シグモイド

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シグモイド関数

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ς型の関数の比較

シグモイド（英: sigmoid）とは、ギリシア文字シグマ (σ) の語末形（ς）に似た形のこと。S字形ともいう。

特に各種グラフに現れるシグモイド曲線 (英: sigmoid curve) を指す。このようなグラフは個体群増加や、ある閾値以上で起きる反応（例えば急性毒性試験での死亡率）などに見られる。

共通する特徴

[math](-\infty, \infty) \rightarrow (a,b) [/math] の単調増加連続関数で表される。

[math]y = a[/math] と [math]y = b[/math] を漸近線に持ち、

[math]\lim_{x \rightarrow \infty} y = a [/math]

[math]\lim_{x \rightarrow -\infty} y = b [/math]

[math]\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \dot y = 0 [/math]

である。

1つの変曲点を持つ。つまり、変曲点を [math](x_\mathrm{s}, y_\mathrm{s})[/math] とすると、

• [math] x \lt x_\mathrm{s}[/math] では下に凸
• [math] x = x_\mathrm{s}[/math]（変曲点） では傾き最大
• [math] x \gt x_\mathrm{s}[/math] では上に凸

となる。

式の例

• ロジスティック関数
  • シグモイド関数 - ロジスティック関数の特殊例
  • 双曲線正接関数 (tanh) - シグモイド関数の線形変換
• 正規分布の累積分布関数 (Φ^-1) - プロビットの逆関数
• ゴンペルツ関数
• 逆正接関数 (arctan)
• [math]\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}[/math]
• グーデルマン関数 [math]{\rm{gd}}\,x=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} = \arcsin(\tanh(x))[/math]
• [math]\frac{x}{1 + |x|}[/math]

実際の例

生化学ではアロステリックタンパク質（または酵素）の飽和（反応）曲線にシグモイド曲線がよく見られるが、これは正の協同性があることを示す。一般にヒルの式という経験式で表されるが、これも変数を対数に変換すればロジスティック関数の形になる。