{math|101}}, {{math|107}}, {{math|191}}, {{math|227}}, {{math|311}}, {{math|347}}, {{math|461}}, {{math|641}}, {{math|821}}, {{math|857}}, {{math|881}}, … ({{OEIS2C|A22004}}) | |
| − | であり、{{math|(''p'', ''p'' + 4, ''p'' + 6)}} のタイプのものは
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| − | :{{math|7}}, {{math|13}}, {{math|37}}, {{math|67}}, {{math|97}}, {{math|103}}, {{math|193}}, {{math|223}}, {{math|277}}, {{math|307}}, {{math|457}}, {{math|613}}, {{math|823}}, {{math|853}}, {{math|877}}, {{math|1087}}, … ({{OEIS2C|A22005}})
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| − | である。
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| − | == 予想 ==
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| − | 三つ子素数は無数に存在すると予想されている。[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]はより詳細な予想を立てており、それによると、{{mvar|x}} 未満の {{math|(''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 6)}} の形の三つ子素数、{{math|(''p'', ''p'' + 4, ''p'' + 6)}} の形の三つ子素数のそれぞれの個数はおよそ
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| − | :<math>\frac{9}{2} \prod_{p\ge 5} \frac{p^2(p-3)}{(p-1)^3} \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^3} \approx 2.858248596 \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^3}</math>
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| − | であるらしい。{{math|10{{sup|8}}}} 未満の三つ子素数の個数は、それぞれ 55,600 と 55,556 であり、上記推定値は 55,490 である<ref>[[Prime Pages]], [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=PrimeTriple The Prime Glossary: prime triple].</ref>。
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| − | {{#time:Y年n月}}現在で知られている最大の三つ子素数は
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| − | :{{math|(2072644824759 × 2{{sup|33333}} − 1, 2072644824759 × 2{{sup|33333}} + 1, 2072644824759 × 2{{sup|33333}} + 5)}}
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| − | である<ref>Prime Pages, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=61 The Top Twenty: Triplet].</ref>。
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| − | == 脚注 ==
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| − | <references />
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| − | == 参考文献 ==
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| − | * Chris K. Caldwell 著、SOJIN 訳『素数大百科』[[共立出版]]、2004年 ISBN 978-4320017597
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[双子素数]]
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| − | * [[四つ子素数]]
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| − | == 外部リンク ==
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| − | * {{MathWorld|title=Prime Triplet|urlname=PrimeTriplet}}
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| − | {{素数の分類}}
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| | {{DEFAULTSORT:みつこそすう}} | | {{DEFAULTSORT:みつこそすう}} |
| | [[Category:素数]] | | [[Category:素数]] |
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