メネラウスの定理

メネラウスの定理（めねらうすのていり、英: Menelaus' theorem）とは、幾何学の定理の1つである。アレクサンドリアのメネラウスにちなんで名付けられた。

定理

ファイル:Meneraus' theorum.png

任意の直線lと三角形ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

[math]{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1[/math]

なお、直線lは、三角形と共有点を持っても持たなくても良い。AからBに行くときにFを通り、BからCに行くときにDを通り、CからAに行くときにEを通る。つまり、A、ABとlの交点、B、BCとlの交点、C、CAとlの交点という順番でたどり、通る辺を順番に分数にすればよい。

証明の方針

証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。

証明1

ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似から

[math]\left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{BF}{CK}\right|,\quad\left|\frac{AE}{EC}\right| = \left|\frac{AF}{CK}\right|[/math]

が成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。

証明2

ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。

証明3

直線ADと直線BEの交点をGとすると

[math] {AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} \cdot \vartriangle AED = {AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot \vartriangle CED ={AF \over FB} \cdot \vartriangle BDE = \vartriangle AED [/math]

△AED≠0より

[math] {AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1 [/math]

逆

メネラウスの定理は逆も成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、

[math]{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1[/math]

が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。

関連項目

• チェバの定理

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• メネラウスの定理の覚え方 - YouTube
• Weisstein, Eric W. “Menelaus' Theorem”. MathWorld（英語）.