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| − | 数学において、ある種の[[偏微分方程式]]系は、内在する幾何学的ないし代数的構造の観点から[[微分形式]]の言葉で定式化される。動機は、微分形式を用いて[[部分多様体]]を制限する手法を適用し、この制限手法と[[微分形式#外微分|外微分]]が整合する事実を活用することにある。この定式化は、例えばある種の{{仮リンク|過剰決定系|en|over-determined system}}(over-determined system)に対するアプローチの候補となる。'''パフィアン系'''(Pfaffian system)は 1-形式によって指定される一方で、この理論は他のタイプの'''微分方程式系'''(differential system)も対象として含む。
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | <!---In [[mathematics]], certain systems of [[partial differential equation]]s are usefully formulated, from the point of view of their underlying geometric and algebraic structure, in terms of a system of [[differential form]]s. The idea is to take advantage of the way a differential form ''restricts'' to a [[submanifold]], and the fact that this restriction is compatible with the [[exterior derivative]]. This is one possible approach to certain [[over-determined system]]s, for example. A '''Pfaffian system''' is one specified by 1-forms alone, but the theory includes other types of example of '''differential system'''.-->
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| − | ''n''-次元多様体 ''M'' 上で微分可能な 1-形式 α<sub>''i''</sub> (''i''=1,2, ..., ''k'') が与えられた時、'''積分可能多様体'''(integral manifold)とは、部分多様体 ''N'' であって、全ての点 ''p'' ∈ ''N'' における接空間が各々の α<sub>''i''</sub> により消去されるものをいう。
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| − | '''最大積分可能多様体'''(maximal integral manifold)は部分多様体
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| − | :<math>i:N\subset M</math>
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| − | であり、形式
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| − | :<math>i^*:\Omega_p^1(M)\rightarrow \Omega_p^1(N)</math>
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| − | 上への制限写像の核(kernel)が ''N'' の全ての点 ''p'' で α<sub>''i''</sub> ではられるような部分多様体である。加えて、 α<sub>''i''</sub> が線型独立であれば、''N'' は (''n'' − ''k'')-次元である。''i'': ''N'' ⊂ ''M'' は埋め込まれた多様体である必要はないことに注意する。
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| − | <!---Given a collection of differential 1-forms α<sub>''i''</sub>, ''i''=1,2, ..., ''k'' on an ''n''-dimensional manifold ''M'', an '''integral manifold''' is a submanifold whose tangent space at every point ''p'' ∈ ''M'' is annihilated by each α<sub>''i''</sub>.
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| − | A '''maximal integral manifold''' is a submanifold
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| − | :<math>i:N\subset M</math>
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| − | such that the kernel of the restriction map on forms
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| − | :<math>i^*:\Omega_p^1(M)\rightarrow \Omega_p^1(N)</math>
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| − | is spanned by the α<sub>''i''</sub> at every point ''p'' of ''N''. If in addition the α<sub>''i''</sub> are linearly independent, then ''N'' is (''n'' − ''k'')-dimensional. Note that ''i'': ''N'' ⊂ ''M'' need not be an embedded submanifold.-->
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| − | パフィアン系は、''N'' が最大積分可能多様体により{{仮リンク|葉層構造|en|foliation}}(foliation)を持つときに、'''完全可積分'''(completely integrable)と言われる。（葉層構造は、必ずしも'''正規'''(regular)である必要はない、つまり、葉層構造の葉は部分多様体に埋め込まれていなくともよい。）
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| − | '''可積分条件'''(integrability condition)は、α<sub>''i''</sub> 上の条件で十分に大きな次元で積分可能な部分多様体が存在することを保証する条件を言う。
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| − | <!---A Pfaffian system is said to be '''completely integrable''' if ''N'' admits a [[foliation]] by maximal integral manifolds. (Note that the foliation need not be '''regular'''; i.e. the leaves of the foliation might not be embedded submanifolds.)
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| − | An '''integrability condition''' is a condition on the α<sub>''i''</sub> to guarantee that there will be integral submanifolds of sufficiently high dimension.-->
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| − | ==必要十分条件==
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| − | パフィアン系が'''完全可積分'''(complete integrability)であるための必要十分条件は、{{仮リンク|フロベニウスの定理 (微分トポロジー)|label=フロベニウスの定理|en|Frobenius theorem (differential topology)}}(Frobenius theorem)により与えられる。フロベニウスの定理の一つのバージョンは、イデアル <math>\mathcal I</math> が代数的に環 Ω(''M'') 内の α<sub>''i''</sub> により生成されるとすると、言い換えると
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| − | :<math>d{\mathcal I}\subset {\mathcal I}</math>
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| − | とすると、系は最大積分可能多様体により{{仮リンク|葉層構造|en|foliation}}(foliation)を持つ。（逆は定義より明らかである。）
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| − | <!---==Necessary and sufficient conditions==
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| − | The necessary and sufficient conditions for '''complete integrability''' of a Pfaffian system are given by the [[Frobenius theorem (differential topology)|Frobenius theorem]]. One version states that if the ideal <math>\mathcal I</math> algebraically generated by the collection of α<sub>''i''</sub> inside the ring Ω(''M'') is differentially closed, in other words
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| − | :<math>d{\mathcal I}\subset {\mathcal I},</math>
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| − | then the system admits a [[foliation]] by maximal integral manifolds. (The converse is obvious from the definitions.)-->
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| − | ==非可積分系の例==
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| − | すべてのパフィアン系がフロベニウスの意味で完全可積分であるわけではない。例えば、'''R'''<sup>3</sup> - (0,0,0) 上の次の 1-形式を考えると、
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| − | :<math>\theta=x\,dy+y\,dz+z\,dx.</math>
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| − | もし dθ が上記の θ で生成されたイデアルの中にあるとすると、ウェッジ積の歪性(skewness)により
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| − | :<math>\theta\wedge d\theta=0</math>
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| − | となる。しかし、直接計算すると、
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| − | :<math>\theta\wedge d\theta=(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz</math>
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| − | は、'''R'''<sup>3</sup> 上の標準[[体積形式]]に非零の数をかけたものとなる。従って、2次元の葉は存在せず、系は完全可積分ではない。
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| − | 他方、
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| − | :<math> x =t, \quad y= c, \qquad z = e^{-{t \over c}}, \quad t > 0 </math>
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| − | で定義される曲線は、上記の任意の定数 c のパフィアン系の解（すなわち、[[積分曲線]](integral curve)）となることが容易にわかる。
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| − | <!---==Example of a non-integrable system==
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| − | Not every Pfaffian system is completely integrable in the Frobenius sense. For example, consider the following one-form on '''R'''<sup>3</sup> - (0,0,0)
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| − | :<math>\theta=x\,dy+y\,dz+z\,dx.</math>
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| − | If ''d''θ were in the ideal generated by θ we would have, by the skewness of the wedge product
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| − | :<math>\theta\wedge d\theta=0.</math>
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| − | But a direct calculation gives
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| − | :<math>\theta\wedge d\theta=(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz</math>
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| − | which is a nonzero multiple of the standard volume form on '''R'''<sup>3</sup>. Therefore, there are no two-dimensional leaves, and the system is not completely integrable.
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| − | On the other hand, the curve defined by
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| − | :<math> x =t, \quad y= c, \qquad z = e^{-{t \over c}}, \quad t > 0 </math>
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| − | is easily verified to be a solution (i.e. an [[integral curve]]) for the above Pfaffian system for any nonzero constant ''c''.-->
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| − | ==応用例==
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| − | [[リーマン幾何学]]において、正規直交する{{仮リンク|コフレーム|en|coframe}}(coframe) θ<sup>''i''</sup> を求める問題を考える。つまり、各点で余接空間の基底を与える 1-形式の組 θ<sup>''i''</sup> で、<math>\langle\theta^i,\theta^j\rangle=\delta^{ij}</math> を満たし、かつ閉である (dθ<sup>''i''</sup> = 0, ''i''=1,2, ..., ''n'') ものを求めたい。[[ポアンカレの補題]]により、θ<sup>''i''</sup> は局所的に多様体上のある関数 ''x<sup>i</sup>'' を以て完全形式 d''x<sup>i</sup>'' となり、''M'' の開部分集合と '''R'''<sup>n</sup> の開部分集合の間の等長写像(isometry)を与える。このような多様体を'''局所平坦'''(locally flat)という。
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| − | この問題は、''M'' の{{仮リンク|フレームバンドル|label=コフレームバンドル}}(coframe bundle)に関する問題に帰着する。そのような閉コフレームがあったとする。
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| − | :<math>\Theta=(\theta^1,\dots,\theta^n).</math>
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| − | 別のコフレーム <math>\Phi=(\phi^1,\dots,\phi^n)</math> があったとすると、2つのコフレームは直交変換
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| − | :<math>\Phi=M\Theta</math>
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| − | によって、代わり合う。接続 1-形式を ω とすると、
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| − | :<math>d\Phi=\omega\wedge\Phi</math> | |
| − | を得る。
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| − | | |
| − | 他方、
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| − | : <math>
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| − | \begin{align}
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| − | d\Phi & = (dM)\wedge\Theta+M\wedge d\Theta \\
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| − | & =(dM)\wedge\Theta \\
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| − | & =(dM)M^{-1}\wedge\Phi.
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | である。しかし、<math>\omega=(dM)M^{-1}</math> は[[直交群]](orthogonal group)の[[モーレー・カルタンの微分形式]]である。従って、構造方程式<math>d\omega+\omega\wedge\omega=0</math> に従い、これはまさに ''M'' の[[曲率]] <math>\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega=0</math> である。フロベニウスの定理の応用により、多様体 ''M'' が局所平坦ということと、曲率がゼロであるということとは同値であると結論できる。
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| − | <!---==Examples of applications==
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| − | In [[Riemannian geometry]], we may consider the problem of finding an orthogonal [[coframe]] θ<sup>''i''</sup>, i.e., a collection of 1-forms forming a basis of the cotangent space at every point with <math>\langle\theta^i,\theta^j\rangle=\delta^{ij}</math> which are closed (dθ<sup>''i''</sup> = 0, i=1,2, ..., ''n''). By the [[Poincaré lemma]], the θ<sup>''i''</sup> locally will have the form d''x<sup>i</sup>'' for some functions ''x<sup>i</sup>'' on the manifold, and thus provide an isometry of an open subset of M with an open subset of '''R'''<sup>''n''</sup>. Such a manifold is called '''locally flat.'''
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| − | This problem reduces to a question on the [[frame bundle|coframe bundle]] of ''M''. Suppose we had such a closed coframe
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| − | :<math>\Theta=(\theta^1,\dots,\theta^n)</math>.
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| − | If we had another coframe <math>\Phi=(\phi^1,\dots,\phi^n)</math>, then the two coframes would be related by an orthogonal transformation
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| − | :<math>\Phi=M\Theta</math>
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| − | If the connection 1-form is ω, then we have
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| − | :<math>d\Phi=\omega\wedge\Phi</math>
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| − | On the other hand,
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| − | : <math>
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| − | \begin{align}
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| − | d\Phi & = (dM)\wedge\Theta+M\wedge d\Theta \\
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| − | & =(dM)\wedge\Theta \\
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| − | & =(dM)M^{-1}\wedge\Phi.
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | But <math>\omega=(dM)M^{-1}</math> is the [[Maurer–Cartan form]] for the [[orthogonal group]]. Therefore it obeys the structural equation
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| − | <math>d\omega+\omega\wedge\omega=0,</math> and this is just the [[curvature]] of M: <math>\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega=0.</math>
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| − | After an application of the Frobenius theorem, one concludes that a manifold M is locally flat if and only if its curvature vanishes.-->
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| − | ==一般化==
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| − | 必ずしも 1-形式から生成されるものだけではない微分方程式系の可積分条件には多くの一般化が存在する。これらの中で最も有名なものは、{{仮リンク|カルタン・ケーラーの定理|en|Cartan-Kähler theorem}}(Cartan-Kähler theorem)である。この定理は、[[実解析]]的微分方程式系に対して機能するのみならず、{{仮リンク|カルタン・倉西の延長定理|en|Cartan–Kuranishi prolongation theorem}}(Cartan–Kuranishi prolongation theorem)でも機能する。詳細は、参考文献を参照。
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| − | <!---==Generalizations==
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| − | Many generalizations exist to integrability conditions on differential systems which are not necessarily generated by one-forms. The most famous of these are the [[Cartan-Kähler theorem]], which only works for [[Real analysis|real analytic]] differential systems, and the [[Cartan–Kuranishi prolongation theorem]]. See ''Further reading'' for details.-->
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| − | ==参考文献==
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| − | *Bryant, Chern, Gardner, Goldschmidt, Griffiths, ''Exterior Differential Systems'', Mathematical Sciences Research Institute Publications, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97411-3
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| − | *Olver, P., ''Equivalence, Invariants, and Symmetry'', Cambridge, ISBN 0-521-47811-1
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| − | *Ivey, T., Landsberg, J.M., ''Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems'', American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3375-8
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| − | {{デフォルトソート:ひふんほうていしきのかせいふんけい}}
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| − | [[Category:偏微分方程式]]
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| − | [[Category:微分位相幾何学]]
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| − | [[Category:微分方程式系]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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