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| − | <!--#redirect [[準同型]] 準同型homomorphismと自己同型automorphismは異なる概念であるので、リンクを解除し、[[:en:automorphism]]の冒頭部分を日本語化する-->
| + | ''自己同型'''(automorphism) |
| − | {{要改訳}}
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| − | 数学において'''自己同型'''(automorphism)とは、[[数学的対象]]から自分自身への[[同型]]射のことを言う。ある解釈においては、構造を保ちながら対象をそれ自身へと[[写像]]する方法のことで、その対象の[[対称性]]を表わしていると言える。対象の全ての自己同型の集合は[[群 (数学)|群]]を成し、'''自己同型群'''(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の[[対称群]]である。
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| − | <!--In [[mathematics]], an '''automorphism''' is an [[isomorphism]] from a [[mathematical object]] to itself. It is, in some sense, a [[symmetry]] of the object, and a way of [[map (mathematics)|mapping]] the object to itself while preserving all of its structure. The set of all automorphisms of an object forms a [[group (mathematics)|group]], called the '''automorphism group'''. It is, loosely speaking, the [[symmetry group]] of the object.-->
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| − | ==定義==
| + | 自分自身の上への同型写像. |
| − | 自己同型の正確な定義は「数学的対象」の種類や、その対象上の「同型射」の定義によって変化する。「自己同型」という言葉が意味を持つ最も一般性の高い領域は[[圏論]]と呼ばれる数学の抽象的な分野である。圏は、抽象的な対象(object)とそれらの対象の間の[[射 (圏論)|射]](morphism)を扱う。圏論においては、（圏論的な意味で）[[同型]]でもあるような[[自己準同型]]（つまり、対象から対象自身への射である）である。
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| − | 圏論では、射は函数である必要もないし、対象は集合である必要もないので、この定義は非常に抽象的な定義である。しかし、より具体的な設定では、対象はある加法構造を持つであろうし、射はこの構造を保つであろう。
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | [[抽象代数学]]の文脈では、「数学的対象」とは例えば、[[群 (数学)|群]]、[[環 (数学)|環]]、[[ベクトル空間]]といった代数的構造である。この場合は、同型は単に[[全単射]]な[[準同型]]である。（準同型の定義は代数構造の種類に依存する、例えば、[[群準同型]]、[[環準同型]]、[[線型作用素]]を参照。）
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| − | 恒等射は'''自明な自己同型'''(trivial automorphism)と呼ばれることもある。他の（恒等射ではない）自己同型は'''非自明な自己同型'''(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。
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| − | <!--==Definition==
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| − | The exact definition of an automorphism depends on the type of "mathematical object" in question and what, precisely, constitutes an "isomorphism" of that object. The most general setting in which these words have meaning is an abstract branch of mathematics called [[category theory]]. Category theory deals with abstract objects and [[morphism]]s between those objects.
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| − | In category theory, an automorphism is an [[endomorphism]] (i.e. a [[morphism]] from an object to itself) which is also an [[isomorphism]] (in the categorical sense of the word).
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| − | This is a very abstract definition since, in category theory, morphisms aren't necessarily functions and objects aren't necessarily sets. In most concrete settings, however, the objects will be sets with some additional structure and the morphisms will be functions preserving that structure.
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| − | In the context of [[abstract algebra]], for example, a mathematical object is an [[algebraic structure]] such as a [[group (mathematics)|group]], [[ring (mathematics)|ring]], or [[vector space]]. An isomorphism is simply a [[bijective]] [[homomorphism]]. (The definition of a homomorphism depends on the type of algebraic structure; see, for example: [[group homomorphism]], [[ring homomorphism]], and [[linear operator]]).
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| − | The [[identity morphism]] ([[identity mapping]]) is called the '''trivial automorphism''' in some contexts. Respectively, other (non-identity) automorphisms are called '''nontrivial automorphisms'''.-->
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| − | ==自己同型群==
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| − | 対象 X の自己同型全体が（真の[[クラス (集合論)|クラス]]ではなく）集合をなす場合、この集合は[[写像]]の[[函数の合成|合成]]の下に[[群 (数学)|群]]をなす。この群を X の'''自己同型群'''と呼ぶ。これが群をなすことは、以下のことから簡単に確認できる。
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| − | * {{仮リンク|閉包 (数学)|label=閉包|en|Closure (binary operation)}}(Closure)：2つの自己準同型の合成は再び自己準同型となる。
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| − | * [[結合法則]](Associativity)： 射の合成は'''常に'''結合的である。
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| − | * [[単位元]](Identity)： 対象からそれ自身への恒等写像は単位元となる。
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| − | * [[逆元]](Inverses)： 定義より、全ての同型は逆写像を持つ。その逆写像も同型であり、また自己準同型でもあるため、それは自己同型となる。
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| − | 圏 C の対象 X の自己同型群は、Aut<sub>C</sub>(X) あるいは、圏が前後関係より明らかな場合は、単に Aut(X) と書く。
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| − | <!--==Automorphism group==
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| − | If the automorphisms of an object ''X'' form a set (instead of a proper [[class (set theory)|class]]), then they form a [[group (mathematics)|group]] under [[Function composition|composition]] of [[morphism]]s. This group is called the '''automorphism group''' of ''X''. That this is indeed a group is simple to see:
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| − | * [[Closure (binary operation)|Closure]]: composition of two endomorphisms is another endomorphism.
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| − | * [[Associativity]]: composition of morphisms is ''always'' associative.
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| − | * [[Identity element|Identity]]: the identity is the identity morphism from an object to itself which exists by definition.
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| − | * [[Inverse element|Inverses]]: by definition every isomorphism has an inverse which is also an isomorphism, and since the inverse is also an endomorphism of the same object it is an automorphism.
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| − | The automorphism group of an object ''X'' in a category ''C'' is denoted Aut<sub>''C''</sub>(''X''), or simply Aut(''X'') if the category is clear from context.-->
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| − | ==例==
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| − | * [[集合論]]では、集合 X 上の任意の[[置換 (数学)|置換]]は、自己同型である。X の自己同型群は、X の[[対称群]]とも呼ばれる。
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| − | * {{仮リンク|初等的な算術|en|elementary arithmetic}}(elementary arithmetic)では、[[整数]]の集合 '''Z''' は加法の下で群とみることができ、符号の反転が唯一の非自明な自己同型となる。しかし、[[環 (数学)|環]]と考えた場合は自明な自己同型しか持たない。一般的に、符号反転は任意の[[アーベル群]]上の自己同型になるが、環や体ではそうならない。
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| − | * 群の自己同型は、群からそれ自身への[[群同型]]である。非公式に言うと、構造を変化させない群上の置換である。すべての群 G に対して、[[像 (数学)|像]]は[[内部自己同型]](inner automorphism)の群 Inn(G) となり、[[核 (代数学)|核]]が G の[[群の中心|中心]]となるような、自然な作用をもつ準同型 G → Aut(G) が存在する。従って、G が[[自明群|自明]]な中心を持つならば、G を G 自身の自己同型群に埋め込むことができる。<ref name=Pahl>
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| − | | |
| − | {{cite book |url=http://books.google.com/?id=kvoaoWOfqd8C&pg=PA376 |page=376 |chapter=§7.5.5 Automorphisms |title=Mathematical foundations of computational engineering |edition=Felix Pahl translation |author=PJ Pahl, R Damrath |isbn=3-540-67995-2 |year=2001 |publisher=Springer}}
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| − | </ref>
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| − | <!--==Examples==
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| − | * In [[set theory]], an arbitrary [[permutation]] of the elements of a set ''X'' is an automorphism. The automorphism group of ''X'' is also called the [[symmetric group]] on ''X''.
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| − | * In [[elementary arithmetic]], the set of [[integer]]s, '''Z''', considered as a group under addition, has a unique nontrivial automorphism: negation. Considered as a [[ring (mathematics)|ring]], however, it has only the trivial automorphism. Generally speaking, negation is an automorphism of any [[abelian group]], but not of a ring or field.
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| − | * A group automorphism is a [[group isomorphism]] from a group to itself. Informally, it is a permutation of the group elements such that the structure remains unchanged. For every group ''G'' there is a natural group homomorphism ''G'' → Aut(''G'') whose [[image (mathematics)|image]] is the group Inn(''G'') of [[inner automorphism]]s and whose [[kernel (algebra)|kernel]] is the [[center (group theory)|center]] of ''G''. Thus, if ''G'' has [[Trivial group|trivial]] center it can be embedded into its own automorphism group.<ref name=Pahl>
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| − | {{cite book |url=http://books.google.com/?id=kvoaoWOfqd8C&pg=PA376 |page=376 |chapter=§7.5.5 Automorphisms |title=Mathematical foundations of computational engineering |edition=Felix Pahl translation |author=PJ Pahl, R Damrath |isbn=3-540-67995-2 |year=2001 |publisher=Springer}}
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| − | </ref>-->
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| − | * [[線型代数]]では、[[ベクトル空間]] V の自己準同型が、[[線型変換]] V → V である。自己同型は V 上の可逆な線型変換のことである。ベクトル空間が有限次元のとき、V の自己同型群は[[一般線型群]] GL(V) と同じになる。
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| − | * 体の自己同型は、[[可換体|体]]から自分自身への[[全単射]]な[[環準同型]]である。[[有理数]] '''Q''' と[[実数]] '''R''' の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。'''R''' が非自明な体自己同型を持つとすると、'''R''' の全体への拡大ができない（なぜならば、'''R''' は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである）。[[複素数]] '''C''' の場合は、'''R''' を '''R''' の中へ移す非自明な自己同型は[[複素共役]]ただ一つである。しかし、（[[選択公理]]を前提とすると、）無限個（[[非可算]]個の）「ワイルド」な自己同型が存在する。<ref>{{cite journal | last = Yale | first = Paul B. | journal = Mathematics Magazine | title = Automorphisms of the Complex Numbers | volume = 39 | issue = 3 |date=May 1966 | pages = 135–141 | url = http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf | doi = 10.2307/2689301 | jstor = 2689301}}</ref><ref>{{cite |last=Lounesto |first=Pertti |year=2001 |publisher= Cambridge University Press |title=Clifford Algebras and Spinors | edition = 2nd |pages= 22–23|isbn=0-521-00551-5 }}</ref> 体自己同型は[[体の拡大]]、特に[[ガロア拡大]]の理論で重要である。[[ガロア拡大]] L/K の場合には、K を各元ごとに固定する L の自己同型全体の[[部分群]]を拡大の[[ガロア群]]と呼ぶ。
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| − | <!--* In [[linear algebra]], an endomorphism of a [[vector space]] ''V'' is a [[linear transformation|linear operator]] ''V'' → ''V''. An automorphism is an invertible linear operator on ''V''. When the vector space is finite-dimensional, the automorphism group of ''V'' is the same as the [[general linear group]], GL(''V'').
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| − | * A field automorphism is a [[bijection|bijective]] [[ring homomorphism]] from a [[field (mathematics)|field]] to itself. In the cases of the [[rational number]]s ('''Q''') and the [[real number]]s ('''R''') there are no nontrivial field automorphisms. Some subfields of '''R''' have nontrivial field automorphisms, which however do not extend to all of '''R''' (because they cannot preserve the property of a number having a square root in '''R'''). In the case of the [[complex number]]s, '''C''', there is a unique nontrivial automorphism that sends '''R''' into '''R''': [[complex conjugate|complex conjugation]], but there are infinitely ([[uncountable|uncountably]]) many "wild" automorphisms (assuming the [[axiom of choice]]).<ref>{{cite journal | last = Yale | first = Paul B. | journal = Mathematics Magazine | title = Automorphisms of the Complex Numbers | volume = 39 | issue = 3 |date=May 1966 | pages = 135–141 | url = http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf | doi = 10.2307/2689301 | jstor = 2689301}}</ref><ref>{{cite |last=Lounesto |first=Pertti |year=2001 |publisher= Cambridge University Press |title=Clifford Algebras and Spinors | edition = 2nd |pages= 22–23|isbn=0-521-00551-5 }}</ref> Field automorphisms are important to the theory of [[field extension]]s, in particular [[Galois extension]]s. In the case of a Galois extension ''L''/''K'' the [[subgroup]] of all automorphisms of ''L'' fixing ''K'' pointwise is called the [[Galois group]] of the extension.-->
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| − | *p-進数の体 '''Q'''<sub>p</sub> は非自明な自己同型を持たない。
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| − | * [[グラフ理論]]では、{{仮リンク|グラフ自己同型|label=グラフの自己同型|en|graph automorphism}}(automorphism of a graph)は、頂点の置換で隣接関係を保つ写像のことを言う。
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| − | * 関係性の自己同型については、{{仮リンク|自己同型を保存する関係|en|Isomorphism#A relation-preserving isomorphism}}(relation-preserving automorphism)を参照。
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| − | ** {{仮リンク|順序理論|en|order theory}}(order theory)については、{{仮リンク|順序自己同型|en|order automorphism}}(order automorphism)を参照。
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| − | * [[幾何学]]では、自己同型は空間の{{仮リンク|運動 (幾何学)|label=動き|en|motion (geometry)}}(motion)と呼ばれる。下記の特別な意味で使われる。
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| − | ** {{仮リンク|計量幾何学|en|metric geometry<!-- リダイレクト先の「[[:en:Metric space]]」は、[[:ja:距離空間]] とリンク --><!--内容が少し異なるので、ペンディングとさせてください-->}}(metric geometry)では、自己同型は、自己[[等長写像]]を意味する。自己同型群は{{仮リンク|等長群|en|isometry group}}(isometry group)と呼ばれる。
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| − | ** [[リーマン面]]のカテゴリでは、自己同型は、あるリーマン面から自分自身への全単射な[[双正則写像|双正則]](biholomorphic)写像をいう（[[共形写像]]とも言う）。 例えば、[[リーマン球面]]の自己同型は[[メビウス変換]]である。
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| − | ** 微分可能[[多様体]] M の自己同型は、M からそれ自身への[[微分同相写像]]である。自己同型群は Diff(M) と書く。
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| − | <!--*The field '''Q'''<sub>''p''</sub> of p-adic numbers has no nontrivial automorphisms.
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| − | * In [[graph theory]] an [[graph automorphism|automorphism of a graph]] is a permutation of the nodes that preserves edges and non-edges. In particular, if two nodes are joined by an edge, so are their images under the permutation.
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| − | * For relations, see [[Isomorphism#A relation-preserving isomorphism|relation-preserving automorphism]].
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| − | ** In [[order theory]], see [[order automorphism]].
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| − | * In [[geometry]], an automorphism may be called a [[motion (geometry)|motion]] of the space. Specialized terminology is also used:
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| − | ** In [[metric geometry]] an automorphism is a self-[[isometry]]. The automorphism group is also called the [[isometry group]].
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| − | ** In the category of [[Riemann surface]]s, an automorphism is a bijective [[biholomorphy|biholomorphic]] map (also called a [[conformal map]]), from a surface to itself. For example, the automorphisms of the [[Riemann sphere]] are [[Möbius transformation]]s.
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| − | ** An automorphism of a differentiable [[manifold]] ''M'' is a [[diffeomorphism]] from ''M'' to itself. The automorphism group is sometimes denoted Diff(''M'').-->
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| − | ** [[トポロジー]]では、[[位相空間]]の間の準同型は、[[連続 (数学)|連続写像]]であり、位相空間の自己同型群は、空間から自分自身への[[同相写像|同相]]群である（{{仮リンク|同相群|en|homeomorphism group}}(homeomorphism group)を参照）。この例は、全単射が同型となることは'''充分ではない'''ことを示している。
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| − | <!--** In [[topology]], morphisms between topological spaces are called [[Continuous function (topology)|continuous maps]], and an automorphism of a topological space is a [[homeomorphism]] of the space to itself, or self-homeomorphism (see [[homeomorphism group]]). In this example it is ''not sufficient'' for a morphism to be bijective to be an isomorphism.-->
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| − | ==歴史==
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| − | 群の自己同型の最初期における例は、1856年にアイルランドの数学者[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]により与えられた。彼は著書「[[:en:icosian calculus|icosian calculus]]」の中で、位数 2 の自己同型を発見し、次のように書いている。<ref>{{Cite journal
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| − | |title=Memorandum respecting a new System of Roots of Unity
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| − | |author=Sir William Rowan Hamilton
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| − | |author-link=William Rowan Hamilton
| |
| − | |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf
| |
| − | |journal=[[Philosophical Magazine]]
| |
| − | |volume=12
| |
| − | |year=1856
| |
| − | |pages=446
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| − | }}</ref>
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| − | <blockquote>従って、<math>\mu</math> は 1 の新たな5 乗根であり、先の 5 乗根 <math>\lambda</math> と完璧な相互関係で結ばれている。</blockquote>
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| − | <!--==History==
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| − | One of the earliest group automorphisms (automorphism of a group, not simply a group of automorphisms of points) was given by the Irish mathematician [[William Rowan Hamilton]] in 1856, in his [[icosian calculus]], where he discovered an order two automorphism,<ref>{{Cite journal
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| − | |title=Memorandum respecting a new System of Roots of Unity
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| − | |author=Sir William Rowan Hamilton
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| − | |author-link=William Rowan Hamilton
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| − | |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf
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| − | |journal=[[Philosophical Magazine]]
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| − | |volume=12
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| − | |year=1856
| |
| − | |pages=446
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| − | }}</ref> writing:
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| − | <blockquote>so that <math>\mu</math> is a new fifth root of unity, connected with the former fifth root <math>\lambda</math> by relations of perfect reciprocity.</blockquote>-->
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| − | ==内部自己同型と外部自己同型==
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| − | ある種の圏、特に[[群 (数学)|群]]、[[環 (数学)|環]]、[[リー代数]]では、自己同型を「内部自己同型」と「外部自己同型」の 2種類に分けることができる。
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| − | 群の場合、[[内部自己同型]](inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは <math> \varphi_a (g) = a g a^{-1} </math>（もしくは、a<sup>−1</sup>ga 、使い道により異なる）により与えられる作用 φ<sub>a</sub> : G → G のことである。a による共役が群の自己同型であることは容易に分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の[[正規部分群]]を成し、これを Inn(G) で表す。これを{{仮リンク|グルサの補題|en|Goursat's lemma}}(Goursat's lemma)という。
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| − | これ以外の自己同型を{{仮リンク|外部自己同型|en|outer automorphism}}(outer automorphism)と呼ぶ。[[商群]] Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表す。この群の非自明な元は、外部自己同型を含む[[剰余類]]である。
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| − | a が[[可逆元]]であれば、任意の単位元を持つ[[環 (数学)|環]]や[[体上の多元環|体上の代数]]においても同様の定義が成り立つ。[[リー代数]]に対しては、定義は少し異なる。
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| − | <!--==Inner and outer automorphisms==
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| − | In some categories—notably [[group (mathematics)|groups]], [[ring (mathematics)|rings]], and [[Lie algebra]]s—it is possible to separate automorphisms into two types, called "inner" and "outer" automorphisms.
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| − | In the case of groups, the [[inner automorphism]]s are the conjugations by the elements of the group itself. For each element ''a'' of a group ''G'', conjugation by ''a'' is the operation φ<sub>''a''</sub> : ''G'' → ''G'' given by <math> \varphi_a (g) = a g a^{-1} </math> (or ''a''<sup>−1</sup>''ga''; usage varies). One can easily check that conjugation by ''a'' is a group automorphism. The inner automorphisms form a [[normal subgroup]] of Aut(''G''), denoted by Inn(''G''); this is called [[Goursat's lemma]].
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| − | The other automorphisms are called [[outer automorphism]]s. The [[quotient group]] Aut(''G'') / Inn(''G'') is usually denoted by Out(''G''); the non-trivial elements are the cosets that contain the outer automorphisms.
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| − | The same definition holds in any [[unital algebra|unital]] [[ring (mathematics)|ring]] or [[algebra over a field|algebra]] where ''a'' is any [[Unit (ring theory)|invertible element]]. For [[Lie algebra]]s the definition is slightly different.-->
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| − | ==関連項目==
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| − | * [[自己準同型環]]
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| − | * {{仮リンク|反自己同型|en|antiautomorphism}}(antiautomorphism)
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| − | * [[フロベニウス自己同型]]
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| − | * [[射 (圏論)|射]]
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| − | * [[特性部分群]](characteristic subgroup)
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| − | ==参考文献==
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| − | <references />
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| − | ==外部リンク==
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| − | * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Automorphism ''Automorphism'' at Encyclopaedia of Mathematics]
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| − | * {{MathWorld | urlname=Automorphism | title = Automorphism}}
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| − | | |
| − | {{math-stub}}
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| | {{デフォルトソート:しことうけい}} | | {{デフォルトソート:しことうけい}} |