ブルン定数

ブルン定数 (Brun's constant) は数学定数の一つで B₂ と表記されることが多い。この数は、双子素数の逆数の和の極限として定義される。すなわち、

[math]B_2 =\left( \frac{1}{3} +\frac{1}{5} \right) +\left(\frac{1}{5} +\frac{1}{7} \right) +\left(\frac{1}{11} +\frac{1}{13} \right) +\left(\frac{1}{17} +\frac{1}{19} \right) +\left(\frac{1}{29} +\frac{1}{31} \right) +\cdots[/math]

である。素数の逆数和が（無限大に）発散することはオイラーにより知られていたが、双子素数についてはヴィーゴ・ブルンが1919年にこの級数は収束することを示した。そのため、双子素数は無数に存在するかどうかは引き続き未解決である。また、この極限が無理数であるか有理数であるかも未解決である（もし無理数ならば双子素数は無数に存在すると分かる）。

Thomas R. Nicely は 10¹⁴ 以下の双子素数までの部分和を計算し、B₂ は約 1.902160578 だと推計した。なお、その過程で彼は有名な Pentium FDIV バグを発見した。2002年に Pascal Sebah と Patrick Demichel の2人によって 10¹⁶ までの部分和が計算され、

B₂ = 1.902160583104…

である。

また、同様の数が四つ子素数についても定義される。これは四つ子素数に対するブルン数と呼ばれ、しばしば B₄ と表記される。四つ子素数とは値が 4 離れた2つの双子素数の組で、小さい方から (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) となる。すなわち B₄ は次の式で与えられる。

[math]B_4 =\left(\frac{1}{5} +\frac{1}{7} +\frac{1}{11} +\frac{1}{13}\right) +\left( \frac{1}{11} +\frac{1}{13} +\frac{1}{17} +\frac{1}{19} \right) +\left( \frac{1}{101} +\frac{1}{103} +\frac{1}{107} +\frac{1}{109} \right) +\cdots[/math]

この値はおよそ

B₄ = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005

と推計されている。