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| − | '''マルコフの不等式'''は[[確率論]]で、[[確率変数]]の非負値[[関数 (数学)|関数]]の値が、ある正の[[定数]]以上になる[[確率]]の[[上限]]を与える不等式である。[[アンドレイ・マルコフ]]が証明した。
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| − | マルコフの不等式は確率と[[期待値]]の関係を述べたもので、ランダム変数の[[累積分布関数]]に関して大まかではあるが有用な限界を与える。
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| − | ==定式化==
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| − | マルコフの不等式は、[[測度論]]的には、(''X'',Σ,μ) を[[測度空間]]とし、''f'' を拡張[[実数]]値（無限大もとりうる）[[可測関数]]とし、 ''t'' > 0 とすれば、
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| − | :<math> \mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X f\,d\mu</math>
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| − | であることを述べる。空間の測度が 1 である特別な場合（つまり確率空間である）には、次のように言い換えられる：
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| − | ''X'' を任意の確率変数とし、''a'' > 0 とすると、
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| − | :<math>\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}</math>
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| − | ==確率論における証明==
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| − | 測度空間が確率空間である場合は証明が単純でわかりやすいので、この場合の証明をまず別に示そう。
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| − | 任意の事象 ''E'' に対して、''I''<sub>''E''</sub> を ''E'' の特性確率変数、つまり ''E'' が起きるならば ''I''<sub>''E''</sub> = 1 、そうでないならば = 0 であるとする。すると、事象 ''X'' ≥ ''a'' が起きるならば ''I''<sub>(''X'' ≥ ''a'')</sub> = 1 であり、''X'' < ''a'' ならば ''I''<sub>(''X'' ≥ ''a'')</sub> = 0 である。そこで
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| − | :<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|\,</math>
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| − | ゆえに
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| − | :<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|)\,</math>
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| − | ここでこの不等式の左辺は
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| − | :<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a)\,</math>
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| − | と同じであることがわかる。従って
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| − | :<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\,</math>
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| − | となり、 ''a'' > 0 だから、両辺を ''a'' で割ればよい。
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| − | ==一般的証明==
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| − | 任意の可測集合 ''A'' に対して、 1<sub>''A''</sub> をその[[指示関数|特性関数]]、つまり ''x'' ∈ ''A'' ならば 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1 、そうでなければ 0 としよう。''A''<sub>''t''</sub> を ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' ∈ ''X''| |''f''(''x'')| ≥ ''t''} として定義すれば、
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| − | :<math>0\leq t\,1_{A_t}\leq |f|1_{A_t}\leq |f|</math>
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| − | となり、ゆえに
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| − | :<math>\int_X t\,1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t}|f|\,d\mu\leq\int_X |f|\,d\mu</math>
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| − | ここで、この不等式の左辺は
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| − | :<math>t\int_X 1_{A_t}\,d\mu=t\mu(A_t)</math> | |
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| − | と同じであることに注意しよう。すると
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| − | :<math>t\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq \int_X|f|\,d\mu</math>
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| − | であり、また ''t'' > 0 であるから、両辺を ''t'' で割れば
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| − | :<math>\mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X|f|\,d\mu</math>
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| − | となる。
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| − | ==応用例==
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| − | * マルコフの不等式は、[[チェビシェフの不等式]]の証明に用いられる。
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| − | * ''X'' を非負[[整数]]値確率変数とする（[[組合せ論]]でよくあるように）と、マルコフの不等式で ''a'' = 1 とすることにより <math>\textrm{Pr}(X \neq 0) \leq \textrm{E}(X)</math> が得られる。''X'' をある[[集合]]の[[濃度 (数学)|濃度]]とすると、これからこの集合は[[空集合]]ではないことが証明される。このように存在証明への応用も可能である。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[チェビシェフの不等式]]
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| − | * [[Hoeffding(へフディング)の不等式]]
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| − | {{DEFAULTSORT:まるこふのふとうしき}}
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| − | [[Category:確率論]]
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| − | [[Category:不等式]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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