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| − | {{otheruses}}
| + | '''ネーターの定理'''（ネーターのていり、{{lang-en-short|Noether's theorem}}） |
| − | 物理学において、'''ネーターの定理'''（ネーターのていり、{{lang-en-short|Noether's theorem}}）は、[[系]]に連続的な[[対称性]]がある場合はそれに対応する[[保存則]]が存在する、と述べる[[定理]]である。
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| − | [[ドイツ]]の数学者[[エミー・ネーター]]によって[[1915年]]に証明され、[[1918年]]に公表された。
| + | 不変性と保存量の関係を与える一般的な定理．系の挙動を定める作用積分 |
| | | | |
| − | == 概説 ==
| + | [[ファイル:ネーターの定理.jpg]] |
| − | [[解析力学]]や[[場]]の理論における重要な定理である。 | |
| | | | |
| − | 系がある変換に対して記述に変化を受けない場合、その変換をその系の対称性と呼ぶ。特に解析力学においては、変換に対して系の[[作用積分]]が変化しない時に、この変換を対称性と呼ぶ。
| + | が，場 φ<sub>A</sub>（<i>A</i>＝1，2，…，<i>N</i>）と座標 <i>x</i><sub>μ</sub> のある変換に対して不変であるならば，その変換に関連して定義された物理量も保存される． |
| − | これは、系の[[運動方程式]]は[[最小作用の原理]]を通じて定まる為、[[作用]]の[[変分]]がゼロであれば系の運動方程式は変化しない為である。
| |
| − | ネーターの定理は、[[ラグランジアン]]の変数に対する''連続的な''変換が系の対称性になっている場合に、対称性の下での作用の変分がある保存量の時間についての[[全微分]]になるという定理である。
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| − | | |
| − | === 解析力学におけるネーターの定理 ===
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| − | | |
| − | ==== ラグランジュ力学によるネーターの定理 ====
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| − | 以下ではラグランジュ形式の解析力学で記述される系を考える。
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| − | q = (q<sub>1</sub>,...,q<sub>n</sub>) を[[一般化座標]]とし、
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| − | {{Indent|
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| − | <math>L(q,\dot{q},t)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | を系のラグランジアンとする。
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| − | 作用積分
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>S[q]=\int_{t_I}^{t_F} dt\, L(q,\dot{q},t)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | が微小変換
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>t \to t'=t +\delta t,~ | |
| − | q^i \to q'^i=q^i +\delta q^i</math>
| |
| − | }}
| |
| − | に対して対称性を持つとする。
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| − | ここで、この変換は幾つかの[[パラメータ]]の[[線型結合]]で書けるとする。
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\delta t=\epsilon_r T_r,\quad
| |
| − | \delta q^i=\epsilon_r Q_r^i</math>
| |
| − | }}
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| − | 但し、重複する添え字記号については、[[アインシュタインの記法]]に従い、和をとるものとする。
| |
| − | このとき、
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>X_r = \left(
| |
| − | \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i -L
| |
| − | \right) T_r -\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} Q_r^i</math>
| |
| − | }}
| |
| − | は保存量
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{dX_r}{dt} =0</math>
| |
| − | }}
| |
| − | となり、この保存量は[[ポアソン括弧]]により微小変換
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\{ X_r, t \} = T_r,~ | |
| − | \{ X_r, q^i \} = Q_r^i</math>
| |
| − | }}
| |
| − | を定める。
| |
| − | <!-- 記述が不正確。系がq方向の移動で不変であることは。Lがqに依存しない事を意味しない。
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| − | | |
| − | ==== ネーターの定理の背後にある直観 ====
| |
| − | ラグランジアン''L'' で書かれた系が''q'' の第''i'' 成分 ''q''<sub>i</sub>方向の移動に対して不変である場合を考察する事で、
| |
| − | ネーターの定理の直観的な意味とその証明のアイデアとを見る。
| |
| − | | |
| − | 系が''q''<sub>i</sub>方向の移動に対して不変であるという事は、そもそも''L'' が''q''<sub>i</sub>に依存していない事を意味するであろう。
| |
| − | よって
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{\partial L}{\partial q_i}=0</math> ...(1)
| |
| − | }}
| |
| − | が成り立つ。
| |
| − | 一方[[オイラー＝ラグランジュの方程式]]から
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=0</math> ...(2)
| |
| − | }}
| |
| − | (1)、(2)より、
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=0</math>、
| |
| − | }}
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| − | すなわち
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \mathrm{const}.</math>
| |
| − | }}
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| − | 以上の議論をまとめると、
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| − | 「''q''<sub>i</sub>方向への移動」という変換に対する系の不変性から
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| − | 「<math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>」という物理量が保存されるという結論が得られた事になる。
| |
| − | （なお、<math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>はその定義より<math>q_i</math>に対応する一般化運動量<math>p_i</math>である。）
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| − | | |
| − | ネーターの定理はこの事実を一般化したものであり、
| |
| − | 変換に対する系の不変性から系の保存量を導く。
| |
| − | より詳しく言うと、ネーターの定理では
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| − | パラメータε<sub>r</sub> (r=1,...,l) で特徴付けられる変換の下で系が不変である ...(3)
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| − | という条件下保存量を見つける。
| |
| − | | |
| − | 証明のアイデアを述べると、任意の r に対し作用 S が
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{d}{d\epsilon_r}S =0</math> ...(1)'
| |
| − | }}
| |
| − | を満たす事が(3)から言えるので、(1)の代わりに(1)'を(2)と組み合わせる事でネーターの定理が結論づけられる。
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| − | -->
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| − | ==== ハミルトン力学によるネーターの定理 ====
| |
| − | ハミルトン力学においてネーターの定理は次のように表現される。<blockquote>'''ハミルトニアンがある微少変換 <math>\delta</math>について不変であれば <math>\delta</math>の生成子 <math>G_{\delta}</math>は時間不変である。'''</blockquote>ここで <math>\delta</math>の生成子 <math>G_{\delta}</math>とは、<math>\delta</math>によるベクトル <math>(q^i,p^i)</math>の増分 <math>\delta (q^i,p^i)</math>が
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| − | | |
| − | <math>\delta (q^i,p^i) =
| |
| − | \left(
| |
| − | \frac{\partial G_{\delta}}{\partial p^i},
| |
| − | -\frac{\partial G_{\delta}}{\partial q^i}
| |
| − | \right)</math>
| |
| − | | |
| − | と表すことのできる量である。この定義から、
| |
| − | | |
| − | ある観測量 <math>A(q^i,p^i)</math>の <math>\delta</math>による変化 <math>\delta A(q^i,p^i)</math>は<math>A</math>と<math>G_{\delta}</math>のポアソン括弧により表される。
| |
| − | | |
| − | <math>\delta A(q^i,p^i)
| |
| − | =
| |
| − | \nabla A \cdot \delta (q^i,p^i)
| |
| − | =
| |
| − | \nabla A \cdot
| |
| − | \left(
| |
| − | \frac{\partial G_\delta}{\partial p^i},
| |
| − | - \frac{\partial G_\delta}{\partial q^i}
| |
| − | \right)
| |
| − | =
| |
| − | \left(
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial q^i}
| |
| − | \frac{\partial G_\delta}{\partial p^i}
| |
| − | -
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial p^i}
| |
| − | \frac{\partial G_\delta}{\partial q^i}
| |
| − | \right)
| |
| − | =
| |
| − | \{A,G_{\delta}\}</math>
| |
| − | | |
| − | ハミルトニアンが微少変換 <math>\delta</math>について不変ならば、<math>\delta H(q^i,p^i) = \{H,G_{\delta}\}=0</math>が成り立つ。ポアソン括弧の歪対称性より
| |
| − | | |
| − | <math>\{H,G_{\delta}\} = - \{G_{\delta},H\} = - \frac{d G_{\delta}}{d t} = 0</math>
| |
| − | | |
| − | よって <math>G_{\delta}</math>は時間不変である。
| |
| − | | |
| − | <math>\left(
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial p^i},
| |
| − | -\frac{\partial A}{\partial q^i}
| |
| − | \right)</math>は位相空間上のAの等高線に沿ったベクトルと考えることができる。これを「<math>A</math>が生み出す流れ」と呼ぶと、ポアソン括弧<math>\{A,B\} </math>は、「Bが生み出す流れに沿ったAの変化」と考えることができる。ネーターの定理の一般化は次のようになる。<blockquote><math>\{A,B\}=0 </math>ならば、<math>\{B,A\}=0 </math></blockquote>もしくは<blockquote>'''AがBの生み出す流れについて不変であるとき、BもAの生み出す流れについて不変である。'''</blockquote>ハミルトニアンHは時間変化の生成子であるため、もしHがある観測量Aの生み出す流れについて不変であれば、
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| − | | |
| − | AはHの生み出す流れ、つまり時間について不変である。
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| − | | |
| − | ===== 例１：運動量 =====
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| − | <math>G_\delta=\epsilon^i p^i</math>とすると、<math>\delta A = \epsilon^i \{A,p^i\}
| |
| − | = \epsilon^i \frac{\partial A}{\partial q^i }</math>
| |
| − | | |
| − | <math>A(q^i,p^i) \rightarrow A(q^i,p^i) +
| |
| − | \epsilon^i \frac{\partial A}{\partial q^i}
| |
| − | = A(q^i+\epsilon^i,p^i)</math>
| |
| − | | |
| − | よって運動量は空間並進の生成子である。
| |
| − | | |
| − | ===== 例２：角運動量 =====
| |
| − | <math>G_\delta=\varepsilon_{ijk} \epsilon^i p^j q^k</math>とすると、<math>\begin{align}
| |
| − | \delta A &= \varepsilon_{ijk}\epsilon^i \{A,p^j q^k\}
| |
| − | = \varepsilon_{ijk} \epsilon^i
| |
| − | \left(
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial q_\alpha}
| |
| − | \frac{\partial p_j q_k}{\partial p_\alpha}
| |
| − | -
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial p_\alpha}
| |
| − | \frac{\partial p_j q_k}{\partial q_\alpha}
| |
| − | \right) \\
| |
| − | &=
| |
| − | \varepsilon_{ijk} \epsilon^i
| |
| − | \left(
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial q_j} q_k -
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial p_k} p_j
| |
| − | \right)
| |
| − | =
| |
| − | \varepsilon_{ijk} \epsilon^i
| |
| − | \left(
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial q_j} q_k +
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial p_j} p_k
| |
| − | \right)
| |
| − | \end{align}
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | ここで <math>\varepsilon_{ijk} </math>は [[エディントンのイプシロン|レヴィ=チヴィタ記号]]である。
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| − | | |
| − | <math>A(q^i,p^i) \rightarrow
| |
| − | A(q^i,p^i) +
| |
| − | \varepsilon_{ijk} \epsilon^i
| |
| − | \left(
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial q_j} q_k +
| |
| − | \frac{\partial A}{\partial p_j} p_k
| |
| − | \right)
| |
| − | =
| |
| − | A(R^{ij} q^j+,R^{ij} p^j)</math>
| |
| − | | |
| − | ここで<math>R^{ij}</math>は無限小回転である。よって角運動量は空間回転の生成子である。
| |
| − | | |
| − | ===== 例３：エネルギー =====
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| − | <math>G_\delta = \epsilon H</math>とすると、<math>\delta A = \{A,\epsilon H\} = \epsilon \frac{d A}{dt}</math>
| |
| − | | |
| − | <math>A(q^i,p^i) \rightarrow
| |
| − | A(q^i,p^i) + \epsilon \frac{d A}{d t}
| |
| − | = A(q^i(t+\epsilon),p^i(t+\epsilon))
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | よってエネルギーは時間並進の生成子である。
| |
| − | | |
| − | === 場の理論におけるネーターの定理 ===
| |
| − | 場の量を扱う場の解析力学や[[場の量子論]]においても、対称性は基本的な概念であり、ネーターの定理がしばしば応用される。ネーターの定理によって導かれる保存則に登場する'''ネーターカレント'''（'''保存電流'''）や、'''ネーターチャージ'''（'''保存電荷'''）は特に重要な概念になっている。
| |
| − | | |
| − | 力学変数として場 <math>\phi(x)</math> を考え、作用積分を
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>S[\phi] = \int_\Omega d^4x\, \mathcal{L}(\phi,\partial\phi,x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | とする。
| |
| − | | |
| − | 系が[[座標]]と場との微小変換
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +\delta x^\mu</math>
| |
| − | }}
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\phi_i(x) \to \phi'_i(x') = \phi_i(x) +\delta \phi_i(x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | に対して対称性をもち、この変換の下で作用が不変であるとする。
| |
| − | | |
| − | このとき、'''ネーターカレント'''
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>j^\mu \equiv \biggl(
| |
| − | \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \partial_\nu\phi_i
| |
| − | -\delta_\nu^\mu\mathcal{L} \biggr) \delta x^\nu
| |
| − | -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \delta \phi_i</math>
| |
| − | }}
| |
| − | が保存し、[[連続の方程式]]
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\partial_\mu j^\mu =0</math>
| |
| − | }}
| |
| − | を満たす。
| |
| − | | |
| − | <math>\delta\phi</math>には場自身の変換だけでなく、座標の変換も含んでいる。
| |
| − | 現代的な見方では、場の変分として、同一座標値での差を取った[[リー微分]] <math>\delta_\epsilon\phi(x)</math> で記述すると都合がよい。
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\delta_\epsilon \phi_i(x)
| |
| − | \equiv \phi'(x) -\phi(x)
| |
| − | = \delta\phi_i(x) - \delta x^\mu \partial_\mu\phi_i</math>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | このとき、ネーターカレントは
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>j^\mu = -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
| |
| − | \delta_\epsilon \phi_i -\mathcal{L} \delta x^\mu</math>
| |
| − | }}
| |
| − | となる。
| |
| − | | |
| − | 特に微小変換が次のようなパラメータの線型結合
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\delta x^\mu = \epsilon^a X^{a\mu}(x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\delta_\epsilon \phi_i(x) =\epsilon^a \delta^a\phi_i(x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | で書かれている場合には、ネーターカレントはパラメータの成分毎に
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>j^{a\mu} \equiv -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
| |
| − | \delta^a \phi_i -\mathcal{L} X^{a\mu}</math>
| |
| − | }}
| |
| − | と書くことができて、それぞれに[[連続の方程式]]
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\partial_\mu j^{a\mu} =0</math>
| |
| − | }}
| |
| − | を満たす。
| |
| − | | |
| − | ネーターカレントの時間成分を空間積分した
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>Q^a \equiv \int d^3\mathbf{x}\, j^{0a}</math>
| |
| − | }}
| |
| − | は'''ネーターチャージ'''と呼ばれる。
| |
| − | これは微小変換の[[リー群#指数写像|生成子]](無限小生成作用素)
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>[iQ^a, \phi_i(x)]=\delta^a\phi_i(x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | となる。
| |
| − | | |
| − | ==例==
| |
| − | === 場の理論における例 ===
| |
| − | ==== 時空の並進対称性 ====
| |
| − | 座標変換において、無限小の平行移動を考える。
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +\epsilon^\mu</math>
| |
| − | }}
| |
| − | （<math>\delta x^\mu = \epsilon^\mu</math>である。）
| |
| − | これに付随する場の無限小変換は
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\phi_i(x) \to \phi'_i(x') = \phi_i(x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | であり、ネーターカレントは
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>T^\mu_\nu= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
| |
| − | \partial_\nu\phi_i - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}</math>
| |
| − | }}
| |
| − | となる。この <math>T^\mu_\nu</math> は'''[[エネルギー・運動量テンソル]]'''である。
| |
| − | 保存則は
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math> \partial_\mu T^\mu_\nu =0 </math>
| |
| − | }}
| |
| − | であり、エネルギーと運動量の保存則を表している。
| |
| − | 対応するネーターチャージ
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>P_\nu =\int d^3x\, T^0_\nu</math>
| |
| − | }}
| |
| − | はエネルギー並びに運動量であり、時空の併進の生成子
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>[P_\mu, \phi_i(x)] = i\partial_\mu\phi_i(x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | となる。
| |
| − | | |
| − | ==== ローレンツ変換 ====
| |
| − | 無限小[[ローレンツ変換]]
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +\epsilon^\mu{}_\nu x^\nu
| |
| − | = x^\mu +\tfrac{1}{2}(\epsilon^{\mu\nu}-\epsilon^{\nu\mu})x_\nu</math>
| |
| − | }}
| |
| − | を考える。これに付随する場の無限小変換は
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\phi_i(x) \to \phi'_i(x') = \phi_i(x)
| |
| − | -\tfrac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu} (S_{\mu\nu})_i{}^j \phi_j(x)
| |
| − | </math>
| |
| − | }}
| |
| − | を考える。ここで、行列 <math>S_{\mu\nu}</math> は
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>(S_{\mu\nu})_i{}^j =
| |
| − | \left\{\begin{array}{ll}
| |
| − | 0 & (\text{sclar}) \\
| |
| − | i(g_{\mu i}\delta_\nu^j-g_{\nu i}\delta_\mu^j)
| |
| − | & (\text{vector}) \\
| |
| − | \frac{i}{4}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu})_i{}^j \quad
| |
| − | & (\text{spinor}) \\
| |
| − | \end{array} \right.
| |
| − | </math>
| |
| − | }}
| |
| − | で定義される場の[[スピン角運動量|スピン]]である。<math>\gamma_\mu</math> は[[ガンマ行列]]である。
| |
| − | | |
| − | このとき、ネーターカレントは
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>M^\mu_{\nu\rho} = x_\nu T^\mu_\rho -x_\rho T^\mu_\nu
| |
| − | -i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
| |
| − | (S_{\nu\rho})_i{}^j \phi_j
| |
| − | </math>
| |
| − | }}
| |
| − | となる。この <math>M^\mu_{\nu\rho}</math> を'''角運動量密度'''という。
| |
| − | <math>M^\mu_{\nu\rho}</math> は ν,λ について反対称である。
| |
| − | 保存則は
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\partial_\mu M^\mu_{\nu\rho} = 0</math>
| |
| − | }}
| |
| − | であり、角運動量の保存則を表している。
| |
| − | 対応するネーターチャージ
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>M_{\nu\rho} =\int d^3x\, M^0_{\nu\rho}</math>
| |
| − | }}
| |
| − | は角運動量とブースト演算子となる。
| |
| − | | |
| − | ==== 位相変換 ====
| |
| − | 複素場を考えて場の位相を変える変換を考える。
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\phi_i(x) \to \phi_i(x) -ie\epsilon\phi_i(x),~
| |
| − | \bar{\phi}_i(x) \to \bar{\phi}_i(x) +ie\epsilon\bar{\phi}_i(x)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | このとき、ネーターカレントは
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>j^\mu = ie \left(
| |
| − | \bar{\phi}_i \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\phi}_i)}
| |
| − | -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \phi_i
| |
| − | \right)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | となる。これは[[4元電流密度]]である。保存則は
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\partial_\mu j^\mu=0</math>
| |
| − | }}
| |
| − | であり、電荷の保存則を表している。
| |
| − | 対応するネーターチャージ
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>Q = \int d^3x\, j^0</math>
| |
| − | }}
| |
| − | は電荷である。
| |
| − | | |
| − | == 導出 ==
| |
| − | 力学変数 <math>q^i(t)</math> がラグランジュ方程式
| |
| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}
| |
| − | -\frac{\partial L}{\partial q^i}=0</math>
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| − | }}
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| − | を満たしているとする。
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| − | | |
| − | 微小変換
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| − | {{Indent|
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| − | <math>t \to t'=t+\epsilon T(t)</math>
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| − | }}
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| − | {{Indent|
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| − | <math> \begin{align}
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| − | q^i(t) \to q^i_\epsilon(t')
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| − | & =q^i(t) +\epsilon Q^i(q(t), t) \\
| |
| − | & =q^i(t'-\epsilon T) +\epsilon Q^i(q(t'-\epsilon T), t'-\epsilon T) \\
| |
| − | \end{align} </math>
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| − | }}
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| − | を考える。
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| − | | |
| − | このとき、系が対称性を持つとは、作用積分
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| − | {{Indent|
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| − | <math>S[q_\epsilon] = \int_{t_I+\epsilon T}^{t_F+\epsilon T}
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| − | \!\!\!\!\! dt'\, L(q_\epsilon(t'),\dot{q}_\epsilon(t'),t')
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| − | </math>
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| − | }}
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| − | を <math>\epsilon</math> の関数としてみたとき、
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\frac{dS[q_\epsilon]}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}=0</math>
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| − | }}
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| − | となることである。
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| − | | |
| − | この微分を計算すると、
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{dS[q_\epsilon]}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
| |
| − | = \Big[ L(q(t),\dot{q}(t),t)\, T(t) \Big]_{t_I}^{t_F}
| |
| − | + \int_{t_I}^{t_F} dt\, \biggl[
| |
| − | \frac{\partial L}{\partial q^i}\frac{dq^i_\epsilon}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
| |
| − | +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\frac{d\dot{q}^i_\epsilon}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
| |
| − | \biggr]
| |
| − | </math>
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| − | }}
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| − | である。運動方程式を用いれば、
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\frac{\partial L}{\partial q^i}
| |
| − | \frac{dq^i_\epsilon}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
| |
| − | +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i
| |
| − | }\frac{d\dot{q}^i_\epsilon}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
| |
| − | =\frac{d}{dt}\biggl( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}
| |
| − | \frac{dq^i_\epsilon}{d\epsilon} \bigg|_{\epsilon=0} \biggr)
| |
| − | </math>
| |
| − | }}
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| − | となる。また、
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{dq^i_\epsilon}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
| |
| − | = -\dot{q}^i T(t) +Q^i(q(t), t)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | から、
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\frac{dS_\epsilon}{d\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
| |
| − | = \biggl[\Bigl(L-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i \Bigr) T(t)
| |
| − | +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} Q^i(q(t), t) \biggr]_{t_I}^{t_F}
| |
| − | = 0</math>
| |
| − | }}
| |
| − | 従って、
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i-L \Bigr) T(t)
| |
| − | -\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} Q^i(q(t), t)</math>
| |
| − | }}
| |
| − | が保存する。
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| − | | |
| − | [[ハミルトニアン]]を用いれば
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>H(p,q,t) T(t) -p_i Q^i(q(t),t)</math>
| |
| − | }}
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| − | と書けて、[[ポアソン括弧]]を用いれば
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\{ HT-p_iQ^i, t \} = T,~
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| − | \{ HT-p_iQ^i, q^j \} = Q^j</math>
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| − | }}
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| − | を得る。
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| − | | |
| − | ==参考文献==
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| − | ;原論文
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| − | *E. Noether, ''Nachr. Ges. Wiss. Gottingen'', 235 (1918)[http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.trans/german/emmy235.html]
| |
| − | *F. Klein, ''Nachr. Ges. Wiss. Gottingen'', 171 (1918)
| |
| − | *E. Bessel-Hagen, ''Math. Ann.'', '''84''', 258 (1921) {{doi|10.1007/BF01459410}}
| |
| − | ;関連論文
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| − | *E. L. Hill, ''Rev. Mod. Phys.'', '''23''', 253 (1951) {{doi|10.1103/RevModPhys.23.253}}
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| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | * [[対称性 (物理学)|対称性]]
| |
| − | * [[保存則]]
| |
| − | * [[チャージ (物理学)|チャージ]]
| |
| − | * [[シンプレクティック幾何学]]
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| | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{DEFAULTSORT:ねえたたのていり}} | | {{DEFAULTSORT:ねえたたのていり}} |
| | [[Category:物理学の定理]] | | [[Category:物理学の定理]] |
