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| − | '''エルミート多項式'''（-たこうしき、{{lang-en-short|Hermite polynomial}}）は、[[常微分方程式]]
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| − | :<math>\left( \frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+2n\right) H_n(x)=0</math> | |
| − | を満たす[[多項式]]<math>H_n(x)</math>のことを言う<ref>[[伏見康治]]「[[確率論及統計論]]」第III章 記述的統計学 25節 Hermite多項式, Hermite函数 p.160 式(25.3) ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204</ref><ref>永宮健夫「微分方程式論」(河出書房応用数学講座第二巻）</ref>。
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| − | またこの微分方程式は[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]の一つである。
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| − | エルミート多項式は[[重み関数]]を<math>e^{-x^2}</math>として、次の[[直交性]]を持つ。
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| − | :<math>\int^\infty_{-\infty} H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} 2^n n! \delta_{m,n}</math>
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| − | [[ロドリゲスの公式]]を用いれば、
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| − | :<math>H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>
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| − | と表記できる。
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| − | これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | H_{n+1}(x) &= 2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x) \\
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| − | H'_n(x) &= 2nH_{n-1}(x) \\
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| − | H'_n(x) &= 2xH_n(x)-H_{n+1}(x)
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| − | \end{align}</math>
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| − | [[母関数]]は
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| − | :<math>S(x,y)=e^{-y^2+2xy}=\sum^\infty_{n=0}H_n(x)\frac{y^n}{n!}</math>
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| − | である
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| − | <ref>[[伏見康治]]「[[確率論及統計論]]」第III章 記述的統計学 25節 Hermite多項式, Hermite函数 p.159 式(25.1) ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204</ref>。
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| − | 陽に表せば
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| − | :<math>H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n-2m)!} (2x)^{n-2m}</math>
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| − | である。ここで<math>\lfloor \cdot \rfloor</math>は[[床関数と天井関数|床関数]]である。
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| − | 最初の幾つかを挙げると、
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | H_0(x) &= 1 \\
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| − | H_1(x) &= 2x \\
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| − | H_2(x) &= 4x^2 - 2 \\
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| − | H_3(x) &= 8x^3 - 12x \\
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| − | H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \\
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| − | H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x
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| − | \end{align}</math>
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| − | エルミート多項式は量子化された[[調和振動子]]の[[波動関数]]の一部としてその姿を現す。
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| − | また、正規関数のフーリエ共役関数が正規関数であることを示す<ref>寺澤寛一，今井功:“定積分及Fourier級数"(河出書房応用数学講座第五巻）</ref>。
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| − | == 脚注 ==
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| − | {{reflist}}
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| − | ==関連項目==
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| − | *[[シャルル・エルミート]]
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| − | *[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]
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| − | * [[特殊関数]]
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| − | {{DEFAULTSORT:えるみいとたこうしき}}
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| − | [[Category:微分方程式]]
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| − | [[Category:直交多項式]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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