Warning: Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3

Warning: "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297

Warning: Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660

Warning: session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834

Warning: ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126

Warning: ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127

Warning: session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133

Warning: session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140

Warning: "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
http:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=36.2.114.149&feedformat=atom miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja] 2024-05-07T06:56:01Z 利用者の投稿記録 MediaWiki 1.31.0 ペアノの公理 2018-06-08T17:49:37Z <p>36.2.114.149: 従来の記述は一階述語論理での定式化でもペアノシステムが一意に定まるとの誤解を招きかねないものでしたので、修正しました。</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;ペアノの公理&#039;&#039;&#039;（ペアノのこうり、{{lang-en-short|Peano axioms}}） とは、[[自然数]]全体を[[公理|公理化]]したものである。[[1891年]]に、[[ジュゼッペ・ペアノ]]によって定義された。<br /> <br /> == 定義 ==<br /> ペアノの公理は以下の様に定義される。<br /> <br /> 自然数は次の5条件を満たす。<br /> #自然数 0 が存在する。<br /> #任意の自然数 &#039;&#039;a&#039;&#039; にはその&#039;&#039;&#039;後者&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;successor&#039;&#039;)、suc(&#039;&#039;a&#039;&#039;) が存在する（suc(&#039;&#039;a&#039;&#039;) は &#039;&#039;a&#039;&#039; + &#039;&#039;1&#039;&#039; の &quot;意味&quot;）。<br /> #0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。<br /> #異なる自然数は異なる後者を持つ：&#039;&#039;a&#039;&#039; &amp;ne; &#039;&#039;b&#039;&#039; のとき suc(&#039;&#039;a&#039;&#039;) &amp;ne; suc(&#039;&#039;b&#039;&#039;) となる。<br /> #0 がある性質を満たし、&#039;&#039;a&#039;&#039; がある性質を満たせばその後者 suc(&#039;&#039;a&#039;&#039;) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。<br /> <br /> 5番目の公理は、[[数学的帰納法]]の原理である。<br /> また、後述するとおり[[集合論]]における標準的な構成では、0 を[[空集合]]として定義する。<br /> <br /> さらに形式的には、&#039;&#039;&#039;ペアノシステム&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;x&#039;&#039;, &#039;&#039;f&#039;&#039;) を次の条件を満たす順序つきの三つ組みとして定義する。<br /> *&#039;&#039;X&#039;&#039; は[[集合]]、 &#039;&#039;x&#039;&#039; は &#039;&#039;X&#039;&#039; の[[元 (数学)|元]]、&#039;&#039;f&#039;&#039; は &#039;&#039;X&#039;&#039; からそれ自身への[[写像]]<br /> *&#039;&#039;x&#039;&#039; は &#039;&#039;f&#039;&#039; の[[写像|値域]]にはない<br /> *&#039;&#039;f&#039;&#039; は[[単射]]である<br /> *もし &#039;&#039;X&#039;&#039; の[[部分集合]] &#039;&#039;A&#039;&#039; が以下を満たすならば、 &#039;&#039;A&#039;&#039; = &#039;&#039;X&#039;&#039; である。<br /> **&#039;&#039;x&#039;&#039; は &#039;&#039;A&#039;&#039; に含まれる<br /> **もし &#039;&#039;a&#039;&#039; が &#039;&#039;A&#039;&#039; に含まれるなら &#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;a&#039;&#039;) も &#039;&#039;A&#039;&#039; に含まれる<br /> ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:<br /> <br /> :&lt;math&gt;x\mapsto f(x)\mapsto f(f(x))\mapsto f(f(f(x)))\mapsto\dotsb&lt;/math&gt;<br /> <br /> ここで、各 &#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039;), &#039;&#039;f&#039;&#039;(&amp;nbsp;&#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039;)&amp;nbsp;), &#039;&#039;f&#039;&#039;(&amp;nbsp;&#039;&#039;f&#039;&#039;(&amp;nbsp;&#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039;)&amp;nbsp;)&amp;nbsp;), ... は明確に区別可能。<br /> <br /> == 存在と一意性 ==<br /> [[集合論]]における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。<br /> まず、&#039;&#039;後者関数&#039;&#039;を定義する; 任意の集合 &#039;&#039;a&#039;&#039; に対してその&#039;&#039;後者&#039;&#039;を suc(&#039;&#039;a&#039;&#039;) := &#039;&#039;a&#039;&#039; &amp;cup; {&#039;&#039;a&#039;&#039;} と定義する。<br /> 集合 &#039;&#039;A&#039;&#039; が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「&#039;&#039;a&#039;&#039; が &#039;&#039;A&#039;&#039; の元であるならば suc(&#039;&#039;a&#039;&#039;) も &#039;&#039;A&#039;&#039; の元である」が成り立つときに、 &#039;&#039;A&#039;&#039; は&#039;&#039;帰納的集合&#039;&#039;であるという。<br /> ここで、次のように定義する。<br /> *&lt;math&gt; 0 := \emptyset = \{\} &lt;/math&gt;<br /> *&#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039; := 0 を含むあらゆる帰納的集合の[[共通部分 (数学)|共通部分]]<br /> *suc := 後者関数の&#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039;への制限<br /> この集合 &#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039; を自然数全体の集合といい、これは時々（特に[[順序数]]に関する文脈で）ギリシャ文字の &amp;omega; と表記される。<br /> <br /> [[公理的集合論|無限集合の公理]]は 0 を含む帰納的集合の存在を主張しているので、ここでの &#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039; の定義に問題はない。<br /> 自然数のシステム (&#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039;, 0, suc) はペアノの公理を満たすことが示される。<br /> それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。<br /> *&lt;math&gt;0 := \{\}&lt;/math&gt;<br /> *&lt;math&gt;1 := \operatorname{suc}(0) = \{0\}&lt;/math&gt;<br /> *&lt;math&gt;2 := \operatorname{suc}(1) = \{0, 1\} = \{0, \{0\}\}&lt;/math&gt;<br /> *&lt;math&gt;3 := \operatorname{suc}(2) = \{0, 1, 2\} = \{0, \{0\}, \{0, \{0\}\}\}&lt;/math&gt;<br /> 等々である。<br /> この構成法は[[ジョン・フォン・ノイマン]]による。<br /> <br /> これは可能なペアノシステムの構成法として唯一のものではない。<br /> 例えば、集合 &#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039; = {0, 1, 2, ...} の構成と上記の後者関数 suc を仮定して、<br /> &#039;&#039;X&#039;&#039; := {5, 6, 7, ...}, &#039;&#039;x&#039;&#039; := 5, と &#039;&#039;f&#039;&#039; := &#039;&#039;X&#039;&#039; 上に限定した後者関数、と定義したならば、これもまたペアノシステムである。<br /> :&lt;math&gt; 5 \mapsto 6 \mapsto 7 \mapsto 8 \mapsto\dotsb&lt;/math&gt;<br /> <br /> 二つのペアノシステム (&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;x&#039;&#039;, &#039;&#039;f&#039;&#039;) と (&#039;&#039;Y&#039;&#039;, &#039;&#039;y&#039;&#039;, &#039;&#039;g&#039;&#039;) は次の条件を満たす[[全単射]] &amp;phi;: &#039;&#039;X&#039;&#039;→&#039;&#039;Y&#039;&#039; が（唯一つ）存在するときに&#039;&#039;同型&#039;&#039;であるという:<br /> *&amp;phi;(&#039;&#039;x&#039;&#039;) = &#039;&#039;y&#039;&#039;<br /> *&#039;&#039;X&#039;&#039; の任意の元 &#039;&#039;a&#039;&#039; に対して &amp;phi;(&#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;a&#039;&#039;)) = &#039;&#039;g&#039;&#039;(&amp;phi;(&#039;&#039;a&#039;&#039;))<br /> <br /> [[一階述語論理]]で定式化されたペアノの公理は、無数の[[算術の超準モデル|超準モデル]]を持つ。（[[レーヴェンハイム＝スコーレムの定理]]）<br /> [[二階述語論理]]によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる&lt;ref&gt;[http://repository.lib.tottori-u.ac.jp/Repository/detail/115120090731000000 田畑博敏 『第二階論 によるペアノ算術』]&lt;/ref&gt;。<br /> <br /> [[ラムダ計算]]はペアノの公理を満たす自然数の、異なる構成法を与える。<br /> <br /> == ペアノ自身による記述 ==<br /> ペアノは [[1889年]]に「Arithmetices Principia, nova methodo exposita（算術原理）」と題する[[ラテン語]]で書かれた論文で自然数の公理の原型となるべきものを発表しているが、それらは自然数以外の公理を含み本来必要とされるよりも多くの命題が述べられているなど、自然数の公理系としては不十分なものであった。1889 年の記載は以下の通り。原論文には誤植があるが正しい形に修正。本論文では、この後、[[四則演算]]の定義などが続き、ここでは明示的に自然数を定義しようとしている。<br /> # 1 は自然数<br /> # &#039;&#039;a&#039;&#039; が自然数なら &#039;&#039;a&#039;&#039; = &#039;&#039;a&#039;&#039;<br /> # &#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039; が自然数で &#039;&#039;a&#039;&#039; = &#039;&#039;b&#039;&#039; なら &#039;&#039;b&#039;&#039; = &#039;&#039;a&#039;&#039;<br /> # &#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;, &#039;&#039;c&#039;&#039; が自然数で &#039;&#039;a&#039;&#039; = &#039;&#039;b&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039; = &#039;&#039;c&#039;&#039; なら &#039;&#039;a&#039;&#039; = &#039;&#039;c&#039;&#039;<br /> # &#039;&#039;a&#039;&#039; = &#039;&#039;b&#039;&#039; で &#039;&#039;b&#039;&#039; が自然数なら &#039;&#039;a&#039;&#039; は自然数<br /> # &#039;&#039;a&#039;&#039; が自然数なら &#039;&#039;a&#039;&#039; + 1 は自然数<br /> # &#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039; が自然数で &#039;&#039;a&#039;&#039; = &#039;&#039;b&#039;&#039; なら &#039;&#039;a&#039;&#039; + 1 = &#039;&#039;b&#039;&#039; + 1<br /> # &#039;&#039;a&#039;&#039; が自然数なら、&#039;&#039;a&#039;&#039; + 1 と 1 は等しくない<br /> # もし集合 &#039;&#039;K&#039;&#039; が、1 を含み かつ 自然数 &#039;&#039;x&#039;&#039; が &#039;&#039;K&#039;&#039; に含まれるなら &#039;&#039;x&#039;&#039; + 1 が &#039;&#039;K&#039;&#039; に含まれる、という条件を満たすなら &#039;&#039;K&#039;&#039; は全ての自然数を含む<br /> <br /> 現在ペアノの公理系として知られる形のものが発表されたのは [[1891年]]の「数の概念について」である。<br /> この論文の中でペアノは次の 5 項目を自然数の満たすべき原始命題として与え、さらにこれら 5 つの命題が互いに独立であることを証明した。ペアノは現代の用語で言うところの[[公理]]と[[推論規則]]を合わせて原始命題と呼んだ。ここで挙げているものは公理にあたる。<br /> # 1 は自然数である<br /> # 任意の自然数 &#039;&#039;a&#039;&#039; に対して、&#039;&#039;a+&#039;&#039; が自然数を与えるような右作用演算 &#039;&#039;+&#039;&#039; が存在する<br /> # もし &#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039; を自然数とすると、 &#039;&#039;a+&#039;&#039; = &#039;&#039;b+&#039;&#039; ならば &#039;&#039;a&#039;&#039; = &#039;&#039;b&#039;&#039; である<br /> # &#039;&#039;a+&#039;&#039; = 1 を満たすような自然数 &#039;&#039;a&#039;&#039; は存在しない<br /> # 集合&#039;&#039;s&#039;&#039; が二条件「(i) 1 は &#039;&#039;s&#039;&#039; に含まれる, (ii) 自然数 &#039;&#039;a&#039;&#039; が &#039;&#039;s&#039;&#039; に含まれるならば &#039;&#039;a+&#039;&#039; も &#039;&#039;s&#039;&#039; に含まれる」を満たすならば、あらゆる自然数は &#039;&#039;s&#039;&#039; に含まれる。<br /> <br /> ペアノがこれらの原始命題によって自然数そのものを定義しようとはしなかった点には注意を払う必要がある。<br /> 彼は自然数の持つべき性質を挙げ、自然数 や 1 などの原始命題中に現れる用語を無定義述語として扱っている。<br /> これは後に[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]らによって強力に進められることになる、公理主義的方法の格好の例といえる。<br /> <br /> ==関連項目==<br /> *[[プレスバーガー算術]]<br /> *[[ロビンソン算術]]<br /> *[[算術の超準モデル]]<br /> <br /> ==脚注==<br /> {{reflist}}<br /> <br /> == 参考文献 ==<br /> {{脚注の不足|date=2015年10月}}<br /> *{{Citebook|和書|author=デーデキント|authorlink=リヒャルト・デーデキント|others=[[河野伊三郎]]訳|date=1961-11-16|title=数について――連続性と数の本質――|series=岩波文庫|publisher=岩波書店|isbn=4-00-339241-8|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/33/8/3392410.html}}<br /> *{{Cite book|和書|author=ジュゼッペ・ペアノ|authorlink=ジュゼッペ・ペアノ|others=小野勝次・梅沢敏郎訳・解説|year=1969|month=8|title=数の概念について|series=現代数学の系譜 2|publisher=[[共立出版]]|isbn=4-320-01155-4|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320011557}}<br /> <br /> {{デフォルトソート:へあののこうり}}<br /> [[Category:公理]]<br /> [[Category:数学に関する記事]]<br /> [[Category:エポニム]]</div> 36.2.114.149
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46