ベータ分布
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確率密度関数 ベータ分布の確率密度関数 | |
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累積分布関数 ベータ分布の累積分布関数 | |
| 母数 |
[math]\alpha \gt 0[/math] 形状母数 [math]\beta \gt 0[/math] 形状母数 |
|---|---|
| 台 | [math]x \in [0; 1][/math] |
| テンプレート:確率分布/リンク 密度 |
[math]\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}[/math] (Bはベータ関数) |
| 累積分布関数 | [math]I_x(\alpha,\beta)[/math] |
| 期待値 |
[math]\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}[/math] [math]\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)[/math] (ψはディガンマ関数) |
| 中央値 | [math]\begin{align} & I_{1/2}^{[-1]}(\alpha,\beta) & \text{(in general)} \\ &\approx \frac{\alpha - 1/3}{\alpha + \beta - 2/3} & \text{for } \alpha\gt 1, \beta\gt 1 \end{align}[/math] |
| 最頻値 | [math]\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}[/math] for [math]\alpha, \beta \gt 1[/math] |
| 分散 |
[math]\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\![/math] [math]\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)[/math] (ψ1はトリガンマ関数) |
| 歪度 | [math]\frac{2(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}[/math] |
| 尖度 | [math]\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}[/math] |
| エントロピー | [math]\begin{align}\ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha) \\ -(\beta-1)\psi(\beta) +(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{align}[/math] |
| モーメント母関数 | [math]1 + \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}[/math] |
| 特性関数 | [math]{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\![/math] (see Confluent hypergeometric function) |
ベータ分布（ベータぶんぷ、英: beta distribution）は、連続型の確率分布であり、第1種および第2種がある。
Contents
第1種ベータ分布
第1種ベータ分布を単に「ベータ分布」と呼ぶ場合もある。その確率密度関数は以下で定義される。
- |[math]f(x; \alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}[/math]
ここで[math]B(\alpha\!, \beta)[/math]はベータ関数であり、確率変数の取る値は[math]0\le x\le1[/math]、パラメータ[math]\alpha\!, \beta[/math]はともに正の実数である。期待値は [math]\frac{\alpha}{\alpha+\beta}[/math]、分散は [math]\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}[/math] である。自然パラメータを[math]\eta = (\alpha-1, \beta-1)[/math]として以下のように書き換えられるので，ベータ分布は指数型分布族である。
- [math]f(x;\eta) = h(\eta) \exp( \eta \cdot u(x) )[/math]
ただし[math]h(\eta) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)}, u(x) = (\log x, \log (1-x))[/math]である。
第2種ベータ分布
確率変数[math]X\![/math]が第1種ベータ分布にしたがうとき、[math]\frac{X}{1-X}[/math]のしたがう分布を第2種ベータ分布と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
- [math]\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\frac{x^{\alpha-1}}{(1+x)^{\alpha+\beta}}[/math]
参考文献
- 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
- B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).