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カッシーニの卵形線

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ファイル:Cassinian oval1.png
本文の式で
  [math]a=1, b=1[/math]
  [math]a=1, b=1.2[/math]
  [math]a=1, b=1.4[/math]
  [math]a=1, b=1.6[/math]
ファイル:Cassinian oval2.png
本文の式で
  [math]a=1, b=1[/math]
  [math]a=1.1, b=1[/math]
  [math]a=1.2, b=1[/math]
  [math]a=1.3, b=1[/math]

カッシーニの卵形線(カッシーニのらんけいせん、英語:Cassinian oval)は、直交座標の方程式[math](x^2 + y^2)^2 - 2b^2(x^2 - y^2) - (a^4 - b^4)=0[/math]によって表される四次曲線である。

x軸、y軸に対して線対称である。

  • a < bのとき2つのまるいループに分かれる。
[math](\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0),(\sqrt{-a^2 + b^2},0),(-\sqrt{-a^2 + b^2},0)[/math]の4点でx軸と交わる。
[math](\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0),(0,0)[/math]の3点でx軸と交わる。
  • a > bのとき1つのループからなる。
[math](\sqrt{a^2 + b^2},0),(-\sqrt{a^2 + b^2},0)[/math]の2点でx軸と交わる。

軌跡

2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が[math]a^2[/math]であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。

すなわち[math]\sqrt{(x+b)^2+y^2}\sqrt{(x-b)^2+y^2}=a^2[/math]となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。