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http:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=240F%3A54%3ACB1C%3A1%3A3840%3A7919%3ADE75%3AB83E&feedformat=atom miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja] 2024-05-07T21:09:07Z 利用者の投稿記録 MediaWiki 1.31.0 ルース＝アーロン・ペア 2018-03-28T13:37:31Z <p>240F:54:CB1C:1:3840:7919:DE75:B83E: /* ルース＝アーロン・ペアの例 */</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;ルース＝アーロン・ペア&#039;&#039;&#039;（{{lang-en-short|Ruth&amp;ndash;Aaron pair}}）とは、2 つの連続した[[自然数]]のそれぞれの[[素因数]]の和が、互いに等しくなる組のことである。非常に少なく、20000 以下では 26 組しか存在しない。<br /> <br /> == 名前の由来 ==<br /> [[アメリカ合衆国]]で活躍した[[野球選手]]の[[ベーブ・ルース]]が[[1935年]]に達成した通算[[本塁打]]記録714本（当時歴代1位）を、同国の野球選手の[[ハンク・アーロン]]が[[1974年]]に通算715本目の本塁打を放ち、その記録を破った。この時の記録 (714, 715) が上記の性質になる事からこの名が付いた。<br /> <br /> == 計算 ==<br /> 由来である {{math|(714, 715)}} で「ルース＝アーロン・ペア」の性質を確認する。<br /> * {{math|714 {{=}} 2 × 3 × 7 × 17}}<br /> * {{math|715 {{=}} 5 × 11 × 13}}<br /> ** {{math|2 + 3 + 7 + 17 {{=}} 5 + 11 + 13 {{=}} 29}}<br /> となる。また、条件とはなっていないが、<br /> * {{math|714 × 715 {{=}} 17# {{=}} 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 {{=}} 510510}} となる（{{math|&#039;&#039;p&#039;&#039;#}} は {{math|2}} から {{mvar|p}} までの[[素数]]の[[総乗]]で、[[素数階乗]]と呼ばれる）。<br /> このような性質も併せ持つルース＝アーロン・ペアはさらに少なく、{{math|20000}} 以下ではわずか 2 組である（{{math|(5, 6)}} と {{math|(714, 715)}} の 2 組）。<br /> <br /> == ルース＝アーロン・ペアの例 ==<br /> ルース＝アーロン・ペアを小さい順に列記すると<br /> :([[5]], [[6]]), ([[8]], [[9]]), ([[15]], [[16]]), ([[77]], [[78]]), ([[125]], [[126]]), ([[714]], [[715]]), (948, 949), (1330, 1331), (1520, 1521), (1862, 1863), (2491, 2492), (3248, 3249), (4185, 4186), (4191, 4192), (5405, 5406), (5560, 5561), (5959, 5960), (6867, 6868), (8280, 8281), (8463, 8464), (10647, 10648), (12351, 12352), (14587, 14588), (16932, 16933), (17080, 17081), (18490, 18491), …（{{OEIS|A039752}}）<br /> 小さい方の数は {{OEIS|A039752}} を参照。<br /> <br /> ルース＝アーロン・ペアは、[[素因数分解]]したときの重複する素因数によって以下の定義ができる。<br /> <br /> === 第一定義のルース＝アーロン・ペア ===<br /> {{math|24 {{=}} 2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;×3}} の素因数の和を {{math|2 + 3}} のように定義したルース＝アーロン・ペアを小さい順に列記すると<br /> :(5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715), …<br /> 小さい方の数は {{OEIS|A006145}} を参照。<br /> <br /> === 第二定義のルース＝アーロン・ペア ===<br /> {{math|8 {{=}} 2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;}} の素因数の和を {{math|2 + 2 + 2}} のように定義したルース＝アーロン・ペアを小さい順に列記すると<br /> :(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), …<br /> 小さい方の数は {{OEIS|A039752}} を参照。<br /> <br /> === 共通するルース＝アーロン・ペア ===<br /> 第一定義と第二定義で共通するルース＝アーロン・ペアを小さい順に列記すると<br /> :(5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406), (26642, 26642), …<br /> 小さい方の数は {{OEIS|A039753}} を参照。<br /> <br /> == ルース＝アーロン・トリプレット ==<br /> ルース＝アーロン・ペアと同様に 3 つ組の数によって&#039;&#039;&#039;ルース＝アーロン・トリプレット&#039;&#039;&#039;（{{lang-en-short|Ruth&amp;ndash;Aaron triplet}}）も定義される。そのうち最小の組は {{math|(417162, 417163, 417164)}} であり、<br /> * {{math|417162 {{=}} 2 × 3 × 251 × 277}}<br /> * {{math|417163 {{=}} 17 × 53 × 463}}<br /> * {{math|417164 {{=}} 2 × 2 × 11 × 19 × 499}}<br /> ** {{math|2 + 3 + 251 + 277 {{=}} 17 + 53 + 463 {{=}} 2 + 2 + 11 + 19 + 499 {{=}} 533}} <br /> となり、素因数の和は全て等しい。<br /> <br /> == 未解決問題 ==<br /> ルース＝アーロン・ペア及びルース＝アーロン・トリプレットが無数に存在するかどうかは分かっていない。発見者の知人は、無数に存在すると予想している。<br /> <br /> {{mvar|x}} 以下のルース＝アーロン・ペアの個数は<br /> :{{math|&#039;&#039;O&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039; {{sfrac|(log log &#039;&#039;x&#039;&#039;)&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;|(log &#039;&#039;x&#039;&#039;)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}})}}<br /> であることが知られている。特に、ルース＝アーロン・ペアが無数に多く存在するとしても、その逆数の和は収束することが[[カール・ポメランス]]により証明されている{{sfn|Pomerance|2002}}。<br /> <br /> == 出典 ==<br /> {{脚注ヘルプ}}<br /> {{reflist}}<br /> <br /> == 参考文献 ==<br /> * {{cite journal|first=Carl |last=Pomerance |url=http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper130.pdf |chapter=Ruth&amp;ndash;Aaron numbers revisited|title=Paul Erdös and his Mathematics |journal= Bolyai Soc. Math. Stud.|volume=11|publisher=János Bolyai Math. Soc., |location=Budapest |date=2002 | pages=567&amp;ndash;579|ref=harv}}<br /> <br /> == 関連項目 ==<br /> * [[数学上の未解決問題]]<br /> * [[ランダウの記号|{{mvar|O}} 記法]]<br /> * [[素数階乗]]<br /> * [[素因数]]<br /> <br /> == 外部リンク ==<br /> * {{MathWorld|title=Ruth-Aaron Pair|urlname=Ruth-AaronPair}}<br /> <br /> {{DEFAULTSORT:るうすああろんへあ}}<br /> [[Category:整数の類]]<br /> [[Category:数論]]<br /> [[Category:数学のオープンプロブレム]]<br /> [[Category:数学に関する記事]]</div> 240F:54:CB1C:1:3840:7919:DE75:B83E
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46