モーメント (数学)

数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント（moment）または積率（せきりつ）とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数xに関する関数 [math]f(x)\,[/math] の [math]n[/math] 次モーメント [math]\mu^{(0)}_n[/math] は、

[math]\mu^{(0)}_n=\int_{-\infty}^\infty x^n f(x) dx[/math]

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメントすべての情報から関数f(x)は一意に決定される。[math]\mu = \mu^{(0)}_1 / \mu^{(0)}_0[/math] はfを密度関数とする測度の重心を表している。

関数 [math]f(x)\,[/math] の [math]c[/math] 周りの [math]n[/math] 次モーメント [math]\mu^{(c)}_n[/math] は、

[math]\mu^{(c)}_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n f(x) dx[/math]

で表される。

重心周りのモーメントμ_n = μ^(μ)_nを中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

確率分布のモーメント

"「モーメント (確率論)」"

確率密度関数 [math]f(x)\,[/math] のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。

• 全測度は1: [math]\mu^{(0)}_0 = 1[/math] 。
• [math]\mu = \mu^{(0)}_1[/math] はxの平均値。
• [math]\sigma^2 = \mu_2 = \mu^{(0)}_2 - (\mu^{(0)}_1)^2[/math] は分散、[math]\sigma = \sqrt{\mu_2}[/math] は標準偏差。
• [math]\gamma_1 = \mu_3 / \sigma^3\,[/math] は歪度。
• [math]\gamma_2 = \mu_4 / \sigma^4 - 3\,[/math] は尖度。

変量統計のモーメント

変量統計においては、データ x₁ ... x_N のモーメントは

[math]\mu^{(0)}_n = \sum_{i = 1}^N x_i^n, \quad \mu^{(c)}_n = \sum_{i = 1}^N (x_i - c)^n, \quad \mu_n = \sum_{i = 1}^N (x_i - \mu)^n[/math]

で表される。

変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

• [math]\mu^{(0)}_0 = N[/math] 。
• [math]\mu = \mu^{(0)}_1 / N[/math] は平均値。
• [math]\sigma^2 = \mu_2 / N = \{ \mu^{(0)}_2 - (\mu^{(0)}_1)^2 \} / N [/math] は分散、[math]\sigma = \sqrt{\mu_2 / N}[/math] は標準偏差。
• [math]\gamma_1 = \mu_3 / N \sigma^3\,[/math] は歪度。
• [math]\gamma_2 = \mu_4 / N \sigma^4 - 3\,[/math] は尖度。

画像のモーメント

2変数関数 [math]f(x, y)\,[/math] の [math](m + n)[/math] 次モーメント [math]\mu^{(0)}_{mn}[/math] は、

[math]\mu^{(0)}_{mn} = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x^m y^n f(x, y) dxdy[/math]

または、デジタル画像に対しては、

[math]\mu^{(0)}_{mn} = \sum_{x} \sum_{y} x^m y^n f(x, y) [/math]

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

• [math]\mu^{(0)}_{00}[/math] は面積（ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。
• 点 [math](\mu^{(0)}_{10} / \mu^{(0)}_{00}, \mu^{(0)}_{01} / \mu^{(0)}_{00})[/math] は重心。
• 慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは[math] \tan \theta [/math]で、[math] \theta [/math]は[math]\tan 2\theta = 2 \mu^{(0)}_{11} / (\mu^{(0)}_{20} - \mu^{(0)}_{02})[/math]をみたす。
• 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを [math] \mu^{(0)}_{00}[/math] で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

参考文献

• Weisstein, Eric W. “Moment”. MathWorld（英語）.
• A.H. コルモゴロフ 『確率論の基礎概念』 根本伸司訳、東京図書、1988年、新装版。ISBN 978-4489002700。
• 舟木直久 『確率論』 朝倉書店〈講座数学の考え方〉、2004年。ISBN 978-4254116007。