シンプソンの公式
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ファイル:Simpsons method illustration.svg
関数 f(x) (青) の、二次関数 P(x) (赤) による近似。
シンプソンの公式(シンプソンのこうしき、英: Simpson's rule) とは、数値解析の分野において、定積分
- [math] \int_{a}^{b} f(x)\, dx[/math]
の近似値を得る方法である。名前は、トーマス・シンプソンにちなんだものである。
Contents
基本
シンプソンの公式は、f(x) を二次関数 P(x) で近似することで成立する。ここで、P(x) は f(x) の a, b, m (m は“中点”、すなわち (a+b)/2) による値をそれぞれとる。これは、ラグランジュ補間を用いることによって、次のような多項式による表示が得られる。
- [math]P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}. [/math]
このとき、簡単な計算によって、次のシンプソンの公式が得られる。
- [math] \int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].[/math]
シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある ξ が存在して、
- [math]-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)[/math]
となる。ただし、h = (b − a)/2。さらに f(x) が2回微分可能で f′′ が凸関数であるとき
- [math](b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{3}h^3f''\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].[/math]
合成シンプソン公式
シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることがわかる。従って、積分範囲が大きい場合は、当然、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式 (composite Simpson's rule) として知られている。
- [math]\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg].[/math]
ただし、n は [a, b] を均等に偶数個に分割した際の部分区間の個数、h = (b − a)/n は各部分区間の長さ ("step length")、xi = a + ih (i = 0, ..., n)、特に、x0 = a, xn = b。この式は、次のようにも書ける。
- [math]\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\dotsb+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg].[/math]
合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で求めることができる。
- [math]-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi).[/math]
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参考文献
- Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169.