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| − | {{簡易区別|本項におけるモジュラー函数は、[[楕円モジュラー函数]]のような[[保型形式]]論に現れるモジュラー函数（重み 0 の[[モジュラー形式]]）及び劣モジュラかつ優モジュラな集合函数}}
| + | '''ハール測度'''（ハールそくど、{{lang-en-short|''Haar measure''}}） |
| − | {{正確性|date=2015年11月}}
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| − | [[解析学]]における'''ハール測度'''（ハールそくど、{{lang-en-short|''Haar measure''}}）は、[[局所コンパクト]][[位相群]]上で定義される[[正則測度|正則]][[不変測度]]である。ハンガリーの数学者{{仮リンク|アルフレッド・ハール|en|Alfréd Haar}}にその名を因む。
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| − | == 定義 ==
| + | 局所コンパクトな位相群上の, 群の演算で不変な測度. |
| − | ''G'' を[[局所コンパクト群]]、'''B''' を ''G'' のコンパクト集合全体から生成される[[完全加法族]]とする。零でない非負値集合関数 μ: '''B''' → '''R'''<sub>+</sub> ∪ {∞} で、以下の条件
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| − | # ''G'' のコンパクト集合 ''K'' の測度 μ(''K'') は有限値をとる。
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| − | # ''G'' の開集合 ''O'' の測度はコンパクト集合 ''K'' ⊂ ''O'' で内側から近似される（μ(''O'') = sup μ(''K'')）。
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| − | # ''G'' の任意の部分集合 ''S'' の測度 μ(''S'') は開集合 ''O'' ⊃ ''S'' で外側から近似される（μ(''S'') = inf μ(''O'')）。
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| − | # ''G'' の元 ''g'' による左移動作用に関して任意の集合 ''S'' の測度は不変である（μ(''g''(''S'')) = μ(''S'')）。
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| − | を全て満たすものを測度空間 (''G'', '''B''') 上の'''左ハール測度'''と呼ぶ。一般に条件の 2-3 が満たされる測度は[[正則測度|正則]] {{en|(regular)}} であるといい、また不変性をいう条件 4 を右移動作用に関する不変性あるいは両側不変性に取り替えて、'''右ハール測度'''や'''ハール測度'''が定義される。
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| − | 局所コンパクト群上に左（あるいは右）ハール測度は必ず存在して、しかも正定数倍の違いを除いて一意に定まる（二つの左ハール測度 μ, μ′ があれば μ = ''c'' μ′ となる正の定数 ''c'' が取れ、また右不変なものに関しても同様である）。逆元を取る作用により左不変測度は右不変測度に、右不変測度は左不変測度にそれぞれ移される。<!--ゆえに、右と左の不変測度のあいだに、適当な関数を与えれば全ての不変測度は一つのハール測度に比例する。-->
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| − | == 不変汎関数 ==
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| − | 局所コンパクト群 ''G'' 上のコンパクト台を持つ複素数値連続関数のなすベクトル空間を ''C''<sub>''c''</sub>(''G'') とし、その連続的双対空間を ''M''(''G'') とする。不変ハール測度は不変正値汎関数（'''ハール汎関数'''とも呼ばれる）と一対一に対応するので、しばしば不変ハール測度と不変ハール汎関数とを同一視して扱われる。
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| − | 実際に、局所コンパクト群 ''G'' とその上の左ハール測度 μ に対して ''C''<sub>''c''</sub>(''G'') の元 ''f'' の μ に関する積分を対応させる汎関数
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| − | :<math>\Phi\colon f \mapsto \int_G f(x)d\mu(x)</math>
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| − | は左不変ハール汎関数であり、逆に左不変ハール汎関数 Φ が与えられたとき、左ハール測度 μ で Φ の各 ''f'' ∈ ''C''<sub>''c''</sub>(''G'') ので値 Φ(''f'') を ''f'' の μ に関する積分として実現するものが取れる。ただし、複素数値汎関数が正値あるいは非負値であるとは、''G'' 上の関数 ''f''(''x'') が正値（恒等的に非負）ならば
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| − | :<math>\int_G f(x) d\mu(x) \ge 0</math>
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| − | となることを言う。また、汎関数が左不変であるとは、''G'' の元 ''g'' の ''G'' における左移動作用の構造移行
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| − | :<math>\int_G f(gx)d\mu(x) = \int_G (L_{g^{-1}}f)(x)d\mu(x)
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| − | =\int_G f(x)d(L_{g}\mu)(x)
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| − | </math>
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| − | によって汎関数の空間 ''M''(''G'') への左移動作用を定めるとき ''L''<sub>''g''</sub>μ = μ が ''G'' の任意の元 ''g'' でなりたつことをいう。左不変性を右不変性、両側不変性に取り替えたものも同様に定める。
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| − | == 例 ==
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| − | 通常の位相と加法に関する位相群 '''R'''<sup>''n''</sup> における通常の[[ルベーグ測度]] ''dx'' や通常の位相と乗法に関する位相群 '''R'''{{subsup||+|×}} の乗法的なルベーグ測度 ''dx''/''x'' はハール測度である。
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| − | 有限群 ''G'' の平均化作用素
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| − | :<math>f(x) \mapsto \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} f(xg)</math>
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| − | を積分の形で
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| − | :<math>\int_G f(x)d\mu(x) = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} f(g)</math>
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| − | と書いたときの ''d''μ はハール測度である。もう少し一般に、離散位相を持つ位相群上の[[数え上げ測度]]はハール測度を与える。
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| − | == モジュラー指標 ==
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| − | 局所コンパクト群 ''G'' とその上の左ハール測度 μ および ''G'' の元 ''g'' に対し、''g'' による右移動 ''R''<sub>''g''</sub> で μ を移した ''R''<sub>''g''</sub>μ はやはり左不変測度である。したがってハール測度の一意性から
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| − | :<math>R_g\mu = \Delta_G(g)\mu</math>
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| − | となる ''G'' 上の[[正値函数]] Δ<sub>''G''</sub> が存在する。これを "群 ''G'' 上の" '''母数'''、'''モジュール''' {{lang|la|(''modulus'')}}<ref group="note">{{lang|la|modulus}} はラテン語で「尺度・規模」の意で、英語の {{lang|en|module}} に相当する。母数はその訳語であるが、この場合、絶対値やノルムと言ったほうが馴染みがあるかもしれない。</ref>あるいは'''モジュラー函数''' {{lang|en|(''modular function'')}}<ref group="note">[[モジュラー函数]]というと、重みが 0 の[[モジュラー形式]]を指すことが多いが、それとは異なる。</ref>と呼ぶ。モジュールは[[トーラス|絶対値 1 の複素数全体の成すコンパクト群]] ''T''<sup>1</sup> を表現加群とする ''G'' の表現（群の指標）を与え、その意味で'''モジュラー指標''' {{lang|en|(modulus character)}} と呼ばれることもある。また、
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| − | :<math>\Delta_G^{-1}\mu(x) = \mu(x^{-1})</math>
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| − | は右ハール測度であり、この式はハール測度 μ の取り方には依らないから、この意味でモジュール Δ<sub>''G''</sub> は「左右のハール測度のずれ」を測るものであるとみることもできる。特に Δ<sub>''G''</sub> が恒等的に 1 に等しいとき、局所コンパクト群 ''G'' は両側不変なハール測度を持ち、'''母数 1 '''あるいは'''単模'''、'''ユニモジュラー''' {{lang|en|(''unimodular'')}} であるといわれる。
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| − | * [[アーベル群]]が必ず単模であることは直ちにわかる。
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| − | * [[コンパクト群]]は、連続像がコンパクトであることと正数全体の成す乗法群 {{math|{{subsup|'''R'''|+|×}}}} のコンパクト部分群が {{math|{{mset|1}}}} に限ることとの二者からやはり必ず単模になる。
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| − | 局所コンパクト群 ''G'' 上の左ハール測度 μ と自己同型 φ があれば、φ<sup>−1</sup>(μ) (φ<sup>−1</sup>(''d''μ(x)) := ''d''μ(φ(''x''))) はやはり左不変測度であり φ<sup>−1</sup>(μ) = ''a''μ なる正定数がある。このとき、mod(φ) = ''a'' と記して "自己同型 φ の" '''母数'''、'''モジュール'''などと呼ぶ。これはハール測度のとり方によらない（とくに右不変ハール測度から定義しても同じ値が現れる）ことが確かめられる。
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| − | * 左移動作用 ''L''<sub>''s''</sub> のモジュール mod<sub>''G''</sub>(''s'') := mod(''L''<sub>''s''</sub>)はちょうど Δ<sub>''G''</sub>(''s'') の逆数になる。
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| − | ''K'' が[[局所コンパクト体]]ならば、''K'' の左正則表現の作用素、つまり乗法群 ''K''<sup>×</sup>の元 ''s'' による加法群 ''K'' への左移動作用
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| − | :<math>L_s\colon x \mapsto sx</math>
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| − | は加法群 ''K'' 上の自己同型であるのでそのモジュールを考えることができるが、これを mod<sub>''K''</sub>(''s'') と記す：
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| − | :<math>\mathrm{mod}_K(s) := \mathrm{mod}(L_s).</math>
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| − | さらに、mod<sub>''K''</sub>(0<sub>''K''</sub>) = 0<sub>''K''</sub> と置いて ''K'' 上の関数に拡張すると、これは正の実数全体への[[連続函数]]となる。
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| − | この局所コンパクト体上のモジュールは[[絶対値]]の概念の自然な一般化である。実際、実数体 '''R''' 上のルベーグ測度 ''dx'' に対して任意の区間 (''a'', ''b'') 上の関数 ''f''(''x'') を与えるとき
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| − | :<math>\int_a^b f(x)d(sx) = \begin{cases}
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| − | s\int_{s^{-1}b}^{s^{-1}a} f(x)dx = -s\int_{s^{-1}a}^{s^{-1}b} f(x)dx & (s < 0), \\[5pt]
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| − | s\int_{s^{-1}a}^{s^{-1}b} f(x)dx & (s > 0).
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| − | \end{cases}</math>
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| − | となるので、''a'' → −∞, ''b'' → ∞ とすれば
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| − | :<math>\int_{\mathbb{R}}f(x)d(sx) = |s| \int_{\mathbb{R}}f(x)dx</math>
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| − | となり、''d''(''sx'') = |''s''| ''dx'' すなわち、mod<sub>'''R'''</sub>(''s'') = |''s''| が得られる。また、[[体の拡大]]あるいは有限階数の多元環の拡大 ''L''/''K'' が与えられるとき、''N''<sub>''L''/''K''</sub> を拡大の[[ノルム (体論)|被約ノルム]]として
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| − | :<math>\mathrm{mod}_L = \mathrm{mod}_K \circ N_{L/K}</math>
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| − | が成り立つ。特に、'''C''' を[[複素数]]体、'''H''' を[[四元数]]体とすると、それぞれの標準的な絶対値 |•| に対して
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| − | :<math>
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| − | \mathrm{mod}_{\mathbb{C}}(c) = |c|^2, \quad
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| − | \mathrm{mod}_{\mathbb{H}}(q) = |q|^4
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| − | </math>
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| − | などとなる。とくに、局所コンパクト体はモジュールを[[付値]]として[[局所体]]の構造を持つ。
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| − | == 注記 ==
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| − | <div class="references-small"><references group="note"/></div>
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| − | == 参考文献 ==
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| − | {{参照方法|date=2015年11月}}
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| − | * {{cite book|和書 |author=[[ニコラ・ブルバキ]] |title=積分4 |series=ブルバキ数学原論 |translator=宮崎浩・清水達雄 |year=1969 |origyear=1963 |publisher=東京図書 |isbn=978-4489002090}}
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| − | * {{cite book|author=André Weil|authorlink=アンドレ・ヴェイユ|title=Basic Number Theory|publisher=Academic Press|year=1971}}
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| − | * {{Cite book
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| − | | 和書
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| − | | last1 = 小林
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| − | | first1 = 俊行
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| − | | last2 = 大島
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| − | | first2 = 利雄
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| − | | year = 2005
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| − | | title = リー群と表現論
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| − | | publisher = 岩波書店
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| − | | isbn = 4-00-006142-9
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| − | | ref = harv
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| − | }}
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| − | == 外部リンク ==
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| − | * {{MathWorld|urlname=HaarMeasure|title=Haar measure}}
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| − | * {{PlanetMath|urlname=HaarMeasure|title=Haar measure}}
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| | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{DEFAULTSORT:はあるそくと}} | | {{DEFAULTSORT:はあるそくと}} |
| | [[Category:測度論]] | | [[Category:測度論]] |