アポロニウスの円

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ファイル:Apollonius circle definition labels.svg
アポロニウスの円。AP:BPが一定になるようにPを動かすと軌跡は円を描く。

アポロニウスの円（アポロニウスのえん）は、2定点A・Bをとり、点PをAP:BPが一定となるように（但しAP≠BP）したときの点Pの軌跡である。ペルガのアポロニウスの名前を残す。

証明

初等幾何による証明

350px

点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、

AQ:QB=AP:PB
AR:RB=AP:PB

内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。 よって、∠QPR=90° ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。

ベクトルによる証明（1）

m, n を互いに異なる正の実数とする。線分ABを m ： n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、

[math]\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m},\ \overrightarrow{\mathrm{PR}} = \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}.[/math]

このとき、

[math]\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = m : n.[/math]
[math]\Leftrightarrow n|\overrightarrow{\mathrm{PA}}| = m|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|.[/math]
[math]\Leftrightarrow n^2|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2 = m^2|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2.[/math]
[math]\Leftrightarrow (n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})\cdot (n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})=0.[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m}\cdot \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}=0.[/math]
[math]\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}} =0.[/math]
[math]\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PR}} =\vec{0} \vee \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PR}}.[/math]
[math]\Leftrightarrow \mathrm{P}=\mathrm{Q} \vee \mathrm{P}=\mathrm{R} \vee \angle{\mathrm{QPR}}=90^\circ.[/math]

したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。

ベクトルによる証明（2）

線分QRの中点をOとすると、

[math]\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OR}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}.[/math]

したがって、

[math]\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}} = 0.[/math]
[math]\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}) = 0.[/math]
[math]\Leftrightarrow (\overrightarrow{\mathrm{PO}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}) = 0.[/math]
[math]\Leftrightarrow |\overrightarrow{\mathrm{PO}}|^2 = \left( \frac{1}{2}\right)^2|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2.[/math]
[math]\Leftrightarrow \mathrm{PO} = \frac{1}{2}\mathrm{QR}.[/math]

これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 [math]\frac{1}{2}\mathrm{QR}[/math] の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。

アポロニウスの円の中心

線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、

[math]\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PO}} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PR}}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m}+\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m} \right) \\ &= \frac{(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})+(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-2m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}.\end{align}[/math]

すなわち、点Oは線分ABを [math]m^2 : n^2[/math] に外分する点になる。

アポロニウスの円の半径

アポロニウスの円の半径を r とする。ここで平方完成

[math]\begin{align}\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}} &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}{2} \\ &= \frac{1}{2}\left( \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}-\frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n+m} \right) \\ &= \frac{(n+m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}})-(n-m)(n\overrightarrow{\mathrm{PA}}+m\overrightarrow{\mathrm{PB}})}{2(n+m)(n-m)} \\ &= \frac{2mn\overrightarrow{\mathrm{PA}}-2mn\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{2(n^2-m^2)} \\ &= \frac{mn(\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}})}{m^2-n^2} \\ &= \frac{mn}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\end{align}[/math]

定義より、

[math]\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AR}} &= \overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{n\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n-m}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{m}{n-m}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{QB}} &= \frac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{AO}} &= \overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} \\ &= \frac{m^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{m^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \\ \overrightarrow{\mathrm{BO}} &= \overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}} \\ &= \frac{n^2\overrightarrow{\mathrm{PA}}-m^2\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{n^2-m^2}-\overrightarrow{\mathrm{PB}} \\ &= \frac{n^2}{n^2-m^2}(\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}) \\ &= \frac{n^2}{m^2-n^2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\end{align}[/math]

したがって、

[math]r = \left|\frac{mn}{m^2-n^2}\right|\cdot\mathrm{AB} = \frac{\mathrm{AR}\cdot \mathrm{QB}}{\mathrm{AB}} = \sqrt{\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}}.[/math]

アポロニウスの問題に対する解

アポロニウスの問題に対する解はアポロニウスの円とも呼ばれる。

外部リンク



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