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| − | [[数学]]における'''ラドン＝ニコディムの定理'''（ラドン＝ニコディムのていり、{{Lang-en-short|Radon–Nikodým theorem}}）は、[[測度論]]の分野における一結果で、ある[[可測空間]] {{math|(''X'', Σ)}} が与えられたとき、{{math|(''X'', Σ)}} 上のある {{仮リンク|σ-有限測度|en|σ-finite measure}} {{mvar|ν}} が別の {{math|(''X'', Σ)}} 上の σ-有限測度 {{mvar|μ}} に関して[[絶対連続#測度の絶対連続性|絶対連続]]であるなら、任意の可測部分集合 {{math|''A'' ⊂ ''X''}} に対して次を満たす[[可測函数]] {{math| ''f''  : ''X'' → [0, ∞)}} が存在することを述べた定理である：
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
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| − | :<math>\nu(A) = \int_A f \, d\mu</math>
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| − | この函数 {{math| ''f'' }} は'''ラドン＝ニコディム微分'''と呼ばれ、{{math|{{sfrac|''dν''|''dμ''}}}} と表記される。
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| − | この定理の名は、1913年に空間 {{math|'''R'''<sup>''N''</sup>}} での特別な場合について証明を与えた{{仮リンク|ヨハン・ラドン|en|Johann Radon}}と、1930年に一般の場合の証明を与えた{{仮リンク|オットー・ニコディム|en|Otto Nikodym}}に由来する<ref>{{cite journal
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| − | |last=Nikodym |first=O. |authorlink=:en:Otton Nikodym |language=French |title=Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon
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| − | |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15114.pdf |accessdate=2009-05-11 |journal=[[:en:Fundamenta Mathematicae|Fundamenta Mathematicae]] |year=1930 |volume=15 |pages=131–179 |jfm=56.0922.02}}</ref>。1936年に[[ハンス・フロイデンタール]]は、この定理を特別な場合として含む、[[リース空間]]での一結果である[[フロイデンタールのスペクトル定理]]を証明することによって、その結果の更なる一般化に成功した<ref>{{Cite book| last = Zaanen | first = Adriaan C. | year = 1996 | title = Introduction to Operator Theory in Riesz spaces | publisher = [[:en:Springer Science+Business Media<!-- [[:ja:シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア]] とリンク -->|Springer]] | isbn = 3-540-61989-5 | postscript = <!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref>。
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| − | {{mvar|Y}} が[[バナッハ空間]]であり、ラドン＝ニコディムの定理が {{mvar|Y}} に値を取る函数に対して同様に成り立つなら、{{mvar|Y}} は[[ボホナー積分#ラドン＝ニコディム性|ラドン＝ニコディム性]]を備えると言われる。全ての[[ヒルベルト空間]]はラドン＝ニコディム性を備えている。
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| − | == ラドン＝ニコディム微分 ==
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| − | 上述の等式を満たす函数 {{math| ''f'' }} は、 {{mvar|μ}}-[[零集合]]の[[違いを除いて]]一意である。すなわち、同じ性質を満たす別の函数 {{mvar|g}} が存在するなら、{{mvar|μ}} に関して[[ほとんど (数学)#ほとんど至るところで|ほとんど至るところで]] {{math| ''f''  {{=}} ''g''}} が成り立つ。{{math| ''f'' }} は通常 {{math|{{sfrac|''dν''|''dμ''}}}} と表記され、'''ラドン＝ニコディム微分'''と呼ばれる。この表記と呼称は、この函数がある測度の別の測度に関する密度の変化率を表しているという意味で[[微分積分学]]における[[微分]]の類似物となっていることに由来する。同様の定理は、[[符号付測度|符号付]][[複素測度]]に対しても証明することが出来る。すなわち、{{mvar|μ}} が非負の σ-有限測度で、{{mvar|ν}} が有限値の符号付あるいは複素測度で {{math|{{!}}''ν''{{!}} ≪ ''μ''}} を満たす（{{mvar|ν}} が {{mvar|μ}} に関して[[絶対連続]]である）なら、{{mvar|X}} 上の {{mvar|μ}}-可積分な実あるいは複素数値函数 {{mvar|g}} が存在して、すべての可測集合 {{mvar|A}} に対して次を満たす。
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| − | :<math>\nu(A) = \int_A g \, d\mu.</math>
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| − | == 応用 ==
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| − | この定理は[[確率論]]におけるアイデアを、実数上で定義される確率質量および確率密度から、任意の集合上で定義される[[確率測度]]へと拡張する上で非常に重要となる。このことは、ある確率測度を別のものへ変化させることが可能か、また可能であればどのように出来るか、という事実を示唆している。特に、ある[[確率変数]]の[[確率密度函数]]は、ある基底測度（通常は[[連続確率変数]]に対する[[ルベーグ測度]]）に関する誘導測度（induced measure）のラドン＝ニコディム微分となる。それは例えば、確率測度の[[条件付期待値]]の存在を示す際に利用することが出来るが、これ自体が[[確率論]]における重要概念であり、[[条件付確率]]はその特殊例に過ぎない。
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| − | その他の分野では、[[数理ファイナンス]]においてこの定理は広く用いられている。確率測度の変化は[[デリバティブ]]の合理価格設定（rational pricing）を行う上での基本であり、実際の確率を[[リスク中立確率]]に転換する上で用いられる。
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| − | == 性質 ==
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| − | * {{math|''ν'', ''μ''}} および {{mvar|λ}} を同一の測度空間上の {{mvar|σ}}-有限測度とする。{{math|''ν'' ≪ ''λ''}} および {{math|''μ'' ≪ ''λ''}}（{{mvar|ν}} と {{mvar|μ}} は {{mvar|λ}} に関して[[絶対連続#測度の絶対連続性|絶対連続]]）であるなら、次が成り立つ。
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| − | ::<math> \frac{d(\nu+\mu)}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}{d\lambda}\quad\lambda\text{-almost everywhere}.</math>
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| − | * {{math|''ν'' ≪ ''μ'' ≪ ''λ''}} であるなら、次が成り立つ。
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| − | ::<math> \frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda}\quad\lambda\text{-almost everywhere}.</math>
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| − | * 特に、{{math|''μ'' ≪ ''ν''}} かつ {{math|''ν'' ≪ ''μ''}} であるなら、次が成り立つ。
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| − | ::<math> \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1}\quad\nu\text{-almost everywhere}.</math>
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| − | * {{math|''μ'' ≪ ''λ''}} であり、{{mvar|g}} が {{mvar|μ}}-可積分函数であるなら、次が成り立つ。
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| − | ::<math> \int_X g\,d\mu = \int_X g\frac{d\mu}{d\lambda}\,d\lambda.</math>
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| − | * {{mvar|ν}} が有限の符号付測度あるいは複素測度であるなら、次が成り立つ。
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| − | ::<math> {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|. </math>
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| − | == さらなる応用 ==
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| − | === 情報ダイバージェンス ===
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| − | {{mvar|μ}} および {{mvar|ν}} は {{mvar|X}} 上の測度で、{{math|''μ'' ≪ ''ν''}} が成り立つものとする。
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| − | * {{mvar|μ}} から {{mvar|ν}} への[[カルバック・ライブラー情報量]]は、次で定義される。
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| − | ::<math> D_{\mathrm{KL}}(\mu\|\nu) = \int_X \log \left( \frac{d \mu}{d \nu} \right) \; d\mu.</math>
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| − | * {{math|''α'' > 0, ''α'' ≠ 1}} に対し、{{mvar|μ}} から {{mvar|ν}} への位数 {{mvar|α}} の{{仮リンク|レニーエントロピー|label=レニーダイバージェンス|en|Rényi entropy}}は、次で定義される。
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| − | ::<math> D_{\alpha}(\mu\|\nu) = \frac{1}{\alpha-1} \log \left( \int_X \left( \frac{d \mu}{d \nu} \right)^{\alpha-1} \; d\mu \right).</math>
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| − | == {{mvar|σ}}-有限性の仮定 ==
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| − | ラドン＝ニコディムの定理では、{{mvar|ν}} の変化の割合を計算するための測度 {{mvar|μ}} は {{mvar|σ}}-有限であると仮定されていた。ここでは、その {{mvar|μ}} が {{mvar|σ}}-有限でないときにはラドン＝ニコディムの定理が成立しないことを示す。
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| − | [[実数直線]]上の[[ボレル完全加法族]]を考える。あるボレル集合 {{mvar|A}} の[[数え上げ測度]] {{mvar|μ}} を、{{mvar|A}} が有限である場合はその元の数、そうでない場合は {{math|∞}} で定義する。実際に {{mvar|μ}} が測度であることは確かめることが出来る。しかし、すべてのボレル集合が有限集合の可算個の合併であるとは限らないので、それは {{mvar|σ}}-有限ではない。{{mvar|ν}} をこのボレル加法族上の通常の[[ルベーグ測度]]とする。このとき、{{mvar|ν}} は {{mvar|μ}} に関して絶対連続である。なぜなら、ある集合 {{mvar|A}} に対して {{math|''μ''(''A'') {{=}} 0}} となるのは {{mvar|A}} が[[空集合]]であるときのみであり、そのときは {{math|''ν''(''A'')}} もゼロとなるからである。
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| − | ラドン＝ニコディムの定理が成立するものと仮定する。すなわち、ある可測函数 {{math| ''f'' }} に対して
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| − | :<math>\nu(A) = \int_A f \,d\mu</math>
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| − | がすべてのボレル集合について成立するものとする。{{mvar|A}} を[[単集合]] {{math|''A'' {{=}} {''a''}}} とし、上述の等式を使うことで
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| − | :<math> 0 = f(a)</math>
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| − | がすべての実数 {{mvar|a}} に対して成り立つ。このことは函数 {{math| ''f'' }} およびルベーグ測度 {{mvar|ν}} がゼロであることを意味し、矛盾である。
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| − | == 証明 ==
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| − | この節では、ラドン＝ニコディムの定理の測度論的な証明を紹介する。ヒルベルト空間の手法を使った函数解析的な証明も、[[ジョン・フォン・ノイマン]]によって与えられている。
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| − | 証明のアイデアは、有限測度 {{mvar|μ}} および {{mvar|ν}} に対して {{math| ''f dμ'' ≤ ''dν''}} を満たす函数 {{math| ''f'' }} を考えることである。[[単調収束定理]]の下で、そのようなすべての函数の上限はラドン＝ニコディム微分を与える。有限測度に関する技術的な事実より、{{mvar|μ}} の残りの部分は {{mvar|ν}} に関して特異的であることが従う。そのような結果が有限測度に対して得られれば、{{mvar|σ}}-有限測度や符号付測度、複素測度に対しても自然な形で拡張される。詳細は下記の通りである。
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| − | === 有限測度の場合 ===
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| − | はじめに {{mvar|μ}} と {{mvar|ν}} のいずれも有限値の非負測度である場合を考える。{{mvar|F}} を、次の関係式を満たすようなそれらの可測函数 {{math| ''f''  : ''X'' → [0, ∞)}} の集合とする：
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| − | :<math>\forall A \in \Sigma: \qquad \int_A f\,d\mu\leq\nu(A).</math>
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| − | 少なくともゼロ函数を含むため {{math|''F'' ≠ ∅}} である。今 {{math| ''f''<sub>1</sub>,  ''f''<sub>2</sub> ∈ ''F''}} とし、{{mvar|A}} を任意の可測集合とし、次を定義する：
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | A_1 &= \left \{ x \in A : f_1 (x) > f_2(x) \right \}, \\
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| − | A_2 &= \left \{ x \in A : f_2 (x) \geq f_1(x) \right \},
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| − | \end{align}</math>
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| − | このとき、
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| − | :<math>\int_A\max\{f_1,f_2\}\,d\mu = \int_{A_1} f_1\,d\mu+\int_{A_2} f_2\,d\mu \leq \nu(A_1)+\nu(A_2)=\nu(A) </math>
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| − | が成り立ち、したがって {{math|max{ ''f'' <sub>1</sub>,  ''f'' <sub>2</sub>} ∈ ''F''}} となる。
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| − | 今 {{math|{ ''f<sub>n</sub>'' } }} を、次を満たす {{mvar|F}} 内の函数列とする。
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| − | :<math>\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu=\sup_{f\in F} \int_X f\,d\mu.</math>
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| − | {{math| ''f<sub>n</sub>'' }} をはじめの {{mvar|n}} 個の函数の最大で置き直すことで、{{math|{ ''f<sub>n</sub>'' } }} は増加列であると仮定することが出来る。{{mvar|g}} を次で定義される函数とする。
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| − | :<math>g(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x).</math>
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| − | ルベーグの[[単調収束定理]]より、各 {{math|''A'' ∈ Σ}} に対して
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| − | :<math>\int_A g\,d\mu=\lim_{n\to\infty} \int_A f_n\,d\mu \leq \nu(A)</math>
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| − | が成り立ち、したがって {{math|''g'' ∈ ''F''}} となる。また、{{mvar|g}} の構成法より
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| − | :<math>\int_X g\,d\mu=\sup_{f\in F}\int_X f\,d\mu </math>
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| − | となる。{{math|''g'' ∈ ''F''}} であるため、
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| − | :<math>\nu_0(A):=\nu(A)-\int_A g\,d\mu</math>
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| − | は {{math|Σ}} 上の非負測度を定義する。{{math|ν<sub>0</sub> ≠ 0}} を仮定する。このとき、{{mvar|μ}} は有限であるため、{{math|''ν''<sub>0</sub>(''X'') > ''ε μ''(''X'')}} を満たすようなある {{math|''ε'' > 0}} が存在する。(''P'', ''N'') を符号付測度 {{math|''ν''<sub>0</sub> − ''ε μ''}} に対する[[ハーンの分解定理|ハーン分解]]とする。すべての {{math|''A'' ∈ Σ}} に対して {{math|''ν''<sub>0</sub>(''A'' ∩ ''P'') ≥ ''ε μ''(''A'' ∩ ''P'')}} であり、したがって
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \nu(A) &=\int_A g\,d\mu+\nu_0(A) \\
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| − | &\geq \int_A g\,d\mu+\nu_0(A\cap P)\\
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| − | &\geq \int_A g\,d\mu +\varepsilon\mu(A\cap P) \\
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| − | &=\int_A(g+\varepsilon1_P)\,d\mu
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| − | \end{align}</math>
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| − | が成立することに注意されたい。また {{math|''μ''(''P'') > 0}} であることに注意されたい。実際、もし {{math|''μ''(''P'') {{=}} 0}} であるなら、（{{mvar|ν}} は {{mvar|μ}} に関して絶対連続であるため）{{math|''ν''<sub>0</sub>(''P'') ≤ ''ν''(''P'') {{=}} 0}} であり、したがって {{math|''ν''<sub>0</sub>(''P'') {{=}} 0}} および
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| − | :<math>\nu_0(X)-\varepsilon\mu(X)=(\nu_0-\varepsilon\mu)(N)\leq 0,</math>
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| − | が成り立つが、これは {{math|''ν''<sub>0</sub>(''X'') > ''εμ''(''X'')}} に矛盾する。
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| − | したがって
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| − | :<math>\int_X(g+\varepsilon1_P)\,d\mu \leq \nu(X) < +\infty </math>
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| − | が成り立つことから、{{math|''g'' + ''ε'' 1<sub>''P''</sub> ∈ ''F''}} となり、
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| − | :<math>\int_X (g+\varepsilon 1_P)\,d\mu>\int_X g\,d\mu=\sup_{f\in F}\int_X f\,d\mu </math>
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| − | が満たされる。しかしこれは矛盾であるため、元の仮定 {{math|''ν''<sub>0</sub> ≠ 0}} が偽ということになる。したがって、目標としていた {{math|''ν''<sub>0</sub> {{=}} 0}} が得られる。
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| − | 今 {{mvar|g}} は {{mvar|μ}}-可積分であるため、集合 {{math|{''x'' ∈ ''X'' : ''g''(''x'') {{=}} ∞} }} は {{mvar|μ}}-[[零集合|零]]である。したがって、{{math| ''f'' }} を
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| − | :<math>f(x)=\begin{cases} g(x)&\text{if }g(x) < \infty\\0&\text{otherwise,}\end{cases}</math>
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| − | のように定めれば、{{math| ''f'' }} は目標としていた性質を満たすものとなる。
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| − | 一意性を示すために、{{math| ''f'', ''g'' : ''X'' → [0, ∞)}} を、すべての可測集合 {{mvar|A}} に対して次を満たす二つの函数とする。
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| − | :<math>\nu(A)=\int_A f\,d\mu=\int_A g\,d\mu. </math>
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| − | このとき、{{math|''g'' − ''f'' }} は {{mvar|μ}}-可積分であり、
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| − | :<math>\int_A (g-f)\,d\mu=0 </math>
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| − | となる。特に、{{math|''A'' {{=}} {''x'' ∈ ''X'' : ''f''(''x'') > ''g''(''x'')}}} あるいは {{math|{''x'' ∈ ''X'' : ''f''(''x'') < ''g''(''x'')}}} に対して、次が成り立つ。
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| − | :<math>\int_X (g-f)^+\,d\mu=0=\int_X (g-f)^-\,d\mu.</math>
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| − | したがって {{math|(''g'' − ''f'' )<sup>+</sup> {{=}} 0}} が {{mvar|μ}} に関して至る所で成り立つ。同様のことが {{math|(''g'' − ''f'' )<sup>−</sup>}} に対しても成り立つため、{{math| ''f''  {{=}} ''g''}} が {{mvar|μ}} に関して至る所で成り立ち、一意性は示される。
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| − | === {{mvar|σ}}-有限正測度の場合 ===
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| − | {{mvar|μ}} および {{mvar|ν}} が {{mvar|σ}}-有限であるなら、{{mvar|X}} は {{mvar|μ}} および {{mvar|ν}} の下で有限測度を持つような {{math|Σ}} 内の[[素集合]]の列 {{math|{''B<sub>n</sub>''}<sub>''n''</sub>}} の合併として記述することが出来る。各 {{mvar|n}} に対し、次を満たすような {{math|Σ}}-可測函数 {{math| ''f<sub>n</sub>''  : ''B<sub>n</sub>'' → [0, ∞)}} が存在する：
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| − | :<math>\nu(A)=\int_A f_n\,d\mu. </math>
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| − | ただし {{math|''B<sub>n</sub>''}} は {{mvar|A}} の {{math|Σ}}-可測部分集合である。それらの函数の合併 {{math| ''f'' }} が、求める函数となる。
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| − | 一意性について、各 {{math| ''f<sub>n</sub>'' }} は {{mvar|μ}} に関してほとんど至る所で一意であるため、{{math| ''f'' }} もそのようになる。
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| − | === 符号付測度および複素測度の場合 ===
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| − | {{mvar|ν}} が {{mvar|σ}}-有限の符号付測度であるなら、ハーン＝ジョルダン分解により、いずれかが有限であるような {{math|''ν'' {{=}} ''ν''<sup>+</sup> − ''ν''<sup>−</sup>}} に分解することが出来る。それら二つの測度に対して前述の結果を適用することで、それぞれ {{math|''ν''<sup>+</sup>}} および {{math|''ν''<sup>−</sup>}} に対してラドン＝ニコディムの定理を満たすような二つの函数 {{math|''g'', ''h'' : ''X'' → [0, ∞)}} を得ることが出来る。またそれらの内少なくとも一つは {{mvar|μ}}-可積分（すなわち、{{mvar|μ}} に関する積分が有限）となる。 {{mvar|g}} および {{mvar|h}} のいずれも {{mvar|μ}} に関するほとんど至る所での恒等性を除いて一意であるため、{{math| ''f'' {{=}} ''g'' − ''h''}} が一意性を含む求められる性質を満たしていることは明らかである。
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| − | {{mvar|ν}} が[[複素測度]]であるなら、有限値の符号付測度 {{math|''ν''<sub>1</sub>}} および {{math|''ν''<sub>2</sub>}} によって {{math|''ν'' {{=}} ''ν''<sub>1</sub> + ''iν''<sub>2</sub>}} という分解を得ることが出来る。上述の議論を適用することで、それぞれ {{math|''ν''<sub>1</sub>}} および {{math|''ν''<sub>2</sub>}} に対して求められる性質を満たす二つの函数 {{math|''g'', ''h'' : ''X'' → [0, ∞)}} を得ることが出来る。明らかに、{{math| ''f''  {{=}} ''g'' + ''ih''}} が求める函数である。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * {{仮リンク|ギルサノフの定理|en|Girsanov theorem}}
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| − | == 注釈 ==
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| − | {{Reflist}}
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| − | | |
| − | == 参考文献 ==
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| − | * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
| |
| − | * {{citation | last = Teschl| first = Gerald| authorlink = :en:Gerald Teschl| title = Topics in Real and Functional Analysis| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html|publisher = (lecture notes)}}
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| − | | |
| − | {{PlanetMath attribution|id=33998|title=Radon–Nikodym theorem}}
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| − | | |
| − | {{DEFAULTSORT:らとんにこていむのていり}}
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| − | [[Category:測度論]]
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| − | [[Category:微分法]]
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| − | [[Category:積分法]]
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| − | [[Category:微分の一般化]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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