トレース (体論)

体論において、トレース (trace) は、有限次体拡大 L/K に付随して現れる写像で、L から K への K-線型写像である。

定義

L/K を有限拡大とする。分離次数を [L : K]_s = r とする。σ₁, ..., σ_r を L の K の代数閉包 K^a への相異なる埋め込み全部とする。L の元αに対し、トレースを

[math]\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=[L:K]_i\sum_{\nu=1}^r\sigma_\nu\alpha[/math]

で定義する。ここで [L : K]_i は非分離次数である。

分離拡大でなければ、トレースは 0 である。分離拡大（特にガロワ拡大）であれば、トレースは

[math]\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\nu=1}^r\sigma_\nu\alpha[/math]

である。

L を K-ベクトル空間と見る。α∈L に対し L の元をα倍する写像 L → L は K-線型写像であるので、適当な基底を取ると行列で表すことができる。この行列のトレースは Tr_L/K(α) と一致する。（基底の取り方には依らない。）

トレース写像は、L から K への K-線型写像である。また、体の拡大の列 L ⊃ M ⊃ K に対し

[math]\operatorname{Tr}_{L/K}=\operatorname{Tr}_{M/K}\circ\operatorname{Tr}_{L/M}[/math]

が成り立つ。

L = K(α) のとき、αの K 上の最小多項式を

X^r + a_r−1X^r−1 + ... + a₀

とすると、

Tr_K(α)/K(α) = −a_r−1

である。

L/K を有限次分離拡大とする。e₁, ..., e_r を L の K-ベクトル空間としての基底とする。このとき次を満たすある基底 e'₁, ..., e'_r が存在する：

[math]\operatorname{Tr}_{L/K}(e_ie'_j)=\delta_{ij}=\begin{cases} 1&(i=j)\\0&(i\ne j)\end{cases}[/math]