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| − | '''ディリクレの関数'''（ディリクレの-かんすう）とは、[[実数]]全体の成す集合 '''R''' 上で定義される次のような[[関数 (数学)|関数]]のことである。 | + | '''ディリクレの関数'''（ディリクレの-かんすう） |
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| − | : <math>
| + | 有理数で 1, 無理数で 0 をとる, いたるところ不連続な関数. |
| − | f(x)=
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| − | \begin{cases}
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| − | 1 & (x \in \mathbb{Q})\\ | |
| − | 0 & (x \in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}) | |
| − | \end{cases}
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| − | </math>
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| − | ただし、'''Q''' は[[有理数]]全体の成す集合である。
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| − | 式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、
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| − | : <math>\sup \int^a_b f(x)dx=a-b</math>
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| − | : <math>\inf \int^a_b f(x)dx=0</math>
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| − | が成り立つから、（sup∫ を[[上積分]]、inf∫ を[[下積分]]という）ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることが分かる。（[[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である '''Q''' は[[ルベーグ測度]]に関して零集合であることによる）
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| − | ==周期性==
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | この関数は、任意の有理数aに対して <math>f(x+a)=f(x)</math> となる。これは有理数全体の集合が[[群 (数学)|加法について閉じている]]ことによる。
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| − | また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。
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| − | ==連続関数の極限としての表示==
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| − | ディリクレの関数は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]本人によって、
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| − | : <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\, \pi x)</math>
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| − | と表せることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階の[[ベール関数]]の一例である）。その方法は次による。
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| − | 任意の有理数 ''q'' を考える。[[階乗|''n''!]] ''q'' は、十分大きな ''n'' に対して恒等的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 ''r'' は、いくら ''n'' を大きく取っても ''n''! ''r'' が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。
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| − | : <math>
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| − | f(x)=
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| − | \begin{cases}
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| − | 1 & (n!\,x \in \mathbb{Z})\\
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| − | 0 & (n!\,x \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z})
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| − | \end{cases}
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| − | (n \to \infin)
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| − | </math>
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| − | ただし、'''Z''' は整数全体の成す集合。さてここで、関数
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| − | : <math>
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| − | F(x)=
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| − | \begin{cases}
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| − | 1 & (x \in \mathbb{Z})\\
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| − | 0 & (x \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Z})
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| − | \end{cases}
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| − | </math>
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| − | を表示できれば、''f''(''x'') = lim[''n''→∞] F(''n''!''x'') となって決着がつく。（''F'' は単独で考えても興味深い関数である。） ''F'' は、[[不連続]]でありながらも[[周期的]]である。一定の[[周期]]を持つ関数として[[三角関数]]を考える。cos<sup>2</sup>(π''x'') は、''x'' が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回[[冪乗]]することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、
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| − | : <math>F(x)=\lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (\pi x)</math>
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| − | が結論付けられる。従って、
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| − | : <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} F(n!x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\pi x)</math>
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| − | となる訳である。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | *[[トマエ関数]]
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| − | {{病的な関数の一覧}}
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