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'''ガロア理論'''(ガロアりろん、<em lang="en">Galois theory</em>)は、[[代数方程式]]や[[可換体|体]]の[[数学的構造|構造]]を "[[ガロア群]]" と呼ばれる[[群 (数学)|群]]を用いて記述する理論。[[1830年代]]の[[エヴァリスト・ガロア]]による代数方程式の[[冪根]]による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。
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'''ガロア理論'''(ガロアりろん、<em lang="en">Galois theory</em>
  
ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる[[体論|体の代数拡大]]について、拡大の[[準同型|自己同型群]]の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
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 フランスの数学者ガロアが提起した方法論で、体(たい)の性質を有限群に関連させて調べる理論。n次の方程式は重根を重複して数えればn個の複素数解をもつ。これはガウスによって証明された代数学の基本定理である。二次、三次、四次の方程式は、とくに、係数とn乗根(n=2, 3, 4)を用いて解くことができる。しかるに五次以上の方程式は、たとえばx<sup>n</sup>-a=0といった特殊なものを除けば、係数とn乗根だけでは解くことができない。これが有名なアーベルの定理である。アーベルが19世紀初頭にこれを得たのに引き続いて、ガロアは、根の間の置換のなす群を研究することによって、べき根によって方程式が解けるかどうかを群の問題に転化する原理を確立した。これがガロアの理論である。一見、アーベルの定理によって代数学は研究すべき対象を失ったかに思えたが、実際には古典代数学の幕引きが行われたのであり、以後、群、体などの代数的構造を研究する新しい代数学が誕生した。
  
== 概要 ==
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 Qでもって有理数体を表す。f(x)を有理係数のn次既約多項式とする。方程式f(x)=0の解のすべてをQに添加した体をKとする。体Kの自己同形の全体Gは群をなし、その位数はnである。このGをKのQ上のガロア群と称する。Gの部分群とKの部分体とが一定の方法で1対1に対応するというのがガロアの基本定理である。こうして、体の問題が群の問題に転化される。とくにf(x)=0の解が係数とべき根を用いて表されるためには、G<sup>(0)</sup>=G, G<sup>(n+1)</sup>=[G<sup>(n)</sup>,G<sup>(n)</sup>](ここに[G<sup>(n)</sup>,G<sup>(n)</sup>]はGの交換子群である)とするとき、あるnに対してG<sup>(n)</sup>が単位元のみからなる群となることが必要十分条件である。このような条件を満たす群を可解群という。すなわち、ガロア群が可解群であることがべき根で解ける条件である。
ガロア理論では、加減乗除ができるような数の範疇での代数方程式を考察対象とする。例えば、[[有理数]]や[[複素数]]の範囲で多項式で表わされる方程式の解を考えたり、整係数の多項式で素数を法とした解を考えたりする。
 
 
 
代数方程式が "代数的に解ける" かどうか、つまり係数に対する四則演算と根号の有限個の組合せで解が表せるかどうかが問題になる。四次までの代数方程式についてはこれが可能。
 
 
 
例えば二次の多項式 {{math|''x''<sup>2</sup> &minus; 2''ax'' + ''b'' {{=}} 0}} の二つの根は
 
: <math> a \pm \sqrt{a^2 - b}</math>
 
と表すことができる。
 
 
 
一般に、与えられた多項式 {{mvar|p}}(以下技術的な仮定として {{mvar|p}} の分離性を仮定する)<!-- too techy? -->の根が(当該)多項式の係数の四則演算と冪根によって表せるかどうかは、係数の作る体 {{mvar|K}} の適当な[[冪根#冪根拡大|冪根拡大]]に根が含まれるかどうか、あるいは別の見方をすれば、与えられた多項式の根を全て添加して、その上では多項式 {{mvar|p}} が一次式の積に分解するようにした体(多項式 {{mvar|p}} の'''分解体'''; {{en|''splitting field''}}){{mvar|L}} が、体 {{mvar|K}} の冪根拡大になっているか、と定式化できる。
 
 
 
多項式 {{mvar|p}} を形式的に根の一次式の積として表す(実際、これは {{mvar|K}} を含む代数閉体上で可能になる)ことで 多項式 {{mvar|p}} の係数は根の[[対称式|基本対称式]]であること([[根と係数の関係]])が分かる。
 
拡大体 {{mvar|L}} の自己同型 {{mvar|&sigma;}} が根の入れ替えを引き起こしているときには {{mvar|&sigma;}} の下で多項式 {{mvar|p}} の係数や、より一般に {{mvar|K}} の元は変化しないことが分かる。
 
 
 
一方、{{mvar|K}} の元を不変にするような {{mvar|L}} の自己同型は多項式 {{mvar|p}} の根を入れ替えている。
 
このような変換すべての集まり {{math|Gal(''L''/''K'')}} は変換の合成という二項演算について[[群 (数学)|群]]の構造を持っている。
 
これを {{mvar|L}} の {{mvar|K}} 上のガロア群、または多項式 {{mvar|p}} のガロア群と呼ぶ。
 
 
 
仮に 多項式 {{mvar|p}} の根が係数の加減乗除やべき根による式で表せていたとすると、その式のうち一部分で表される数から生成するような体を考えることができる。
 
こうして得られる体は {{mvar|K}} を含んで {{mvar|L}} に含まれる体({{mvar|L}} の部分拡大)となる。
 
このとき、ガロア理論の主定理によってこの部分拡大をちょうど不変体にするような {{math|Gal(''L''/''K'')}} の部分群が存在する。
 
{{mvar|K}} の元 {{mvar|x}} の {{mvar|n}} 乗根は {{mvar|n}} 個あるが、それらすべてで生成されるような {{mvar|L}} の部分体は重要な役割を果たす。
 
より一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群に対応している。
 
 
 
例えば、{{mvar|L}} の正規部分拡大のうちで {{mvar|K}} の特定の元のべき根によって生成されるもの {{mvar|M}} の対称性を表す群
 
:<math>\operatorname{Gal}(M/K) = \operatorname{Gal}(L/K)/\operatorname{Gal}(L/M)</math>
 
は[[巡回群]]になる。
 
 
 
{{mvar|L}} が {{mvar|K}} のべき根拡大になっているかどうかは群 {{math|Gal(''L''/''K'')}} が[[群 (数学)#可解群・交換子群・冪零群|可解群]]になっているかどうか。
 
このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。
 
 
 
一方、最も一般的な設定の下では群 {{math|Gal(''L''/''K'')}} は {{mvar|n}} 次の[[対称群]]になる。
 
特に、5 次以上の一般の多項式の対称性を表す 5 次の対称群は可解群ではない。
 
このことから 5 次以上の代数方程式は一般に可解でない(代数的な根の公式が存在しない)。
 
 
 
=== より発展的な定式化 ===
 
[[抽象代数学]]においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。この二つを満たすような拡大は '''ガロア拡大''' ({{en|''Galois extension''}}) と呼ばれる。
 
一般に体 {{mvar|K}} の有限次分離拡大の「合併」として {{mvar|K}} の分離閉包 {{math|''K''&thinsp;<sup>sep</sup>}} が考えられる。{{math|''K''&thinsp;<sup>sep</sup>}} の正規部分拡大 {{mvar|L}} の自己同型で {{mvar|K}} の元を固定しているもの全体 {{math|Gal(''L''/''K'')}} は {{mvar|L}} に含まれる {{mvar|K}} の有限次分離拡大のガロア群の射影極限となっている。{{math|Gal(''L''/''K'')}} は各点収束の位相について位相群となり、{{mvar|L}} の中間体のなす系と、{{math|Gal(''L''/''K'')}} の閉部分群たちのなす系との間に同値性が成り立つ。
 
 
 
体 {{mvar|K}} に対しその'''絶対ガロア群''' {{math|''G<sub>K</sub>'' {{=}} Gal(''K''&thinsp;<sup>sep</sup>/''K'')}} が推移的かつ連続に作用する有限離散空間 {{mvar|X}} が与えられたとする。このとき {{mvar|X}} から {{math|''K''&thinsp;<sup>sep</sup>}} への写像の空間 {{math|(''K''<sup>sep</sup>)<sup>''X''</sup>}} に対する {{mvar|G<sup>K</sup>}} の作用
 
: <math>(g,f)[x] = f(g^{-1}x)</math>
 
が考えられる。この作用の下で固定されている写像たちのなす部分代数は、{{mvar|X}} の任意の一点の固定部分群に関する {{math|''K''&thinsp;<sup>sep</sup>}} の不変部分体と同型になる({{mvar|X}} の点の取り替えは {{math|''K''&thinsp;<sup>sep</sup>}} の中での共役な部分体の取り替えに対応する)。{{mvar|X}} への作用の推移性を外すことは {{mvar|K}} の有限次分離拡大体の代わりに {{mvar|K}} 上の有限エタール代数を考えることに対応し、こうして {{mvar|K}} 上の有限エタール代数のなす[[圏 (数学)|圏]]と {{mvar|G<sub>K</sub>}} が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の反変圏同値が得られる。これを出発点として[[アレクサンドル・グロタンディーク]]によるガロア理論の[[圏論]]的定式化が得られる。
 
 
 
[[ガロア圏|グロタンディークのガロア理論]]において古典的なガロア理論は次のように理解される。''K''上のエタール代数は[[アフィンスキーム]] {{math|Spec(''K'')}} の上のエタール層を表しており、埋め込み{{math|''K'' &rarr; ''K''&thinsp;<sup>sep</sup>}} に対応する射 {{math|Spec(''K''&thinsp;<sup>sep</sup>) &rarr; Spec(''K'')}} が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 {{math|F<sub>''K''&thinsp;<sup>sep</sup></sub>: ''A'' &rarr; Hom<sub>''K''</sub>(''A'', ''K''&thinsp;<sup>sep</sup>)}} が、圏同値 : {{math|Spec(''K'')}} 上のエタール層の圏 {{math|Et<sub>''K''</sub> &equiv; G}} が連続的に作用する集合の圏 [[トポス (数学)|{{math|BG}}]]
 
をひき起こしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、特定の公理を満たしている関手 <math>\operatorname{F}_{K^\mathrm{sep}}: \operatorname{Et}_K \to (\mathrm{Sets})</math> からガロア群を復元できることが分かる。また、上の圏同値によって、体 {{mvar|K}}上の ガロアコホモロジーは、{{math|Spec(''K'')}} 上の[[エタール・コホモロジー]]理論と同値となる。
 
 
 
=== 逆問題 ===
 
与えられた方程式(あるいは体のガロア拡大)のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた[[群 (数学)|群]]をガロア群にもつ方程式(あるいは体の拡大)を構成する問題を "[[ガロアの逆問題]]" と呼ぶことがある。
 
 
 
=== 有限体上のガロア群 ===
 
{{節スタブ}}
 
<!-- フロベニウスなど。see [[:en:Frobenius endomorphism]] -->
 
 
 
== ガロア理論の基本定理 ==
 
{{main|ガロア理論の基本定理}}
 
体 {{mvar|L}} を体 {{mvar|K}} の有限次ガロア拡大とする。{{mvar|L}} と {{mvar|K}} の中間体 {{mvar|M}} と {{math|Gal(''L''/''K'')}} の部分群 {{mvar|H}} について次の式が成立つ。
 
: <math>M = L^{\operatorname{Gal}(L/M)},~~ H = \operatorname{Gal}(L/L^H).</math>
 
ただし、{{math|Gal(''L''/''M'')}} は拡大 {{math|''L''/''M''}} のガロア群であり、{{mvar|L<sup>H</sup>}} は {{mvar|L}} の元のうちで {{mvar|H}} の下で不変になっているもののなす {{mvar|L}} の部分拡大を指す。
 
 
 
したがって、{{mvar|L}} の中間体 {{mvar|M}} とガロア群 {{math|Gal(''L''/''K'')}} の部分群 {{mvar|H}} の間の対応
 
: <math>\phi : M \to H = \operatorname{Gal}(L/M),~~ \psi : M = L^H \leftarrow H</math>
 
は互いに逆で、これらは[[全単射]]になることがわかる。また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。つまり、{{math|''M''<sub>1</sub> &sup; ''M''<sub>2</sub>}} ならば {{math|''&phi;''(''M''<sub>1</sub>) &sub; ''&phi;''(''M''<sub>2</sub>), ''G''<sub>1</sub> &sup; ''G''<sub>2</sub>}} なら {{math|''&psi;''(''G''<sub>1</sub>) &sub; ''&psi;''(''G''<sub>2</sub>)}} となる。
 
 
 
== 歴史 ==
 
[[ファイル:E. Galois Letter.jpg|thumb|オーギュスト・シュヴァリエ宛のガロアの手紙の最終頁(1832年5月29日)]]
 
ガロアは[[1832年]]の(死の原因となる)決闘の前日に、友人の[[オーギュスト・シュヴァリエ]]に宛てて、ガロア理論と[[楕円関数論]]に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。その後、[[1846年]]になって、[[リウヴィル]]がガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載した<ref>{{Cite journal|last=Galois|first=Évariste|year=1846|title=Œuvres mathématiques d'Évariste Galois|journal=Journal de mathématiques pures et appliquées|issue=Tome XI|pages=381-444|publisher=|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k290623/f5.image.langFR|issn=0021-7824}}</ref>ことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。[[リヒャルト・デーデキント|デデキント]]は1855年から1857年にかけて[[ゲオルク・アウグスト大学ゲッティンゲン|ゲッティンゲン大学]]でガロア理論に関する最初の講義をおこなった<ref name="satake">[[佐武一郎]]「解説「ガロア理論」について」、[[#アルティン2010|アルティン (2010)]] p. 215</ref>。そのとき、デデキントはガロアの理論を「ガロア理論」({{Lang-de-short|Galois-Theorie}})と名づけた<ref>[[#Scharlau1981|Scharlau (1981)]]</ref>。早い時期に、ベッチ、[[レオポルト・クロネッカー|クロネッカー]]、[[アーサー・ケイリー|ケイリー]]、セレは群概念を厳密化していった。[[カミーユ・ジョルダン]]によって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (''Traité des substitutions et des équations algebraique'') はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。1871年にデデキントは四則演算で閉じた(数の)集合を「[[可換体|体]]」({{Lang-de-short|Körper}})と名づけた。また、[[リヒャルト・デーデキント|デデキント]]と[[ハインリヒ・ヴェーバー|ウェーバー]]は1882年に[[代数関数体]]と[[リーマン面]]の代数的理論を構築した<ref name="satake" />。
 
 
 
[[ソフス・リー]]によって導入された[[リー群]]はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。その後、<!-- 年頃に -->[[エミール・アルティン]]によってガロア理論の[[線型代数学]]的な定式化が追求された<ref>[[#アルティン1974|アルティン (1974)]]</ref><ref>[[#アルティン2010|アルティン (2010)]]</ref>。[[アレクサンドル・グロタンディーク|アレクサンダー・グロタンディーク]]によって[[圏論]]的な定式化と[[数論幾何]]・[[代数幾何]]への応用が押し進められた。<!-- テンソル圏...TBD -->
 
<!-- 下記はノートページへ移動 -->
 
<!--(リクエスト:歴史の記述について、アーベルの巾根による解法の不可能性の発見とアーベル方程式の解法理論、その前駆となったガウスの円周等分方程式の解法理論についても、若干の記述を加えて欲しい。)-->
 
== 脚注 ==
 
{{脚注ヘルプ}}
 
{{Reflist}}
 
 
 
== 参考文献 ==
 
*{{Cite book|和書|author=エミール・アルティン|authorlink=エミール・アルティン|others=[[寺田文行]]訳|date=1974-10|title=ガロア理論入門|publisher=[[東京図書]]|isbn=4-489-01093-1|ref=アルティン1974}}
 
**{{Cite book|和書|author=エミール・アルティン|authorlink=エミール・アルティン|others=[[寺田文行]]訳、[[佐武一郎]]解説|date=2010-04|title=ガロア理論入門|series=ちくま学芸文庫|publisher=[[筑摩書房]]|isbn=978-4-480-09283-0|ref=アルティン2010}}
 
*{{Citation |last=Scharlau|first=Winfried|authorlink=ウィンフリート・シャルラウ|year=1981|month=January|title=Richard Dedekind 1831-1981: Eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag|publisher=Vieweg Verlagsgesellschaft|language=ドイツ語|isbn=3-528-08498-7|ref=Scharlau1981}} - デデキントの講義録''Höhere Algebra, Galois-Theorie, Kreisteilung, Gruppentheorie (WS 1856/57 und WS 1857/58)''を収録。
 
 
 
==関連文献==
 
{{雑多な内容の箇条書き|date=2017年10月|section=1}}
 
*{{Cite book|和書|author=足立恒雄|authorlink=足立恒雄|date=1996-12|title=ガロア理論講義|series=日評数学選書|publisher=[[日本評論社]]|isbn=4-535-60124-0|ref=足立1996}}
 
**{{Cite book|和書|author=足立恒雄|authorlink=足立恒雄|date=2003-04|title=ガロア理論講義|edition=増補版|series=日評数学選書|publisher=[[日本評論社]]|isbn=4-535-60141-0|ref=足立2003}}
 
*{{Cite book|和書|author=アーベル|authorlink=ニールス・アーベル|coauthors=[[エヴァリスト・ガロア|ガロア]]|others=[[守屋美賀雄]]訳・解説|date=1975-04-20|title=群と代数方程式|series=現代数学の系譜 11|publisher=[[共立出版]]|isbn=4-320-01164-3|ref=アーベル&ガロア1975}} - 原論文の翻訳とその解説。
 
*{{Cite book|和書|author=石井俊全|authorlink=石井俊全|date=2013-08-22|title=ガロア理論の頂を踏む|series=BERET SCIENCE|publisher=ベレ出版|isbn=978-4-86064-363-8|ref=石井2013}}
 
*{{Cite book|和書|author=彌永昌吉|authorlink=彌永昌吉|date=1999-07-08|title=ガロアの時代・ガロアの数学|volume=第一部 時代篇|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|isbn=4-431-70688-7|ref=彌永1999a}}
 
**{{Cite book|和書|author=彌永昌吉|authorlink=彌永昌吉|date=1999-07-08|title=ガロアの時代・ガロアの数学|volume=第一部 時代篇|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06214-2|ref=彌永1999b}}
 
*{{Cite book|和書|author=彌永昌吉|authorlink=彌永昌吉|date=2002-08-17|title=ガロアの時代・ガロアの数学|volume=第二部 数学篇|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|isbn=4-431-70802-2|ref=彌永2002a}}
 
**{{Cite book|和書|author=彌永昌吉|authorlink=彌永昌吉|date=2002-08-17|title=ガロアの時代・ガロアの数学|volume=第二部 数学篇|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06209-8|ref=彌永2002b}}
 
*{{Cite book|和書|author=倉田令二朗|authorlink=倉田令二朗|date=2011-07|origdate=1987-07|title=ガロアを読む 第Ⅰ論文研究|publisher=[[日本評論社]]|isbn=978-4-535-78158-0|ref=倉田2011}} - 2011年に復刊した。
 
*{{Cite book |和書 |author=[[鈴木智秀]] |date=2017-02-22 |title=図解と実例と論理で、今度こそわかるガロア理論 |publisher=[[SBクリエイティブ]] |page=224 |isbn=978-4-7973-9020-9 |ref=鈴木2017 }}
 
*{{Cite book|和書|author=イアン・スチュアート|authorlink=イアン・スチュアート (数学者)|others=[[鈴木治郎]]・[[並木雅俊]]訳|date=2008-03|title=明解ガロア理論|edition=原著第3版|series=KS理工学専門書|publisher=[[講談社]]|isbn=978-4-06-155770-3|ref=スチュアート2008}} - 200題を超える演習問題を付す。
 
*{{Cite book|和書|author=中島匠一|authorlink=中島匠一|date=2006-07-10|title=代数方程式とガロア理論|series=共立叢書 現代数学の潮流|publisher=共立出版|isbn=4-320-01696-3|ref=中島2006}}
 
*{{Cite book|和書|author=中村亨|authorlink=中村亨|date=2010-05-20|title=ガロアの群論 方程式はなぜ解けなかったのか|series=ブルーバックス B-1684|publisher=講談社|isbn=978-4-06-257684-0|ref=中村2010}}
 
*{{Cite book|和書|author=藤崎源二郎|authorlink=藤崎源二郎|date=1991-04|title=体とガロア理論|series=岩波基礎数学選書|publisher=[[岩波書店]]|isbn=4-00-007813-5|ref=藤崎1991}}
 
*{{Cite book|和書|author=矢ヶ部巌|authorlink=矢ヶ部巌|origyear=1976|date=2016-02-25|title=数Ⅲ方式ガロアの理論 アイデアの変遷をめぐって|publisher=[[現代数学社]]|edition=新装版|isbn=978-4-7687-0453-0|ref=矢ヶ部2016}}
 
*{{Cite book|和書|author=[[結城浩]]|date=2012-05-30|title=数学ガール ガロア理論|publisher=SBクリエイティブ|isbn=978-4-7973-6754-6|ref=結城2012}}
 
*{{Cite book|和書|author=ジョセフ・ロットマン|authorlink=ジョセフ・ロットマン|others=[[関口次郎]]訳|date=1997-11|title=ガロア理論|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|isbn=4-431-70755-7|ref=ロットマン1997}}
 
**{{Cite book|和書|author=ジョセフ・ロットマン|authorlink=ジョセフ・ロットマン|others=[[関口次郎]]訳|date=2000-06-20|title=ガロア理論|edition=改訂新版|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|isbn=4-431-70890-1|ref=ロットマン2000a}}
 
**{{Cite book|和書|author=ジョセフ・ロットマン|authorlink=ジョセフ・ロットマン|others=[[関口次郎]]訳|date=2000-06-20|title=ガロア理論|edition=改訂新版|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06266-1|ref=ロットマン2000b}}
 
*{{Cite book|和書|first=Jean‐Pierre|last=Tignol|authorlink=Jean‐Pierre Tignol|others=[[新妻弘]]訳|date=2005-03|title=代数方程式のガロアの理論|publisher=[[共立出版]]|isbn=978-4-320-01770-2|ref=Tignol2005}} - 代数方程式の解法を歴史的に解説。
 
*{{Citation |first=Edgar |last=Dehn |authorlink=エドガー・デーン |origyear=1960 |date=2017-06-21 |title=Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois |publisher=Dover Publications |series=Dover Books on Mathematics |isbn=978-0-486-43900-6 }} - 1930年にコロンビア大学出版局から出版された版の復刊。
 
*{{Citation |last=Edwards|first=Harold|authorlink=ハロルド・エドワーズ|year=1984|title=Galois Theory|edition=3rd printing|publisher=Springer|series=Graduate Texts in Mathematics, Vol. 101|language=英語|pages=172|isbn=0-387-90980-X|ref=Edwards1984}} - ガロアの原論文に則って解説。原論文の英訳付き。
 
 
 
== 外部リンク ==
 
*[http://www.jmedj.co.jp/contents/m_galois/index.html 三森明夫『ガロア論文の古典的証明』]
 
*{{Kotobank|ガロア理論|2=[[足立恒雄]]}}
 
* http://www.galois-group.net/ - フランス語の原文とドイツ語、イタリア語、英語の翻訳。
 
  
 +
{{テンプレート:20180815sk}}
 
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[[Category:体論]]
 
[[Category:体論]]
 
[[Category:ガロア理論|*]]
 
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[[Category:数学に関する記事]]
 
[[Category:数学に関する記事]]

2018/10/4/ (木) 14:14時点における最新版

ガロア理論(ガロアりろん、Galois theory

 フランスの数学者ガロアが提起した方法論で、体(たい)の性質を有限群に関連させて調べる理論。n次の方程式は重根を重複して数えればn個の複素数解をもつ。これはガウスによって証明された代数学の基本定理である。二次、三次、四次の方程式は、とくに、係数とn乗根(n=2, 3, 4)を用いて解くことができる。しかるに五次以上の方程式は、たとえばxn-a=0といった特殊なものを除けば、係数とn乗根だけでは解くことができない。これが有名なアーベルの定理である。アーベルが19世紀初頭にこれを得たのに引き続いて、ガロアは、根の間の置換のなす群を研究することによって、べき根によって方程式が解けるかどうかを群の問題に転化する原理を確立した。これがガロアの理論である。一見、アーベルの定理によって代数学は研究すべき対象を失ったかに思えたが、実際には古典代数学の幕引きが行われたのであり、以後、群、体などの代数的構造を研究する新しい代数学が誕生した。

 Qでもって有理数体を表す。f(x)を有理係数のn次既約多項式とする。方程式f(x)=0の解のすべてをQに添加した体をKとする。体Kの自己同形の全体Gは群をなし、その位数はnである。このGをKのQ上のガロア群と称する。Gの部分群とKの部分体とが一定の方法で1対1に対応するというのがガロアの基本定理である。こうして、体の問題が群の問題に転化される。とくにf(x)=0の解が係数とべき根を用いて表されるためには、G(0)=G, G(n+1)=[G(n),G(n)](ここに[G(n),G(n)]はGの交換子群である)とするとき、あるnに対してG(n)が単位元のみからなる群となることが必要十分条件である。このような条件を満たす群を可解群という。すなわち、ガロア群が可解群であることがべき根で解ける条件である。



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