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| − | [[画像:RiemannCriticalLine.svg|thumb|300px|リーマンのゼータ関数 {{math|''ζ''(''s'')}} ({{math|1=''s'' = {{sfrac|1|2}} + ''ix''}}) の実部（赤色）と虚部（青色）。最初の非自明な[[零点]]が {{math2|1=Im ''s'' = ''x'' = ±14.135, ±21.022, ±25.011}} に現れる。]]
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| − | {{Millennium Problems}}
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| − | 数学において、'''リーマン予想'''（リーマンよそう、{{lang-en-short|Riemann hypothesis}}, {{lang-de-short|Riemannsche Vermutung}}）は、[[リーマンゼータ関数]]の[[零点]]が、負の[[偶数]]と、[[実部]]が {{math|1/2}} の[[複素数]]に限られるという[[予想]]である。[[ドイツ]]の数学者 {{harvs|txt|first=Bernhard|last= Riemann|year=1859|author-link=Bernhard Riemann}} により提唱されたため、その名前が付いている。名前は密接に関連した類似物に対しても使われる。例えば[[有限体上の曲線のリーマン予想]]。リーマン予想は、英語表記 {{en|Riemann hypothesis}} の直訳である'''リーマン仮説'''と表記したり、'''RH''' と略すこともある。
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| − | リーマン予想は[[素数]]の分布についての結果を含んでいる。適切な一般化と合わせて、[[純粋数学]]において最も重要な未解決問題であると考える数学者もいる{{sfn|Bombieri|2000}}。リーマン予想は、[[ゴールドバッハの予想]]とともに、[[ヒルベルトの23の問題]]のリストのうちの{{仮リンク|ヒルベルトの第8問題|en|Hilbert's eighth problem|label=第8問題}}の一部である。[[クレイ数学研究所]]の[[ミレニアム懸賞問題]]の1つでもある。
| + | 数学において、'''リーマン予想'''（リーマンよそう、{{lang-en-short|Riemann hypothesis}}, {{lang-de-short|Riemannsche Vermutung}}） |
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| − | リーマンゼータ関数 {{math|''ζ''(''s'')}} は {{math|1}} を除くすべての[[複素数]] {{mvar|s}} で定義され、複素数の値をとる[[関数 (数学)|関数]]である。その零点（つまり、関数値が {{math|0}} となる {{mvar|s}}）のうち、負の偶数 {{math2|''s'' {{=}} −2, −4, −6, …}} はその'''自明な零点'''と呼ばれる。しかしながら、負の偶数以外の零点も存在し、'''非自明な零点'''と呼ばれる。リーマン予想はこの非自明な零点の位置についての主張である：
| + | ドイツの数学者リーマンの論文「与えられた数より小さい素数の個数について」によって、1859年に提出された素数分布の規則性にかかわる予想。数学における未解決の難題であり、ミレニアム問題の一つとしても知られる。リーマン仮説。 |
| − | :リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点の実部は {{math|1/2}} である。
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| − | いいかえると、
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| − | :リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点は、[[複素数平面]]上の直線 {{math|1/2 + ''i{{hsp}}t''}}（{{mvar|t}} は[[実数]]）上にある。ここで {{mvar|i}} は[[虚数単位]]である。この直線を'''臨界線''' (critical line) という。
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| − | リーマン予想に関する非専門の本がいくつかある。例えば ブルーバックス (2015)<ref>{{Cite book |last=中村 |first=亨. |title=リーマン予想とは何か |publisher=講談社, 東京 |year=2015}}</ref>、{{harvtxt|Derbyshire|2003}}, {{harvtxt|Rockmore|2005}}, {{harvs|last=Sabbagh|year=2003a|year2=2003b}}, {{harvtxt|du Sautoy|2003}}．本 {{harvtxt|Edwards|1974}}, {{harvtxt|Patterson|1988}}, {{harvtxt|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}, {{harvtxt|Mazur|Stein|2015}} は数学的な入門を与え、{{harvtxt|Titchmarsh|1986}}, {{harvtxt|Ivić|1985}}, {{harvtxt|Karatsuba|Voronin|1992}} は進んだモノグラフである。さらに、[[John Forbes Nash Jr.]] と Michael Th. Rassias によって編集された本 ''{{ill2|Open Problems in Mathematics|en|Open Problems in Mathematics}}'' は、[[Alain Connes]] によるリーマン予想に関する広範なエッセイを取り上げている<ref>{{Cite book |last=Nash |first=J. F. |authorlink= John Forbes Nash Jr. |last2=Rassias |first2=M. Th. |title=Open Problems in Mathematics |publisher=Springer, New York |year=2016}}</ref><ref name="Connes">{{Cite journal |last=[[Connes]] |first=Alain |title=An Essay on the Riemann Hypothesis |year=2016 |journal=In: [[Open Problems in Mathematics]] (J. F. Nash Jr. and M. Th. Rassias, eds.), Springer |pages=225–257 |doi=10.1007/978-3-319-32162-2_5}}</ref>。
| + | リーマンのゼータ関数ζ（s）について、ζ（s）＝0となる複素数sは、自明の零点である負の偶数を除くと、sの実部が1/2の直線上に存在するというもの。この予想が正しいとすると、従来の素数定理に、より厳しい制限を課すことができる。 |
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| − | == 概要 ==
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| − | [[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]は[[素数]]の分布に関する研究を行っている際に[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]が研究していた以下の[[級数]]をゼータ関数と名づけ、[[解析接続]]を用いて[[複素数]]全体への拡張を行った。
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| − | | |
| − | ゼータ関数を次のように定義する（{{mvar|s}} は実部が {{math|1}} より大きい複素数とする。このとき、この[[級数]]は絶対収束する）。
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| − | :<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
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| − | = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots .</math>
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| − | [[1859年]]にリーマンは[[与えられた数より小さい素数の個数について|自身の論文]]の中で、複素数全体 ({{math|''s'' ≠ 1}}) へゼータ関数を拡張した場合、
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| − | <blockquote style="padding:1ex;border:2px solid #808080; background:#white">
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| − | {{math|ζ(''s'')}} の自明でない零点 {{mvar|s}} は、全て実部が {{math|{{sfrac|1|2}}}} の直線上に存在する。
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| − | </blockquote>
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| − | と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数 ({{math2|−2, −4, −6, …}}) のことである。自明でない零点は {{math2|0 < Re ''s'' < 1}}<ref group="注">{{math|Re}} は複素数の[[実部]]を示す記号。</ref> の範囲にしか存在しないことが知られており（下記の[[#歴史|歴史]]を参照）、この範囲を臨界帯という。
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| − | | |
| − | なお[[素数定理]]はリーマン予想と同値な近似公式<ref group="注">[[素数計数関数]] {{math|''π''(''x'')}} の[[対数積分]]による近似公式を指す。同値命題の節の第一の命題を参照。[[リーマンの素数公式]]より、{{math|π(''x'')}} の対数積分による近似の誤差項はゼータ関数の零点が臨界帯の両端から遠ければ遠いほど小さくなることが分かる。この距離が最大限に遠いということ、即ち全てのゼータ零点が臨界帯の中心線上に整列しており、近似の誤差がその方針で考え得る限り最も小さくなるだろうということがリーマン予想のそもそもの意味である。</ref>からの帰結であるが、素数定理自体はリーマン予想が真であるという仮定がなくとも証明できる。この注意は歴史的には重要なことで、実際リーマンがはっきりとは素数定理を証明できなかった理由はリーマン予想の正否にこだわっていたためであると思われている（素数分布とのゼータ関数との関係は下記[[#素数の分布]]や、[[リーマンゼータ関数]]、[[素数定理]]、[[リーマンの素数公式]]の項を参照のこと）。
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| − | | |
| − | 現在もリーマン予想は解決されていない。数学における最も重要な未解決問題の一つである。リーマンのゼータ関数を特殊な場合に含む[[L関数]]に対しても同様の予想を考えることができ、これを一般化されたリーマン予想（Generalised Riemann Hypothesis：GRHと略される）と呼んでいる。
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| − | 最近では、虚部が小さい方から10兆個 (X. Gourdon and P. Demichel, 2004) までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者が（当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに）リーマン予想は正しいと考えているようである。しかし無限にある零点からみれば有限に過ぎない10兆個程度の零点の例などは零点分布の真の姿を反映するには至らないとして、この計算結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいる{{sfn|ダービーシャー|2004|pp=309, 411}}。
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| − | == リーマンゼータ関数 ==
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| − | [[リーマンゼータ関数]]は実部が {{math|1}} よりも大きい複素数 {{mvar|s}} に対して[[絶対収束]][[級数|無限級数]]
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| − | :<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
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| − | = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots</math>
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| − | によって定義される。[[レオンハルト・オイラー]]（リーマンの生まれる40年前に死んだ）はこの級数が[[オイラー積]]
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| − | :<math>\zeta(s) = \prod_{p:\text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}
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| − | = \frac{1}{1-2^{-s}} \cdot \frac{1}{1-3^{-s}} \cdot \frac{1}{1-5^{-s}} \cdot \frac{1}{1-7^{-s}}
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| − | \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots</math>
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| − | に等しいことを示した、ここで[[無限積]]はすべての素数 {{mvar|p}} を走り、再び実部が {{math|1}} より大きい複素数 {{mvar|s}} に対して収束する。オイラー積の収束は、どの因子も零点を持っていないから、{{math|''ζ''(''s'')}} がこの領域において零点を持たないことを示している。
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| − | | |
| − | リーマン予想はこの級数とオイラー積の収束領域の外側での零点について議論する。予想が意味をなすために、関数を[[解析接続]]して、すべての複素数 {{mvar|s}} に対して有効な定義を与える必要がある。これは以下のように{{ill2|ディリクレのエータ関数|en|Dirichlet eta function}}の言葉でゼータ関数を表すことによってできる。{{mvar|s}} の実部が {{math|1}} よりも大きければ、ゼータ関数は
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| − | :<math>\left( 1 - \frac{2}{2^s} \right) \zeta(s)
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| − | = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}
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| − | = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots</math>
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| − | を満たす。しかしながら、右辺の級数は {{mvar|s}} の実部が {{math|1}} より大きいときだけでなく、より広く {{mvar|s}} の実部が正のときにいつでも収束する。したがって、この代わりの級数はゼータ関数を {{math|Re ''s'' > 1}} からより大きい領域 {{math|Re ''s'' > 0}} に、{{math|1 − 2/2{{sup|''s''}}}} の零点 {{math|1=''s'' = 1 + 2''πin''/log{{tsp}}2}} を除いて、拡張する（[[en|ディリクレのエータ関数]]を参照）。ゼータ関数はこれらの除かれた値にも極限を取ることによって拡張でき、{{math|1=''s'' = 1}} における[[極 (複素解析)|一位の極]]を除いて、正の実部を持つすべての {{mvar|s}} の値に対して有限値を与える。
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| − | 帯 {{math|0 < Re''s'' < 1}} において、ゼータ関数は[[関数等式]]
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| − | :<math>\zeta (s)=2^s \pi^{s-1} \, \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) \, \Gamma (1-s)\, \zeta (1-s)</math>
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| − | を満たす。すると残りのすべての零でない複素数 {{mvar|s}} に対して {{math|''ζ''(''s'')}} を、この方程式が帯の外側でも成り立つと仮定し、{{math|''ζ''(''s'')}} は {{mvar|s}} の実部が正でないときに方程式の右辺に等しいとすることで定義できる。{{mvar|s}} が負の偶数のとき、因子 {{math|sin(''πs''/2)}} が消えるから {{math|1=''ζ''(''s'') = 0}} である。これらがゼータ関数の'''自明な零点'''である（{{mvar|s}} が正の偶数のときにはこの議論は適用しない、なぜならば[[正弦]]関数の零点はガンマ関数が負の整数の引数を取るからその極によって打ち消されるからである）。値 [[1+1+1+1+…|{{math|1=''ζ''(0) = −1/2}}]] は関数等式からは定まらないが、{{mvar|s}} が {{math|0}} に近づくときの {{math|''ζ''(''s'')}} の極限値である。関数等式はまた、ゼータ関数が自明な零点の他には実部が負の零点を持たないことも意味しており、したがってすべての非自明な零点は、{{mvar|s}} の実部が {{math|0}} と {{math|1}} の間の'''臨界帯''' (critical strip) にある。
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| − | == 歴史 ==
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| − | {{Expand section|date=July 2, 2017}}
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| − | *[[1859年]]にリーマンは論文「[[与えられた数より小さい素数の個数について]]」を発表し、その中でリーマン予想を提示した。リーマン自身はその証明を試みて成功しなかったことを認めているが中間的な結果として[[ゼータ関数]]の自明でない零点の実数部が {{math|1/2}} について対称であり、かつ {{math|0}} から {{math|1}} の間（境界を含む）にしか存在しないことを示していた。
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| − | *[[1896年]]に{{ill2|ド・ラ・ヴァレ・プーサン|en|Charles Jean de la Vallée-Poussin}}と[[ジャック・アダマール|アダマール]]が独立に[[素数定理]]を証明したが、それは[[ゼータ関数]]の自明でない零点の実数部が {{math|1}} になりえないことの証明によるものだった。よって自明でない零点の実数部の範囲は、境界を含まないところまで狭められた。
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| − | *[[1900年]]にパリで開かれた第2回国際数学者会議で[[ヒルベルト]]は数学上の未解決の問題23題（[[ヒルベルトの23の問題]]）を提起した。リーマン予想はこの内、素数の分布に関する8番目の問題に含まれている。
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| − | *[[1914年]]、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]は {{math|Re ''s'' {{=}} 1/2}} 上に零点が無限に存在することを示した。ただし、この他に零点が存在する可能性は排除できていない。
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| − | *[[1972年]]、{{ill2|ヒュー・モンゴメリー|en|Hugh Lowell Montgomery}}と物理学者[[フリーマン・ダイソン]]が、ゼータ関数上の零点の分布の数式が、[[原子核]]のエネルギー間隔を表す式と一致することを示し、素数と[[核物理]]現象との関連性が示唆された。以降物理学者も含めてリーマン予想の研究が活発化する。
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| − | *[[1996年]]、[[シアトル]]で第一回'''世界リーマン予想会議'''が開催される。この中で[[アラン・コンヌ]]が素数問題と[[非可換幾何]]との関係性を示した。
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| − | *[[2000年]]にクレイ数学研究所はリーマン予想の証明を含む数学の未解決問題7問に対してそれぞれ100万ドルの賞金を懸けた（[[ミレニアム懸賞問題]]）。
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| − | == 帰結 ==
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| − | リーマン予想の仮定の下で真である命題や、リーマン予想と同値である命題が、多く知られている。
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| − | === 同値な命題 ===
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| − | 以下の各命題は、リーマン予想と同値である。
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| − | *ある定数 {{mvar|C}} が存在して、十分大きな任意の {{mvar|x}} に対し、
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| − | ::<math>|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| \leq C \sqrt{x} \, \log x</math>
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| − | :が成り立つこと<ref>Helge von Koch, "Sur la distribution des nombres premiers", Acta Mathematica 24 (1901), 159–182. {{doi|10.1007/BF02403071}}</ref>。ここに {{math|li ''x''}} は[[対数積分]]を表す。これは
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| − | ::<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(x^{1/2 + \epsilon})</math>
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| − | :と表現しても同じことである。ただし、{{mvar|O}} は[[ランダウの記号]]である。
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| − | *任意の自然数 {{mvar|n}} に対して
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| − | ::<math>\sigma(n) \le H_n + e^{H_n} \log H_n</math>
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| − | :が成り立つこと<ref>Lagarias, Jeffrey C., "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis."
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| − | American Mathematical Monthly 109 (2002), no. 6, 534-543.</ref>。ここに {{mvar|H<sub>n</sub>}} は {{mvar|n}} 番目の[[調和数 (発散列)|調和数]]、すなわち
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| − | ::<math>H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>
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| − | :で定義される有理数である。
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| − | === 素数の分布 ===
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| − | {{仮リンク|リーマンの明示公式|en|Riemann's explicit formula}}は、[[素数計数関数|与えられた数よりも小さい素数の個数]]を、リーマンのゼータ関数の零点を渡る和で表すものであり、予想される位置の周りでの素数の振動の大きさがゼータ関数の零点の実部によって制御されることを述べている。特に、[[素数定理]]における誤差項は、零点の位置に密接に関係している。例えば、{{mvar|β}} が零点の実部の上界であれば、差 {{math|''π''(''x'') − Li(''x'')}} は error bound {{math|''O''(''x<sup>β</sup>'' log(''x''))}} を持つ{{sfn|Ingham|1932|loc=Theorem 30}}。{{math|1/2 ≤ ''β'' ≤ 1}} であることが既に知られている{{sfn|Ingham|1932|p=82}}。
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| − | | |
| − | [[#CITEREFvon Koch1901|Von Koch (1901)]] はリーマン予想が素数定理の誤差に対する「最良の」上界を導くことを示した。{{harvtxt|Schoenfeld|1976}} による，Koch の結果の正確なバージョンによれば、リーマン予想から
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| − | :<math>|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \log (x),
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| − | \qquad \text{for all } x\ge 2657</math>
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| − | が従う、ただし {{math|''π''(''x'')}} は[[素数計数関数]]であり、{{math|log(''x'')}} は {{mvar|x}} の[[自然対数]]である。
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| − | | |
| − | {{harvtxt|Schoenfeld|1976}} はまた、リーマン予想から
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| − | :<math>|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \log^2 (x), \qquad \text{for all } x \ge 73.2</math>
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| − | が従うことを示した。ここで {{math|''ψ''(''x'')}} は [[チェビシェフ関数|第二チェビシェフ関数]]である。
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| − | {{harvtxt|Dudek|2014}} はリーマン予想から次が従うことを示した：任意の {{math|''x'' ≥ 2}} に対して、ある素数 {{mvar|p}} が存在して、
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| − | :<math>x - \frac{4}{\pi} \sqrt{x} \, \log x < p \le x</math>
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| − | が成り立つ。これはクラメルの定理の明示的なバージョンである。
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| − | | |
| − | === 数論的関数の増大 ===
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| − | リーマン予想は、上記の素数計数関数に加えて、他の多くの数論的関数の増大に関する強い上界も導く。
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| − | 1つの例は[[メビウス関数]] {{mvar|μ}} に関するものである。等式
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| − | :<math>\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}</math>
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| − | が、実部が {{math|1/2}} よりも大きいすべての {{mvar|s}} に対して右辺の和が収束して成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。このことから次のことも結論できる：[[Mertens 関数]]を
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| − | :<math>M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n)</math>
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| − | によって定義すると、すべての {{math|''ε'' > 0}} に対して
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| − | :<math>M(x) = O(x^{\frac{1}{2} + \varepsilon})</math>
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| − | が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である<ref>[[John Edensor Littlewood|J.E. Littlewood]], 1912; see for instance: paragraph 14.25 in {{harvtxt|Titchmarsh|1986}}</ref>（これらの記号の意味については、[[ランダウの記法]]を参照）。order {{mvar|n}} の [[Redheffer 行列]]の行列式は {{math|''M''(''n'')}} に等しいので、リーマン予想はこれらの行列式の増大に関する条件としても述べることができる。リーマン予想は {{mvar|M}} の増大度についてかなりきつい制限を与える、というのも {{harvtxt|Odlyzko|te Riele|1985}} がわずかに強い {{仮リンク|Mertens 予想|en|Mertens conjecture}}
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| − | :<math>|M(x)| \le \sqrt{x}</math>
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| − | を反証したからである．
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| − | | |
| − | リーマン予想は {{math|''μ''(''n'')}} の他の数論的関数の増大率についての多くの予想とも同値である。典型的な例は次の {{仮リンク|Robin の定理|en|Robin's theorem}} {{harv|Robin|1984}} である：{{math|''σ''(''n'')}} を
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| − | :<math>\sigma(n) = \sum_{d \mid n} d</math>
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| − | で与えられる[[約数関数]]とすると、
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| − | :<math>\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n</math>
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| − | がすべての {{math|''n'' > 5040}} に対して成り立つことと、リーマン予想が真であることが同値である。ここで {{mvar|γ}} は [[オイラー・マスケローニ定数|Euler–Mascheroni 定数]]である。
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| − | 別の例は {{ill2|Jérôme Franel|en|Jérôme Franel}} によって発見され、[[Edmund Landau|ランダウ]]によって拡張された{{sfn|Franel|Landau|1924}}。リーマン予想は [[ファレイ数列|Farey 数列]]の項がかなり規則的であることを示すいくつかの主張と同値である。1つのそのような同値は以下のようである：{{math|''F<sub>n</sub>''}} を {{math|1/''n''}} で始まり {{math|1/1}} までの order {{mvar|n}} の Farey 数列とすると、すべての {{math|''ε'' > 0}} に対して
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| − | :<math>\sum_{i=1}^m \left| F_n(i) - \frac{i}{m} \right| = O\left(n^{\frac{1}{2} + \varepsilon}\right)</math>
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| − | が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。ここで
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| − | :<math>m = \sum_{i=1}^n \phi(i)</math>
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| − | は order {{mvar|n}} の Farey 数列における項の数である。
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| − | [[群論]]からの例として、{{math|''g''(''n'')}} を {{ill2|ランダウの関数|en|Landau's function}}とする、つまり {{mvar|n}} 次の[[対称群]] {{mvar|S<sub>n</sub>}} の元の最大位数とする。{{harvtxt|Massias|Nicolas|Robin|1988}} はリーマン予想が十分大きい全ての {{mvar|n}} に対する上界
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| − | :<math>\log g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)}</math>
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| − | と同値であることを示した．
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| − | === リンデレーフ予想とゼータ関数の増大 ===
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| − | リーマン予想は様々なより弱い結果も導く。その1つは {{仮リンク|リンデレーフ予想|label='''リンデレーフ予想'''|en|Lindelöf hypothesis}}である。これは臨界線上のゼータ関数の増大率に関する予想で、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、{{math|''t'' → ∞}} のとき
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| − | :<math>\zeta \left( \frac{1}{2} + it \right) = O(t^\varepsilon)</math>
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| − | が成り立つというものである。
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| − | リーマン予想はまた、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の増大率に対するかなり鋭い上界も与える。例えば、
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| − | :<math>e^\gamma \le \limsup_{t \rightarrow +\infty} \frac{|\zeta(1+it)|}{\log \log t} \le 2 e^\gamma</math>
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| − | :<math>\frac{6}{\pi^2} e^\gamma \le \limsup_{t \rightarrow +\infty} \frac{1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}
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| − | \le \frac{12}{\pi^2} e^\gamma</math>
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| − | を与えるので、{{math|''ζ''(1 + ''it'')}} とその逆数の増大率は2倍の違いを除いて分かることになる{{sfn|Titchmarsh|1986}}。
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| − | === 素数の間隔が大きいことの予想 ===
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| − | 素数定理は平均的に素数 {{mvar|p}} とその次の素数の間の{{仮リンク|prime gap|label=間隔|en|prime gap}}が {{math|log ''p''}} であることを意味する。しかしながら、素数間の間隔には平均よりもはるかに大きいものもある。[[Harald Cramér|クラメル]]はリーマン予想を仮定してすべての間隔が {{math|''O''({{sqrt|''p''}} log ''p'')}} であることを示した。これは、リーマン予想を用いて証明できる最もよい上界でさえ、正しいと思われるものよりも遥かに弱い場合である。すなわち、{{仮リンク|クラメルの予想|label=クラメルの予想|en|Cramér's conjecture}}はすべての間隔が {{math|''O''((log ''p'')<sup>2</sup>)}} であることを意味しており、これは平均間隔よりは大きいが、リーマン予想から導かれる上界よりは遥かに小さいのである．数値計算はクラメルの予想を支持している{{sfn|Nicely|1999}}。
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| − | === リーマン予想に同値な主張 ===
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| − | リーマン予想に同値な多くの主張が発見されているが、これまでのところそれらがリーマン予想を証明する（あるいは反証する）のに大きな進展をもたらしたことはない。いくつかの典型的な例は以下のようである。（他に{{仮リンク|約数関数#その他の公式|label=約数関数|en|Divisor function#Growth rate|preserve=1}} {{math|''σ''(''n'')}} に関するものがある。）
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| − | [[リース函数|Riesz の判定法]]は {{harvtxt|Riesz|1916}} によって与えられた、以下の主張である：
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| − | :<math>-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)} = O\left(x^{\frac{1}{4}+\varepsilon}\right)</math>
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| − | がすべての {{math|''ε'' > 0}} に対して成り立つこととリーマン予想が成り立つことは同値である。
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| − | | |
| − | {{harvtxt|Nyman|1950}} はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した：
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| − | :<math>f(x) = \sum_{\nu=1}^n c_\nu \rho \left(\frac{\theta_\nu}{x} \right)</math>
| |
| − | の形の関数全体のなす空間、ただし {{math|''ρ''(''z'')}} は {{mvar|z}} の小数部分で、{{math|0 ≤ ''θ<sub>ν</sub>'' ≤ 1}} で、
| |
| − | :<math>\sum_{\nu=1}^n c_\nu \theta_\nu = 0,</math>
| |
| − | は、単位区間上の二乗可積分関数全体のなすヒルベルト空間 {{math|''L''<sup>2</sup>(0, 1)}} において稠密である。{{harvtxt|Beurling|1955}} はこれを次を示すことで拡張した：ゼータ関数が実部が {{math|1/''p''}} よりも大きい零点を持たないこととこの関数空間が {{math|''L<sup>p</sup>''(0, 1)}} において稠密であることは同値である。
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| − | | |
| − | {{harvtxt|Salem|1953}} はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した：積分方程式
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| − | :<math>\int_0^\infty \frac{z^{-\sigma-1} \phi(z)}{e^{x/z} + 1} \, dz = 0</math>
| |
| − | は {{math|1/2 < ''σ'' < 1}} に対して非自明な有界な解 {{mvar|φ}} を持たない。
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| − | | |
| − | {{ill2|Weil の判定法|en|Weil's criterion}}はある関数の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である．関連するのは {{ill2|Li の判定法|en|Li's criterion}}で，ある数列の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である。
| |
| − | | |
| − | {{harvtxt|Speiser|1934}} はリーマン予想が次の主張と同値であることを証明した：{{math|''ζ''(''s'')}} の導関数 {{math|''ζ′''(''s'')}} は帯
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| − | :<math>0 < \Re(s) < \frac12</math>
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| − | に零点を持たない。{{math|''ζ''(''s'')}} が臨界線上に1位の零点しか持たないことはその導関数が臨界線上に零点を持たないことと同値である。
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| − | | |
| − | === 一般リーマン予想の帰結 ===
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| − | いくつかの応用は [[ディリクレのL関数|ディリクレの L 級数]]や[[デデキントゼータ関数|数体のゼータ関数]]のためにただのリーマン予想ではなく[[一般化されたリーマン予想|一般リーマン予想]]を用いる。リーマンゼータ関数の多くの基本的な性質はすべてのディレクレ L 級数に容易に一般化できるので、リーマンゼータ関数に対するリーマン予想を証明する手法がディレクレ L 級数に対する一般リーマン予想に対してもうまくいくというのはもっともらしい。一般リーマン予想を用いて初めに証明されたいくつかの結果は、後にそれを用いない無条件の証明が与えられたが、これらは通常はるかに難しい。以下のリストにある結果の多くは {{harvtxt|Conrad|2010}} から取られている。
| |
| − | * 1913年、グロンウォールは一般リーマン予想が[[類数問題|類数1の虚二次体の Gauss のリスト]]が完全であることを導くことを示した。しかし後に、Baker, Stark および Heegner が、一般リーマン予想を用いないこれの無条件の証明を与えた。
| |
| − | * 1917年、ハーディとリトルウッドは、一般リーマン予想は
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| − | :: <math>\lim_{x \to 1^-} \sum_{p>2} (-1)^{(p+1)/2} x^p = +\infty</math>
| |
| − | :という Chebyshev による予想を導くことを示した。この予想はある意味で、4 を法として 3 に合同な素数は 1 に合同なものよりも多いということを言っている。
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| − | * 1923年、ハーディとリトルウッドは、一般リーマン予想は奇数に対する[[ゴールドバッハ予想]]の弱い形、すなわち十分大きい任意の奇数は3つの素数の和であることを導くことを示したが、1937年、Vinogradov は無条件下での証明を与えた。1997年、{{ill2|Jean-Marc Deshouillers|en|Jean-Marc Deshouillers|label=Deshouillers}}, Effinger, te Riele, および Zinoviev は、一般リーマン予想は5よりも大きい任意の奇数は3つの素数の和であることを導くことを示した。
| |
| − | * 1934年、Chowla は、一般リーマン予想は次を導くことを示した：等差数列 {{math|''a'' mod ''m''}} の最初の素数<!--すなわち m を法として a に合同な最小の素数-->はある固定された定数 {{mvar|K}} に対して高々 {{math|''Km''<sup>2</sup>log(''m'')<sup>2</sup>}} である。
| |
| − | * 1967年、Hooley は一般リーマン予想が{{ill2|原始根に関する Artin の予想|en|Artin's conjecture on primitive roots}}を導くことを示した。
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| − | * 1973年、Weinberger は一般リーマン予想が {{ill2|idoneal 数|en|idoneal number}}の Euler のリストが完全であることを導くことを示した。
| |
| − | * {{harvtxt|Weinberger|1973}} は、すべての代数体のゼータ関数に対する一般リーマン予想が次を導くことを示した：類数 1 の任意の数体は、[[ユークリッド整域]]であるか、あるいは判別式が {{math|−19}}, {{math|−43}}, {{math|−67}}, あるいは {{math|−163}} の虚二次体である。
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| − | * 1976年、G. Miller は一般リーマン予想が次を導くことを示した：[[素数判定|数が素数であるかどうか]]を[[ミラー–ラビン素数判定法|ミラー判定法]]によって多項式時間で判定できる。2002年，Manindra Agrawal, Neeraj Kayal および Nitin Saxena は、[[AKS素数判定法]]を用いて無条件にこの結果を証明した。
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| − | * {{harvtxt|Odlyzko|1990}} は、一般リーマン予想を数体の判別式と類数のより鋭い評価を与えるためにどのように使うことができるかを議論した。
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| − | * {{harvtxt|Ono|Soundararajan|1997}} は一般リーマン予想が次を導くことを示した：{{ill2|Ramanujan の3項二次形式|en|Ramanujan's ternary quadratic form|label=Ramanujan の整二次形式}} {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + 10''z''<sup>2</sup>}} は、ちょうど18個の例外を除いて、それが局所的に表すすべての整数を表す。
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| − | | |
| − | === 排中律 ===
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| − | リーマン予想のいくつかの帰結はその否定の帰結でもあり、したがって定理である。{{harv|Ireland|Rosen|1990|p=359}} は，[[#Gauss の類数予想|Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn 定理]]の彼らの議論において、次のように言っている：
| |
| − | <blockquote>The method of proof here is truly amazing. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Thus, the theorem is true!!<ref group="注">ここでの証明の手法は本当にすごい．一般リーマン予想が正しいならば，定理は正しい．一般リーマン予想が間違いならば，定理は正しい．したがって，定理は正しい!!</ref> (punctuation in original)</blockquote>
| |
| − | 一般リーマン予想が偽であるということによって何が意味されるかを理解するのに注意を払うべきである：ちょうどどのクラスのディレクレ級数が反例を持っているのか特定すべきである。
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| − | | |
| − | ==== リトルウッドの定理 ====
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| − | リトルウッドの定理は[[素数定理]]における誤差項の符号に関するものである。すべての {{math|''x'' ≤ 10<sup>23</sup>}} に対して {{math|''π''(''x'') < Li(''x'')}} であることが計算されており{{Citation needed|date=November 2016}}、{{math|''π''(''x'') > Li(''x'')}} であるような {{mvar|x}} の値は知られていない。この[[素数定理#表|表]]を参照。
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| − | | |
| − | 1914年、リトルウッドは次のことを証明した：
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| − | :<math>\pi(x) > \operatorname{Li}(x) + \frac13 \frac{\sqrt{x}}{\log x} \log \log \log x</math>
| |
| − | となるような任意に大きい {{mvar|x}} の値が存在し、
| |
| − | :<math>\pi(x) < \operatorname{Li}(x) - \frac13 \frac{\sqrt{x}}{\log x} \log \log \log x</math>
| |
| − | となるような任意に大きい {{mvar|x}} の値も存在する。したがって、差 {{math|''π''(''x'') − Li(''x'')}} は無限回符号を変える。[[スキューズ数|Skewes 数]]は最初の符号変化に対応する {{mvar|x}} の値の評価である．
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| − | | |
| − | リトルウッドの証明は2つの部分からなっている。リーマン予想を偽と仮定する部分（{{harvnb|Ingham|1932|loc=Chapt. V}} の約半ページ）と、リーマン予想を真と仮定する部分（約12ページ）である。
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| − | | |
| − | ==== ガウスの類数予想 ====
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| − | ガウスの類数予想は，与えられた類数を持つ虚二次体は有限個しかないという（ガウスの [[Disquisitiones Arithmeticae]] の article 303 において最初に述べられた）[[類数問題|予想]]である．それを示す1つの方法は、判別式 {{math|''D'' → −∞}} のとき類数 {{math|''h''(''D'') → ∞}} となることを示すことである．
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| − | | |
| − | リーマン予想に関わる以下の定理は {{Harvnb|Ireland|Rosen|1990|pp=358–361}} に記されている：
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| − | <blockquote>'''定理 (Hecke; 1918).''' {{math|''D'' < 0}} を虚二次体 {{mvar|K}} の判別式とする。すべての虚二次ディレクレ指標の ''L'' 関数に対する一般リーマン予想を仮定する。このとき
| |
| − | :<math>h(D) > C \frac{\sqrt{|D|}}{\log |D|}</math>
| |
| − | となるような絶対的な定数 {{mvar|C}} が存在する。</blockquote>
| |
| − | <blockquote>'''定理 (Deuring; 1933).''' リーマン予想が偽ならば，{{math|{{mabs|''D''}}}} が十分大きいとき {{math|''h''(''D'') > 1}} である．</blockquote>
| |
| − | <blockquote>'''定理 (Mordell; 1934).''' リーマン予想が偽ならば、{{math|''D'' → −∞}} のとき {{math|''h''(''D'') → ∞}} である。</blockquote>
| |
| − | <blockquote>'''定理 (Heilbronn; 1934).''' 一般 Riemann 予想がある虚二次 ディレクレ指標の ''L'' 関数に対して偽ならば、{{math|''D'' → −∞}} のとき {{math|''h''(''D'') → ∞}} である。</blockquote>
| |
| − | （Hecke と Heilbronn の仕事において、現れる ''L'' 関数は虚二次指標に付随するものだけであり、それは'''一般リーマン予想が真である'''あるいは'''一般リーマン予想が偽である'''ことが意図されているのはそれらの ''L'' 関数に対してのみである。ある三次のディレクレ指標の ''L'' 関数に対して一般 リーマン予想が成り立たなければ、一般リーマン予想は成り立たないが、これは Heilbronn が考えていたような一般リーマン予想の不成立ではなく、したがって彼の仮定は単に'''一般リーマン予想が偽である'''というものよりも限定されていた。）
| |
| − | | |
| − | 1935年、[[Carl Siegel]] はリーマン予想や一般リーマン予想を全く用いずに結果を強化した。
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| − | | |
| − | ==== Growth of Euler's totient ====
| |
| − | 1983年、{{ill2|Jean-Louis Nicolas|en|Jean-Louis Nicolas|label=J. L. Nicolas}} は、無限個の {{mvar|n}} に対して
| |
| − | :<math>\varphi(n) < e^{-\gamma} \frac{n}{\log \log n}</math>
| |
| − | であることを示した {{harv|Ribenboim|1996|p=320}}。ただし {{math|''φ''(''n'')}} は [[オイラーのφ関数|Euler のトーシェント関数]]で，{{mvar|γ}} は [[オイラーの定数|Euler の定数]]である。
| |
| − | | |
| − | Ribenboim は次のように注意している：
| |
| − | <blockquote>The method of proof is interesting, in that the inequality is shown first under the assumption that the Riemann hypothesis is true, secondly under the contrary assumption.<ref group="注">証明の手法は次の点で面白い：不等式は初めリーマン予想が正しいという仮定のもとで示され、次に反対の仮定のもとで示される。</ref>
| |
| − | </blockquote>
| |
| − | | |
| − | == 一般化と類似物 ==
| |
| − | {{Expand section|date=July 2, 2017}}
| |
| − | === ディリクレの L 級数と他の代数体 ===
| |
| − | リーマンのゼータ関数を、形式的には似ているがはるかに一般的な大域的 [[L-関数|''L''-関数]]に置き換えることによって、リーマン予想を一般化することができる。このより広い設定において、大域的 ''L''-関数の非自明な零点の実部が {{math|{{sfrac|1|2}}}} であると期待される。リーマンのゼータ関数のみに対する古典的なリーマン予想よりもむしろ、これらの一般化されたリーマン予想が、数学におけるリーマン予想の真の重要性の理由である。
| |
| − | | |
| − | [[一般化されたリーマン予想]] (generalized Riemann hypothesis) は、リーマン予想を全ての[[ディリクレのL関数|ディリクレの ''L''-関数]]へ拡張したものである。とくにこの予想は、{{仮リンク|ジーゲルの零点|en|Siegel zero}}（{{math|{{sfrac|1|2}}}} と {{math|1}} の間にある ''L'' 関数の零点）が存在しないという予想を含んでいる。
| |
| − | | |
| − | [[一般化されたリーマン予想#拡張されたリーマン予想|拡張されたリーマン予想]] (extended Riemann hypothesis) は、リーマン予想を[[代数体]]の全ての[[デデキントゼータ関数]]へと拡張したものである。有理数体のアーベル拡大に対する拡張されたリーマン予想は、一般化されたリーマン予想と同値である。リーマン予想は代数体の[[ヘッケ指標]]の ''L''-関数へ拡張することもできる。
| |
| − | | |
| − | {{仮リンク|大リーマン予想|en|grand Riemann hypothesis}} (grand Riemann hypothesis) は、全ての[[保型形式のL-関数|保型形式のゼータ関数]]（例えば{{仮リンク|ヘッケ固有形式|en|Hecke eigenform}}の[[メリン変換]]）へ拡張したものである。
| |
| − | | |
| − | == 証明の試み ==
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| − | {{Expand section|date=July 2, 2017}}
| |
| − | リーマン予想を証明したと発表した数学者もいるが、正しい解答として受け入れられたものはいまだ存在しない。{{harvtxt|Watkins|2007}} はいくつかの正しくない解答をリストしており、より多くの正しくない解答は[http://arxiv.org/find/grp_math/1/AND+ti:+AND+Riemann+hypothesis+subj:+AND+General+mathematics/0/1/0/all/0/1 頻繁に発表されている]。
| |
| − | | |
| − | == 零点の位置 ==
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| − | {{Expand section|date=July 2, 2017}}
| |
| − | === 零点の個数 ===
| |
| − | 関数等式を[[偏角の原理]]と合わせて考えれば虚部が {{math|0}} と {{mvar|T}} の間にあるゼータ関数の零点の個数は {{math|1=''s'' = 1/2 + ''iT''}} に対して次で与えられる：
| |
| − | :<math>N(T) = \frac{1}{\pi} \mathop{\mathrm{Arg}}(\xi(s))
| |
| − | =\frac{1}{\pi} \operatorname{Arg} \left( \Gamma \left(\frac{s}{2} \right)
| |
| − | \pi^{-s/2} \zeta(s) \frac{s(s-1)}{2} \right).</math>
| |
| − | ここに偏角は、偏角 {{math|0}} の {{math|∞ + ''iT''}} から出発し、直線 {{math|Im ''s'' {{=}}''T''}} に沿って連続的に変化させることで定義される。これは大きいがよく分かっている項
| |
| − | :<math>\frac{1}{\pi} \operatorname{Arg} \left(\Gamma \left(\frac{s}{2} \right)\pi^{-s/2} \frac{s(s-1)}{2}\right)
| |
| − | = \frac{T}{2\pi} \log \frac{T}{2\pi} - \frac{T}{2\pi} + \frac{7}{8} + O(1/T)</math>
| |
| − | と小さいがよく分かっていない項
| |
| − | :<math>S(T) = \frac{1}{\pi} \operatorname{Arg} \left( \zeta \left( \frac{1}{2} + iT \right) \right)
| |
| − | = O(\log T)</math>
| |
| − | の和である。なので虚部が {{mvar|T}} の近くの零点の密度は約 {{math|(log ''T'')/2''π''}} であり、関数 {{mvar|S}} はこれとの小さな差を記述する。関数 {{math|''S''(''t'')}} はゼータ関数の各零点において {{math|1}} 飛び、{{math|''t'' ≥ 8}} に対しては零点の間で導関数がおよそ {{math|−log ''t''}} で単調に減少する。
| |
| − | | |
| − | == 臨界線上の零点 ==
| |
| − | {{Expand section|date=July 2, 2017}}
| |
| − | {{harvtxt|Hardy|1914}} と {{harvtxt|Hardy|Littlewood|1921}} は、ゼータ関数に関連したある関数のモーメントを考えることによって、臨界線上には零点が無限個存在することを証明した。{{harvtxt|Selberg|1942}} は、少なくとも（小さい）正の割合の零点は臨界帯上にあることを証明した。{{harvtxt|Levinson|1974}} は、ゼータ関数の零点をゼータ関数の導関数の零点と関連付けることで、それを {{math|1/3}} に改善し、{{harvtxt|Conrey|1989}} はさらに {{math|2/5}} に改善した。
| |
| − | | |
| − | == 真偽の議論 ==
| |
| − | {{Expand section|date=July 2, 2017}}
| |
| − | リーマン予想に関する数学の論文はそれが真であるかどうか注意深く明言しない傾向にある。{{harvtxt|Riemann|1859}} や {{harvtxt|Bombieri|2000}} のように、意見を述べる人の大半は、リーマン予想は正しいと予想（あるいは少なくとも期待）している。これについて深刻に疑っていることを表明する人は少なく、その中には {{harvtxt|Ivić|2008}} や {{harvtxt|Littlewood|1962}} がいる。Ivić は懐疑的に考えている理由を並べている。また Littlewood は、誤りであると信じており、正しいという何らの証拠がない、正しいことを示す想像できる理由も全く存在しない、ときっぱり述べている。サーベイの論文 ({{harvnb|Bombieri|2000}}, {{harvnb|Conrey|2003}}, {{harvnb|Sarnak|2008}}) の共通認識としては、リーマン予想が正しいという証拠は、強いが圧倒的ではないので、おそらく正しいであろうが、これを疑うのも妥当であるとしている。
| |
| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | *[[与えられた数より小さい素数の個数について]] - リーマンの原論文。{{harvtxt|エドワーズ|2012}}・{{harvtxt|鹿野|1991}}・{{Harvtxt|リーマン|2004}}に収録。
| |
| − | *[[一般化されたリーマン予想|一般リーマン予想]]
| |
| − | *[[L関数]]
| |
| − | *[[ゼータ関数]]
| |
| − | *[[素数定理]]
| |
| − | *{{仮リンク|大リーマン予想|en|Grand Riemann hypothesis}}
| |
| − | *[[ヒルベルトの23の問題]]
| |
| − | **{{仮リンク|ヒルベルトの第八問題|en|Hilbert's eighth problem}}
| |
| − | *[[ヒルベルト・ポリア予想]]
| |
| − | *[[ベルンハルト・リーマン]]
| |
| − | *[[ミレニアム懸賞問題]]
| |
| − | *[[モンゴメリー・オドリズコ予想]]
| |
| − | *{{仮リンク|有限体上の曲線に対するリーマン予想|en|Riemann hypothesis for curves over finite fields}}
| |
| − | | |
| − | == 脚注 ==
| |
| − | {{脚注ヘルプ}}
| |
| − | ===注===
| |
| − | {{Reflist|group="注"}}
| |
| − | ===出典===
| |
| − | {{Reflist|30em}}
| |
| − | | |
| − | == 参考文献 ==
| |
| − | ; 和書
| |
| − | *{{Cite book|和書|author=ハロルド・M・エドワーズ|authorlink=ハロルド・M・エドワーズ (数学者)|others=[[鈴木治郎]] 訳|date=2012-06-25|title=明解 ゼータ関数とリーマン予想|publisher=講談社|isbn=978-4-06-155799-4|ref={{harvid|エドワーズ|2012}}}} - 原タイトル：''Riemann's Zeta Function.''
| |
| − | *{{Cite book|和書|editor=[[鹿野健]] 編|year=1991|month=9|title=リーマン予想|publisher=[[日本評論社]]|isbn=4-535-78181-8|ref={{harvid|鹿野|1991}}}}
| |
| − | *{{Cite book|和書|author=[[ジョン・ダービーシャー]]|others=[[松浦俊輔]] 訳|date=2004-08-30|title=素数に憑かれた人たち リーマン予想への挑戦|publisher=[[日経BP社]]|isbn=4-8222-8204-X|ref={{harvid|ダービーシャー|2004}}}} - 原タイトル：''Prime obsession.''
| |
| − | *{{Cite book|和書|author=リーマン|authorlink=ベルンハルト・リーマン|others=[[足立恒雄]]・[[杉浦光夫]]・[[長岡亮介]] 編|date=2004-02-20|title=リーマン論文集|publisher=[[朝倉書店]]|isbn=4-254-11460-5|ref={{harvid|リーマン|2004}}}}
| |
| − | | |
| − | ; 洋書
| |
| − | {{refbegin|2}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=エミール・アルティン | title=Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil | doi=10.1007/BF01181075 | year=1924 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | pages=207–246 | volume=19 | issue=1}}
| |
| − | * {{citation|last=Backlund|first= R. J.|title= Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann|journal=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=158|pages= 1979–1981 |year=1914|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d/f1983.image}}
| |
| − | * {{Citation | author1-link=Arne Beurling | last1=Beurling | first1=Arne | title=A closure problem related to the Riemann zeta-function | mr=0070655 | year=1955 | journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] | volume=41 | pages=312–314 | doi=10.1073/pnas.41.5.312 | issue=5}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Bohr | first1=H. | author1-link=ハラルド・ボーア | last2=Landau | first2=E. | author2-link=エドムント・ランダウ | title=Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die ''L''-Funktionen | doi=10.1007/BF03014823 | journal=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]] | volume=37 | issue = 1 | year=1914 | pages=269–272}}
| |
| − | * {{citation|last=Bombieri|year=2000|first= Enrico|authorlink=Enrico Bombieri|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf |format=PDF|title=The Riemann Hypothesis – official problem description|publisher=[[Clay Mathematics Institute]]|accessdate=2008-10-25}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{citation|isbn=978-0-387-72125-5|title=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics|publisher=Springer|place=New York|year=2008
| |
| − | |editor1-first=Peter|editor1-last= Borwein|editor1-link=Peter Borwein|editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan|editor3-last= Rooney |editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller|displayeditors=4|doi=10.1007/978-0-387-72126-2}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Borwein | first1=Peter |author1-link=Peter Borwein| last2=Ferguson | first2=Ron | last3=Mossinghoff | first3=Michael J. | title=Sign changes in sums of the Liouville function | doi=10.1090/S0025-5718-08-02036-X | mr=2398787 | year=2008 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=77 | issue=263 | pages=1681–1694}}
| |
| − | * {{Citation | authorlink=ルイ・ド・ブランジュ | last1=de Branges | first1=Louis | title=The convergence of Euler products | doi=10.1016/0022-1236(92)90103-P | mr=1165869 | year=1992 | journal=Journal of Functional Analysis | volume=107 | issue=1 | pages=122–210}}
| |
| − | * {{Citation | authorlink=ピエール・カルティエ | last1=Cartier | first1=P. | title=Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981) | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | series=Progr. Math. | mr=693308 | year=1982 | volume=22 | chapter=Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée | pages=35–48}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Connes | first1=Alain | author1-link=アラン・コンヌ | title=Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function | doi=10.1007/s000290050042 | arxiv=math/9811068 |mr=1694895 | year=1999 | journal=Selecta Mathematica. New Series | volume=5 | issue=1 | pages=29–106}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Connes | first1=Alain | author1-link=アラン・コンヌ | title=Mathematics: frontiers and perspectives | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr=1754766 | year=2000 | chapter=Noncommutative geometry and the Riemann zeta function | pages=35–54}}
| |
| − | * {{citation| last=Conrey|first= J. B.|authorlink=Brian Conrey|title=More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line|journal= J. Reine angew. Math.|volume= 399 |year=1989|pages= 1–16
| |
| − | |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781| mr=1004130}}
| |
| − | * {{citation|authorlink=Brian Conrey|last=Conrey|first= J. Brian|title=The Riemann Hypothesis|journal=Notices of the American Mathematical Society|year= 2003|pages=341–353|url= http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf|format=PDF}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{Citation | last1=Conrey | first1=J. B. |author1-link=Brian Conrey| last2=Li | first2=Xian-Jin |author2-link=Xian-Jin Li| title=A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions | doi=10.1155/S1073792800000489 | arxiv=math/9812166 |mr=1792282 | year=2000 | journal=International Mathematics Research Notices | issue=18 | pages=929–940 | volume=2000}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=ピエール・ドリーニュ | title=La conjecture de Weil. I | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 | mr=0340258 | year=1974 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | volume=43 | pages=273–307 | doi=10.1007/BF02684373}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=ピエール・ドリーニュ | title=La conjecture de Weil : II | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0 | year=1980 | journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS | volume=52 | pages=137–252 | doi=10.1007/BF02684780}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Deninger | first1=Christopher|authorlink=クリストファー・デニンガー | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998) | url=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html | mr=1648030 | year=1998 | series=Documenta Mathematica | chapter=Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces | pages=163–186}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Derbyshire | first1=John | author1-link=ジョン・ダービーシャー | title=[[Prime Obsession]] | publisher=Joseph Henry Press, Washington, DC | isbn=978-0-309-08549-6 | mr=1968857 | year=2003}}
| |
| − | * {{Citation|last=Dudek|first=Adrian W.|date=2014-08-21|title=On the Riemann hypothesis and the difference between primes|url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S1793042115500426|journal=International Journal of Number Theory|volume=11|issue=03|pages=771–778|doi=10.1142/S1793042115500426|issn=1793-0421}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Dyson | first1=Freeman |author1-link=Freeman Dyson| title=Birds and frogs | url=http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf | mr=2483565 | year=2009 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=56 | issue=2 | pages=212–223}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Edwards | first1=H. M. | authorlink = ハロルド・エドワーズ | title=Riemann's Zeta Function | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-41740-0 | mr=0466039 | year=1974}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Fesenko | first1=Ivan | author1-link=Ivan Fesenko| title=Analysis on arithmetic schemes. II | year=2010 | journal=Journal of K-theory| volume=5 | issue=3 | pages=437–557 | doi=10.1017/is010004028jkt103}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Ford | first1=Kevin | title=Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function | doi=10.1112/S0024611502013655 | mr=1936814 | year=2002 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | volume=85 | issue=3 | pages=565–633}}
| |
| − | * {{citation|author2-link=エドムント・ランダウ | first=J. |last=Franel|author1-link=Jérôme Franel|first2=E. |last2=Landau|title=Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206) |journal=Göttinger Nachrichten |pages=198–206|year=1924}}
| |
| − | * {{citation|first=Amit|last= Ghosh|title= On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|| journal= J. Number Theory |volume=17 | pages=93–102|year=1983|doi=10.1016/0022-314X(83)90010-0 }}
| |
| − | * {{citation|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf|format=PDF|last=Gourdon|first=Xavier|title=The 10<sup>13</sup> first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height|year=2004}}
| |
| − | * {{citation|first=J. P.|last= Gram|authorlink=Jørgen Pedersen Gram|title= Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann|journal= Acta Mathematica|volume=27|pages=289–304|year=1903|doi=10.1007/BF02421310}}
| |
| − | * {{citation|first=Jacques |last=Hadamard|authorlink=ジャック・アダマール|title=Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques|journal= Bulletin Société Mathématique de France |volume=14|year=1896|pages= 199–220|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{citation|last=Hardy|first= G. H.|authorlink=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|title= Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann|journal=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=158|pages= 1012–1014 |year=1914|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN|jfm=45.0716.04}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{citation|last=Hardy|first= G. H.|author1-link=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|last2= Littlewood|first2= J. E.|author2-link=ジョン・エデンサー・リトルウッド|title= The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line|journal= Math. Z.|volume= 10|pages= 283–317 |year=1921|doi=10.1007/BF01211614|issue=3–4}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Haselgrove | first1=C. B. | title=A disproof of a conjecture of Pólya | mr=0104638 | year=1958 | journal=Mathematika | volume=5 | pages=141–145 | doi=10.1112/S0025579300001480 | issue=2 | issn=0025-5793 | zbl=0085.27102 }} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{Citation | last1=Haselgrove | first1=C. B. |author1-link=C. Brian Haselgrove| last2=Miller | first2=J. C. P. |author2-link=J. C. P. ミラー| title=Tables of the Riemann zeta function | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6 | mr=0117905 | year=1960|isbn=978-0-521-06152-0}} [http://www.jstor.org/stable/2003098 Review]
| |
| − | * {{Citation | last1=Hutchinson | first1=J. I. |authorlink=John Irwin Hutchinson| title=On the Roots of the Riemann Zeta-Function | jstor=1989163 | year=1925 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | volume=27 | pages=49–60 | doi=10.2307/1989163 | issue=1}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Ingham | first1=A.E. | authorlink=アルバート・イングハム|title=The Distribution of Prime Numbers | publisher=Cambridge University Press | series = Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics | volume=30 | year=1932}}. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, {{MathSciNet|1074573}}
| |
| − | * {{citation
| |
| − | | last1 = Ireland | first1 = Kenneth
| |
| − | | last2 = Rosen | first2 = Michael | author2-link = マイケル・ローゼン (数学者)
| |
| − | | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)
| |
| − | | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
| |
| − | | location = New York
| |
| − | | year = 1990
| |
| − | | isbn = 0-387-97329-X}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Ivić | first1=A. | title=The Riemann Zeta Function | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-80634-9 | mr=0792089 | year=1985}} (Reprinted by Dover 2003)
| |
| − | * {{citation|last=Ivić|first=Aleksandar|chapter=On some reasons for doubting the Riemann hypothesis|isbn=978-0-387-72125-5|pages=131–160|editor1-last= Borwein|title=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics|publisher=Springer|place=New York|year=2008
| |
| − | |editor1-first=Peter |editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan|editor3-last= Rooney |editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller|displayeditors=4|arxiv=math.NT/0311162}}
| |
| − | *{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=アナトリー・カラツバ| title=Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line| pages=569–584| journal= Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.| volume=48|issue=3| year=1984a|mr=0747251|language=Russian}}
| |
| − | *{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=アナトリー・カラツバ|title= Distribution of zeros of the function ''ζ''(1/2 + ''it'')| pages=1214–1224 | journal= Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.| volume=48|issue=6|year=1984b|mr=0772113|language=Russian}}
| |
| − | *{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=アナトリー・カラツバ| title= Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line| pages=167–178| journal= Trudy Mat. Inst. Steklov.| issue=167| year=1985|mr=0804073|language=Russian}}
| |
| − | *{{citation| first=A. A.| last=Karatsuba|authorlink=アナトリー・カラツバ| title= On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line | pages=372–397| journal= Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat.| volume=56|issue=2| year=1992|language=Russian|mr=1180378}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Karatsuba | first1=A. A. |author1-link=アナトリー・カラツバ| last2=Voronin | first2=S. M. | title=The Riemann zeta-function | publisher=Walter de Gruyter & Co. | location=Berlin | series=de Gruyter Expositions in Mathematics | isbn=978-3-11-013170-3 | mr=1183467 | year=1992 | volume=5}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Keating | first1=Jonathan P. | last2=Snaith | first2=N. C.|author2-link=Nina Snaith | title=Random matrix theory and ''ζ''(1/2 + ''it'') | doi=10.1007/s002200000261 | mr=1794265 | year=2000 | journal=Communications in Mathematical Physics | volume=214 | issue=1 | pages=57–89}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Knauf | first1=Andreas | title=Number theory, dynamical systems and statistical mechanics | mr=1714352 | year=1999 | journal=Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics | volume=11 | issue=8 | pages=1027–1060|doi=10.1142/S0129055X99000325}}
| |
| − | * {{citation|first=Helge|last=von Koch|authorlink=フォン・コッホ|doi=10.1007/BF02403071|title=Sur la distribution des nombres premiers|journal=Acta Mathematica|volume=24|year=1901|pages= 159–182}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Kurokawa | first1=Nobushige | title=Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990) | publisher=Kinokuniya | location=Tokyo | series=Adv. Stud. Pure Math. | mr=1210791 | year=1992 | volume=21 | chapter=Multiple zeta functions: an example | pages=219–226}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Lapidus | first1=Michel L. | title=In search of the Riemann zeros | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-4222-5 | mr=2375028 | year=2008}}
| |
| − | * {{eom|id=Z/z099260|first=A. F. |last=Lavrik|title=Zeta-function}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Lehmer | first1=D. H. | author1-link=D. H. レーマー | title=Extended computation of the Riemann zeta-function | mr=0086083 | year=1956 | journal=Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics | volume=3 | pages=102–108 | doi=10.1112/S0025579300001753 | issue=2}}
| |
| − | *{{citation
| |
| − | | last = Leichtnam | first = Eric | author-link = Eric Leichtnam
| |
| − | | contribution = An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions
| |
| − | | location = Providence, RI
| |
| − | | mr = 2180209
| |
| − | | pages = 201–236
| |
| − | | publisher = Amer. Math. Soc.
| |
| − | | series = Contemp. Math.
| |
| − | | title = Geometry, spectral theory, groups, and dynamics
| |
| − | | volume = 387
| |
| − | | year = 2005}}.
| |
| − | * {{citation|mr=0564081|last=Levinson|first=N.|authorlink=Norman Levinson|title= More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2|journal= Adv. In Math. |volume=13 |year=1974|pages= 383–436
| |
| − | |doi=10.1016/0001-8708(74)90074-7|issue=4}}
| |
| − | * {{citation|last= Littlewood|first=J. E. |authorlink=John Edensor Littlewood|title=The scientist speculates: an anthology of partly baked idea|chapter=The Riemann hypothesis|year=1962|publisher=Basic books|place=New York}}
| |
| − | * {{Citation | last1=van de Lune | first1=J. | last2=te Riele | first2=H. J. J. |author2-link=Herman te Riele | last3=Winter | first3=D. T. | title=On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV | jstor=2008005 | mr=829637 | year=1986 | journal=Mathematics of Computation | volume=46 | issue=174 | pages=667–681 | doi=10.2307/2008005}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Massias | first1=J.-P. | last2=Nicolas | first2=Jean-Louis |author2-link=ジャン・ルイ・ニコラ| last3=Robin | first3=G. | title=Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique | url=http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=6&tom=50&jez= | mr=960551 | year=1988 | journal=Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica | volume=50 | issue=3 | pages=221–242}}
| |
| − | *{{citation|last=Mazur|first=Barry|last2=Stein|first2=William|year=2014|title=Primes. What is Riemann's hypothesis?|url=http://modular.math.washington.edu/rh/}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Montgomery | first1=Hugh L. |authorlink=ヒュー・モントゴメリー| title=Analytic number theory |series=Proc. Sympos. Pure Math.|volume= XXIV | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | mr=0337821 | year=1973 | chapter=The pair correlation of zeros of the zeta function | pages=181–193}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{Citation | last1=Montgomery | first1=Hugh L. |authorlink=ヒュー・モントゴメリー| editor1-last=Erdős | editor1-first=Paul |editor1-link=ポール・エルデシュ |title=Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | isbn=978-3-7643-1288-6 | mr=820245 | year=1983 | chapter=Zeros of approximations to the zeta function | pages=497–506}}
| |
| − | * {{citation | last = Nicely | first = Thomas R. | doi = 10.1090/S0025-5718-99-01065-0 | mr = 1627813 | issue = 227 | journal = Mathematics of Computation | pages = 1311–1315 | title = New maximal prime gaps and first occurrences | url = http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html | volume = 68 | year = 1999}}.
| |
| − | * {{Citation | last1=Nyman | first1=Bertil | title=On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces | publisher=University of Uppsala | location=University of Uppsala | series=PhD Thesis | mr=0036444 | year=1950}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. | author1-link=アンドリュー・オドリツコ| last2=te Riele | first2=H. J. J. | author2-link=Herman te Riele|title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633 | mr=783538 | year=1985 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=357 | issue=357 | pages=138–160 | doi=10.1515/crll.1985.357.138}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. |authorlink=アンドリュー・オドリツコ| title=On the distribution of spacings between zeros of the zeta function | jstor=2007890 | mr=866115 | year=1987 | journal=Mathematics of Computation | volume=48 | issue=177 | pages=273–308 | doi=10.2307/2007890}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. |authorlink= アンドリュー・オドリツコ| title=Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results | url=http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_119_0 | mr=1061762 | year=1990 | journal=Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux|series= Série 2 | volume=2 | issue=1 | pages=119–141 | doi=10.5802/jtnb.22}}
| |
| − | * {{citation|first=A. M.|last= Odlyzko|authorlink=アンドリュー・オドリツコ |title=The 10<sup>20</sup>-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors|year= 1992|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to20.1992.pdf}} This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
| |
| − | * {{citation|first=A. M.|last= Odlyzko|authorlink= アンドリュー・オドリツコ |title=The 10<sup>21</sup>st zero of the Riemann zeta function|year=1998|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to21.pdf}}
| |
| − | * {{citation|first=Ken |last=Ono |authorlink=Ken Ono |first2=K. |last2=Soundararajan |authorlink2=Kannan Soundararajan |year=1997 |title=Ramanujan's ternary quadratic form |journal=Inventiones Mathematicae |volume=130 |issue=3 |pages=415–454 |doi=10.1007/s002220050191 }}
| |
| − | * {{Citation | last1=Patterson | first1=S. J. | title=An introduction to the theory of the Riemann zeta-function | publisher=Cambridge University Press | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-33535-5 | mr=933558 | year=1988 | volume=14}}
| |
| − | *{{citation
| |
| − | | last = Radziejewski | first = Maciej
| |
| − | | doi = 10.1090/S0002-9947-06-04078-5
| |
| − | | issue = 5
| |
| − | | journal = Transactions of the American Mathematical Society
| |
| − | | mr = 2276625
| |
| − | | pages = 2383–2394
| |
| − | | quote = There are infinitely many nonisomorphic algebraic number fields whose Dedekind zeta functions have infinitely many nontrivial multiple zeros.
| |
| − | | title = Independence of Hecke zeta functions of finite order over normal fields
| |
| − | | volume = 359
| |
| − | | year = 2007}}
| |
| − | * {{citation
| |
| − | | last1 = Ribenboim | first1 = Paulo | authorlink = Paulo Ribenboim
| |
| − | | title = The New Book of Prime Number Records
| |
| − | | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
| |
| − | | location = New York
| |
| − | | year = 1996
| |
| − | | isbn = 0-387-94457-5}}
| |
| − | * {{citation|first=Bernhard|last=Riemann|authorlink=ベルンハルト・リーマン|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|title={{sic|hide=y|Ueber}} die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen {{sic|hide=y|Grösse}}|year=1859|journal=Monatsberichte der Berliner Akademie}}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). [https://web.archive.org/web/20130523061451/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ Original manuscript] (with English translation). Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} and {{harv|Edwards|1974}}
| |
| − | * {{Citation | author1-link=Hans Riesel | last1=Riesel | first1=Hans | last2=Göhl | first2=Gunnar | title=Some calculations related to Riemann's prime number formula | doi=10.2307/2004630 | mr=0277489 | year=1970 | journal=Mathematics of Computation | volume=24 | pages=969–983 | jstor=2004630 | issue=112}}
| |
| − | * {{citation|first=M.|last=Riesz|authorlink=Marcel Riesz|title=Sur l'hypothèse de Riemann|journal=Acta Mathematica|volume=40|year=1916|pages=185–190|doi=10.1007/BF02418544}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Robin | first1=G. | title=Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann | mr=774171 | year=1984 | journal=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|series= Neuvième Série | volume=63 | issue=2 | pages=187–213}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Rockmore | first1=Dan | title=Stalking the Riemann hypothesis | publisher=Pantheon Books | isbn=978-0-375-42136-5 | mr=2269393 | year=2005}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Rosser | first1=J. Barkley |author1-link=J. Barkley Rosser| last2=Yohe | first2=J. M. | last3=Schoenfeld | first3=Lowell |author3-link=ローウェル・シェーンフェルド| title=Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | mr=0258245 | year=1969 | chapter=Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion) | pages=70–76}}
| |
| − | * {{citation
| |
| − | | last1 = Rudin | first1 = Walter | authorlink = Walter Rudin
| |
| − | | title = Functional Analysis, 1st edition (January 1973)
| |
| − | | publisher = [[McGraw-Hill]]
| |
| − | | location = New York
| |
| − | | year = 1973
| |
| − | | isbn = 0-070-54225-2}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Sabbagh | first1=Karl | author1-link=カール・サバー |title=The Riemann hypothesis | publisher=Farrar, Straus and Giroux, New York | isbn=978-0-374-25007-2 | mr=1979664 | year=2003a}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Sabbagh | first1=Karl | author1-link=カール・サバー |title=Dr. Riemann's zeros | publisher=Atlantic Books, London | isbn=978-1-843-54101-1 | year=2003b | url=http://books.google.com/?id=JesSAQAAMAAJ}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Salem | first1=Raphaël |authorlink=Raphaël Salem| title=Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann | mr=0053148 | year=1953 | journal=[[Les Comptes rendus de l'Académie des sciences]] | volume=236 | pages=1127–1128}}
| |
| − | * {{citation|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf |format=PDF|first=Peter |last=Sarnak|authorlink=ピーター・サルナック|chapter=Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis |pages=107–115
| |
| − | |isbn=978-0-387-72125-5|editor1-last= Borwein|title=The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series=CMS Books in Mathematics|publisher=Springer|place=New York|year=2008
| |
| − | |editor1-first=Peter |editor2-first=Stephen |editor2-last=Choi |editor3-first=Brendan|editor3-last= Rooney |editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller|displayeditors=4 }}
| |
| − | * {{Citation | last1=du Sautoy | first1=Marcus |authorlink=マーカス・デュ・ソートイ| title=The music of the primes | publisher=HarperCollins Publishers | isbn=978-0-06-621070-4 | mr=2060134 | year=2003}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Schoenfeld | first1=Lowell |authorlink=ローウェル・シェーンフェルド| title=Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II | doi=10.2307/2005976 | mr=0457374 | year=1976 | journal=Mathematics of Computation | volume=30 | issue=134 | pages=337–360 | jstor=2005976}}
| |
| − | *{{citation|title=Physics of the Riemann Hypothesis|first=Daniel|last= Schumayer|first2= David A. W. |last2=Hutchinson|year=2011|arxiv=1101.3116}}
| |
| − | * {{citation|mr=0010712
| |
| − | |last=Selberg|first= Atle|authorlink=アトル・セルバーグ
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| − | |title=On the zeros of Riemann's zeta-function
| |
| − | |journal=Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I. |year=1942|volume= 10|pages= 59 pp}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Selberg | first1=Atle|authorlink=アトル・セルバーグ | title=Contributions to the theory of the Riemann zeta-function | mr=0020594 | year=1946 | journal=Arch. Math. Naturvid. | volume=48 | issue=5 | pages=89–155}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Selberg | first1=Atle |authorlink=アトル・セルバーグ| title=Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series | mr=0088511 | year=1956 | journal=J. Indian Math. Soc. (N.S.) | volume=20 | pages=47–87}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre |authorlink=ピーター・サルナック| title=Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures) | journal=Séminaire Delange-Pisot-Poitou|year= 1969–1970 | volume=19 | url = https://eudml.org/doc/110758 }}
| |
| − | * {{Citation | last1=Sheats | first1=Jeffrey T. | title=The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for '''F'''<sub>q</sub>[T] | doi=10.1006/jnth.1998.2232 | mr=1630979 | year=1998 | journal=[[Journal of Number Theory]] | volume=71 | issue=1 | pages=121–157}}
| |
| − | * {{citation|last=Siegel|first= C. L.|authorlink=カール・ルードヴィヒ・ジーゲル |title=Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie|journal= Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2|pages= 45–80|year= 1932}} Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
| |
| − | * {{Citation|last=Speiser|first=Andreas|author-link=Andreas Speiser|title=Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion|year=1934|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=110|pages=514–521|doi=10.1007/BF01448042|jfm=60.0272.04|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1}}
| |
| − | * {{citation
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| − | | last = Spira | first = Robert
| |
| − | | journal = [[Mathematics of Computation]]
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| − | | mr = 0228456
| |
| − | | pages = 163–173
| |
| − | | title = Zeros of sections of the zeta function. II
| |
| − | | volume = 22
| |
| − | | year = 1968
| |
| − | | doi=10.2307/2004774}}
| |
| − | * {{citation|last=Stein|first=William|author1-link=William A. Stein|last2=Mazur|first2=Barry|author2-link=バリー・メイザー|year=2007|url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf|format=PDF|title=What is Riemann’s Hypothesis?|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090327181331/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf|archivedate=2009年3月27日|deadlinkdate=2017年9月}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Suzuki | first1=Masatoshi | title=Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces | year=2011 | journal=Journal of Number Theory | volume=131 | issue=10 | pages=1770–1796 | doi=10.1016/j.jnt.2011.03.007}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Titchmarsh | first1=Edward Charles | author1-link=エドワード・チャールズ・ティッチマーシュ | title=The Zeros of the Riemann Zeta-Function | jstor=96545 | publisher=The Royal Society | year=1935 | journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences | volume=151 | issue=873 | pages=234–255 | doi=10.1098/rspa.1935.0146}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Titchmarsh | first1=Edward Charles | author1-link=エドワード・チャールズ・ティッチマーシュ | title=The Zeros of the Riemann Zeta-Function | jstor=96692 | publisher=The Royal Society | year=1936 | journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences | volume=157 | issue=891 | pages=261–263 | doi=10.1098/rspa.1936.0192}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Titchmarsh | first1=Edward Charles | author1-link=エドワード・チャールズ・ティッチマーシュ | title=The theory of the Riemann zeta-function | publisher=The Clarendon Press Oxford University Press | edition=2nd | isbn=978-0-19-853369-6 | mr=882550 | year=1986}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Trudgian | first1=Timothy | title=On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule | year = 2011 | journal = Acta Arithmetica | volume =125 | issue=3 | pages = 225–256 | doi=10.4064/aa148-3-2}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Turán | first1=Paul | authorlink=Pál Turán|title=On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann | mr=0027305 | year=1948 | journal=Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. | volume=24 | issue=17 | pages=36}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{Citation | last1=Turing | first1=Alan M. | author1-link=アラン・チューリング | title=Some calculations of the Riemann zeta-function | doi=10.1112/plms/s3-3.1.99 | mr=0055785 | year=1953 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | volume=3 | pages=99–117}}
| |
| − | * {{citation|first=Ch.J.|last=de la Vallée-Poussin|authorlink=ド・ラ・ヴァレ・プーサン|title=Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers|journal= Ann. Soc. Sci. Bruxelles |volume= 20 |year=1896 |pages= 183–256}}
| |
| − | * {{citation|first=Ch.J.|last=de la Vallée-Poussin|authorlink=ド・ラ・ヴァレ・プーサン|title=Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée|journal=Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg. |volume= 59 |issue= 1 |year=1899–1900}} Reprinted in {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
| |
| − | * {{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=アンドレ・ヴェイユ | title=Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent | publisher=Hermann et Cie., Paris | series=Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945) | mr=0027151 | year=1948}}
| |
| − | * {{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=アンドレ・ヴェイユ | title=Numbers of solutions of equations in finite fields | doi=10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 | mr=0029393 | year=1949 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=55 | pages=497–508 | issue=5}} Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
| |
| − | * {{Citation | last1=Weinberger | first1=Peter J. | title=Analytic number theory ( St. Louis Univ., 1972) | publisher=Amer. Math. Soc. | location=Providence, R.I. | series=Proc. Sympos. Pure Math. | mr=0337902 | year=1973 | volume=24 | chapter=On Euclidean rings of algebraic integers | pages=321–332}}
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| − | * {{Citation | last1=Wiles | first1=Andrew | author1-link=アンドリュー・ワイルズ | title=Mathematics: frontiers and perspectives | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2697-3 | mr=1754786 | year=2000 | chapter=Twenty years of number theory | pages=329–342}}
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| − | * {{Citation | last1=Zagier | first1=Don | authorlink=Don Zagier | url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf | format=PDF | publisher=Springer | location= | mr=643810 | year=1977 | volume=0 | title=The first 50 million prime numbers | pages=7–19 | journal=Math. Intelligencer | doi=10.1007/BF03039306 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf | archivedate=2009年3月27日 | deadlinkdate=2017年9月 }}
| |
| − | * {{Citation | last1=Zagier | first1=Don | authorlink = Don Zagier | title=Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979) | publisher=Tata Inst. Fundamental Res., Bombay | series=Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. | mr=633666 | year=1981 | volume=10 | chapter=Eisenstein series and the Riemann zeta function | pages=275–301}}
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| − | {{refend}}
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| − | == 外部リンク ==
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| − | *{{Kotobank|リーマン予想|2=知恵蔵2013}}
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| − | *{{PDFLink|[http://hdl.handle.net/10091/13515 原論文「与えられた数より小さな素数の個数について」の日本語訳]}}
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| − | *{{MathWorld|title=Riemann Hypothesis|urlname=RiemannHypothesis}}
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| − | *[http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Official_Problem_Description.pdf The Riemann Hypothesis]（英語）
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| − | * [[American institute of mathematics]], [http://www.aimath.org/WWN/rh/ Riemann hypothesis]
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| − | * {{citation|first=Tom|last=Apostol|authorlink=トム・アポストル|url=http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta|title=Where are the zeros of zeta of s?}} Poem about the Riemann hypothesis, [http://www.olimu.com/RIEMANN/Song.htm sung] by [[John Derbyshire]].
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| − | * {{citation|title=The Riemann Hypothesis|first=Peter|last=Borwein|authorlink=Peter Borwein|url=http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|format=PDF|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090327181245/http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|archivedate=2009年3月27日|deadlinkdate=2017年9月}} (Slides for a lecture)
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| − | * {{Citation | last1=Conrad | first1=K. | title=Consequences of the Riemann hypothesis | url=http://mathoverflow.net/questions/17232 | year=2010}}
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| − | * {{citation|url=http://aimath.org/pl/rhequivalences|first=J. Brian|last=Conrey|first2=David W|last2=Farmer|title=Equivalences to the Riemann hypothesis|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100316235054/http://aimath.org/pl/rhequivalences|archivedate=2010年3月16日|deadlinkdate=2017年9月}}
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| − | * {{citation|first= Xavier|last= Gourdon |first2= Pascal |last2=Sebah |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html |title=Computation of zeros of the Zeta function|year=2004}} (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
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| − | * {{citation|last=Odlyzko|first=Andrew|authorlink=アンドリュー・オドリツコ|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/|title=Home page}} including [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html papers on the zeros of the zeta function] and [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html tables of the zeros of the zeta function]
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| − | * {{citation|last=Odlyzko|first=Andrew|authorlink=アンドリュー・オドリツコ|title=Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations|year=2002|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf|format=PDF}} Slides of a talk
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| − | * {{citation|authorlink=Ed Pegg, Jr.|first= Ed |last=Pegg|url=http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html |title=Ten Trillion Zeta Zeros|year=2004|publisher=Math Games website}}. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
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| − | * {{citation|first=Glen|last= Pugh|url=http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html |title=Java applet for plotting Z(t)}}
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| − | * {{citation |first=Michael |last=Rubinstein |url=http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html |title=algorithm for generating the zeros |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070427221654/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html |archivedate=2007年4月27日 |deadlinkdate=2017年9月 }}.
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| − | * {{citation|first= Marcus |last=du Sautoy|authorlink=マーカス・デュ・ソートイ|url=http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php|title= Prime Numbers Get Hitched|publisher=[http://www.seedmagazine.com/ Seed Magazine]|year=2006}}
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| − | * {{citation|last=Stein|first=William A.|authorlink=William A. Stein|url=http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html|title=What is Riemann's hypothesis|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090104104251/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html|archivedate=2009年1月4日|deadlinkdate=2017年9月}}
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| − | * {{citation|last=de Vries|first=Andreas|url=http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet.html|title=The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s)|year=2004}}, a simple animated Java applet.
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| − | * {{citation | first=Matthew R. |last=Watkins|url=http://secamlocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm | title=Proposed proofs of the Riemann Hypothesis | date=2007-07-18}}
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| − | * ''[http://www.zetagrid.net/ Zetagrid]'' (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005
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| − | *[http://cgi2.nhk.or.jp/archives/tv60bin/detail/index.cgi?das_id=D0009010786_00000 NHKスペシャル 魔性の難問 リーマン予想・天才たちの闘い - NHK名作選(動画・静止画) NHKアーカイブス]
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