ゲルフォントの定数

ゲルフォントの定数（ゲルフォントのていすう、英語: Gelfond's constant）は数学定数の一つで、ネイピア数 e と円周率 π を用いて e^π と表される数である。小数表示は

e^π = 23.14069 26327 79269 00572 90863 67948 54738 02661 06242 60021 19934 45046 40952 43423 50690 45278 35169 71997 06754 92196 76

である。この数はロシアの数学者アレクサンドル・ゲルフォントにちなんで名付けられた。ゲルフォントの定数は e や π と同様に超越数である。このことはゲルフォント＝シュナイダーの定理から証明できる。

数学的性質

e^π はオイラーの公式

[math]e^{ix} =\cos x+i\sin x[/math]

から以下のように変形できる。ここで i は虚数単位である。

[math]e^{\pi} =(e^{i \pi} )^{-i} =(\cos \pi +i\sin \pi )^{-i} =(-1)^{-i}[/math]

ゲルフォント＝シュナイダーの定理は 「a を 0, 1 でない代数的数、b を有理数でない代数的数とすると、a^b は超越数である」という内容である。a = −1, b = −i はこの条件を満たすので、(−1)⁻ⁱ は超越数である。すなわち e^π は超越数である。

ちなみに、e^e, π^π, π^e などは有理数かどうか分かっていない。つまりこれらは超越数かどうかは知られていない。

[math]k_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}[/math] として

[math]k_n =\frac{1-\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}{1+\sqrt{1-{k_{n-1}}^2}}[/math]

と定義されるとき、 数列

[math]\left( \frac{4}{k_{n+1}} \right)^{2^{-n}}[/math]

は e^π − π に収束する。

e^π − π はほとんど整数である。

e^π − π = 19.99909997918947…

関連項目

• ゲルフォント＝シュナイダーの定理
• 無理数
• 超越数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Gelfond's Constant”. MathWorld（英語）.