Warning: Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3
Warning: "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297
Warning: Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660
Warning: session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834
Warning: ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126
Warning: ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127
Warning: session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133
Warning: session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140
Warning: "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 http:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=210.149.174.166&feedformat=atomminiwiki - 利用者の投稿記録 [ja]2024-05-03T05:14:37Z利用者の投稿記録MediaWiki 1.31.0凸関数2018-08-19T00:19:50Z<p>210.149.174.166: /* 定義 */</p>
<hr />
<div>[[Image:ConvexFunction.svg|thumb|350px|凸関数の例。定義を満たしていることが図から確認できる。]]<br />
[[File:Epigraph convex.svg|thumb|350px|凸関数とは[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]]が[[凸集合]]である関数である。]]<br />
'''凸関数'''（とつかんすう、{{lang-en-short|convex function}}）、'''下に凸関数''' ({{en|downward-convex function}}) とは、ある[[区間 (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} で、区間内の任意の 2 点 {{mvar|x , y}} と開区間 {{math|(0, 1)}} 内の任意の {{mvar|t}} に対して<br />
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}<br />
を満たすものをいう。言い換えれば、[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]]（グラフ上およびグラフの上部の点の集合）が[[凸集合]]である関数である{{sfn|Rockafellar|Wets|1998|loc={{google books quote|id=w-NdOE5fD8AC|page=40|Proposition 2.4 (convexity of epigraph)}}}}。より一般に、[[ベクトル空間]]の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する{{sfn|Rockafellar|Wets|1998|loc={{google books quote|id=w-NdOE5fD8AC|page=38|Definition 2.1 (convex sets and convex functions)}}}}。<br />
<br />
また、'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる 2 点 {{mvar|x , y}} と開区間 {{math|(0, 1)}} 内の任意の {{mvar|t}} に対して<br />
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}<br />
を満たす関数である（従って、下に凸な関数の事である）。<br />
<br />
{{math|&minus;''f''}} が凸関数のとき、{{mvar|f}} を'''[[凹関数]]'''（おうかんすう、{{en|concave function}}）と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
{{mvar|X}} をある実ベクトル空間内の凸集合として、{{mvar|f}} を {{math|''f'': ''X'' → '''R'''}} なる関数とする。<br />
* このとき {{mvar|f}} が'''凸'''であるとは次の条件を満たすことをいう。<br />
<br />
::<math>\forall\ x_1, x_2 \in X,\ \forall\ t \in [0, 1]: \qquad f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math><br />
* また、{{mvar|f}} が'''狭義の凸'''であるとは次を満たすことをいう。<br />
::<math>\forall x_1 \neq x_2 \in X, \forall t \in (0, 1): \qquad f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math><br />
*関数 {{math|−''f''}} が（狭義の）凸であるとき、{{mvar|f}} は（狭義の) [[凹関数|凹]]であるという。<br />
<br />
== 凸関数の性質 ==<br />
凸開区間 {{mvar|C}} で定義された凸関数 {{mvar|f}} は[[連続 (数学)|連続]]で、[[高々可算]]個の点を除いて[[微分可能]]である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。<br />
<br />
{{mvar|f}} が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の {{mvar|x, y}} に対して<br />
:<math>f \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{f(x) + f(y)}{2}</math><br />
を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に {{math|''t'' {{=}} 1/2}} の式である。<br />
<br />
区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調非減少]]であることである。<br />
<br />
また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、{{math|''y'' {{=}} ''x''{{sup|4}}}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。<br />
<br />
より一般的に、[[滑らかな関数|{{math|''C''{{sup|2}}}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。<br />
<br />
{{mvar|f, g}} が凸関数であるとき、非負の {{mvar|a , b}} について {{math|''af'' + ''bg''}} は凸関数である。同様に、{{math|max{{(}}''f'' , ''g''{{)}}}} も凸関数である。<br />
<br />
凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点である{{sfn|Rockafellar|Wets|1998|loc={{google books quote|id=w-NdOE5fD8AC|page=41|Theorem 2.6 (characteristics of convex optimization)}}}}。<br />
<br />
{{mvar|f}} が凸関数のとき、[[レベル集合]] {{math|{{(}}''x'' {{!}} ''f'' (''x'' ) &lt; ''a'' {{)}}}} と {{math|{{(}}''x'' {{!}} ''f'' (''x'' ) &le; ''a'' {{)}}}} は、任意の {{math|''a'' &isin; '''R'''}} について凸集合である。<br />
<br />
== 対数凸関数 ==<br />
定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''{{仮リンク|対数凸関数|en|Logarithmically convex function}}''' ({{en|''logarithmically convex function''}}) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。<br />
<br />
== 例 ==<br />
*{{math|''x''{{sup|2}}}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。<br />
*{{math|''x''{{sup|3}}}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において凸関数であり、{{math|''x'' &lt; 0}} において凹関数である。<br />
*[[指数関数]] {{math|e''{{sup|x}}''}} は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。<br />
*[[ガンマ関数]] {{math|&Gamma;(''x'' )}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において対数凸関数である。<br />
*[[絶対値]]関数 {{math|{{!}}''x''{{!}}}} は {{math|''x'' {{=}} 0}} で微分不可能であるが凸関数である。<br />
*区間 {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}} 上で、{{math|''f''(0) {{=}} ''f'' (1) {{=}} 1, 0 &lt; ''x'' &lt; 1}} のとき {{math|''f''(''x'' ) {{=}} 0}} で定義された {{mvar|f}} は不連続であるが、凸関数である。<br />
*[[線形写像]]は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。<br />
*[[アフィン写像]]は凸関数であり、凹関数でもある。<br />
<br />
== 原点に対して凸 ==<br />
{{節stub|date=2013年7月6日 (土) 15:07 (UTC)}}<br />
[[経済学]]においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを'''原点に対して凸'''<ref>[[#ashiya|芦谷 (2009)]]、p. 51。</ref>、または'''原点に向かって凸'''<ref>[[#kambe|神部、寶多、濱田 (2006)]]、p. 99。</ref>と言う。<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{cite|和書 |author=芦谷政浩 |title=ミクロ経済学 |publisher=有斐閣 |year=2009 |isbn=978-4-641-16350-8 |ref=ashiya}}<br />
* {{cite|和書 |author=神部伸輔|author2=寶多康弘|author3=濱田弘潤 |title=ミクロ経済学をつかむ |publisher=有斐閣 |year=2006 |isbn=4-641-17700-7 |ref=kambe}}<br />
* {{cite book|<br />
|last1 = Rockafellar<br />
|first1 = R. Tyrrell<br />
|last2 = Wets<br />
|first2 = Roger J.-B.<br />
|year = 1998<br />
|title = Variational analysis<br />
|series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften<br />
|volume = 317<br />
|url = {{google books|w-NdOE5fD8AC|plainurl=yes}}<br />
|publisher = Springer-Verlag<br />
|isbn = 3-540-62772-3<br />
|mr = 1491362<br />
|zbl = 0888.49001 <br />
|ref = harv<br />
}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[凸最適化]]<br />
*[[イェンゼンの不等式]]<br />
*[[劣加法性]]<br />
*[[劣モジュラ関数]]<br />
*[[ルジャンドル変換]]<br />
*[[ギンツブルグ-ランダウ理論]]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:とつかんすう}}<br />
[[Category:関数]]<br />
[[Category:関数の種類]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166導来函手2018-08-18T07:48:50Z<p>210.149.174.166: /* 動機 */</p>
<hr />
<div>数学では、一部の函手から'''導来''' (どうらい、英: derived) することにより、元の函手と密接に関連した新しい函手を得ることができる。導来という操作は、抽象的ではあるが、数学全体を通して多くの構成を統一する。<br />
<!--== derived functor ==<br />
In [[mathematics]], certain [[functor]]s may be ''derived'' to obtain other functors closely related to the original ones. This operation, while fairly abstract, unifies a number of constructions throughout mathematics. --><br />
<br />
== 動機 ==<br />
<br />
さまざまな状況で[[完全系列#短完全列|短完全系列]]が[[完全系列#長完全列|長完全系列]]に持ち上がることが分かっている。導来函手の概念はこれらの結果の多くを明確に根拠づけることができる。<br />
<!--== Motivation ==<br />
<br />
It was noted in various quite different settings that a [[short exact sequence]] often gives rise to a "long exact sequence". The concept of derived functors explains and clarifies many of these observations.--><br />
<br />
2つの[[アーベル圏]] '''A''' と '''B''' の間の共変な[[完全函手|左完全函手]] ''F'' : '''A''' → '''B''' が与えられ、0 → ''A'' → ''B'' → ''C'' → 0 を '''A''' の短完全系列とすると、''F'' を適用することで完全系列 0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') が得られる。この系列をどのように右へ拡張し長完全系列とするかが問題になるが、与えられた短完全系列を右へ拡張する方法には多数の異なる方法があるので、厳密には、この問は適切とは言えない。しかし、'''A''' が充分に「良い」性質を持っている場合は、''F'' の右導来函手による標準形がひとつ存在する。全ての ''i'' ≥ 1 に対して、函手 ''R<sup>i</sup>F'': '''A''' → '''B''' が存在して、上記の短完全系列は次のように右へと拡張される。<br />
<br />
:<math>\begin{align}0 & \rightarrow & F(A) & \rightarrow & F(B) & \rightarrow & F(C) & \\<br />
& \rightarrow & R^1F(A) & \rightarrow & R^1F(B) & \rightarrow & R^1F(C) & \\<br />
& \rightarrow & R^2F(A) & \rightarrow & R^2F(B) & \rightarrow & R^2F(C) & \ \ \rightarrow \dots\ .\end{align}</math><br />
<br />
このことから、''F'' が完全函手であることと、''R''<sup>1</sup>''F'' = 0 であることとは同値であるので、''F'' の右導来函手は ''F'' がその程度完全から乖離しているかの目安であることが分かる。<br />
<br />
短完全系列の中の対象 ''A'' が[[単射対象]] (injective object) であれば、系列は[[分裂補題|分裂]]する（分裂補題）。任意の加法函手を分裂する系列へ適用すると、結果も分裂系列になり、特に、''R''<sup>1</sup>''F''(''A'') = 0 である。右導来函手は単射対象では 0 である。このことが以下の構成の動機である。<br />
<!--Suppose we are given a covariant [[left exact functor]] ''F'' : '''A''' → '''B''' between two [[abelian category|abelian categories]] '''A''' and '''B'''. If 0 → ''A'' → ''B'' → ''C'' → 0 is a short exact sequence in '''A''', then applying ''F'' yields the exact sequence 0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') and one could ask how to continue this sequence to the right to form a long exact sequence. Strictly speaking, this question is ill-posed, since there are always numerous different ways to continue a given exact sequence to the right. But it turns out that (if '''A''' is "nice" enough) there is one [[canonical form|canonical]] way of doing so, given by the right derived functors of ''F''. For every ''i''≥1, there is a functor ''R<sup>i</sup>F'': '''A''' → '''B''', and the above sequence continues like so: 0 → ''F''(''A'') → ''F''(''B'') → ''F''(''C'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''A'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''B'') → ''R''<sup>1</sup>''F''(''C'') → ''R''<sup>2</sup>''F''(''A'') → ''R''<sup>2</sup>''F''(''B'') → ... . From this we see that ''F'' is an exact functor if and only if ''R''<sup>1</sup>''F'' = 0; so in a sense the right derived functors of ''F'' measure "how far" ''F'' is from being exact.<br />
<br />
If the object ''A'' in the above short exact sequence is [[injective object|injective]], then the sequence [[Splitting lemma|splits]]. Applying any additive functor to a split sequence results in a split sequence, so in particular ''R''<sup>1</sup>''F''(''A'') = 0. Right derived functors are zero on injectives: this is the motivation for the construction given below.--><br />
<br />
== 構成と最初の性質 ==<br />
<br />
アーベル圏 '''A''' を考える上での重要な仮定は、圏 '''A''' が'''充分単射的'''であることである。この充分単射的とは、'''A''' の全ての対象 ''A'' に対し、'''A''' の[[単射対象]] (injective object) であるような ''I'' が存在して、[[モノ射]] ''A'' → ''I'' が存在することである。<br />
<br />
共変的な左完全函手 ''F'' : '''A''' → '''B''' の右導来函手は、次の様に定義される。'''A''' の対象 ''X'' より始めると、充分な単射対象を使って、次の形の長完全系列を構成することができる。<br />
:<math>0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots</math><br />
ここに ''I''<sup>&nbsp;''i''</sup> は全て単射的な対象である（これは ''X'' の'''単射分解'''として知られている）。函手 ''F'' をこの完全系列へ適用し、第一項を落とすと、[[鎖複体]]<br />
:<math>0\to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots</math><br />
を得る。<br />
<!--== Construction and first properties ==<br />
<br />
The crucial assumption we need to make about our abelian category '''A''' is that it has ''enough injectives'', meaning that for every object ''A'' in '''A''' there exists a [[monomorphism]] ''A'' → ''I'' where ''I'' is an [[injective object]] in '''A'''.<br />
<br />
The right derived functors of the covariant left-exact functor ''F'' : '''A''' → '''B''' are then defined as follows. Start with an object ''X'' of '''A'''. Because there are enough injectives, we can construct a long exact sequence of the form<br />
:<math>0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots</math><br />
where the ''I''<sup>&nbsp;''i''</sup> are all injective (this is known as an ''injective resolution'' of ''X''). Applying the functor ''F'' to this sequence, and chopping off the first term, we obtain the [[chain complex]]<br />
<br />
:<math>0\to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots</math>--><br />
<br />
注意：一般にはこれはもはや完全系列ではない。しかし、''i'' 次の[[ホモロジー]] (''F''(''I''<sup>''i''</sup>) からの射の核を、''F''(''I''<sup>''i''</sup>) への射の像で割ったもの）を計算することができる。この結果を ''R<sup>i</sup>F''(''X'') と呼ぶ。もちろん、多くのことを検証する必要がある。つまり、最終的な結果は与えられた ''X'' の単射分解に依存せず、射 ''X'' → ''Y'' は自然に射 ''R<sup>i</sup>F''(''X'') → ''R<sup>i</sup>F''(''Y'') を誘導するので、実際に函手となっている。左完全性は、<br />
:<math>0 \rightarrow F(X) \rightarrow F(I^0) \rightarrow F(I^1)</math><br />
が完全であることを意味するので、<math>R^0F(X) = F(X)</math> であり、<math>i > 0</math> に対しのみ、興味深い何かを得ることができる。<br />
<br />
（テクニカルには、''F'' の well-defined な導出のためには、'''A'''の全対象に対し単射分解を固定する必要がある。この単射分解の選択は、函手 ''R<sup>i</sup>F'' をもたらす。異なった分解を選択しても、[[自然変換|自然に同型]]な函手となり、結局、選択は問題でない。）<br />
<!--Note: this is in general ''not'' an exact sequence anymore. But we can compute its [[homology (mathematics)|homology]] at the ''i''-th spot (the kernel of the map from ''F''(''I''<sup>''i''</sup>) modulo the image of the map to ''F''(''I''<sup>''i''</sup>)); we call the result ''R<sup>i</sup>F''(''X''). Of course, various things have to be checked: the end result does not depend on the given injective resolution of ''X'', and any morphism ''X'' → ''Y'' naturally yields a morphism ''R<sup>i</sup>F''(''X'') → ''R<sup>i</sup>F''(''Y''), so that we indeed obtain a functor. Note that left exactness means that<br />
0 →''F''(''X'') → ''F''(''I''<sup>0</sup>) → ''F''(''I''<sup>1</sup>)<br />
is exact, so ''R''<sup>0</sup>''F''(''X'') = ''F''(''X''), so we only get something interesting for ''i''>0.<br />
<br />
(Technically, to produce well-defined derivatives of ''F'', we would have to fix an injective resolution for every object of '''A'''. This choice of injective resolutions then yields functors ''R<sup>i</sup>F''. Different choices of resolutions yield [[naturally isomorphic]] functors, so in the end the choice doesn't really matter.)--><br />
<br />
上に述べた短完全系列から長完全系列へ変換する性質は、[[蛇の補題]]の結果である。このことは、導来函手の集まりは{{仮リンク|デルタ函手|label=δ-函手|en|Delta-functor}} (Delta-functor) であることを教えてくれる。<br />
<br />
''X'' 自身を単射的とすると、単射分解 0 → ''X'' → ''X'' → 0 を選ぶことができ、全ての ''i'' ≥ 1 に対し、''R<sup>i</sup>F''(''X'') = 0 を得る。実用では、この事実は、長完全系列の性質と組合わせて、右導来函手の値の計算に良く使われる。<br />
<br />
''R<sup>i</sup>F''(''X'') の計算には同値な別の方法もある。''X'' の単射分解を上記のように取り、''K<sup>i</sup>'' を射 ''I''<sup>''i''-1</sup> → ''I<sup>i</sup>'' の像とする（''i'' = 0 に対し、''I''<sup>''i''-1</sup> = 0 と定義する）と、これは ''I<sup>i</sup>'' → ''I''<sup>''i''+1</sup> の核と同じになる。φ<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;''I''<sup>''i''-1</sup> → ''K''<sup>''i''</sup> を対応するエピ射とすると、''R<sup>i</sup>F''(''X'') は ''F''(φ<sub>''i''</sub>) の余核となる。<br />
<!--The above-mentioned property of turning short exact sequences into long exact sequences is a consequence of the [[snake lemma]]. This tell us that the collection of derived functors is a [[Delta-functor|δ-functor]].<br />
<br />
If ''X'' is itself injective, then we can choose the injective resolution 0 → ''X'' → ''X'' → 0, and we obtain that ''R<sup>i</sup>F''(''X'') = 0 for all ''i'' ≥ 1. In practice, this fact, together with the long exact sequence property, is often used to compute the values of right derived functors.<br />
<br />
An equivalent way to compute ''R<sup>i</sup>F''(''X'') is the following: take an injective resolution of ''X'' as above, and let ''K''<sup>''i''</sup> be the image of the map ''I''<sup>''i''-1</sup>→''I<sup>i</sup>'' (for ''i''=0, define ''I''<sup>''i''-1</sup>=0), which is the same as the kernel of ''I''<sup>''i''</sup>→''I''<sup>''i''+1</sup>. Let φ<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;''I''<sup>''i''-1</sup>→''K''<sup>''i''</sup> be the corresponding surjective map. Then ''R<sup>i</sup>F''(''X'') is the cokernel of ''F''(φ<sub>''i''</sub>).--><br />
<br />
== 変形 ==<br />
<br />
共変な'''右完全函手''' ''G'' と圏 '''A''' が充分に射影的（つまり、'''A''' の対象 ''A'' に対し、[[射影加群|射影的対象]] ''P'' とエピ射 ''P'' → ''A'' が存在する）とすると、右導来函手と同様に左導来函手 ''L<sub>i</sub>G'' を定義することができる。'''A''' の対象 ''X'' に対し、まず、次の形の射影的分解を構成する。<br />
:<math>\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0</math><br />
ここに、各 ''P<sub>i</sub>'' は射影的対象である。''G'' をこの系列に適用し、最後の項を落としホモロジーを計算し、''L<sub>i</sub>G''(''X'') を得る。前と同様に、''L''<sub>0</sub>''G''(''X'') = ''G''(''X'') となる。<br />
<!--== Variations ==<br />
<br />
If one starts with a covariant ''right-exact'' functor ''G'', and the category '''A''' has enough projectives (i.e. for every object ''A'' of '''A''' there exists an epimorphism ''P'' → ''A'' where ''P'' is a [[projective module|projective object]]), then one can define analogously the left-derived functors ''L<sub>i</sub>G''. For an object ''X'' of '''A''' we first construct a projective resolution of the form<br />
:<math>\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0</math><br />
where the ''P''<sub>''i''</sub> are projective. We apply ''G'' to this sequence, chop off the last term, and compute homology to get ''L<sub>i</sub>G''(''X''). As before, ''L''<sub>0</sub>''G''(''X'') = ''G''(''X'').--><br />
<br />
この場合には、長完全系列は右ではなくて'''左側'''へ拡張され、<br />
:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math><br />
が、<br />
:<math>\cdots\to L_2G(C) \to L_1G(A) \to L_1G(B)\to L_1G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0</math><br />
となる。<br />
<br />
左導来函手は全ての射影的対象上で 0 である。<br />
<br />
また、'''反変''' (contravariant) 左完全函手 ''F'' から始めることもでき、このとき右導来函手はまた反変である。短完全系列<br />
<br />
:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math><br />
<br />
から長完全系列<br />
<br />
:<math>\begin{align}0 & \rightarrow & F(A) & \rightarrow & F(B) & \rightarrow & F(C) & \\<br />
& \rightarrow & R^1F(A) & \rightarrow & R^1F(B) & \rightarrow & R^1F(C) & \\<br />
& \rightarrow & R^2F(A) & \rightarrow & R^2F(B) & \rightarrow & R^2F(C) & \ \ \rightarrow \dots\ .\end{align}</math><br />
<br />
が得られる。<br />
<br />
これらの右導来函手は射影的対象上では 0 であるので、射影的分解を通して計算される。<br />
<!--In this case, the long exact sequence will grow "to the left" rather than to the right:<br />
:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math><br />
is turned into <br />
:<math>\cdots\to L_2G(C) \to L_1G(A) \to L_1G(B)\to L_1G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0</math>.<br />
<br />
Left derived functors are zero on all projective objects.<br />
<br />
One may also start with a ''contravariant'' left-exact functor ''F''; the resulting right-derived functors are then also contravariant. The short exact sequence<br />
<br />
:<math>0\to A \to B \to C \to 0</math><br />
<br />
is turned into the long exact sequence<br />
<br />
:<math>0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^1F(C) \to R^1F(B) \to R^1F(A)\to R^2F(C)\to \cdots</math><br />
<br />
These right derived functors are zero on projectives and are therefore computed via projective resolutions.--><br />
<br />
== 応用 ==<br />
<br />
'''[[層コホモロジー]]'''： ''X'' を[[位相空間]]とすると、''X'' 上の全ての[[アーベル群]]の[[層 (数学)|層]]の圏は、充分な単射的対象を持つアーベル圏である。そのような層 ''L'' に大域切断の群 ''L''(''X'') を対応させる函手は左完全であり、右導来函手は[[層コホモロジー]]函手であり、通常、''H''<sup>&nbsp;''i''</sup>(''X'', ''L'') と書かれる。少し一般化し、(''X'', ''O<sub>X</sub>'') を[[環付き空間]]とすると、''O<sub>X</sub>''-加群の全ての層の圏は充分単射的な加群を持つアーベル圏であり、再度、大域切断函手の右導来函手として層コホモロジーを構成することができる。<br />
<br />
'''[[エタール・コホモロジー]]'''は、スキーム上のコホモロジー論である。<br />
<br />
'''[[Ext函手]]'''： ''R'' が[[環 (数学)|環]]であれば、全ての左 [[環上の加群|''R''-加群]]の圏は、充分に単射的な対象をもったアーベル圏である。左 ''R''-加群 ''A'' を固定すれば、[[Hom函手]] Hom(''A'', -) は左完全で、その右導来函手はExt函手 Ext<sub>''R''</sub><sup>''i''</sup>(''A'', -) である。<br />
<!--== Applications ==<br />
<br />
'''Sheaf cohomology.''' If ''X'' is a [[topological space]], then the category of all [[sheaf (mathematics)|sheaves]] of [[abelian group]]s on ''X'' is an abelian category with enough injectives. The functor which assigns to each such sheaf ''L'' the group ''L''(''X'') of global sections is left exact, and the right derived functors are the [[sheaf cohomology]] functors, usually written as ''H''<sup>&nbsp;''i''</sup>(''X'',''L''). Slightly more generally: if (''X'', O<sub>''X''</sub>) is a [[ringed space]], then the category of all sheaves of O<sub>''X''</sub>-modules is an abelian category with enough injectives, and we can again construct sheaf cohomology as the right derived functors of the global section functor.<br />
<br />
'''[[Étale cohomology]]''' is another cohomology theory for sheaves over a scheme.<br />
<br />
'''Ext functors.''' If ''R'' is a [[ring (mathematics)|ring]], then the category of all left [[module (mathematics)|''R''-modules]] is an abelian category with enough injectives. If ''A'' is a fixed left ''R''-module, then the functor Hom(''A'',-) is left exact, and its right derived functors are the [[Ext functor]]s Ext<sub>''R''</sub><sup>''i''</sup>(''A'',-).--><br />
<br />
'''[[Tor函手]]'''： 左 ''R''-加群の圏も充分な射影的対象を持っている。''A'' が固定された右 ''R''-加群であれば、''A'' との[[加群のテンソル積|テンソル積]]は左 ''R''-加群上の右完全な共変函手を与え、その左導来函手はTor函手 Tor{{SubSup||''i''|''R''}}(''A'', -) を与える。<br />
<br />
'''[[群コホモロジー]]''' (Group cohomology)： ''G'' を[[群 (数学)|群]]とすると、[[群上の加群|''G''-加群]] ''M'' は、自己同型群として ''G'' が[[群作用|作用]]する[[アーベル群]] ''M'' である。この ''M'' は[[群環]] '''Z'''''G'' 上の[[加群]]と同一である。''G''-加群は、充分な単射対象を持つアーベル圏を形成する。''G'' が固定する ''M'' の元の全てから構成される ''M'' の部分群を ''M<sup>G</sup>'' と書く。これは左完全函手であり、この右導来函手は群コホモロジー函手でもあり、一般的には、''H''<sup>&nbsp;''i''</sup>(''G'',&nbsp;''M'') と書かれる。<br />
<!--'''Tor functors.''' The category of left ''R''-modules also has enough projectives. If ''A'' is a fixed right ''R''-module, then the [[tensor product]] with ''A'' gives a right exact covariant functor on the category of left ''R''-modules; its left derivatives are the [[Tor functor]]s Tor<sup>''R''</sup><sub>''i''</sub>(''A'',-).<br />
<br />
'''Group cohomology.''' Let ''G'' be a [[group (mathematics)|group]]. A [[G-module|''G''-module]] ''M'' is an [[abelian group]] ''M'' together with a [[group action]] of ''G'' on ''M'' as a group of automorphisms. This is the same as a [[module (mathematics)|module]] over the [[group ring]] '''Z'''''G''. The ''G''-modules form an abelian category with enough injectives. We write ''M''<sup>''G''</sup> for the subgroup of ''M'' consisting of all elements of ''M'' that are held fixed by ''G''. This is a left-exact functor, and its right derived functors are the [[group cohomology]] functors, typically written as H<sup>&nbsp;''i''</sup>(''G'',''M'').--><br />
<br />
== 自然性 ==<br />
<br />
導来函手と長完全系列は、いくつかのテクニカルな意味で「自然」である。<br />
<br />
第一に、 <br />
<br />
:<math>\begin{array}{ccccccccc} 0&\xrightarrow{}&A_1&\xrightarrow{f_1}&B_1&\xrightarrow{g_1}&C_1&\xrightarrow{}&0\\ &&\alpha\downarrow\quad&&\beta\downarrow\quad&&\gamma\downarrow\quad&&\\ 0&\xrightarrow{}&A_2&\xrightarrow{f_2}&B_2&\xrightarrow{g_2}&C_2&\xrightarrow{}&0 \end{array}</math><br />
<br />
（この図の行は完全）の形の[[可換図式]]が与えられると、結果として得られる長完全系列は、次の可換図式により関係付けられる。<br />
<br />
[[Image:two long exact sequences.png]]<br />
<br />
第二に、η: ''F'' → ''G'' を左完全函手 ''F'' から左完全函手 ''G'' への[[自然変換]]とすると、自然変換 ''R<sup>i</sup>''η: ''R<sup>i</sup>F'' → ''R<sup>i</sup>G'' が引き起こされ、実際、引き起こされた ''R<sup>i</sup>'' は '''A''' から '''B''' へのすべての左完全函手からなる[[函手圏]] (functor category) から、'''A''' から '''B''' へのすべての函手の函手圏への函手となる。さらに、この函手は、次の意味で長完全系列と整合性をもっている。<br />
:<math>0\ \ \xrightarrow{}\ \ A\ \ \xrightarrow{f}\ \ B\ \ \xrightarrow{g}\ \ C\ \ \xrightarrow{}\ \ 0</math><br />
が短完全系列であれば、可換図形<br />
<br />
[[Image:two long exact sequences2.png]]<br />
<br />
が引き起こされる。<br />
<br />
これらの自然性は両方とも、[[蛇の補題]]によりもたらされる系列の自然性から来る。<br />
<br />
逆に、次の導来函手の特徴づけが成り立つ。'''A''' のすべての単射的対象 ''I'' とすべての正の整数 ''i'' に対して ''R<sup>i</sup>''&thinsp;(''I'') = 0 が成り立つような、上記を満たす函手の族 ''R<sup>i</sup>'': '''A''' → '''B'''、つまり、短完全系列を長完全系列へ写すものが与えられると、それらの函手は ''R''<sup>0</sup> の右導来函手である。<br />
<!--== Naturality ==<br />
<br />
Derived functors and the long exact sequences are "natural" in several technical senses.<br />
<br />
First, given a [[commutative diagram]] of the form<br />
<br />
<math>\begin{array}{ccccccccc} 0&\xrightarrow{}&A_1&\xrightarrow{f_1}&B_1&\xrightarrow{g_1}&C_1&\xrightarrow{}&0\\ &&\alpha\downarrow\quad&&\beta\downarrow\quad&&\gamma\downarrow\quad&&\\ 0&\xrightarrow{}&A_2&\xrightarrow{f_2}&B_2&\xrightarrow{g_2}&C_2&\xrightarrow{}&0 \end{array}</math><br />
<br />
(where the rows are exact), the two resulting long exact sequences are related by commuting squares:<br />
<br />
[[Image:two long exact sequences.png]]<br />
<br />
Second, suppose η : ''F'' → ''G'' is a [[natural transformation]] from the left exact functor ''F'' to the left exact functor ''G''. Then natural transformations ''R<sup>i</sup>''η : ''R<sup>i</sup>F'' → ''R<sup>i</sup>G'' are induced, and indeed ''R<sup>i</sup>'' becomes a functor from the [[functor category]] of all left exact functors from '''A''' to '''B''' to the full functor category of all functors from '''A''' to '''B'''. Furthermore, this functor is compatible with the long exact sequences in the following sense: if<br />
:<math>0\xrightarrow{}A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{} 0</math><br />
is a short exact sequence, then a commutative diagram<br />
<br />
[[Image:two long exact sequences2.png]]<br />
<br />
is induced.<br />
<br />
Both of these naturalities follow from the naturality of the sequence provided by the [[snake lemma]].<br />
<br />
Conversely, the following characterization of derived functors holds: given a family of functors ''R''<sup>''i''</sup>: '''A''' → '''B''', satisfying the above, i.e. mapping short exact sequences to long exact sequences, such that for every injective object ''I'' of '''A''', ''R''<sup>''i''</sup>(''I'')=0 for every positive ''i'', then these functors are the right derived functors of ''R''<sup>0</sup>.--><br />
<br />
== 一般化 ==<br />
<br />
より現代的な（より一般的な）導来函手のアプローチは[[導来圏]]のことばで扱われる。<br />
<!--== Generalization ==<br />
<br />
The more modern (and more general) approach to derived functors uses the language of [[derived category|derived categories]].--><br />
<br />
== 文献 ==<br />
* {{Citation | last1=Manin | first1=Yuri Ivanovich | author1-link= Yuri Ivanovich Manin | last2=Gelfand | first2=Sergei I. | title=Methods of Homological Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-43583-9 | year=2003}}<br />
* {{Weibel IHA}}<br />
<br />
{{Functors}}<br />
{{DEFAULTSORT:とうらいかんしゆ}}<br />
[[Category:ホモロジー代数]]<br />
[[Category:関手]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166層係数コホモロジー2018-08-18T07:45:28Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div>{{要改訳}}<br />
数学において、'''層コホモロジー''' (sheaf cohomology) は、[[アーベル群]]の層に関連する[[層 (数学)|層の理論]]の一面であり、[[ホモロジー代数]]を用いて、層 ''F'' の[[層 (数学)#大域切断|大域切断]]の具体的な計算を可能とする。数値的な領域での幾何学的な問題の記述として、層コホモロジーの理論は、重要な幾何学的な不変量の次元を計算することへ有用なツールとして使うことができる。<br />
<br />
1950年以後の数年間で急速に発展した層コホモロジーは、[[リーマン・ロッホの定理]]のより古典的な方法や代数幾何学の{{仮リンク|因子の一次系|en|linear system of divisors}}(linear system of divisors)の解析や[[多変数複素函数|多変数複素函数論]]や[[ホッジ理論]]へ結びついた。層コホモロジー群のランク、もしくは次元は、幾何学的なデータの新しい情報源になったり以前の研究の新しい解釈を与えたりする。<br />
<!--In [[mathematics]], '''sheaf cohomology''' is the aspect of [[sheaf theory]], concerned with sheaves of [[abelian group]]s, that applies [[homological algebra]] to make possible effective calculation of the [[global section]]s of a sheaf ''F''. This is the main step, in numerous areas, from sheaf theory as a description of a geometric problem, to its use as a tool capable of calculating dimensions of important geometric invariants.<br />
<br />
Its development was rapid in the years after 1950, when it was realised that sheaf cohomology was connected with more classical methods applied to the [[Riemann-Roch theorem]], the analysis of a [[linear system of divisors]] in [[algebraic geometry]], [[several complex variables]], and [[Hodge theory]]. The dimensions or ranks of sheaf cohomology groups became a fresh source of geometric data, or gave rise to new interpretations of older work.--><br />
<br />
== ひとつの動機 ==<br />
位相空間 ''X'' 上の層 <math>\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}</math> の短完全系列とは、<br />
:<math>0\ \rightarrow\mathcal{A}\ \stackrel{\varphi}{\rightarrow}\ \mathcal{B}\ \stackrel{\psi}{\rightarrow}\ \mathcal{C}\ \rightarrow\ 0</math><br />
が完全列である場合をいう。すなわち、<math>\varphi</math> が単射で、<math>\psi</math> が全射で、<math>\operatorname{Im}\varphi=\operatorname{Ker}\psi</math> が成立することである。この系列が完全系列であることと、<math>\varphi</math> が単射であり、かつ、<math>\mathcal{C}\cong\mathcal{B}/\mathcal{A}</math> であることとは同値である。この短完全系列からは、層の切断の系列が導出される。<br />
:<math>0\ \rightarrow\ \Gamma(X, \mathcal{A})\ \stackrel{\varphi_*}{\rightarrow}\ \Gamma(X, \mathcal{B})\ \stackrel{\psi_*}{\rightarrow}\ \Gamma(X, \mathcal{C})</math><br />
が得られる。しかしながら、一般に <math>\psi_*</math> が全射であるとは限らない。この系列の右側にどのような系列を補完すると、長完全系列が出来上がるのかということが、層コホモロジーの動機のひとつである。代表的な例として、[[クザン問題|クザンの問題]]がある。<br />
<br />
==定義==<br />
<br />
===チェックコホモロジー===<br />
{{Main| {{仮リンク|チェックコホモロジー|en|Čech cohomology}}}}<br />
<!--==Definitions==<br />
<br />
===The approach of Čech cohomology===<br />
{{Main| Čech cohomology}}--><br />
<br />
最初に定義された層コホモロジーのバージョンは、{{仮リンク|チェックコホモロジー|en|Čech cohomology}}(Čech cohomology)を基礎とし、そこでは、[[位相空間]] ''X'' の[[開集合]] ''U'' の属する小さな変換が、前もって固定されているアーベル群 ''A'' の上というよりも ''U'' 上で変化するアーベル群 ''F''(''U'') とされている。このことは、[[コチェイン]]が具体的に書き下すことが容易であることを意味し、実際、[[有理型函数]]の[[クザン問題]]のような典型的な応用が、数学の領域の中で有名な一群をなす。層の観点からは、チェック理論は、''A'' に値を持つ[[局所定数函数]]への層の制限である。層の理論の中では、[[基本群]]がその上で作用する{{仮リンク|局所係数|en|local coefficients}}をもつような、つまり、より一般的な係数の非常に異なった種類を持つツイストしたバージョンと見ることをも含んでいる。<br />
<!--The first version of sheaf cohomology to be defined was that based on [[Čech cohomology]], in which the relatively small change was made of attributing to an [[open set]] ''U'' of a [[topological space]] ''X'' an abelian group ''F''(''U'') that 'varies' with ''U'', rather than an abelian group ''A'' that is fixed ahead of time. This means that [[cochain]]s are easy to write down rather concretely; in fact the model applications, such as the [[Cousin problems]] on [[meromorphic function]]s, stay within fairly familiar mathematical territory. From the sheaf point of view, the Čech theory is the restriction to sheaves of [[locally constant function]]s with values in ''A''. Within sheaf theory it is easy to see that 'twisted' versions, with [[local coefficients]] on which the [[fundamental group]] acts, are also subsumed &mdash; along with some very different sorts of more general coefficients.--><br />
<br />
この理論の一つの問題は、X 自体が{{仮リンク|うまく振舞う|label=うまく振る舞わ|en|well-behaved}}(well-behaved)ないと チェックコホモロジーが良い性質を持たないということである。このことは、X が[[多様体]]のような場合は困難ではないが、[[ザリスキー位相]]が一般には[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ的]]ではないので、代数幾何学への応用では困ることになる。チェックコホモロジーの問題は、層の[[完全系列#短完全系列|短完系列]]に付随する[[コホモロジー群]]の[[完全系列#長完全系列|長完全系列]]を作ることに失敗することで明白となる。実践的には、このことは計算を行うときの基本的方法（つまり、与えられた層から短完全系列を通して他のものをどのようにして導き出すかを示し、結果を求める）である。理論は暫くの間、混乱した状態であった。[[ジャン・ピエール・セール]](Jean-Pierre Serre)はチェックの理論が成り立つことを示し、他方、[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexandre Grothendieck)は、長完全系列の成り立つようなより抽象的な定義を提案した。<br />
<!--One problem with that theory was that Čech cohomology itself fails to have good properties, unless ''X'' itself is [[well-behaved]]. This is not a difficulty in case ''X'' is something like a [[manifold]]; but embarrassing for applications to algebraic geometry, since the [[Zariski topology]] is in general not [[Hausdorff space|Hausdorff]]. The problem with the Čech theory manifests itself in the failure of the [[long exact sequence]] of [[cohomology group]]s associated to a [[short exact sequence]] of sheaves. This in practice is the basic method of attacking a calculation (i.e. to show how a given sheaf is involved with others in a short exact sequence, and draw consequences). The theory stood in this state of disarray only for a short while: [[Jean-Pierre Serre]] showed that the Čech theory worked, and on the other hand [[Alexandre Grothendieck]] proposed a more abstract definition that would build in the long exact sequence.--><br />
<br />
===導来函手による定義===<br />
<br />
グロタンディエクの定義は[[層 (数学)#大域切断|大域切断]]<br />
:<math>\Gamma_X: \mathcal F \mapsto \mathcal F(X)</math><br />
の[[導来函手]]として、層 <math>\mathcal F</math> に係数を持つ位相空間 ''X'' の層コホモロジーを定義した。<br />
<br />
この函手は、[[完全関手|完全函手]]ではない。このことは、[[分岐点 (数学)#分岐截断|分岐切断]]の理論の他にもありふれている事実である（例えば、[[複素数]]の[[対数]]の場合、[[指数層系列]]を参照）。これは[[完全系列|左完全系列]]であり、従って、右導来函手の系列を持ち、<br />
:<math>H^i(X, \mathcal F)\quad( i \geq 0)</math><br />
と書く。<br />
<br />
これらの導来函手の[[存在定理|存在]]は、層の[[アーベル圏]]の[[ホモロジー代数]]によりもたらされ、実際、このことが理論の設定の主たる理由である。このことは[[入射分解]]を持つこととは独立である。すなわち、'''理論の中'''での計算は、'''実践的'''には短完全系列や長完全系列がより良いアイデアであり得ることを通して、単射的分解での計算が可能である。<br />
<!--===Definition by derived functors===<br />
<br />
The Grothendieck definition clarified the status of sheaf cohomology of a topological space ''X'' with coefficients in a sheaf <math>\mathcal F</math> as the [[derived functor|right derived functor]] of the [[Sheaf (mathematics)|global section]] functor:<br />
:<math>\Gamma_X: \mathcal F \mapsto \mathcal F(X).</math><br />
This functor is not an [[exact functor]], a fact familiar in other terms from the theory of [[branch cut]]s (for example, in the case of the [[logarithm]] of a [[complex number]]: see [[exponential sequence]]). It is a [[left exact functor]], and therefore has a sequence of right derived [[functor]]s, denoted by<br />
:<math>H^i(X, \mathcal F), i \geq 0.</math><br />
The [[existence theorem|existence]] of these derived functors is supplied by [[homological algebra]] of the [[abelian category]] of sheaves (and indeed this was a main reason to set up that theory). It depends on having [[injective resolution]]s; that is, ''in theory'' calculations can be done with injective resolutions, though ''in practice'' short and long exact sequences may be a better idea.--><br />
<br />
導来函手は任意のアサイクリックな<ref>高次コホモロジー群が 0 となるようなコホモロジー</ref>分解へ函手を適用し、複体のコホモロジーを保つことで計算可能であるので、コホモロジー群を計算する方法が複数存在する。具体的な状況とは独立して、細層、軟弱層、アサイクル層が、コホモロジー群の具体的計算に使われる。{{仮リンク|単射的層|en|injective sheaf}}(injective sheaves)を参照。<br />
<!--Because the derived functor can be computed by applying the functor to any acyclic resolution and keeping the cohomology of the complex, there are a number of other ways to compute cohomology groups. Depending on the concrete situation, fine, flasque, soft or acyclic sheaves are used to calculate concrete cohomology groups—see [[injective sheaf|injective sheaves]].--><br />
<br />
==応用==<br />
<br />
結局、（{{仮リンク|ロジェ・ゴドマン|label=ゴドマン|en|Godement}}(Godement)の書籍のような）さらにテクニカルな拡張と応用の分野がある。例えば、層は[[群作用|変換群]]へ適用され、{{仮リンク|ボレル・ムーアホモロジー|en|Borel-Moore homology}}(Borel-Moore homology)の形の[[ホモロジー論]]や、{{仮リンク|ボレル・ボット・ヴェイユの定理|en|Borel-Bott-Weil theorem}}(Borel-Bott-Weil theorem)の[[表現論]]に、代数幾何学や[[複素多様体]]の標準的となっていることと同様に、影響を与えた。<br />
<br />
[[エタール・コホモロジー]]からの特別な要求は、'''コホモロジー'''以上に'''層'''や'''層コホモロジー'''の再解釈があり、函手的なアプローチを適用して与えられる。{{仮リンク|平坦コホモロジー|en|Flat cohomology}}(Flat cohomology)、{{仮リンク|クリスタリン・コホモロジー|en|crystalline cohomology}}(crystalline cohomology)も基本モデルの適用として成功している。<br />
<!--==Applications==<br />
<br />
Subsequently there were further technical extensions (for example in [[Godement]]'s book), and areas of application. For example, sheaves were applied to [[transformation group]]s; as an inspiration to [[homology theory]] in the form of [[Borel-Moore homology]] for [[locally compact space]]s; to [[representation theory]] in the [[Borel-Bott-Weil theorem]]; as well as becoming standard in algebraic geometry and [[complex manifold]]s.<br />
<br />
The particular needs of [[étale cohomology]] were more about reinterpreting ''sheaf'' in ''sheaf cohomology'', than ''cohomology'', given that the derived functor approach applied. [[Flat cohomology]], [[crystalline cohomology]] and successors are also applications of the basic model.--><br />
<br />
==オイラー標数==<br />
<br />
層 <math>\mathcal{F}</math> のオイラー標数 <math>\chi(\mathcal{F})</math> は、<br />
:<math> \chi(\mathcal{F}) := \textstyle\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}_0^+} (-1)^i \,{\rm rank}\, (H^{i}(X, \mathcal F)) </math><br />
により定義される。<br />
<!--==Euler characteristics==<br />
<br />
The Euler characteristic <math>\chi(\mathcal{F})</math> of a sheaf <math>\mathcal{F}</math> is defined by<br />
<br />
:<math> \chi(\mathcal{F}) := \sum_{i \in \mathbf{Z}_0^+} (-1)^i \,{\rm rank}\, (H^{i}(X, \mathcal F)). </math>--><br />
<br />
この表現は[[ベッチ数]]の[[交項級数|交代和]]としての[[オイラー標数]]に一般化であるが、この表現が意味をなすためには、2つの条件が満たされねばならない。第一は、和の各項が[[ほとんど全て]]が 0 である、つまり、ある N が存在し、<math> i \geq N </math>である必要がある。さらに'''ランク'''は[[アーベル群のランク]]、もしくは[[ベクトル空間の次元]]のように、[[環上の加群|加群の理論]]からの [[well-defined]] な函数で、問題のコホモロジー群の有限の値となっていることである。従って、項の和の有限性とコホモロジー群の有限性という 2つの種類の{{仮リンク|固有射の有限性|label=有限性|en|Finiteness theorem for a proper morphism}}の証明が要求される。<br />
<!--To make sense of this expression, which generalises the [[Euler characteristic]] as [[alternating sum]] of [[Betti number]]s, two conditions must be fulfilled. Firstly the summands must be [[almost all]] zero, i.e. zero for <math> i \geq N </math> for some <math> N </math>. Further, ''rank'' must be some well-defined function from [[module theory]], such as [[rank of an abelian group]] or [[vector space dimension]], that yields finite values on the cohomology groups in question. Therefore [[Finiteness theorem for a proper morphism#In étale cohomology|finiteness theorem]]s of ''two'' kinds are required.--><br />
<br />
[[連接層]]のような理論では、そのような定理があり、&chi;(F) の値が他の考え方（例えば、[[ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理]]や{{仮リンク|グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理|en|Grothendieck-Riemann-Roch theorem}}）から、個別の項のランクよりも容易に計算することができる。実践的には、H<sup>0</sup>(X,F) が最も興味が持たれ、他の H<sup>i</sup>(X,F) 上の消滅定理<!--これは個々の固有名詞のついた消滅定理を適用しようという意図ではなく、連接層 H<sup>0</sup>(X,F) が何らかの充分大きなインデックスに対して、0 となることを消滅定理といいたいわけである。この趣旨は英文の該当の記事の冒頭に記載されている。ここで曖昧性を回避したいわけではないので、リンクをはずします。-->によりランクを計算する一つの方法がある。この方法は、標準的な'''間接的'''な層の理論の方法で数値的な結果がもたらされる。<br />
<!--In theories such as [[coherent cohomology]], where such theorems exist, the value of &chi;(''F'') is typically easier to compute, from other considerations (for example the [[Hirzebruch-Riemann-Roch theorem]] or [[Grothendieck-Riemann-Roch theorem]]), than the individual ranks separately. In practice it is often ''H''<sup>0</sup>(''X'',''F'') that is of most interest; one way to compute its rank is then by means of a [[vanishing theorem]] on the other ''H''<sup>''i''</sup>(''X'',''F''). This is a standard ''indirect'' method of sheaf theory to produce numerical results.--><br />
<br />
==特異コホモロジーとの関係==<br />
<br />
[[局所可縮]]な位相空間に対し、A に係数を持つ[[特異コホモロジー]]群は、任意のアーベル群 A に対し、A の定数層とする層コホモロジー群に一致する<ref>Ramanan, S. ''Global Calculus''. Graduate Studies in Mathematics, vol. 65, Theorem 4.14</ref><br />
。<br />
<!--==Relationship with singular cohomology==<br />
<br />
For a [[locally contractible]] topological space, the [[singular cohomology]] groups with coefficients in ''A'' agree with the sheaf cohomology groups with the constant sheaf of ''A'', for any abelian group ''A''.<ref>Ramanan, S. ''Global Calculus''. Graduate Studies in Mathematics, vol. 65, Theorem 4.14</ref><br />
--><br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{reflist}}<br />
<br />
==参考文献==<br />
[[層 (数学)|層]]のほとんどの参考文献は層コホモロジーを扱っている。例えば、<br />
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 |mr=1288523 | year=1994}}, emphasizing the theory in the context of [[complex manifold]]s<br />
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 |mr=0463157 | year=1977}}, in the algebraic-geometric setting, i.e. referring to the [[Zariski topology]]<br />
* {{Citation | last1=Iversen | first1=Birger | title=Cohomology of sheaves | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-3-540-16389-3 |mr=842190 | year=1986}}, in the topological setting<br />
* The [http://mathoverflow.net/questions/1151/sheaf-cohomology-and-injective-resolutions thread] "Sheaf cohomology and injective resolutions" on [[MathOverflow]]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:そうこほもろしい}}<br />
[[Category:コホモロジー論]]<br />
[[Category:ホモロジー代数]]<br />
[[Category:層の理論]]<br />
[[Category:代数幾何学の位相的方法]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166関数 (数学)2018-08-18T07:17:30Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div>{{for|一般の集合の間の関数|写像}}<br />
[[数学]]における'''関数'''（かんすう、{{Lang-en-short|''[[wikt:function|function]]''}}、{{Lang-fr-short|''[[wikt:application|application]]''}}、{{Lang-de-short|''[[wikt:Funktion|Funktion]]''}}、{{Lang-la-short|''functio''}}、'''函数'''とも）とは、かつては、ある[[変数 (数学)|変数]]に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉は[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]によって導入された。その後[[定義]]が一般化されて行き、現代的には[[数]]の[[集合]]に値をとる[[写像]]の一種であると理解される。<br />
<br />
== 表記の歴史 ==<br />
<!-- 【この節では函数と関数が意図的に使い分けられています。また、原典を明確するため「數」「學」「會」の字体を新字体と区別して用いています。関数を函数に、あるいは函数を関数に書き換えるといった編集の際には出典での表記も参照してください】 --><br />
[[日本語]]としての'''[[wikt:関数|関数]]'''はもともと「'''[[wikt:函数|函数]]'''」（旧字体では[[wikt:函數|函數]]）と書く。函数という語は中国語から輸入されたものであり、中国での初出は1859年に出版された[[李善蘭]]の『代微積拾級』といわれる。<br />
<br />
微積分について日本語で書かれた最初の本、花井静校・福田半編『筆算微積入門』(1880年) では「函数」が用いられている<ref name="k1988">片野善一郎 (1988)『数学用語の由来』[[明治図書出版]] ISBN 4-18-543002-7</ref><ref name="k2003">片野善一郎 (2003)『数学用語と記号ものがたり』[[裳華房]] ISBN 4-7853-1533-4</ref>。それに続く[[長澤龜之助]]訳『微分学』(1881年)、岡本則録訳『査氏微分積分学』(1883年) のいずれも用語を『代微積拾級』、『微積遡源』(1874年) などによっている<ref name="k2003"/>。明治初期に東京數學會社で数学用語の日本語訳を検討する譯語會が毎月開催され、その結果が『東京數學會社雑誌』で逐次報告されている。この報告に function の訳語は第62号 (1884年) の「原數」<ref>{{cite journal|和書<br />
| url = http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=62&startpage=8&lang=ja&from=jnltoc<br />
| title = 譯語會記事<br />
| journal = 東京數學會社雑誌<br />
| issue = 62<br />
| pages = p. 9<br />
| publisher = 數學會社假事務所<br />
}}</ref>と第64号 (1884年) の「三角法函數」<ref>{{cite journal|和書<br />
| url = http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=64&startpage=14&lang=ja&from=jnltoc<br />
| title = 譯語會記事<br />
| journal = 東京數學會社雑誌<br />
| issue = 64<br />
| pages = p. 14<br />
| publisher = 數學會社假事務所<br />
}}</ref>の二種類が登場する。一方、同誌の本文では61号 (1884年) や63号 (1884年) で「函數」が用いられている<ref>{{cite journal|和書<br />
| url = http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1883&noissue=61&startpage=1&lang=ja&from=jnltoc<br />
| author = 菊池大麓<br />
| title = 雜録<br />
| journal = 東京數學會社雑誌<br />
| issue = 61<br />
| pages = p. 1<br />
| publisher = 數學會社假事務所<br />
}}{{cite journal|和書<br />
| url = http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=63&startpage=1&lang=ja&from=jnltoc<br />
| author = 菊池大麓<br />
| title = 雜録<br />
| journal = 東京數學會社雑誌<br />
| issue = 63<br />
| pages = p. 1<br />
| publisher = 數學會社假事務所<br />
}}</ref>。<br />
<br />
「函」が[[国語国字問題|漢字制限]]による[[当用漢字]]に含まれなかったことから、[[1950年代]]以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた<ref>この経緯については、島田茂 (1981)「学校数学での用語と記号」福原満州雄他『数学と日本語』共立出版 ISBN 4-320-01315-8 pp.135-169 に詳しい。</ref>。この他、「干数」案もあった<ref>一松信 (1999)「当用漢字による書き替え」数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 ISBN 4-535-60613-7 p.5</ref>。[[学習指導要領]]に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている<ref>但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。</ref>。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した<ref name="komatsu">小松勇作「関数」『数学100の慣用語』数学セミナー1985 年9月増刊、数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 ISBN 4-535-60613-7 p.&nbsp;58 に再録</ref>。<br />
<br />
「函数」の中国語における発音は({{ピンイン|''h&aacute;nsh&ugrave;''}}) であり、[[志賀浩二]]や[[小松勇作]]によればこれはfunctionの音訳であるという<ref name="komatsu"/><ref>志賀浩二『数学が生まれる物語／第4週 座標とグラフ』岩波書店、70頁（1992年）</ref>。一方、『代微積拾級』には「凡此變數中函彼變數則此為彼之函數」<ref>{{cite book|和書<br />
| title = 代微積拾級<br />
| volume = 巻十<br />
| pages = 1丁裏<br />
| author = (美国) 羅密士撰<br />
| others = (英国) 偉烈亜力口訳、(清) 李善蘭筆述<br />
| year = 咸豊9年}}東北大学附属図書館林文庫蔵。[http://dbr.library.tohoku.ac.jp/infolib/meta_pub/G0000002wasan 東北大学和算資料データベース]で「代微積拾級」を検索することにより、画像ファイルを見ることができる。</ref>とあり、また変数に天、地などの文字を用いて「天 = 函(地)」という表記もある。[[片野善一郎]]によれば、「函」の字義はつつむ、つつみこむであるから、「天 = 函(地)」という表現は「天は地を函む」ようにみえ<ref name="k1988"/>、従属変数（の表現）に独立変数が容れられている<ref name="k2003"/>という意味であるという。<br />
<br />
なお、現代の初等教育の場においてはしばしば関数を[[ブラックボックス]]のたとえで説明することがある<ref name="k2003"/><ref name="a">飯島徹穂編著、『[http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320017283 数の単語帖]』、共立出版、2003年、「関数」より。ISBN 978-4-320-01728-3</ref><ref>遠山啓、『[http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=ISBN978-4-00-603215-9&nbsp;関数を考える]』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2011年。ISBN 978-4-00-603215-9</ref>。この説明では、「函」を「はこ」と読むことと関連付けて説明されることもあるが、「函数」の語の初出は1859年なのに対し、「ブラックボックス」の語の初出は1945年ごろとされることに注意を要する。<br />
<!-- 【函数と関数の使い分け注釈対象終わり】 --><br />
<br />
== 定義 ==<br />
=== 素朴な定式化 ===<br />
二つの変数 ''x'' と ''y'' があり、入力 ''x'' に対して、出力 ''y'' の値を決定する規則（''x'' に特定の値を代入するごとに ''y'' の値が確定する）が与えられているとき、変数 ''y'' を「''x'' を'''独立変数''' (independent variable) とする'''関数'''」或いは簡単に「''x'' の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列（特に何か理由がなければ、function の頭文字から ''f'' が選ばれることが多い）を使って<br />
:<math>y = f(x)</math><br />
のように対応規則に名前を付与する。''x'' の関数 ''y'' を ''f''(''x'') と書いて、''x'' = ''a'' を代入したときに決まる関数の値を ''f''(''a'') と表すのである。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の ''y'' の値について対応する ''x'' の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この ''f''(''x'') という表記法は[[18世紀]]の[[数学者]][[レオンハルト・オイラー|オイラー]]によるものである。オイラー自身は、変数や[[定数]]を組み合わせてできた数式の事を関数と定義していたが、[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]は上に述べたように、 ''y'' と言う変数を関数と定義した。<br />
<br />
''y'' が ''x'' の関数であることの別の表現として、変数 ''y'' は変数 ''x'' に'''従属'''するとも言い、''y'' を'''従属変数''' (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の'''[[定義域]]''' (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値（変域）を、この関数の'''[[値域]]''' (range) という。<br />
<br />
関数の[[終域]]は[[実数]] '''R''' や[[複素数]] '''C''' の部分集合であることが多い。終域が実数の集合となる関数を'''実数値関数''' (real valued function) といい、終域が複素数の集合となる関数を'''複素数値関数''' (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も終域も実数の集合であるような関数を'''実関数''' (real function) といい、定義域も終域も複素数の集合であるような関数を'''複素関数''' (complex function) という。<br />
<br />
=== 現代的解釈 ===<br />
[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]は、 ''x'' と ''f''(''x'') の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要は無いとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。<br />
<br />
集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 ''f'' のことであると解釈する。それは[[二項関係]]の特別の場合として関数を定義するということであり、{{要追加記述範囲|関数を集合<!--（特に[[実数]]全体の集合 '''R'''）-->から「数」のつくる集合への[[写像]]であると捉えると言う事である<ref>''A'', ''B'' が一般の集合である場合にも、''A'' から ''B'' への写像を、''A'' から ''B'' への'''関数'''（中略）ということがある。{{Cite book<br />
| 和書<br />
| last1 = 松坂<br />
| first1 = 和夫<br />
| year = 1968<br />
| title = 集合・位相入門<br />
| publisher = 岩波書店<br />
| isbn = 4-00-005424-4<br />
| ref = harv<br />
|page=28<br />
}}</ref>。|date=2015年8月|title=“「数」のつくる集合”では曖昧。日本語においてどのような写像を関数と呼ぶのかもう少しきちんと書くべき。}}よって、写像に用いる言葉をそのまま流用する事がある。<br />
<br />
* [[写像#写像の合成|合成]]（合成関数）<br />
* [[全射]]、[[単射]]（一対一ともいう）、[[全単射]]（双射、一対一'''対応'''ともいう）<br />
* [[写像#逆写像|逆]]（逆関数）<br />
<br />
などを挙げることができる。一方で、「数」に値を取る関数は一般の写像とは異なる性質も持つ。たとえば、[[像 (数学)|像]]を用いて[[点ごと|値毎の]]演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できること： ''x'' を任意として、<br />
<br />
* <math>(f + g)(x) := f(x) + g(x),</math><br />
* <math> (f - g)(x) := f(x) - g(x),</math><br />
* <math>(fg)(x) := f(x)g(x),</math><br />
* <math>(f/g)(x) := f(x) / g(x)</math> （ただし''g(x)''はゼロでない）<br />
<br />
などが挙げられる。<br />
<br />
== ブラックボックスモデルによる説明 ==<br />
とくに教育において関数はブラックボックスで説明されることがあると前に述べたが関数は入力と出力が定義されたブラックボックスとして説明される<ref name="a"/>。<br />
<br />
== 関数の例 ==<br />
{{seealso|関数一覧}}<br />
* [[一次関数]]：''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' （''a'', ''b'' は定数, ''a'' ≠ 0）。<br />
** とくに、''b'' = 0 のとき[[線型写像]]、''a'' = 1 かつ ''b'' = 0 のとき'''恒等関数'''（恒等写像、identity）になる。<br />
* [[二次関数]]：''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' （''a'', ''b'', ''c'' は定数で ''a'' ≠ 0）。<br />
* [[指示関数]]：<br />
*:<math>\chi_A(x) := \begin{cases}<br />
1 & (x \in A), \\<br />
0 & (x \notin A).<br />
\end{cases}</math><br />
<br />
以下に代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる<ref name="a"/><ref>日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「特殊関数」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 </ref>。全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい。<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|-<br />
! colspan="4"|関数 || 具体例 <br />
|-<br />
| rowspan="9" |[[代数関数]]<br />
|-<br />
| rowspan="7"|[[有理関数]]<br />
|-<br />
|rowspan="5"|[[多項式関数]]<br />
|-<br />
| [[定数関数]]<br />
|''f''(''x'') = ''a''<br />
|-<br />
| [[一次関数]]<br />
|''f''(''x'') = ''ax'' + ''b''<br />
|-<br />
| [[二次関数]]<br />
|''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + c<br />
|-<br />
|[[三次関数]]<br />
|''f''(''x'') = ''ax''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''<br />
|-<br />
|colspan="2"|[[分数関数]]<br />
|''f''(''x'') = <math>\frac{a}{x}</math><br />
|-<br />
|colspan="3"|[[無理関数]]<br />
|f(x) = <math>\sqrt{x}</math><br />
|-<br />
|rowspan="6"|[[初等関数]]<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[指数関数]]<br />
|''a<sup>x</sup>'', ''e<sup>x</sup>'', 2<sup>''x''</sup><br />
|-<br />
|colspan="3"|[[対数関数]]<br />
|log(''x''), ln(''x''), log<sub>''a''</sub>(''x'')<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[三角関数]]<br />
|sin(''x''), cos(''x''), tan(''x'')<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[逆三角関数]]<br />
|sin<sup>−1</sup>(''x''), cos<sup>−1</sup>(''x''), tan<sup>−1</sup>(''x'')<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[双曲線関数]]<br />
|sinh(''x''), cosh(''x''), tanh(''x'')<br />
|-<br />
|rowspan="8"|[[特殊関数]]<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[ガンマ関数]]<br />
|Γ(''x'')<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[ベータ関数]]<br />
|Β(''x'', ''y'')<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[誤差関数]]<br />
|erf(''x'')<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[テータ関数]]<br />
| <br />
|-<br />
|colspan="3"|[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]<br />
|ζ(''x'')<br />
|-<br />
|colspan="3"|[[マシュー函数|マチウ関数]]<br />
| <br />
|}<br />
<br />
== 多変数関数と多価関数 ==<br />
複数の変数によって値が決定される関数を'''[[多変数関数]]'''と言う。これは複数の数の集合たちの[[直積集合]]から数の集合への写像であると解釈される。[[ベクトル]]の集合を[[定義域]]とする独立変数をもつ関数と解釈することもある。''n'' 個の変数で決まる関数であれば、''n'' 変数関数とも呼ばれ<br />
<br />
: <math>y = f(x_1,x_2, \ldots,x_n)</math><br />
<br />
のように書かれる。例えば<br />
<br />
: <math>y = x_1^2 + x_2^2</math><br />
<br />
は二変数関数である。<br />
<br />
一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を関数の仲間として捉えるとき'''[[多価関数]]''' (multi-valued function) と言う。常に ''n'' 個の出力を得る関数は ''n'' 価であるといい、その ''n'' を多価関数の'''価数'''と呼ぶ。例えば正の実数にその[[平方根]]を与える操作は正と負の二つ値を持つので、二価関数である。多価関数に対し、普通の一つの値しか返さない関数は'''一価関数'''といわれる。<br />
<br />
多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ、それを'''ベクトル値関数'''という。ベクトル値関数が与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成してやることにより、通常の一価関数が複数得られる。つまり、定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。<br />
<br />
一つの例として、実数全体 '''R''' で定義された二価の関数<br />
<br />
:<math>f(x) := \pm\sqrt{1+x^2}</math><br />
はベクトル値関数<br />
: <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2;\ x \to f(x) = (\sqrt{1+x^2}, - \sqrt{1+x^2})</math><br />
として扱うことができる。また、定義域の "コピー" を作って定義域を広げてやることで、その拡張された定義域上の一価の関数<br />
:<math>f\colon A \sqcup B \to \mathbb{R} \quad(A=B=\mathbb{R})</math><br />
::<math>f(x)=\begin{cases}<br />
-\sqrt{1+x^2} & (x\in A),\\<br />
\sqrt{1+x^2} & (x\in B)<br />
\end{cases}</math><br />
<br />
と見なすこともある。[[複素数|複素]]変数の[[自然対数|対数関数]] log は素朴には無限多価関数であるが、これを log の[[リーマン面]]上の一価関数と見なすなど、定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる。<br />
<br />
== 陽表式と陰伏式 ==<br />
多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある。例えば<br />
<br />
: <math>F(x,y) = 0</math><br />
<br />
のような式が与えられているとき、''x'' と ''y'' は独立に別々の値をとることはできない。''x'' に勝手な値を与えるならば、''y'' は ''x'' の値によってとりうる値の制約を受けるからである。このことを以って、独立変数 ''x'' と従属変数 ''y'' が対応付けられると考えるとき、方程式 ''F''(''x'', ''y'') = 0 は ''x'' の関数 ''y'' を'''陰''' (implicit) に定めるといい、''y'' を ''x'' の'''陰伏関数'''または[[陰関数]] (implicit function) という。これに対して、''y'' = ''f''(''x'') と表されるような関数関係を、''y'' は ''x'' の'''陽関数''' (explicit function) である、あるいは ''y'' は ''x'' で'''陽''' (explicit) に表されているなどと言い表す。<br />
<br />
陰伏的な関数関係が ''F''(''x'', ''y'') = 0 によって与えられていて、陽な関数関係 ''y'' = ''f''(''x'') が適当な集合 ''D'' を定義域として ''F''(''x'', ''f''(''x'')) = 0 を満たすなら、この陽関数 ''y'' = ''f''(''x'') は ''D'' 上で関係式 ''F''(''x'', ''y'') = 0 から陰伏的に得られるという。関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は（定義域や値域でより分けることにより）複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の'''[[枝]]'''という。また、陰関数の複数の枝を総じて扱うならば、陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる。例えば、方程式<br />
<br />
: <math>y^2 - x^2 = 1</math><br />
が定める陰関数 ''y'' は全域で 2 つの一価連続な枝<br />
:<math>f_1(x) := \sqrt{1+x^2},</math><br />
:<math>f_2(x) := -\sqrt{1+x^2}</math><br />
<br />
をもつ二価関数である。<br />
<br />
また、[[媒介変数]]を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2''x'' − 3''y'' = 0 は、媒介変数 ''t'' を導入して<br />
<br />
:<math>\begin{cases}<br />
x = 3t, \\<br />
y = 2t<br />
\end{cases}</math><br />
<br />
と表すことができるが、これによって ''y'' と ''x'' の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
=== 数列 ===<br />
有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは[[数列]]と呼ばれるものになる（適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる）。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ..., ''n''} と並べるとき、''k'' = 1, 2, ..., ''n'' に対して ''x''<sub>''k''</sub> = ''x''(''k'') を対応付ける関数 ''x'' を<br />
<br />
:<math>(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n</math><br />
のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列 <br />
:<math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math><br />
を考えれば、それは各自然数 ''n'' に対して、数 ''s''<sub>''n''</sub> を対応させる<br />
:<math>s\colon \mathbb{N} \to \mathbb{R};\,n \mapsto s_n</math><br />
という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の[[族 (数学)|族]]を考慮に入れれば、通常の実関数 ''f'' = ''f''(''x'') を ''x'' を添字に持つ実数の族<br />
:<math>(f_x)_{x\in\mathbb{R}} \in \mathbb{R}^\mathbb{R}</math><br />
と読みかえることができる。<br />
<br />
=== 汎関数 ===<br />
{{main|汎函数}}<br />
関数を変数に取る関数はとくに'''汎関数''' (functional) と呼ばれる。特にある集合上の関数の作る[[ベクトル空間]]から[[係数|係数体]]への[[線型写像]]を'''[[線型汎関数]]''' (linear functional) という。文脈によっては単に汎関数といえば線型汎関数を指すこともある。たとえば積分<br />
<br />
:<math>F(f)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx</math><br />
<br />
は可積分関数 ''f'' を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数 ''F'' を与える。積分は[[線型性]]を持つから、''F'' は線型汎関数である。<br />
<br />
有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから、汎関数<br />
<br />
:<math>\mathcal{F}(f)=\mathcal{F}(f(x))</math><br />
はひとつまたは複数の[[助変数|パラメータ]]で[[添字]]付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種<br />
:<math>\mathcal{F}\left((f_x)_{x\in\mathbb{R}}\right)</math><br />
と見なすことができる。また、有限次元ベクトル空間は[[基底 (線型代数学)|基底]]を固定することにより、その[[座標]]で表される係数体の[[加群の直和|有限個の直積]]と[[同型]]であるから、そこからの汎関数は多変数関数<br />
:<math>F(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)</math><br />
<br />
と同一視できる。<br />
<br />
関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は、さらに関数に関数を対応付ける[[作用素]]の概念に一般化される。<br />
<br />
=== 超関数 ===<br />
{{main|超関数}}<br />
'''[[シュワルツ超函数|シュワルツの超関数]]'''（分布、{{lang-en-short|distribution}}）の理論は、汎関数の一種（コンパクトな台を持つ無限階微分可能関数の作る空間上の連続線型汎関数）として[[超関数]]を定義する。通常の局所可積分関数に[[測度]]を掛けて積分[[作用素]]として見ると、この意味で超関数と見なされる。<br />
<br />
この様な連続線型汎関数を用いた定式化の方向で {{en|distribution}} よりも大きいクラスとしては、'''超分布''' {{en|(ultradistribution)}} が知られている。<br />
<br />
一方、'''[[佐藤超函数|佐藤の超関数]]'''（{{lang-en-short|hyperfunction}}）は[[層コホモロジー|層係数コホモロジー]]等の代数的手法を用いて定義される。この代数的手法の解析学への導入により、線型微分方程式系の代数化である {{mvar|D}} 加群の理論等、代数解析学と呼ばれる分野が開かれた。以上の超関数のクラスは局所化可能、言い換えれば層を成すという事が重要である。<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{脚注ヘルプ}}<br />
{{Reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* [[日本数学会]]編『岩波数学辞典』第4版、[[岩波書店]]、2007年 ISBN 978-4000803090<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[集合論]]<br />
* [[写像]]<br />
* 関数の分類<br />
** [[連続関数]]<br />
** [[偶関数と奇関数]]<br />
* [[超越関数]]<br />
** [[初等関数]]<br />
** [[特殊関数]]<br />
* [[関数一覧]]<br />
* [[畳み込み]]<br />
* [[定点通過]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
{{Wikibooks|解析学基礎 関数|関数}}<br />
* {{cite journal | 和書 | title= 近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及 | last= 公田 | first= 藏 | month= Apr | year= 2012 | publisher= 京都大学数理解析研究所 | journal= 数理解析研究所講究録 | volume= 1787 | pages= 265&ndash;279 | url= http://hdl.handle.net/2433/172764}}<br />
* [http://curvas21.blogspot.com Curvas]数学関数のソフトウェア<br />
* [http://fooplot.com/ FooPlot]{{En icon}}<br />
<br />
{{Normdaten}}<br />
{{DEFAULTSORT:かんすう}}<br />
[[Category:関数|*]]<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166冪集合公理2018-08-17T23:40:52Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div><br />
[[数学]]における'''冪集合公理'''（べきしゅうごうこうり、{{Lang-en-short|axiom of power set}}）とは、[[公理的集合論]]の{{仮リンク|Zermelo–Fraenkel set theory|label=ツェルメロ＝フレンケルの公理系|en|Zermelo–Fraenkel set theory}}の一つである。<br />
<br />
ツェルメロ＝フレンケルの公理系の[[形式言語]]において、この公理は次のように記述される：<br />
<br />
:<math>\forall A \, \exists P \, \forall B \, [B \in P \iff \forall C \, (C \in B \Rightarrow C \in A)]</math><br />
<br />
ここで ''P'' は ''A'' の冪集合 <math>\mathcal{P}(A)</math> を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：<br />
<br />
:任意の集合 ''A'' が与えられたとき、任意の集合 ''B'' が <math>\mathcal{P}(A)</math> に属するようなある集合 <math>\mathcal{P}(A)</math> が存在するための[[必要十分条件]]は、''B'' のすべての元が ''A'' の元でもあることである。<br />
<br />
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。[[外延性の公理|外延性公理]]により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。<br />
<br />
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、{{仮リンク|構成的集合論|en|constructive set theory}}においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。<br />
<br />
== 帰結 ==<br />
<br />
冪集合公理は、二つの集合 <math>X</math> と <math>Y</math> に対し、次のような[[デカルト積]]の簡単な定義を許す：<br />
<br />
:<math> X \times Y = \{ (x, y);\ x \in X \land y \in Y \}. </math><br />
<br />
ここで<br />
:<math>x, y \in X \cup Y, </math><br />
:<math>\{ x \}, \{ x, y \} \in \mathcal{P}(X \cup Y), </math><br />
:<math>(x, y) := \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) </math><br />
<br />
であり、<br />
<br />
:<math> X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) </math><br />
<br />
であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。<br />
<br />
任意の[[有限集合]]の[[クラス (集合論)|類]]に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：<br />
<br />
:<math> X_1 \times \cdots \times X_n := (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n. </math><br />
<br />
デカルト積の存在は、{{仮リンク|クリプキ＝プラテクの集合論|en|Kripke–Platek set theory}}におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
*Paul Halmos, ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).<br />
*Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''. Springer. ISBN 3-540-44085-2.<br />
*Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.<br />
<br />
{{PlanetMath attribution|id=34399|title=Axiom of power set}}<br />
<br />
{{集合論}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:へきしゆうこうこうり}}<br />
[[Category:公理的集合論]]<br />
[[Category:集合論]]<br />
[[Category:公理]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166ベン図2018-08-17T23:37:40Z<p>210.149.174.166: 210.149.174.166 (会話) による ID:69612862 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{複数の問題|参照方法=2015年5月|単一の出典=2015年5月}}[[ファイル:Venn-stainedglass-gonville-caius.jpg|thumb|200px|ベン図が描かれたステンドグラス]]<br />
'''ベン図'''（ベンず、もしくは'''ヴェン図'''、{{lang-en-short|Venn diagram}}）とは、複数の[[集合]]の関係や、集合の範囲を視覚的に図式化したものである。[[イギリス]]の[[数学者]][[ジョン・ベン]] (John Venn) によって考え出された。ベンにゆかりの深い[[ケンブリッジ大学]]の[[ゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジ]]には、ベン図を描いた[[ステンドグラス]]がある。<br />
<br />
== 概要 ==<br />
[[ファイル:Venn A subset B.svg|left|thumb|150px|オイラーによる部分集合の表し方]]<br />
各集合をひとつの[[閉曲線]]（例えば[[円 (数学)|円]]）の内部で表し、[[相関関係]]をその閉曲線の交わり方によって表す。例えば、[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]は、集合 ''A'' が集合 ''B'' の[[部分集合]]であることを、左図のように表した。<br />
<br />
[[ファイル:Relation1011.svg|thumb|200px|ベンによる部分集合の表し方]]<br />
しかし、ベンは同じことを右図のように表した。斜線は、その領域に[[元 (数学)|元]]が存在しないことを表す。よって、左の円が表す集合に属する元は全て右の円が表す集合に属する。<br />
<br />
ベンの方法では、各々の集合に属するか否かの全ての可能性に対して、領域を対応させる。したがって、''n'' 個の集合のベン図は 2<sup>''n''</sup> 個の領域を持つ。そして、各々の領域について、（現代的な感覚とは逆であるが）元が存在しないことを斜線で表し、元が存在することを[[×|ばつ印]]で表す。どちらも記されていない場合は、元が存在するかどうか不明である。<br />
<br />
<br />
これに対し、オイラーの方法では必ずしも ''n'' 個の集合の図で 2<sup>''n''</sup> 個の領域を持つとは限らず、領域が存在しないことは元が存在しないことを意味する。例えば、先の例では ''A'' に属して ''B'' に属さない元は存在しない。このオイラー流の図も、現代ではしばしばベン図と呼ばれるが、厳密に区別したいときは、オイラー流の図を[[オイラー図]]、2<sup>''n''</sup> 個の領域を持つ図をベン図と呼び分ける。<br />
<br />
[[ファイル:Venn0001.svg|thumb|200px|2つの集合の[[共通部分 (数学)|共通部分]]]]<br />
ベンの方法では、斜線は元が存在しないことを意味したが、現代では逆に斜線を引いたり色を付けたりして、その領域に注目することが多い。例えば、右図は左の円を集合 ''A''、右の円を集合 ''B'' としたときの、''A'' と ''B'' の[[共通部分 (数学)|共通部分]] ''A'' ∩ ''B'' を意味する。<br />
<br />
== 多数の集合のベン図 ==<br />
ベン図は、2つまたは3つの集合のものが典型的であるが、ベンは4つ以上の集合についても考えている。4つの円では平面を16個の領域に分けることは不可能であり、楕円を用いる必要がある。5つ以上の場合は、さらに複雑な図を描かなければならない。<br />
<gallery widths="120px" perrow="3"><br />
<br />
ファイル:Venn3.svg|3つの集合のベン図<br />
ファイル:Venn's four ellipse construction.svg|楕円を用いた4つの集合のベン図<br />
ファイル:Symmetrical 5-set Venn diagram.svg|楕円を用いた5つの集合のベン図は[[:en:Branko Grünbaum|Branko Grünbaum]]が考案した<br />
ファイル:Venn4.svg|4つの集合のベン図<br />
ファイル:Venn5.svg|5つの集合のベン図<br />
ファイル:Venn6.svg|6つの集合のベン図<br />
</gallery><br />
<br />
== 論理演算とベン図 ==<br />
[[ファイル:Venn0001.svg|thumb|200px|[[論理積]] (AND) P ∧ Q のベン図による表現]]<br />
[[論理演算]]をベン図で表すことがある。ベン図は本来は集合についての関係を表すもので、論理演算に対してベン図を用いるのは本来の使い方ではないが、現実には、[[集合代数]]と論理演算が[[ブール代数]]として等価であることから、論理演算を視覚的にわかりやすく表現する手法としてしばしばベン図が用いられる。<br />
<br />
論理演算をベン図で表す場合、円は論理演算の入力値を表す論理変数に対応し、円の内部はその変数の値（[[真理値]]）が真（1、もしくはT）であること、円の外部は偽（0、もしくはF）であることを表す。論理演算の出力値を真にする入力値の組に対応する領域に斜線を引いたり色を付けたりすることで、入力値と出力値の関係を表す。例えば、右図は左の円をP、右の円をQとして、PとQの[[論理積]] (AND) P ∧ Q をベン図で表したものである。これは集合 ''A'' と集合 ''B'' の[[共通部分 (数学)|共通部分]] ''A'' ∩ ''B'' を表すベン図と見かけは同じだが、論理演算 P ∧ Q を表すものとみなす場合、円は集合を意味するものではないことに注意が必要である。<br />
<br />
左円:P <br />
右円:Q <br />
<font color=FF0000>赤色</font>:真 <br />
白色:偽<br />
{| style="text-align: center"<br />
|-<br />
| style="width: 33%" | [[ファイル:Venn0111.svg|200px]]<br />
| style="width: 33%" | [[ファイル:Venn1010.svg|200px]]<br />
| style="width: 33%" | [[ファイル:Venn1110.svg|200px]]<br />
|-<br />
| [[論理和]] (OR)<br />
| [[否定|論理否定]] (NOT)<br />
| [[否定論理積|論理積の否定]] (NAND)<br />
|-<br />
| ''P'' ∨ ''Q''<br />
| ¬''P''<br />
| ¬(''P'' ∧ ''Q'')<br />
|- <br />
| style="padding-top: 1em" | [[ファイル:Venn1000.svg|200px]]<br />
| style="padding-top: 1em" | [[ファイル:Venn1001.svg|200px]]<br />
| style="padding-top: 1em" | [[ファイル:Venn1011.svg|200px|ベン図による含意]]<br />
|-<br />
| [[否定論理和|論理和の否定]] (NOR)<br />
| <math>P \leftrightarrow Q</math><br />
| [[論理包含|含意]]（IMP）<br />
|-<br />
| ¬(''P'' ∨ ''Q'')<br />
| (''P'' ∧ ''Q'') ∨ ¬(''P'' ∨ ''Q'')<br />
| (''P'' → ''Q'') ⇔ (¬''P'' ∨ ''Q'')<br />
|- <br />
| style="padding-top: 1em" | [[ファイル:Venn0110.svg|200px]]<br />
|-<br />
| [[排他的論理和]] (XOR)<br />
|-<br />
| (''P'' ∨ ''Q'') ∧ ¬(''P'' ∧ ''Q'')<br />
|}<br />
<br />
下図は、集合演算を表す場合のベンの方法に対応する表し方で、黒色の領域は「対応する入力値の組合せが起こらない」ことを表す。<br />
<br />
左円:P <br />
右円:Q <br />
{| style="text-align: center"<br />
|- <br />
| style="padding-top: 1em" | [[ファイル:Relation1001.svg|200px]]<br />
| style="padding-top: 1em" | [[ファイル:Relation1011.svg|200px]]<br />
|-<br />
| ''P'' ⇔ ''Q''<br />
| ''P'' ⇒ ''Q''<br />
|-<br />
| <math>(P \leftrightarrow Q) \Leftrightarrow {\rm true}</math><br />
| (''P'' → ''Q'') ⇔ true<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* [[一松信]]、竹之内脩編『新数学事典』[[大阪書籍]]、1991年 ISBN 978-4-7548-4006-8<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
{{commonscat|Venn diagrams}}<br />
*[[集合]]<br />
*[[集合論]]<br />
*[[数理論理学]]<br />
*[[論理演算]]<br />
*[[ブール論理]]<br />
*[[ブール代数]]<br />
*[[オイラー図]]<br />
*[[存在グラフ]]<br />
*[[包除原理]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* [http://phs.i.hosei.ac.jp/ronri/ ベン図] - [[法政大学]]内の解説ページ<br />
<br />
{{集合論}}<br />
{{DEFAULTSORT:へんす}}<br />
[[Category:集合論]]<br />
[[Category:ダイアグラム]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166数学記号の表2018-08-17T09:14:30Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2013年1月}}<br />
{{redirect|数学記号|ウィキペディアにおける数式の書き方|m:Help:Displaying a formula/ja{{!}}ヘルプ:数式の書き方}}<br />
{{特殊文字}}<br />
[[数学]]的概念を記述する[[記号]]を'''数学記号'''という。数学記号は、数学上に抽象された概念を簡潔に表すためにしばしば用いられる。<br />
<br />
数学記号が示す対象やその定義は、基本的にそれを用いる人に委ねられるため、一見して同じ記号であっても内容が異なっていたり、逆に異なる記号であっても、同じ対象を示していることがある<ref group="注">数学においては、各々の記号はそれ単独では「意味」を持たないものと理解される。それらは常に、[[数式]]あるいは[[論理式]]として文脈（時には暗黙のうちに掲げられている、前提や枠組み）に即して評価をされて初めて、値として意味を生じるのである。ゆえにここに掲げられる意味は慣用的な一例に過ぎず絶対ではないことに事前の了解が必要である。記号の「読み」は記号の見た目やその文脈における意味、あるいは記号の由来（例えば[[エポニム (数学)|エポニム]]）など便宜的な都合（たとえば、特定のグリフを[[インプットメソッド]]を通じてコードポイントを指定して利用するために何らかの呼称を与えたりすること）などといったものに従って生じるために、「記号」と「読み」との間には相関性を見いだすことなく分けて考えるのが妥当である。</ref>。従って本項に示す数学記号とそれに対応する数学的対象は、数多くある記号や概念のうち、特に慣用されうるものに限られる。<br />
<br />
==記号論理の記号==<br />
以下の解説において、文字 {{math|''P'', ''Q'', ''R''}} はそれぞれ何らかの[[命題]]を表すものとする。<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|-<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! <math>\and</math><br />
| [[論理積]] || 「{{math|''P'' ∧ ''Q''}}」は「命題 {{mvar|P}} と命題 {{mvar|Q}} がともに真」という命題を表す。<br />
|-<br />
! <math>\or</math><br />
| [[論理和]] ||「{{math|''P'' ∨ ''Q''}}」は「命題 {{mvar|P}} と命題 {{mvar|Q}} の少なくとも一方は真」という命題を表す。<br />
|-<br />
! <math>\neg</math><br />
| [[否定]] ||「{{math|¬''P''}}」は「命題 {{mvar|P}} が偽」という命題を表す。<br />
|-<br />
!<math>\Rightarrow</math><br />
| rowspan="2" | [[論理包含]]、含意<br />
| rowspan="2" | 「{{math|''P'' ⇒ ''Q''}}」は、「命題 {{mvar|P}} が真なら必ず命題 {{mvar|Q}} も真」という命題を表す。{{mvar|P}} が偽の場合は {{math|''P'' &rArr; ''Q''}} は真であることに注意が必要。<br />
|-<br />
! <math>\rightarrow</math><br />
|-<br />
!<math>\Leftrightarrow,\ \text{iff},\ \equiv</math><br />
| [[同値]]<br />
| 「{{math|''P'' ⇔ ''Q''}}, {{math|''P'' ≡ ''Q''}}」は {{mvar|P}} と {{mvar|Q}} の真偽が必ず一致することを意味する。<br />
'''iff'''は'''if and only if'''の略である。<br />
<br />
実際上は {{math|''P'', ''Q''}} がともに真で一方から他方が導かれるときにこの記号を使う。<br />
|-<br />
! <math>\vDash</math><br />
| [[論理的帰結]]、伴意<br />
| <br />
|-<br />
! <math>\vdash</math><br />
| [[推論]]<br />
| <br />
|-<br />
! <math>\forall</math><br />
| [[全称記号|全称限量記号]]<br />
| しばしば {{math|∀''x'' ∈ ''S''; ''P''(''x''), ∀''x'' ∈ ''S'' [''P''(''x'')]}} のように書かれ、[[集合]] {{mvar|S}} の[[任意]]の[[元 (数学)|元]] {{mvar|x}} に対して命題 {{math|''P''(''x'')}} が成立することを表す。<br />
|-<br />
! <math>\exists</math><br />
| [[存在記号|存在限量記号]]<br />
| しばしば {{math|∃ ''x'' ∈ ''S'' s.t. ''P''(''x'')}} のように書かれ、集合 {{mvar|S}} の中に命題 {{math|''P''(''x'')}} を成立させるような元 {{mvar|x}} が少なくとも1つ存在することを表す。<br />
|-<br />
!<math>\exists_1,\ \exists1,\ \exists\,!</math><br />
| 一意的に存在<br />
| しばしば {{math|∃<sub>1</sub> ''x'' ∈ ''S'' s.t. ''P''(''x'')}} のように書かれ、集合 {{mvar|S}} の中に命題 {{math|''P''(''x'')}} を成立させるような元 {{mvar|x}} が'''唯一つ存在'''することを表す。他の記法も同様である。<br />
|-<br />
! [[∴|<math>\therefore</math>]] <br />
| 結論<br />
|文頭に記され、その文の主張が前述の内容を受けて述べられていることを示す。<br />
|-<br />
! <math>\because</math><br />
| [[理由]]・[[根拠]]<br />
| 文頭に記され、その文の内容が前述の内容の理由説明であることを示す。<br />
|-<br />
!<math>:=,\ :\Leftrightarrow</math><br />
| [[定義]]<br />
| 「{{math|''A'' {{coloneqq}} ''X''}}」は、{{mvar|A}} という記号の意味するところを、{{mvar|X}} と定義することである。「{{math|''A'' :⇔ ''X''}}」とも書く。また "=" の上に "def" ないし "△" を書くこと（{{math|{{overset|def|{{=}}}}, {{overset|△|{{=}}}}}}）もある。:⇔ は命題を定義するときに使い, := は何らかの数量や対象を定義するときに使う。<br />
|}<br />
<br />
==集合論の記号==<br />
以下の解説において、{{math|''S'', ''T''}} は任意の集合を表す。<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|- <br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
!<math>\{\ :\ \},\ \{\ \mid\ \},\ \{\ ;\ \}</math><br />
| {{仮リンク|集合の内包的記法|en|set-builder notation}}<br />
| {{math|{{mset| (代表元) : (代表元の満たすべき条件)}}}} のように用いる。例えば {{math|{{mset|''x'' | ''x'' &isin; ''S'', ''P''(''x'')}}}} は {{mvar|S}} の元のうち、命題 {{math|''P''(''x'')}} が真であるものすべてを集めた集合を意味し、これはまた {{math|{{mset|''x'' &isin; ''S''|''P''(''x'')}}}} のようにもしばしば略記される（「{{math|''x'' ∈ ''S''}}」のような条件が省略されている場合、{{仮リンク|内包公理|en|axiom of comprehension|label=無制限の内包}}であるか{{仮リンク|分出公理|en|axiom of separation|label=紛れのおそれがないので省略した}}のかは文脈を読むべきである）。<br />
|-<br />
!<math>\in,\ \ni,\ \notin,\ \not\ni</math><br />
|[[元 (数学)|集合に対する元の帰属関係]]<br />
| 「{{math|''x'' ∈ ''S''}}」は、{{mvar|x}} が集合 {{mvar|S}} の元であることを意味する。必要に応じて「{{math|''S'' ∋ ''x''}}」とも書くが、こちらには {{mvar|S}} が主語であるようなニュアンスを伴うこともある。<br />
また、「{{math|¬(''x'' ∈ ''S'')}}」すなわち {{mvar|x}} が集合 {{mvar|S}} の元であることの否定を「{{math|''x'' ∉ ''S''}}」と書く。{{mvar|x}} が集合 {{mvar|S}} の元でないことを表わす。<br />
|-<br />
! [[等号|<math>=</math>]] <br />
| 集合の一致<br />
| 「{{math|1=''S'' = ''T''}}」は集合 {{mvar|S}} と集合 {{mvar|T}} が等しいことを示す。<br />
|-<br />
! [[等号|<math>\ne</math>]]<br />
| = の否定<br />
| 「{{math|''S'' ≠ ''T''}}」は集合 {{mvar|S}} と集合 {{mvar|T}} が等しくないことを示す。<br />
|-<br />
! [[集合間の関係を表す記号|<math>\subseteq,\ \supseteq,\ \subset,\ \supset,\ <br />
\subsetneq,\ \supsetneq,\ \not\subset,\ \not\supset</math>]]<br />
| 集合の[[包含関係]]<br />
|「{{math|''S'' ⊆ ''T''}}」は {{mvar|S}} が {{mvar|T}} の[[部分集合]]であることを意味する。必要に応じて「{{math|''T'' ⊇ ''S''}}」とも書く。他も同じ。<br />
{{math|⊆}} は {{mvar|S}} と {{mvar|T}} が等しい場合を含み、[[真部分集合]]に対しては {{math|⊊}} が用いられる。{{math|⊂}} は[[真部分集合]]のみを指す流儀と、一般の部分集合を指す流儀がある。{{math|⊂}} が一般の部分集合を表す場合には真部分集合を {{math|⊊}} によって表わし、{{math|⊂}} が真部分集合を表す場合には一般の部分集合を {{math|⊆}} によって表わす。<br /><br />
{{math|∈}} と同様、{{math|⊄, ⊊}} などの記号もある。<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 集合演算<br />
|- <br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[∩|<math>\cap</math>]]<br />
| [[共通部分 (数学)|共通部分]]<br />
| 「{{math|''S'' ∩ ''T''}}」は集合 {{mvar|S}} と集合 {{mvar|T}} の共通部分を表す。また<math>\textstyle\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda</math>は、[[集合族]] {{math|{{mset|''S''<sub>''&lambda;''</sub>}}}} のすべての共通部分を表す。<math>\mathfrak{S}:=\{S_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda\}</math> のとき、上の集合族を <math>\textstyle\bigcap \mathfrak{S}</math>と書くことがある。<br />
|-<br />
! [[∪|<math>\cup</math>]]<br />
| [[合併 (集合論)|和集合]]<br />
| 「{{math|''S'' ∪ ''T''}}」は集合 {{mvar|S}} と集合 {{mvar|T}} の和集合を表す。また、<math>\textstyle\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda</math>は、集合族 {{math|{{mset|''S''<sub>''&lambda;''</sub>}}}} のすべての和集合を表す。<math>\mathfrak{S}</math> が上欄のものであるとき、上の集合族を <math>\textstyle\bigcup \mathfrak{S}</math>と書くことがある。<br />
|-<br />
! [[プラス記号とマイナス記号|<math>+,\ \textstyle \sum,\ \coprod,\ \bigoplus</math>]]<br />
|[[直和]]集合<br />
|「{{math|''S'' + ''T''}}」は「{{math|''S'' ∪ ''T''}}」に同じであるが、{{math|''S'' ∩ ''T''}} が[[空集合]]であることを暗黙に述べている。<br />
この場合、集合族の和集合は<math>\textstyle\sum\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda</math>のように記す。<br />
|-<br />
!<math>\setminus,\ -</math><br />
|[[差集合]]<br />
| 「{{math|''S'' {{Unicode|&#x2216;}} ''T''}}」は、集合 {{mvar|S}} から集合 {{mvar|T}} を除いた差集合を表す。「{{math|''S'' − ''T''}}」も同じ。<br />
|-<br />
![[C|<math>\bullet^\mathrm{c},\ \complement \bullet</math>]]<br />
|[[差集合|補集合]]<br />
|{{math|''S''<sup>c</sup>}} は集合 {{mvar|S}} の補集合を表す。c は {{en|complement}} の略である。「<math>\complement S</math>」も同じ。<br />
|-<br />
![[2|<math>2^\bullet,\ \mathfrak{P}(\bullet),\ \mathcal{P}(\bullet)</math>]]<br />
|[[冪集合]]<br />
|{{math|2<sup>''S''</sup>}} は、{{mvar|S}} の部分集合をすべて集めた集合を表す。<math>\mathfrak{P}(S)</math> とも書く。<br />
|-<br />
! [[括弧|<math>(\bullet,\bullet,\dotsc)</math>]]<br />
| [[タプル|順序対]]<br />
| 元の順序付けられた組<br />
|-<br />
! [[×|<math>\times,\ \textstyle \prod</math>]]<br />
| [[直積集合]]<br />
| 「{{math|''S'' × ''T''}}」は {{mvar|S}} と {{mvar|T}} の直積を表す。一般に、集合族 {{math|{{mset|''S''<sub>''&lambda;''</sub>}}}} に属する集合の直積を<math>\textstyle\prod\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda</math>のように記す。<br />
|-<br />
! [[スラッシュ (記号)|<math>\bullet/\bullet</math>]]<br />
| [[同値関係|商集合]]<br />
| 「{{math|''S''/&sim;}}」は、集合 {{mvar|S}} の[[同値関係]] {{math|&sim;}} によって定まる {{mvar|S}} の商集合を表す。<br />
|-<br />
! [[Map|<math>\operatorname{Map}(\bullet,\bullet),\ \bullet^\bullet,\ \mathcal{F}(\bullet,\bullet)</math>]]<br />
| [[写像]]の全体<br />
| {{math|Map(''S'', ''T'')}} や {{mvar|T<sup>S</sup>}} は {{mvar|S}} から {{mvar|T}} への写像をすべて集めた集合を表す。<br />
|-<br />
!<math>\triangle,\ \ominus</math><br />
| [[対称差]]<br />
| [[対称差]]は、二つの集合に対し、一方には含まれるが他方には含まれない元をすべて集めた集合を表す: <math>P \, \triangle \, Q := ( P \cup Q ) \setminus ( P \cap Q )= ( P \setminus Q ) \cup ( Q \setminus P )</math></td></tr><br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 写像<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[矢印|<math>f\colon\bullet\to\bullet</math>]]<br />
| 写像 <br />
| 「{{math|''f'': ''S'' → ''T''}}」は、{{mvar|f}} が {{mvar|S}} から {{mvar|T}} への写像であることを示す。<br />
|-<br />
! [[矢印|<math>\bullet\mapsto\bullet</math>]]<br />
| 元の対応<br />
| <math>x \,\stackrel{f}{\mapsto}\, y</math> は、{{mvar|x}} を写像 {{mvar|f}} によって写したものが {{mvar|y}} であることを意味する。文脈上明らかであれば {{mvar|f}} の記述は省略される。元の対応と元の属する集合をともに書いた <math>f \colon \mathbb{R} \ni x \mapsto \sin x \in [-1,1]</math>というような表記もなされる.<br />
|-<br />
! [[ビュレット (記号)|<math>\circ</math>]]<br />
| [[写像の合成|合成写像]]<br />
| 「<math>f\circ g</math>」は写像 ''f'' と写像 ''g'' の合成を表す。すなわち <math>f\circ g(x) := f(g(x))</math><br />
である。合成の順序を逆に定義する（つまり、''g''(''f''(''x'')) と定義する）流儀もある。<br />
|-<br />
!<math>\text{Im},\ \text{Image},\ \bullet[\bullet]</math><br />
| 像 || 写像 ''φ'' に対して、Image ''φ'' はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像<math>\varphi \colon X \to Y</math>に対して <math>\varphi[X]</math>とも書く.<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 二項関係演算<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[等号|<math>=</math>]] <br />
| 相等 || ''x'' = ''y'' は ''x'' と ''y'' が等しいことを表す。<br />
|-<br />
! [[等号|<math>\ne</math>]]<br />
| 不一致 || ''x'' ≠ ''y'' は ''x'' と ''y'' が等しくないことを表す。<br />
|-<br />
! [[等号|≒]], <math>\approx</math><br />
| ほぼ等しい<br />
| 「{{math|''x'' ≒ ''y''}}」または「{{math|''x'' ≈ ''y''}}」は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} がほぼ等しいことを表す。記号 {{math|≒}} は日本など少数の地域でのみ通用し、{{math|≈}} の方が標準的である。その他にも {{math|∼, ≃, ≅}} などを同様の意味で用いることもある。近似においてどのくらい違いを容認するかは文脈による。多くの場合、[[誤差]]解析的な意味で用いられ、ある誤差の見積もりの下で両者が等しいことを示すが、そのほかにも[[漸近]]解析においては漸近的に等しいという意味で用いられる。<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 順序構造<br />
! style="width:15%" | 記号 <br />
! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[不等号|<math><,\ ></math>]]<br />
| [[大小関係]], [[順序集合|順序]]<br />
| 「''x'' &lt; ''y''」は ''x'' と ''y'' の間に何らかの[[順序]]が定まっていて、''x'' の方が「先」であることを示す。必要に応じて「''y'' &gt; ''x''」とも書く。<br />
|-<br />
!<math>\le,\ \ge,\ \leqq,\ \geqq</math><br />
| 大小関係, 順序<br />
| 「''x'' ≦ ''y''」とは「''x'' < ''y'' または ''x'' = ''y''」のことである。「''x'' ≧ ''y''」も同様に定義される。<br />
|-<br />
!<math>(\cdot,\cdot),\ ]\cdot,\cdot[</math><br />
| 開区間 <br />
| (''a'', ''b'') は {''x'' : ''a'' &lt; ''x'' &lt; ''b''} を表す <br />
|-<br />
!<math>[\cdot,\cdot]</math><br />
| 閉区間 ||&#91;''a'', ''b''&#93; は {''x'' : ''a'' ≦ ''x'' ≦ ''b''} を表す <br />
|-<br />
! rowspan="2" |<math>(\cdot,\cdot],\ ]\cdot,\cdot],\ [\cdot,\cdot),\ [\cdot,\cdot[</math><br />
| rowspan="2" | 半開区間 <br />
| (''a'', ''b''&#93; は {''x'' : ''a'' &lt; ''x'' ≦ ''b''} を表し、 <br />
|-<br />
| <br />
|-<br />
! [[sup|<math>\sup</math>]] <br />
| [[上限]]<br />
| 集合 ''S'' に対し、sup ''S'' は ''S'' の上限を表す。また、写像 ''f'' に対し、''f''(''S'') の上限を<math>\sup_{x\in S} f(x)</math>とも書く. これは <math>\sup\{f(x);\ x\in S\}</math>の略記である.<br />
<br />
その他、幾つかの記法のバリエーションがある。<br />
|-<br />
! [[inf|<math>\inf</math>]]<br />
| [[下限]]<br />
| 上限と同様。<br />
|-<br />
! [[max|<math>\max</math>]] <br />
| [[最大値]]<br />
| 記法は上限と同様<br />
|-<br />
! [[min|<math>\min</math>]]<br />
| [[最小値]]<br />
| 記法は上限と同様<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 特定の集合<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
|-<br />
! [[空集合|<math>\varnothing,\emptyset</math>]]<br />
| [[空集合]]<br />
|-<br />
! [[P|<math>\mathbf{P},\ \mathbb{P}</math>]]<br />
| [[素数]] (Prime number)の全体、[[射影空間]]など<br />
|-<br />
! [[N|<math>\mathbf{N},\ \mathbb{N}</math>]]<br />
|[[自然数]] (Natural number)の全体<br />
|-<br />
! [[Z|<math>\mathbf{Z},\ \mathbb{Z}</math>]]<br />
| [[整数]] (独: Zahlen)の全体<br />
|-<br />
! [[Q|<math>\mathbf{Q},\ \mathbb{Q}</math>]]<br />
|[[有理数]] (Quotient)の全体<br />
|-<br />
! [[R|<math>\mathbf{R},\ \mathbb{R}</math>]]<br />
| [[実数]] (Real number)の全体<br />
|-<br />
! [[A|<math>\mathbf{A},\ \mathbb{A}</math>]]<br />
|[[代数的数]] (Algebraic number)の全体、アフィン空間、アデールなど<br />
|-<br />
! [[C|<math>\mathbf{C},\ \mathbb{C}</math>]]<br />
| [[複素数]] (Complex number)の全体<br />
|-<br />
! [[H|<math>\mathbf{H},\ \mathbb{H}</math>]]<br />
|[[四元数]] (Hamilton number)の全体<br />
|-<br />
! [[O|<math>\mathbf{O},\ \mathbb{O}</math>]]<br />
| [[八元数]] (Octonion)の全体<br />
|-<br />
! [[S|<math>\mathbf{S},\ \mathbb{S}</math>]]<br />
|[[十六元数]] (Sedenion)の全体<br />
|-<br />
! <math>\mathbb{F}_q, \operatorname{GF}(q)</math><br />
| 位数 ''q'' の[[有限体]]<br />
|-<br />
! <math>\Delta_X</math> <br />
| [[対角線集合]]：<math>\Delta_X :=\{ (x,x);\ x \in X\}.</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 濃度<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[バーティカルバー|{{Unicode|&#124;•&#124;}}]], [[card]], #<br />
| [[基数|濃度]]<br />
| {{Unicode|&#124;''S''&#124;}} は集合 ''S'' の濃度を表す。card ''S'' や #''S'' も同じ。<br />
|-<br />
!<math>\aleph_0,\ \mathfrak{a},\ \beth_0</math><br />
|[[可算無限集合|可算]]濃度<br />
|自然数で番号付けのできる濃度。これは最小の無限濃度である。<br />
|-<br />
!<math>\aleph,\ \mathfrak{c},\ \beth_1</math><br />
|[[連続体濃度]]<br />
|実数の濃度。これが可算濃度の次の濃度であるというのが[[連続体仮説]]である。<br />
|}<br />
<br />
==位相空間論の記号==<br />
以下，''X'', ''Y'' などは集合を表す．<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|-<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! <math>\mathcal{O},\ \mathfrak{O}</math> <br />
| [[開集合系]] || ''X'' 上に定まる開集合系を表す．開集合系によって位相を定める文脈では ''X'' を <math>(X,\mathcal{O})</math> などとも書く．<br />
|-<br />
! <math>\mathcal{C},\ \mathfrak{C}</math> <br />
| [[閉集合系]] || ''X'' 上に定まる閉集合系を表す．閉集合系によって位相を定める文脈では ''X'' を <math>(X,\mathcal{C})</math> などとも書く．<br />
|-<br />
! <math>B(x,r),\ B_r(x),\ B_X(x,r)</math> <br />
| [[開球]] || <math>x \in X</math> を中心とする半径 <math>r>0</math> の開球 (open ball) を表す．どの集合の位相で考えているかを明記するときは <math>B_X(x,r)</math> のように書く．<br />
|-<br />
! <math>\text{Int}\, X,\ X^\circ</math> <br />
| [[内部]], [[開核]] || ''X'' の内部 (interior) を表す．<br />
|-<br />
! <math>X^-,\ \overline{X},\ \text{Cl}\, X</math><br />
| [[閉包]]<br />
| ''X'' の閉包 (closure) を表す．<br />
|-<br />
! <math>\partial X</math><br />
| [[境界]]<br />
| ''X'' の境界 (frontier, boundary) を表す．<br />
|-<br />
! <math>\mathcal{O}_Y</math> <br />
| [[相対位相]] || 位相空間 <math>(X,\mathcal{O})</math> と <math>Y \subset X</math> に対して， <math>\mathcal{O}_Y</math> は相対位相を表す．<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
== 定数 ==<br />
{{main|数学定数}}<br />
ある数学定数を表すために広く習慣的に使われる記号がいくつかある。<br />
{|class="wikitable" style="width:90%"<br />
! style="width:15%" | 記号!!意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
<br />
<br />
![[0]] <br />
|[[0]]<br />
| 加法における単位元、乗法の零元などを指す。<br />
|-<br />
![[1]]<br />
|[[1]]<br />
|乗法の単位元、加法の零元などを指す。<br />
|-<br />
![[Π|{{π}}]] <br />
|[[円周率]] <br />
|円周の直径に対する比<br />
|-<br />
!''[[e]]'' <br />
|[[ネイピア数]]（自然対数の底）<br />
|リンク先参照。定義の一例として<math>\frac{d}{dx} a^x =a^x</math> なる ''a''。<br />
|-<br />
!''[[i]]'' <br />
|rowspan="2"|[[虚数単位]]<br />
|[[自乗]]して −1 となる数。電気工学系ではしばしば ''j'' を用いる。<br />
|-<br />
!''[[j]]'', ''[[k]]'' <br />
|1, ''i'' と共に四元数体の、'''''R'''''上のベクトル空間としての基底をなす。<br />
|}<br />
<br />
== 幾何学の記号 ==<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 初等幾何<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[合同記号|<math>\equiv</math>]] <br />
| [[合同]] || 適当な方法で一致させることができる図形の間の関係<br />
|-<br />
! [[相似記号|∽, <math>\sim</math>]]<br />
| [[相似]]<br />
|-<br />
! [[括弧|<math>(\bullet,\bullet,\dotsc)</math>]]<br />
| [[座標]]<br />
|<br />
|-<br />
! [[角記号|<math>\angle</math>]]<br />
| [[角度|角]]<br />
| ∠bでbの角を示す、∠ABCでBの角を示す。また複素数の複素平面上におけるベクトルが実軸となす角度<br />
|-<br />
! [[直角記号|∟]]<br />
| [[直角]]<br />
| ∟ABCでBの角が直角であることを示す<br />
|-<br />
! [[垂直記号|<math>\bot</math>]]<br />
| [[垂直]]<br />
| AB⊥CDで直線ABと直線CDが垂直であることを示す<br />
|-<br />
! [[平行記号|<math>/\!/,\ \parallel</math>]]<br />
| [[平行]]<br />
| AB∥CDで直線ABと直線CDが平行であることを示す<br />
|-<br />
! [[⌒|<math>\frown</math>]]<br />
| [[弧]]<br />
| ⌒ABでABの弧を示す<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 距離空間<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! <math>d(\bullet,\bullet)</math><br />
| [[距離函数|距離関数]] || ''d''(''x'', ''y'') は ''x'' と ''y''' との距離<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{diam}(\bullet)</math><br />
| [[径]] || diam(''X'') は ''d''(''x'', ''y'') (''x'', ''y'' &isin; ''X'') の上限<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ [[代数的トポロジー]]<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[H|<math>H^\bullet(\bullet)</math>]]<br />
| [[コホモロジー]] ||<br />
|-<br />
! [[H|<math>H_\bullet(\bullet)</math>]]<br />
| [[ホモロジー]] ||<br />
|-<br />
! [[Π|<math>\pi(\bullet)</math>]] <br />
| [[ホモトピー]] ||<br />
|}<br />
<br />
== 解析学の記号 ==<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 極限操作<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[不等号|<math>\ll</math>]]<br />
| 非常に小<br />
| 「''x'' ≪ ''y''」は ''x'' が ''y'' に比べて非常に小さいことを表す。「どれくらい」小さいかは文脈による。<br />
|-<br />
! [[不等号|<math>\gg</math>]] <br />
| 非常に大<br />
| 「''x'' ≫ ''y''」は ''x'' が ''y'' に比べて非常に大きいことを表す。「どれくらい」大きいかは文脈による。<br />
|-<br />
! <math>\wedge,\ \vee</math><br />
| 小さくない方, 大きくない方<br />
| <math>x \wedge y</math> で'x','y'の小さくない方, <math>x \vee y</math> で'x','y'の大きくない方を表すことがある.<br />
|-<br />
! [[lim|<math>\lim</math>]]<br />
| [[極限]] || 数列 ''a''<sub>''n''</sub> に対し、<math>\lim_{n\to\infty} a_n</math> はその数列の極限値を表す。<br><br />
また、関数 ''f''(''x'') に対し、<math>\lim_{x\to c} f(x)</math> は ''f''(''x'') の ''c'' における極限値を表す。<br />
|-<br />
! [[lim|<math>\limsup, \varlimsup</math>]]<br />
| [[上極限]] || <math>\limsup_{n\to\infty} a_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} \sup_{k \geq n} a_k</math><br />
|-<br />
! [[lim|<math>\liminf, \varliminf</math>]]<br />
| [[下極限]] || <math>\liminf_{n\to\infty} a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} \inf_{k \geq n} a_k</math><br />
|-<br />
! [[O|<math>o(\bullet)</math>]] <br />
| rowspan="6" | [[ランダウの記号#その他の漸近記法|漸近記法]]<br />
| rowspan="6" | 関数の漸近挙動を表す<br />
|-<br />
! [[O|<math>O(\bullet)</math>]] <br />
|-<br />
! [[Θ|<math>\Theta(\bullet)</math>]] <br />
|-<br />
! [[Ω|<math>\Omega(\bullet)</math>]]<br />
|-<br />
! [[チルダ|<math>\bullet\sim\bullet</math>]]<br />
|-<br />
! [[等号#ほぼ等しい|<math>\bullet\approx\bullet</math>]]<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 微分積分<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[プライム|<math>\bullet'</math>]]<br />
| rowspan="2" | [[導関数]], [[微分]]<br />
| rowspan="2" | 関数 {{mvar|f}} に対し、{{mvar|f{{'}}}} は {{mvar|f}} の導関数を表す（[[ラグランジュの記法]]）。{{'}} は[[プライム]]、まれに[[ダッシュ]]とも呼ばれる。<br />
<br />
また、次のようにも表記される。<br />
:<math>\frac{d}{dx}f(x),\ \frac{df}{dx}(x)</math><br />
|-<br />
! <math>\frac{d}{dx}\bullet</math><br />
|-<br />
! [[∂|<math>\partial</math>]] <br />
| [[偏微分]]<br />
| <math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}</math>：多変数関数 {{math|''f''(''x'', ''y'')}} の {{mvar|y}} に関する偏微分。<br />
|-<br />
! rowspan="3" | [[積分記号|<math>\int</math>]] <br />
| rowspan="3" | [[積分]]<br />
| <math>\int_{a}^b f(x) dx</math> : 関数 ''f''(''x'') の区間 [a,b] における積分<br />
|-<br />
| <math>\int_D \,f(x) dx</math> : ''f''(''x'') の領域 ''D'' における積分<br />
|-<br />
| <math>\int f(x) dx</math> : ''f''(''x'') の不定積分。または、積分域が明らかな場合の略記<br />
|-<br />
! [[ナブラ|<math>\nabla\bullet</math>]]<br />
| [[ナブラ]]<br />
| 各成分を微分するベクトル微分作用素<br />
|-<br />
! [[△|<math>\triangle\bullet</math>]]<br />
| rowspan="2" | [[ラプラシアン]]<br />
| rowspan="2" | 2つの {{math|∇}} の内積になるラプラスの微分作用素 <br />
|-<br />
! [[Δ|<math>\Delta\bullet</math>]]<br />
|-<br />
! [[Box|<math>\Box\bullet</math>]]<br />
| [[ダランベルシアン]]<br />
| 物理学において、[[時空]]の空間成分のラプラシアンに[[時間]]成分を加えたもの<br />
|-<br />
! <math>C^\bullet</math><br />
| <br />
| <math>C^k = C^k(D)</math> は ''D'' 上で定義された ''k'' 回[[連続微分可能]]な関数からなる集合<br />
|-<br />
! [[div|<math>\operatorname{div}\bullet</math>]]<br />
| [[発散 (ベクトル解析)|発散（湧き出し）]] || [[ベクトル場]] {{math|'''A'''('''x''')}} に対する {{math|∇&sdot;'''A'''('''x''')}} を与える<br />
|-<br />
! [[rot|<math>\operatorname{rot}\bullet,\operatorname{curl}\bullet</math>]]<br />
| [[回転 (ベクトル解析)|回転（渦度）]] ||[[ベクトル場]] {{math|'''A'''('''x''')}} に対する {{math|∇×'''A'''('''x''')}} を与える<br />
|-<br />
! [[grad|<math>\operatorname{grad}\bullet</math>]]<br />
| [[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] || [[スカラー場]] {{math|''f''('''x''')}} に対する {{math|∇''f''('''x''')}} を与える <br />
|}<br />
<br />
== 代数学の記号 ==<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 算術記号<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[プラス記号とマイナス記号|<math>+</math>]]<br />
| 正符号<br />
| rowspan="2" | ''x'' の[[反数]]（[[加法]]に関する[[逆元]]）を表すために負符号を用いて {{math|&minus;''x''}} と記す。反数を与える演算を負符号で表すことに対応して、{{mvar|x}} 自身を与える[[恒等写像|恒等変換]]に正符号を用い、その結果を {{math|+''x''}} のように表すことがある。<br />
|-<br />
! [[プラス記号とマイナス記号|<math>-</math>]]<br />
| 負符号<br />
|-<br />
! [[プラス記号とマイナス記号|<math>+</math>]] <br />
| [[加法]] || {{math|''x'' + ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の和を表す<br />
|-<br />
! [[Σ|<math>\sum</math>]] <br />
| [[総和]] || <br />
:<math>\sum_{k=1}^n a_k := a_1 + a_2 + \dotsb + a_{n-1} + a_n.</math><br />
と定義され、その[[極限]]として定まる[[無限和]]を<br />
:<math>\sum_{k=1}^\infty a_k \equiv \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k</math><br />
と書く。またある命題 {{math|''P''(''x'')}} があるとき、{{math|''P''(''x'')}} を満たすような各 {{mvar|k}} についての和を取ることを<br />
:<math>\sum_{P(k)} \,a_k</math><br />
と書く。<br />
|-<br />
! [[プラス記号とマイナス記号|<math>-</math>]]<br />
| [[減法]] || {{math|''x'' &minus; ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の差を表す。通常、{{mvar|y}} の[[反数]] {{math|&minus;''y''}} を用いて {{math|''x'' + (&minus;''y'')}} と定義されている。<br />
|-<br />
! [[プラスマイナス記号|<math>\pm</math>]]<br />
| [[加法]]と[[減法]] || {{math|''x'' ± ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の和と差を表す。<br />
|-<br />
! [[×|<math>\times</math>]]<br />
| rowspan="3" | [[乗法]]<br />
| rowspan="3" | {{math|''x'' × ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の積を表す。中黒を使って {{math|''x'' · ''y''}} と書いたりアスタリスクを使って {{math|''x'' * ''y''}} とも書く。特にアスタリスクは多くの[[プログラミング言語]]において乗法の演算子として用いられる。<br />
|-<br />
! [[中黒|<math>\cdot</math>]]<br />
|-<br />
! [[アスタリスク|<math>*</math>]]<br />
|-<br />
! <math>\bullet^{-1}</math><br />
| [[乗法逆元]]<br />
|-<br />
! [[Π|<math>\prod</math>]] <br />
| [[総乗]] || Σ はたくさんの加法を一挙に表すものであったが、Π はたくさんの乗法を一挙に表すものである。<br />
:<math>\prod_{k=1}^n a_k = a_1\times a_2\times \dots\times a_n.</math><br />
他の記法のバリエーションも &sum; に同じ。<br />
|-<br />
! [[除算記号|<math>\div</math>]]<br />
| rowspan="2" | [[除法]]<br />
| rowspan="2" | {{math|''x'' ÷ ''y''}} は {{mvar|x}} を {{mvar|y}} で割った[[商]]と[[剰余]]の組か、あるいは商を表す。{{math|''x'' ÷ ''y''}} の商はしばしば[[分数]] {{math|''x''/''y''}} で表され、また斜線自体を商を与える演算子と見なすことがある。多くの[[プログラミング言語]]においては商を与える演算子として <code>/</code> が定義されている。<br />
|-<br />
! [[スラッシュ (記号)|<math>/</math>]]<br />
|-<br />
! [[感嘆符|<math>!</math>]] $ <br />
| [[階乗]] [[超階乗]] || {{math|''n''!}} は {{mvar|n}} の階乗を表す。 n$はnの超階乗を表す。<br />
|-<br />
! <math>\delta_{ij}</math><br />
| [[クロネッカーのデルタ]] || {{math|1=''i'' = ''j''}} のとき {{math|1}}、{{math|''i'' &ne; ''j''}} のとき {{math|0}}。通常は[[総和]]の中に現れる。 <br />
|-<br />
! <math>\lfloor \bullet \rfloor, [ \bullet ]</math><br />
| [[床関数]] || <math>\lfloor x \rfloor</math> は {{mvar|x}} 以下の最大整数を表す。<br />
|-<br />
! <math>\lceil \bullet \rceil</math><br />
| [[天井関数]] || <math>\lceil x \rceil</math> は {{mvar|x}} 以上の最小整数を表す。<br />
|-<br />
! <math>\binom{n}{k},\, {}_nC_k,\, C_k^n </math><br />
| [[二項係数]]（[[組合せ (数学)|組み合わせ]]）<br />
| 通常は括弧書きで表される。C を使った記法は様々なバリエーションがある。<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 合同算術・初等数論<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{mod}</math><br />
| rowspan="2" | [[除法|剰余]]<br />
| rowspan="2" | 「''x'' mod ''y''」は整数 ''x'' の属する法 ''y'' の[[合同式|剰余類]]や、''x'' を ''y'' で割った余りを表す。[[C言語]]やその影響を受けた[[プログラミング言語]]などでは整数の剰余を与える演算子として <code>%</code> が定義されている<ref group="注">言語によっては <code>%</code> を[[エスケープ文字|エスケープ]]する必要があり、たとえば[[R言語]]では <code>%%</code> が用られる。</ref>。[[Fortran]] のように <code>mod</code> を用いる言語も存在する。<br />
|-<br />
! [[パーセント記号|<math>\%</math>]] <br />
|-<br />
! [[バーティカルバー|<math>|</math>]] <br />
| 割り切る || {{math|''x'' &#124; ''y''}} は、{{mvar|x}} が {{mvar|y}} を割り切る、つまり {{mvar|x}} は {{mvar|y}} の[[約数]]であることを表す。<br />
|-<br />
! <math>\not|</math><br />
| <math>|</math> の否定 || -<br />
|-<br />
! [[合同記号|<math>\bullet \equiv \bullet \pmod \bullet</math>]] <br />
| [[合同式|合同]]<br />
| {{math|''n'' &equiv; ''m'' (mod ''d'')}} は {{mvar|n}} と {{mvar|m}} が {{mvar|d}} を[[除法|法]]として合同であることを示す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{ord}(\bullet)</math><br />
| [[位数 (群論)|位数]]<br />
| ある[[群 (数学)|群]]の[[元 (数学)|元]]の個数を群の位数という。また群の元 {{mvar|x}} に対し、{{math|ord ''x''}} は {{mvar|x}} の生成する[[巡回群]]の位数を表す。<br />
|-<br />
! <math>(\bullet,\bullet)</math> <br />
| rowspan="2" | [[最大公約数]]<br />
| rowspan="2" | {{math|(''a'', ''b'')}} は {{mvar|a}} と {{mvar|b}} の最大公約数を表す。{{math|gcd}} は {{en|greatest common divisor}} の略である。[[プログラミング言語]]の数学ライブラリにおいて、最大公約数を与える関数（[[サブルーチン]]）が <code>gcd</code> としてしばしば定義される。<br />
|-<br />
! <math>\gcd(\bullet,\bullet)</math> <br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! width="60%" | 解説<br />
|-<br />
! [[0|<math>0</math>]] <br />
| rowspan="2" | [[零元]]<br />
| rowspan="2" | 加法的代数系の[[単位元]]を {{math|0}} あるいは {{math|0<sub>''S''</sub>}} と書く。<br />
|-<br />
! [[O|<math>O</math>]]<br />
|-<br />
! [[1|<math>1</math>]]<br />
| [[単位元|乗法単位元]]<br />
| 乗法的代数系の単位元を 1 あるいは 1<sub>''S''</sub> と書く。<br />
|-<br />
! [[E|<math>e</math>]]<br />
| 冪等元<br />
| 環の冪等元をしばしば ''e'' で表す。<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|- <br />
! <math>|\bullet|</math><br />
| rowspan="2" | [[絶対値]] <br />
| rowspan="2" | &#124;''x''&#124; は ''x'' の絶対値である。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{abs}(\bullet)</math><br />
|-<br />
! [[双柱|<math>\|\bullet\|</math>]]<br />
| [[ノルム]] || ‖''x''‖ は ''x'' のノルムである。<br />
|-<br />
! <math>\Re\bullet</math><br />
| rowspan="2" | 実部<br />
| rowspan="4" | [[複素数]] ''z'' に対し、Re(''z'') はその実部を、Im(''z'') はその虚部を表す。''z'' = Re(''z'') + ''i'' Im(''z'')<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Re}\bullet</math><br />
|-<br />
! <math>\Im\bullet</math><br />
| rowspan="2" | 虚部<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Im}\bullet</math><br />
|-<br />
! [[オーバーライン|<math>\overline{\bullet}</math>]]<br />
| [[共役複素数]]<br />
| 複素数 ''z'' に対し、<math>\bar z</math> はその共役複素数を表す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{deg}\bullet</math><br />
| 次数<br />
| 多項式 ''f'' に対して、deg ''f'' はその次数を表す。<br />
|-<br />
! [[根号|<math>\sqrt{\bullet},\sqrt[\bullet]{\bullet}</math>]]<br />
| [[冪根]]、[[根基]]<br />
| <sup>''n''</sup>√''x'' は ''x'' の ''n'' 乗根を表す。''n'' が 2 であるときには単に √''x'' と書くことが多い。イデアルの根基をあらわす。<br />
|-<br />
! <math>\langle\bullet,\bullet\rangle</math><br />
| rowspan="2" | [[内積]] <br />
| rowspan="2" | &lt;''x'', ''y''&gt; は ''x'' と ''y'' の内積を表す<br />
|-<br />
! <math>(\bullet,\bullet)</math><br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|- <br />
! <math>\dim_\bullet \bullet</math><br />
| [[次元]] || [[ベクトル空間]] ''V'' に対し、「dim&thinsp;''V''」は ''V'' の次元を表す。<br />
|- <br />
! <math>|\bullet|</math> <br />
| rowspan="2" | [[行列式]]<br />
| rowspan="2" | {{Unicode|&#124;''X''&#124;}} は[[行列]] ''X'' の行列式である。<br />
|-<br />
! <math>\det(\bullet)</math><br />
|-<br />
! <math>\operatorname{tr}(\bullet)</math><br />
| [[跡 (線型代数学)|跡]]<br />
| tr(''X'') は行列 ''X'' の跡である。<br />
|-<br />
! <math>{}^t\bullet, \bullet^t</math><br />
| [[転置]]<br />
| <sup>t</sup>''X'' は行列 ''X'' の転置行列である。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{rank}\bullet</math><br />
| [[行列の階数|階数]] || [[線形写像]] φ に対して、rank φ は dim&thinsp;Image(φ) を表す。また、行列 ''A'' に対して、rank&thinsp;''A'' は ''A'' の階数を表す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Ker}\bullet,\ \ker\bullet</math><br />
| [[核 (代数学)|核]], [[零空間]]<br />
| [[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]の[[準同型]]、ベクトル空間の間の線形写像 ''φ'' に対して、Ker ''φ'' はその準同型の核を表す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Im}\bullet,\ \operatorname{im}\bullet</math><br />
| [[像 (数学)|像]]<br />
| [[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]の[[準同型]]、ベクトル空間の間の線形写像 ''φ'' に対して、Im ''φ'' はその準同型の像を表す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Hom}_\bullet(\bullet,\bullet)</math><br />
| [[準同型]]の[[集合]]<br />
| {{math|Hom<sub>'''K'''</sub>(''F'', ''G'')}} は、作用域 {{math|'''K'''}} のある代数系 {{math|''F'', ''G''}} の間の作用準同型 ({{en|homomorphism}}) 全体からなる集合を表す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Aut}(\bullet)</math><br />
| [[自己同型群]]<br />
| {{math|Aut(''G'')}} は、{{mvar|G}} のそれ自身に対する[[同型]] ({{en|automorphism}}) 全体からなる[[群 (数学)|群]]を表す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Inn}(\bullet)</math><br />
| 内部自己同型群<br />
| {{math|Inn(''G'')}} は、{{mvar|G}} の[[内部自己同型]] ({{en|inner automorphism}}) 全体からなる[[群 (数学)|群]]を表す。<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{End}(\bullet)</math><br />
| [[自己準同型]]<br />
| {{math|End(''G'')}} は、{{mvar|G}} のそれ自身に対する準同型 (endomorphism) 全体からなる集合（[[モノイド]]）を表す。<br />
|}<br />
<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! <math>\langle \bullet \rangle</math><br />
| [[生成 (数学)|生成]]<br />
|{{mvar|G}} を[[群 (数学)|群]]とすると、{{mvar|G}} の部分集合 {{mvar|S}} に対し、{{math|&lang;''S''&rang;}} は {{mvar|S}} の[[群の生成系|生成する部分群]]を表す。特に、{{mvar|S}} が[[シングルトン|一元集合]] {{math|1=''S'' = {{mset|''x''}}}} であるときには {{math|&lang;''x''&rang;}} とも書く。これは {{mvar|x}} の生成する巡回群である。環やベクトル空間などについても同様の記法を使う。<br />
|- <br />
! <math>(\bullet)</math><br />
| 生成する[[イデアル]] || {{math|(''a'', ...)}} は {{math|''a'', ...}} の生成するイデアル<br />
|-<br />
! <math>K[\bullet]</math><br />
| [[多項式環]]、生成する環 || {{mvar|K}} を[[可換環]]とするとき、{{math|''K''[''x'', ...]}} は {{mvar|K}} と {{math|{''x'', ...}}} を含む最小の[[環 (数学)|環]]。生成系が[[不定元]]のみからなれば多項式の環である。<br />
|-<br />
! <math>K(\bullet)</math><br />
| 有理関数環、生成する体 || {{mvar|K}} を[[可換体]]とするとき、{{math|'''K'''(''x'', ...)}} は {{mvar|K}} と {{math|{''x'', ...}}} を含む最小の[[体 (数学)|体]]。生成系が[[不定元]]のみからなれば有理式の体である。<br />
|-<br />
! <math>K\langle\bullet\rangle</math><br />
| 非可換多項式環、生成する環 || {{mvar|K}} を非可換環とするとき、{{math|''K''&lang;''x'', ...&rang;}} は {{mvar|K}} と {{math|{''x'', ...}}} を含む最小の環。<br />
|}<br />
<br />
== 統計学の記号 ==<br />
{| class="wikitable" style="width:90%"<br />
|+ 統計学<br />
! style="width:15%" | 記号 !! 意味<br />
! style="width:60%" | 解説<br />
|-<br />
! r. v.<br />
| [[確率変数]]<br />
| {{en|random variable}} の略<br />
|-<br />
! p. m. f. あるいは pmf <br />
| [[確率質量関数]]<br />
| {{en|probability mass function}} の略<br />
|-<br />
! p. d. f. あるいは pdf<br />
| [[確率密度関数]]<br />
| {{en|probability density function}} の略<br />
|-<br />
! <math>\sim</math><br />
| “確率変数”が“確率分布”に従う<br />
| <math>\textstyle X \sim \mathcal{D}</math> は[[確率変数]] {{mvar|X}} が[[確率分布]] <math>\textstyle \mathcal{D}</math> に従うことを表す<br />
|-<br />
! i. i. d.<br />
| [[独立同分布]]<br />
| {{en|independent and identically distributed}} の略。{{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'' i.i.d.}} は確率変数 {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>}} が同じ[[確率分布]]に[[独立 (確率論)|独立]]に従うことを表す<br />
|-<br />
! <math>P(\bullet), \mathbb{P}(\bullet)</math><br />
| [[確率]]<br />
| {{math|''P''(''E'')}} は[[事象]] {{mvar|E}} の確率<br />
|-<br />
! <math>E(\bullet), \mathbb{E}(\bullet)</math><br />
| [[期待値]]<br />
| {{math|''E''(''X'')}} は[[確率変数]] {{mvar|X}} の期待値<br />
|-<br />
! <math>V(\bullet)</math><br />
| [[分散 (確率論)|分散]]<br />
| {{math|''V''(''X'')}} は[[確率変数]] {{mvar|X}} の分散<br />
|-<br />
! <math>\operatorname{Cov}(\bullet, \bullet)</math><br />
| [[共分散]]<br />
| {{math|Cov(''X'', ''Y'')}} は[[確率変数]] {{mvar|X, Y}} の共分散<br />
|-<br />
! <math>N(\mu, \sigma^2)</math><br />
| [[正規分布]]<br />
| [[平均]] {{mvar|&mu;}}, [[分散 (確率論)|分散]] {{math|''&sigma;''<sup>2</sup>}} の正規分布<br />
|-<br />
! <math>\rho</math><br />
| [[相関係数]]<br />
| [[確率変数]]の相関係数<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
== 注釈 ==<br />
{{Reflist|group="注"}}<br />
<br />
== 参考資料 ==<br />
*[[日本工業規格|JIS]] Z8201 数学記号<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[物理定数]]<br />
* [[黒板太字]]<br />
* [[ISO 80000-2]] - [[ISO 31-11]]<br />
<br />
{{数学}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:すうかくきこうのひよう}}<br />
[[Category:数学記号|*]]<br />
[[Category:論理記号|*]]<br />
[[Category:数学の一覧]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166剰余類環2018-08-17T07:21:19Z<p>210.149.174.166: /* 表記と慣例について */</p>
<hr />
<div>{{otheruses|自然数を法とする合同関係に関する整数の剰余類の成す代数系|環をイデアルで割って得られる一般の剰余類環|剰余環}}<br />
{{出典の明記|date=2016年4月}}<br />
[[数学]]において、[[自然数]] {{mvar|n}} を法とする'''合同類環'''（ごうどうるいかん）あるいは'''剰余'''（'''類'''）'''環'''（じょうよ[るい]かん、{{lang-en-short|''residue'' [''class''] ''ring'' modulo {{mvar|n}}}}, {{lang-de-short|''Restklassenring'' modulo {{mvar|n}}}}）は、[[整数]]を {{mvar|n}} で割った「剰余」を抽象的な類別として捉えたものである。<br />
<br />
本項は剰余類環 {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}} の代数的な定義と性質について述べる。合同類別に関するより平易な導入については[[整数の合同]]を参照のこと。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
{{math|''n'' &ge; 2}} を自然数とする。{{mvar|n}} で[[除法|割]]った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「{{mvar|n}} を法とする」'''合同類'''あるいは'''剰余類'''と呼ぶ。したがって、ふたつの整数が同じ剰余類に属するのは、それらの差が {{mvar|n}} で整除されるときであり、かつそのときに限る。{{mvar|n}} を法とする剰余類の全体は、以下に述べる加法と乗法に関して {{mvar|n}} を法とする'''合同類環'''あるいは'''剰余類環'''と呼ばれる環を成す。剰余類環はしばしば {{math|'''Z'''/{{mvar|n}}'''Z''', '''Z'''/{{mvar|n}}, '''Z'''<sub>''n''</sub>}} などで表される。<br />
<br />
剰余類に対する加法および乗法は、'''代表元''' ({{lang|en|representive}}, {{lang|de|Vertreter}}) とも呼ばれる、各剰余類に属する任意の元（これは通常の整数）に対して整数としての加法および乗法を行い、その結果として得られる和および積の属する剰余類を対応させるものである。これは {{mvar|a}} の属する剰余類を {{math|&#x005b;''a''&#x005d;}} と表せば<br />
:<math> [a]+[b]:=[a + b], \quad [a]\times [b]:=[a\times b]</math><br />
<br />
と表せる。ここで、この演算が「剰余類に対する[[二項演算|演算]]」として[[well-defined|きちんと定義されている]]ことは、結果（和や積）として求まる剰余類が[[同値関係|代表元]]の取り方に依らないこと、すなわち、{{math|''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub>}} を {{math|&#x005b;''a''<sub>1</sub>&#x005d; {{=}} &#x005b;''b''<sub>1</sub>&#x005d;}} かつ {{math|&#x005b;''a''<sub>2</sub>&#x005d; {{=}} &#x005b;''b''<sub>2</sub>&#x005d;}} を満たす任意の整数とすれば、<br />
<br />
:<math>[a_1 + a_2] = [b_1 + b_2], \quad [a_1\times a_2] = [b_1\times b_2]</math> <br />
が成り立つことから確認できる。<br />
<br />
== 表記と慣例について ==<br />
{{math|'''Z'''<sub>''n''</sub>}} と書くと、素数 {{mvar|p}} に対する[[p進数| {{mvar|p}}-進整数]]全体の成す環 {{math|'''Z'''<sub>''p''</sub>}} と混同の虞があり、剰余類環を {{math|'''Z'''<sub>''n''</sub>}} で表すことを好む文脈では、{{mvar|p}}-進整数の全体は <math>\hat{\mathbb{Z}}_p</math> で表すこともある。{{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}} と書く<ref group="note">あるいは {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}} と書く代わりに {{math|'''Z'''/(''n'')}} と書くこともある。これは一般に、環 {{mvar|R}} の元 {{mvar|a}} が生成する {{mvar|R}} の単項両側イデアルはしばしば {{math|(''a'')}} で表され、それにしたがえば {{math|'''Z'''}} のイデアルとして {{math|''n'''''Z''' {{=}} (''n'')}} となることによる。</ref>のが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。また、{{math|'''Z'''/''n''}} という表記もあるが稀であり、加えて<br />
:<math>{1\over n}\mathbb{Z} := \left\{{k\over n};\ k\in\mathbb{Z}\right\}</math><br />
なる集合と紛らわしい。<br />
<br />
[[記号の濫用]]だが、記述の面倒を避けるため慣例的に、同値類を表すのに代表元に施す[[ブラケット|角括弧]]をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す。したがってこのとき、同じ合同類を表すのに無数の符牒が与えられていることになる。たとえば、{{math|''n'' {{=}} 0}} および {{math|''n'' &minus; 1 {{=}} &minus;1}} は {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}} に属する合同類の間の関係式と考えれば有効な式である。また、慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」{{lang|en|(canonical)}} な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。<br />
<br />
このような慣例的規約に従えば、剰余類環 {{math|('''Z'''/''n'''''Z''', +, &times;)}} は {{math|0, 1, ..., ''n'' &minus; 1}} の {{mvar|n}} 個の元からなる。また、次の式<br />
:<math>(a + b) \mod n, \quad (a\times b) \mod n</math><br />
<br />
は整数環 {{math|'''Z'''}} における演算から得られる合同類を表すものであるけれども、規約に従えば、それと同時に {{math|'''Z'''/{{mvar|n}}'''Z'''}} における演算そのものを表しているものと、直ちに解釈することができる。また、剰余類環における（和や積といった）算術演算を繰り返す計算（すなわち、{{math|'''Z'''/{{mvar|n}}'''Z'''}} 係数の多項式 {{math|''p''(''X'')}} の、{{math|'''Z'''/{{mvar|n}}'''Z'''}} の任意の元 {{math|''k''}} における値 {{math|''p''(''k'')}} の評価）は、それを整数と見て計算した結果について、法 {{mvar|n}} に関する剰余を取ればよい。この最後の操作をモジュラー簡約 {{lang|en|(modular reduction)}} などともいう。ただし、モジュラー簡約の操作は整数と見ての計算の途中のどんな場所でも行ってよい。<br />
<br />
[[2の冪|2-冪]] {{math|''n'' {{=}} 2<sup>''k''</sup>}} に対しては、{{math|0}} に関して対称な代表系<br />
: <math>\left\{-{n\over 2},\ldots,-1,0,1,\ldots,{n\over 2}-1\right\}</math><br />
をとることもできる。これはつまりビット列としての整数の表示、いわゆる二進表示に対応するものである。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
<br />
任意の自然数 {{math|''n'' &ge; 2}} に対して {{math|'''Z'''/{{mvar|n}}'''Z'''}} は、{{math|{{mvar|n}}'''Z'''}} を零元、{{math|1 + {{mvar|n}}'''Z'''}} を単位元とする[[可換環]]を成す。<br />
<br />
{{mvar|p}} が[[素数]]ならば剰余類環 {{math|'''Z'''/{{mvar|p}}'''Z'''}} は、{{mvar|p}} を法とする[[剰余体]]とも呼ばれる、位数 {{mvar|p}} の[[有限体]]を成し、（体を表す英語 {{lang|en|"field"}} の頭文字をとって）{{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} とも書かれる。各元の[[乗法逆元|乗法に関する逆元]]は[[ユークリッドの互除法]]を用いて簡単に計算することができる。<br />
<br />
一方、{{mvar|n}} が素数でないならば、{{mvar|n}} の任意の約数が[[零因子]]となって乗法逆元を持たないので、{{mvar|n}} を法とする剰余環は[[可換体|体]]にはならない。{{mvar|n}} との[[最大公約数]] {{math|(''a'', ''n'')}} が {{math|1}} である（つまり {{mvar|n}} と[[互いに素]]である）ような整数 {{mvar|a}} に対し、合同類 {{math|''a'' + {{mvar|n}}'''Z'''}} は、法 {{mvar|n}} に関する[[既約剰余類]]または既約合同類と呼ばれる。既約剰余類の全体は{{仮リンク|既約剰余類群|en|Multiplicative group of integers modulo n}}と呼ばれる群 {{math|('''Z'''/{{mvar|n}}'''Z''')<sup>&times;</sup>}} を成す。これは環 {{math|'''Z'''/{{mvar|n}}'''Z'''}} の[[単数群]]であり、その位数は[[オイラーのφ函数|オイラー数]] {{math|&phi;(''n'')}} である。<br />
<br />
== 例 ==<br />
<br />
=== 時計の文字盤の表示 ===<br />
合同類における算術の一つの例を時計の文字盤を使って図示することができる。時計の文字盤には「時間」に応じて 1 から 12 までの番号が振られていて「12時」は「0時」と同一であり、「0時」から始めて「1時間」加えるごとに順番に、12の数字のそれぞれを辿ることができる。<br />
<br />
「時間」を足し算するには、加えられるほうの時間を起点にして、加えたい時間ぶんだけ時計を進めればよい。たとえば {{math|4 + 5}} がいくつになるのか知りたければ、「4時」のところを起点にして「5時間」後にいる場所が「9時」のところなので {{math|4 + 5 {{=}} 9}} という具合である。これで {{math|9 + 5}} がいくつになるか計算してみよう。同様に「9時」のところを基点に、針を「5時間」進めると「2時」のところにいるはずである。つまり、この系のなかでは {{math|9 + 5 {{=}} 2}} ということになる。さて、どうしてこうなるのか少し考えてみよう。単純に {{math|5}} と {{math|9}} とを足し合わせると {{math|14}} となるのだが、時計の盤面では「14時」は「2時」と一致するから、ここでは {{math|14 {{=}} 2}} であったわけで、ここでの加法はふつうの和を計算してから12を引けるだけ引いたものということになる。これは {{math|12}} を法とする剰余類に相当し、このタイプの足し算は「{{math|12}} を法とする加法（{{math|modulo 12}} の加法）」と呼ばれる。このとき、{{math|12}} を加えることは、どの「時間」{{math|''x''}} についても {{math|12 + ''x'' {{=}} ''x''}} となるから、何の変化ももたらさない。これで「12時」の数字が「0時」のところに配置される理由を説明できる。<br />
<br />
乗法は加法から得られる。例えば、{{math|3 &times; 4}} を計算したければ、これを {{math|3 + 3 + 3 + 3}} という和の形に書き直して、{{math|12}} を引けばよい。{{math|4 &times; 4}} なら「16時」は {{math|modulo 12}} で「4時」なので {{math|4 &times; 4 {{=}} 4}} となる。<br />
<br />
そういうわけで、「時間」にこのような加法や乗法を考えたものとして剰余類環 {{math|('''Z'''/12'''Z''', +, &times;)}} を表すことができる。<br />
<br />
本節で {{math|12}} としていたところを、任意の自然数 {{mvar|n}} に置き換えても同じことができる。たとえば {{math|'''Z'''/4'''Z''' {{=}} {0, 1, 2, 3} }}においては {{math|1 {{=}} 1, 2 {{=}} 1 + 1, 3 {{=}} 1 + 1 + 1, 0 {{=}} 1 + 1 + 1 + 1}} である。<br />
<br />
=== 2 を法とする剰余類環 ===<br />
整数を {{math|2}} で割った剰余は {{math|0}} か {{math|1}} となるから、{{math|'''Z'''/2'''Z''' {{=}} {0, 1} }}であり、これはすべての剰余類環のなかで位数最小のものである。また、{{math|2}} は素数なのでこれは位数最小の有限体 {{math|'''F'''<sub>2</sub>}} とも一致する。<br />
<br />
=== 3 を法とする剰余類環 ===<br />
<br />
法 {{math|3}} に関する剰余類は<br />
* <math>\mathbf{0} := [0] = \{\ldots, -6, -3; 0, 3, 6, 9, 12, \ldots\}</math>: {{math|3}} で割り切れるもの<br />
* <math>\mathbf{1} := [1] = \{\ldots, -5, -2; 1, 4, 7, 10, 13,\ldots\}</math>: {{math|3}} で割って {{math|1}} 余るもの<br />
* <math>\mathbf{2} := [2] = \{\ldots, -4, -1; 2, 5, 8, 11, 14,\ldots\}</math>: {{math|3}} で割って {{math|2}} 余るもの<br />
<br />
の三種類である。ここでたとえば、{{math|'''1''' + '''2'''}} を計算したいときは、{{math|4 &isin; '''1'''}} および {{math|8 &isin; '''2'''}} で {{math|4 + 8 {{=}} 12 &isin; '''0'''}} だから {{math|'''1''' + '''2''' {{=}} '''3'''}} とすればよい。このようにして {{math|'''Z'''/3'''Z''' {{=}} {'''0''', '''1''', '''2'''} }}における演算表<br />
<br />
{| style="margin: 1ex auto 1ex auto;"<br />
|-<br />
|<br />
{| class="wikitable" <br />
|+ '''加法'''<br />
|-<br />
! + !! ''0'' !! ''1'' !! ''2''<br />
|-<br />
! ''0''<br />
| '''0''' || '''1''' || '''2'''<br />
|-<br />
! ''1'' <br />
| '''1''' || '''2''' || '''0'''<br />
|-<br />
! ''2'' <br />
| '''2''' || '''0''' || '''1'''<br />
|}<br />
||<br />
{| class="wikitable" <br />
|+ '''乗法'''<br />
|-<br />
! &times; !! ''0'' !! ''1'' !! ''2''<br />
|-<br />
! ''0'' <br />
| '''0''' || '''0''' || '''0'''<br />
|-<br />
! ''1'' <br />
| '''0''' || '''1''' || '''2'''<br />
|-<br />
! ''2'' <br />
| '''0''' || '''2''' || '''1'''<br />
|}<br />
|}<br />
<br />
が得られる。{{math|('''Z'''/3'''Z''', +, &times;)}} は環であり、この場合さらに[[可換体|体]]となり、{{math|'''F'''<sub>3</sub>}} で表される（英語で体を意味する {{lang|en|"field"}} に由来）。<br />
<br />
=== 4 を法とする剰余類環 ===<br />
<br />
もうひとつ、法 4 に関する剰余類を考えよう。{{math|'''Z'''/4'''Z''' {{=}} {'''0''', '''1''', '''2''', '''3'''} }}は<br />
* <math>\mathbf{0} = \{\ldots, -4; 0, 4, 8, 12, 16,\ldots\}</math><br />
* <math>\mathbf{1} = \{\ldots, -3; 1, 5, 9, 13, 17,\ldots\}</math><br />
* <math>\mathbf{2} = \{\ldots, -2; 2, 6, 10, 14, 18,\ldots\}</math><br />
* <math>\mathbf{3} = \{\ldots, -1; 3, 7, 11, 15, 19,\ldots\}</math><br />
<br />
で与えられる。この剰余類の乗法では {{math|'''2''' &times; '''2''' {{=}} '''0'''}} となり、{{math|'''2'''}} は[[零因子]]である。したがって、{{math|'''Z'''/4'''Z''' &#x2216; {'''0'''} }}は乗法について閉じていない。このことから、代数系 {{math|('''Z'''/4'''Z''', +, &times;)}} は（{{math|4}} を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が[[逆元|乗法逆元]]を持たないため体にはならない（位数 {{math|4}} の有限体 {{math|'''F'''<sub>4</sub>}} は存在するにも関わらず、である）。<br />
<br />
=== 計算機 ===<br />
[[コンピュータ]]など[[計算機]]において多用される固定長の[[整数型]]の演算は、剰余類環における演算である。たとえば16ビットの場合 {{math|2<sup>16</sup> {{=}} 65536}} であるから（しばしば short integer として扱われる）16ビット整数の全体は剰余類環 {{math|'''Z'''/65536'''Z'''}} を成す。たとえば、足し算 {{math|65535 + 1}} の結果として計算機は {{math|0}} を返し、{{math|32768&times;2}} も同様に {{math|0}} になる（以上は符号無し（unsigned）の場合）。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
剰余類の概念は整数環ではないほかの環に対しても考えることができる。[[イデアル (環論)|イデアル]]の概念を定義して、イデアルを法とする剰余類を構成すれば、それらの全体は再び環を成し、環のイデアルによる[[剰余環|剰余（類）環]]あるいは商環と呼ばれる。<br />
<br />
== 注記 ==<br />
<div class="references-small"><references group="note"/></div><br />
<br />
{{DEFAULTSORT:しようよるいかん}}<br />
[[Category:初等整数論]]<br />
[[Category:合同算術]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166整数2018-08-17T07:17:49Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div>{{記号文字|{{Unicode|ℤ}}}}[[数学]]における'''整数'''（せいすう、{{lang-en-short|''integer'', ''whole number''}}, {{lang-de-short|''Ganze Zahl''}}, {{lang-fr-short|''nombre entier''}}, {{lang-es-short|''número entero''}}）は、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる[[自然数]] (1, 2, 3, 4, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (&minus;1, &minus;2, &minus;3, &minus;4, …) の総称である。<br />
<br />
[[file:Number-line.svg|600px|center|整数は数直線上の格子点として視覚化される]]<br />
<br />
整数の全体からなる[[集合]]は普通、太字の '''Z''' または[[黒板太字]]の <math>\mathbb Z</math> で表す。これはドイツ語 {{lang|de|''Zahlen''}}（「数」の意・複数形）に由来する。<br />
<br />
[[抽象代数学]]、特に[[代数的整数論]]では、しばしば「[[整数環|代数体の整数環]]」の元という意味で[[代数的整数]]あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が[[代数体]]の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「[[有理数]]の中で[[代数方程式|整]]なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を'''有理整数''' {{lang|en|(rational integer)}} と呼ぶことがある<ref group="note">接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。</ref>。<br />
<br />
== 素朴な説明 ==<br />
「もの」の個数という素朴な意味で理解される自然数の中では、足し算と掛け算は自由にできるが、引き算については「引かれる数が引く数よりも大きい」という前提を満たさねばならず、その意味では自由ではない。これを自由に行うために「負の整数」を導入して、数の範囲を拡張しようというのが整数の概念である。すなわち、<br />
: ''a'' + ''x'' = ''b''<br />
の形の方程式は、''a'', ''b'' が整数ならば必ずただひとつの解を持つ。<br />
<br />
自然数を「正の整数」とし、[[自然数]] ''n'' に対して[[反数|加法に関する逆元]] &minus;''n'' を導入し、これを「[[負の整数]]」とする。「正の整数」「0」「負の整数」をあわせた数の中で普通に足し算・引き算・かけ算ができるように、また、「正の整数」に対する演算はもともとの自然数としてのそれであるように加法と乗法を定義することができる（足し算引き算を包摂して「加法」と呼んでいる）。<br />
: ''a'' &minus; ''b'' = ''a'' + (&minus;''b'')<br />
しかし、例えば 2 &times; ''x'' = 1 となる整数 ''x'' が存在しないように、依然として一般に除法は不自由なままである（自由にできるようにするためには[[有理数]]にまで数の範囲を広げなければならない）。<br />
<br />
== 概歴 ==<br />
負の数について論じた最古の文献は、インドの数学者[[アリヤバータ]] (476 - 550) による今日『アーリヤバティーヤ』と呼ばれるテキストで、そこでは負数の加法と減法の満たす規則が定められており、また負数は負債を表し、正数は収入を表すものとして表れている。数世紀のち、ペルシアの数学者[[アブル・ワファー]] (940 - 998) は負数同士の積が正数であることを記しているが、しかし依然として数は何らかの物理的な量に結び付けられており、負数が実存のものとして市民権を得るのは困難な状態であった。例えば[[フワーリズミー]] (783 - 850) は二次方程式を係数に負数が現れぬ六種類に還元帰着することによって扱っている。<br />
<br />
ヨーロッパで整数の概念が現れるのは遅く、よく知られた二整数の積に対する符号の規則は一般に[[シモン・ステヴィン|ステヴィン]] (1548 - 1620) に帰せられる。また[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]] (1717 - 1783) は、彼の[[百科全書]]において整数が危うい概念であると述べている。<br />
{{quotation|{{訳語疑問点範囲|「負数に関する概念を正すには困難を伴うこと、および幾人かの賢人すらもまさに彼らの与えたいくつかの概念によって僅かばかり混乱を助長したことを認めねばなりません。負数が単に 0 より小さい量であると言うためには、負数自身は思い描くことのできぬものとして論を進めねばならないのです。1 と &minus;1 は比較できないと主張し<ref group="note">古典的な逆理として「&minus;1 &lt; 1 のとき、これらの二数の逆数は元とは大きさが逆になるが、&minus;1 の逆数は &minus;1 で 1 の逆数は 1 だから、従って &minus;1 &gt; 1 が成り立つ」というものがある。この逆理は「二つの数の逆数はもとの数とは大きさが逆になる」という文の不完全さによるもので、これは「同符号の二数の逆数はもとの数とは大きさが逆になる」と明確化されるべきである。</ref> 1 と &minus;1 との関係は &minus;1 と 1 との関係と異なるものであるとすることは、二重に誤っています。……」|date=2012年5月}}« Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n'est pas comparable à - 1, & que le rapport entre 1 & -1 est différent du rapport entre - -1 & 1, sont dans une double erreur: 1(...) Il n'y a donc point réellement & absolument de quantité négative isolée: - 3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée. » ダランベール『百科全書』}}<br />
<br />
自然数の成す同値類を用いた[[#厳密な構成|厳密な構成]]を行うことによる整数の概念の定式化が現れるのは、そこからさらに二つの世紀を待たねばならなかった。この構成を成した一人である[[リヒャルト・デーデキント|デデキント]] (1831 - 1916) は、整数全体の成す集合を表すのに ''K'' を用いたが、[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]による <math>\mathbb Z</math>（ドイツ語で「数」を意味する "Zahlen" の頭文字）が普及するまで、ほかにもいくつかの規約が用いられていた<ref>{{en}} [http://jeff560.tripod.com/nth.html Earliest Uses of Symbols of Number Theory]</ref>。<br />
<br />
== 代数構造 ==<br />
{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto 1ex auto;"<br />
|+ 整数の集合における基本性質<br />
! !! 加法 !! 乗法<br />
|-<br />
! 演算の[[閉性]]<br />
| ''a'' + ''b'' は整数 || ''a'' &times; ''b'' は整数<br />
|-<br />
! [[結合法則|結合性]] <br />
| ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'' || ''a'' &times; (''b'' &times; ''c'') = (''a'' &times; ''b'') &times; ''c''<br />
|-<br />
! [[交換法則|可換性]] <br />
| ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' || ''a'' &times; ''b'' = ''b'' &times; ''a''<br />
|-<br />
! [[中立元]]の存在性 <br />
| ''a'' + 0 = ''a'' （[[加法単位元|零元]]）|| ''a'' &times; 1 = ''a'' （[[乗法単位元|単位元]]）<br />
|-<br />
! [[逆元]]の存在性<br />
| ''a'' + (&minus;''a'') = 0（[[反数]]） || &plusmn;1 &times; &plusmn;1 = 1 （それ以外は逆元無し）<br />
|-<br />
| colspan=3 |<br />
|-<br />
! [[分配法則|分配性]]<br />
| colspan=2 align=center| ''a'' &times; (''b'' + ''c'') = (''a'' &times; ''b'') + (''a'' &times; ''c''), および (''a'' + ''b'')&times; ''c'' = ''a'' &times; ''c'' + ''b'' &times; ''c''<br />
|-<br />
! [[零因子]]がない <br />
|| || ''a'' &times; ''b'' = 0 ならば ''a'' = 0 または ''b'' = 0<br />
|}<br />
<br />
上記、加法についての五性質（加法について閉じている、可換、結合的、零元の存在、反数の存在）は、整数の全体 '''Z''' が加法に対して[[アーベル群]]となることを主張するものである。また、任意の整数 ''n'' は<br />
:<math>n = \left\{\begin{align}[ll]<br />
&\underbrace{\,1 + 1 + \cdots + 1\,}_{n \text{ times}} & (n > 0), \\<br />
&0 & (n = 0), \\<br />
&\underbrace{\!(-1) + \cdots + (-1)\!}_{|n| \text{ times}} & (n < 0)<br />
\end{align}\right.</math><br />
なる形に書ける（1 で生成される）から、'''Z''' は 1 の生成する無限[[巡回群]] &lang;1&rang; になる。特に '''Z''' は[[群同型|同型]][[の違いを除いて]]唯一の無限巡回群である。<br />
<br />
上記、乗法についての四性質（乗法について閉じている、可換、結合的、単位元の存在）は、'''Z''' が乗法に関しては可換[[モノイド]]をなすことを言うものである。<br />
<br />
上記、零因子の非存在以外の全ての性質を合わせれば、整数の全体 '''Z''' は[[単位的環|単位的]][[可換環]]であることがわかる。整数全体の成す環は（有理）整数環と呼ばれる。例えば負の数同士の積が正となるという性質<br />
: (&minus;''a'') &times; (&minus;''b'') = ''a'' &times; ''b''<br />
は、整数の全体が[[環 (数学)|環]]であることを用いれば、''x'' を任意の整数とするとき、逆元の一意性による &minus;(&minus;''x'') = ''x'' と 0 が[[吸収元]]すなわち ''x'' &times; 0 = 0 = 0 &times; ''x'' = 0 となることなどを使って[[証明]]できる。<br />
<br />
整数環 '''Z''' は零因子を持たない単位的可換環ゆえに[[整域]]である。逆元を持つ整数は {&plusmn;1} の二つだけ（[[単元群]] ''U''('''Z''') = {&plusmn;1}）であり、'''Z''' から 0 を除いた集合は除法について閉じていないので、'''Z''' は[[可換体|体]]にならない。<br />
<br />
乗法の逆演算としての通常の除法は '''Z''' 上で定義された演算とはならないけれども、しかし '''Z''' は[[除法の原理]]と呼ばれる性質「任意の整数（'''被除数'''）''a'' と任意の整数（'''法'''） ''b'' &ne; 0 に対して、''a'' = ''qb'' + ''r'' かつ 0 &le; ''r'' &le; &#x7c;''b''&#x7c; を満たす二つの整数（'''商'''）''q'' と（'''剰余'''）''r'' が存在する」が成り立つので、「余りのある除法」を定義することができて、'''Z''' は[[ユークリッド整域]]となる。特に ''x'' と ''y'' の最大公約数が ''d'' のとき、''ax'' + ''by'' = ''d'' を満たす整数 ''a'', ''b'' が存在することは[[ユークリッドの互除法]]などにより保証され<br />
: (''x'') + (''y'') = (''d'')<br />
が成り立つから、'''Z''' が[[単項イデアル整域]]であることがわかる。ここから導かれる、任意の整数が単元を掛ける違いを除いて素数の積として一意に表されるという重要な事実は[[算術の基本定理]]と呼ばれ、'''Z''' が[[一意分解環]]であることを示す。<br />
<br />
== 順序構造 ==<br />
'''Z''' における通常の大小関係<br />
: &hellip; &lt; &minus;3 &lt; &minus;2 &lt; &minus;1 &lt; 0 &lt; 1 &lt; 2 &lt; 3 &lt; &hellip;<br />
は、上にも下にも有界でない[[全順序関係]]であり、<br />
# ''a'' &lt; ''b'' かつ ''c'' &lt; ''d'' ならば ''a'' + ''c'' &lt; ''b'' + ''d'',<br />
# ''a'' &lt; ''b'' かつ 0 &lt; ''c'' ならば ''ac'' &lt; ''bc''<br />
が成り立つという意味で '''Z''' の環構造と両立し、'''Z''' は[[順序環]]となる。0 より大きな元は「正」、0より小さな元は「負」である。正の整数全体 '''N''' は、任意の整数 ''x'' に対し ''x'' または &minus;''x'' が '''N''' に属するという意味で '''Z''' の[[付値環|賦値環]]である。<br />
<br />
== 厳密な構成 ==<br />
[[file:Relative numbers representation.svg|thumb|300px|right|格子点と整数との対応]]<br />
自然数の全体 '''N''' は減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負の整数を導入し、整数の全体 '''Z''' を構成した。それと本質的には変わらないが、よく知られる方法<ref>{{cite book|和書|title=数<span style="font-size:smaller;">(上)</span>|edition=新装版|series=シュプリンガー数学リーディングス|author=H.‐D.エビングハウス他|translator=成木 勇夫|publisher=シュプリンガーフェアラーク東京|year=2004|isbn=978-4431711230}}<br />
</ref>としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから[[同値関係]]や商集合といった道具を使って、整数がきちんと厳密に構成できることを記しておく。<ref group="note">以下の構成では、自然数には 0 を含まないという立場で記述しており、したがって自然数に 0 を含んでも含まなくてもどちらでも構わないことも注意していただきたい。</ref><br />
<br />
まず、[[直積集合]] '''N'''<sup>2</sup> = '''N''' × '''N''' = {(''a'', ''b'') | ''a'', ''b'' は自然数} を考えよう<ref name="equivalence" group="note">かなり技巧的な作業のように見えるが、自然数を二つの自然数の差として (''a'', ''b'') = ''a'' &minus; ''b'' というつもりで書いてあるものとして読んで差し支えない。差が一定の自然数の組は無数にあるので、実際には [''a'', ''b''] = ''a'' &minus; ''b'' と考えるべきだが、そう考えることに整合性があることを確かめるのが、多少抽象的であるが、途中で同値関係で割ったり、同値類の間に演算を導入したりする部分である。</ref>。'''N'''<sup>2</sup> に[[同値関係]] &sim; を<br />
: (''a'', ''b'') &sim; (''c'', ''d'') &hArr; ''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''<br />
と定義することができる。ここで、'''N'''<sup>2</sup> を同値関係 &sim; で類別した集合（商集合）'''N'''<sup>2</sup>/&sim; を考える。これは、互いに同値なもの全体の集合（同値類）を元とするような集合であり、直観的には互いに同値であるようなものを同一視する操作である。(''a'', ''b'') &isin; '''N'''<sup>2</sup> の属する同値類を [''a'', ''b''] &isin; '''N'''<sup>2</sup>/''R'' と表すことにする。つまり、[''a'', ''b''] は<br />
: [''a'', ''b''] = {(''c'', ''d'') &isin; '''N'''<sup>2</sup> | (''a'', ''b'') &sim; (''c'', ''d'')} <br />
となる集合である。同値類を [''a'', ''b''] のように表したとき、(''a'', ''b'') をこの同値類の代表元と呼ぶ。代表元は同値なものでありさえすれば他のものに取り替えることができる<ref name="equivalence" group="note" />。商集合 '''N'''<sup>2</sup>/&sim; に加法 + と乗法 &times; を<br />
: [''a'', ''b''] + [''c'', ''d''] = [''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'']<br />
: [''a'', ''b''] &times; [''c'', ''d''] = [''ac'' + ''bd'', ''ad'' + ''bc'']<br />
と定義すると、これらは代表元の取り方によらずに、同値類同士の演算としてうまく定義されていることが確かめられる<ref name="equivalence" group="note" />。<br />
<br />
このとき、[''a'', ''b''] + [''m'', ''m''] = [''a'' + ''m'', ''b'' + ''m''] = [''a'', ''b''] だから、''R'' = {(''m'', ''m'') | ''m'' &isin; '''N'''} は '''N'''<sup>2</sup>/&sim; の加法に関する[[単位元]]である。また、自然数 ''m'' に対して [''m'' + 1, 1] を対応させる写像は[[単射]]で<br />
: [''m'' + 1, 1] + [''n'' + 1, 1] = [''m'' + ''n'' + 2, 2] = [(''m'' + ''n'') + 1, 1],<br />
: [''m'' + 1, 1] × [''n'' + 1, 1] = [(''m'' + 1)(''n'' + 1) + 1, (''m'' + 1) + (''n'' + 1)] = [''mn'' + 1, 1]<br />
を満たす（[[準同型]]）ので '''N''' は '''N'''<sup>2</sup>/&sim; に[[環準同型|演算まで込めて]]埋め込める。[[記号の濫用]]ではあるが、自然数 ''m'' を埋め込んだ先と同一視して ''m'' = [''m'' + 1, 1] と書くことにし、これを（正の）整数 ''m'' と呼ぼう。<br />
<br />
同様の埋め込みは、自然数 ''m'' に対して [1, ''m'' + 1] を対応させることでも得られるが和と積は<br />
: [1, ''m'' + 1] + [1, ''n'' + 1] = [1, (''m'' + ''n'') + 1],<br />
: [1, ''m'' + 1] × [1, ''n'' + 1] = [1 + (''m'' + 1)(''n'' + 1), (''m'' + 1) + (''n'' + 1)] = [''mn'' + 1, 1]<br />
になる。自然数 ''m'' に対し、新たな記号 &minus;''m'' を [1, ''m'' + 1] を表すものとして導入し、これを負の整数 &minus;''m'' と呼ぼう。負の整数同士の積が正の整数になっていることが確認できる。<br />
<br />
このとき、''m'' + (&minus;''m'') = [''m'' + 1, 1] + [1, ''m'' + 1] = [''m'' + 2, ''m'' + 2] = ''R'' だから、負の整数 &minus;''m'' = [1, ''m'' + 1] は '''N'''<sup>2</sup>/&sim; においてはちょうど、正の整数 ''m'' = [''m'' + 1, 1] の加法に関する逆元になっている。''R'' をあらためて 0 と書くことにして、'''N'''<sup>2</sup>/&sim; = {''m'', 0, &minus;''m'' | ''m'' &isin; '''N'''} を整数全体の集合とよび、あらためて '''Z''' と書くことにしよう。<br />
<br />
このようにして整数の全体 '''Z''' が厳密に定義されたが、なお定義に従えば '''Z''' において結合法則や分配法則などの環の公理が満たされることがきちんと証明できる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
* [[二次の整数]]<br />
** [[ガウス整数]]<br />
** [[アイゼンシュタイン整数]]<br />
<br />
== コンピュータにおける整数表現 ==<br />
{{main|整数型}}<br />
[[コンピュータ]]の内部では電気的な信号の有無を 1 と 0 に割り当て、[[二進法|2進法]]を用いて整数を表現するのが基本である。通常は、2 [[バイト (情報)|バイト]]（16 [[ビット]]）または 4 バイト（32 ビット）の範囲で表現できる範囲の数を扱う。負の値を扱う場合は、[[2の補数]]表現などが用いられる。通常は有限の範囲の整数しか扱うことができないが、処理速度を犠牲にして無限の整数を扱う方法もある。<br />
<br />
事務処理など金額などの大きな桁や 10 進小数を正確に扱う必要がある場合、[[二進化十進表現]]を用いる。<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{reflist|group=note}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* [[保江邦夫]]『数の論理 マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？』[[講談社]]〈[[ブルーバックス]]〉、2002年。ISBN 4-06-257397-0<br />
* [[高木貞治]]『数の概念』[[岩波書店]]、1970年。ISBN 4-00-005153-9<br />
<references /><br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[自然数]]<br />
* [[有理数]]<br />
* [[ユークリッド整域]]<br />
* [[剰余類環]]<br />
* [[整数型]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|title=Integer|urlname=Integer}}<br />
<br />
{{Normdaten}}<br />
{{DEFAULTSORT:せいすう}}<br />
[[Category:整数|*]]<br />
[[Category:数]]<br />
[[Category:有理数]]<br />
[[Category:実数]]<br />
[[Category:代数学]]<br />
[[Category:数論]]<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:整数の類|*せいすう]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166積分差分方程式2018-07-30T03:08:07Z<p>210.149.174.166: /* 合成核と侵入速度 */</p>
<hr />
<div>[[数学]]の分野における'''積分差分方程式'''（せきぶんさぶんほうていしき、{{Lang-en-short|integrodifference equation}}）とは、ある[[関数空間]]上の[[漸化式]]で、次のような形状で表されるもののことを言う:<br />
<br />
:<math> n_{t+1}(x) = \int_{\Omega} k(x, y)\, f(n_t(y))\, dy. </math><br />
<br />
ここで <math>\{n_t\}\,</math> はその関数空間上の関数列で、<math>\Omega\,</math> はそれらの定義域である。応用上の多くの場面では、任意の <math>y\in\Omega\,</math> に対して <math>k(x,y)\,</math> は <math>\Omega\,</math> 上の[[確率密度関数]]であるとされる。ここで上述の定義では、<math>n_t</math> はベクトル値となることもあり、その場合には <math>\{n_t\}</math> の各成分は対応するスカラー値の積分差分方程式となることに注意されたい。積分差分方程式は、[[数理生物学]]、とりわけ{{仮リンク|理論生態学|en|theoretical ecology}}の分野において、個体群の{{仮リンク|生物学的分散|label=分散|en|biological dispersal}}や成長をモデル化するために幅広く用いられている。そのような場合、<math>n_t(x)</math> は時間 <math>t</math> における位置 <math>x</math> での個体サイズあるいは密度を表し、<math>f(n_t(x))</math> は位置 <math>x</math> での局所的な個体群成長を表し、<math>k(x,y)</math> は点 <math>y</math> から点 <math>x</math> への移動確率で、しばしば分散核（dispersal kernel）と呼ばれる。積分差分方程式は、多くの節足動物や一年生植物を含む{{仮リンク|化性|label=単化性|en|voltinism}}個体群をモデル化する際に最もよく用いられている。しかし、世代が重ならない機構を持つのであれば、多化性個体群をモデル化する際にも積分差分方程式を用いることが出来る<ref>Kean, John M., and Nigel D. Barlow. 2001. A Spatial Model for the Successful Biological Control of Sitona discoideus by Microctonus aethiopoides. The Journal of Applied Ecology. 38:1:162-169.</ref>。そのような場合、<math>t</math> の単位は年とは限らず、繁殖の間の時間増加を表すために用いられる。<br />
<br />
== 合成核と侵入速度 ==<br />
空間一次元において、分散核はしばしば出発点と目的地の間の距離にのみ依存するものとされ、そのような場合には <math>k(x-y)</math> と書かれる。このとき、f と k に対するいくつかの自然な条件の下で、コンパクトな初期条件から生成される侵入波の伝播速度は [[well-defined]] となる。そのような波の速度はしばしば、線形化方程式<br />
:<math> n_{t+1} = \int_{-\infty}^{\infty} k(x-y) R n_t(y)\, dy </math><br />
を調べることによって計算される。ここで <math> R = df/dn(n=0)</math> であり、この式は畳み込み<br />
:<math> n_{t+1} = f'(0) k * n_t </math><br />
として書き表すことが出来る。ここで[[積率母関数|積率母関数変換]]<br />
:<math> M(s) := \int_{-\infty}^{\infty} e^{sx} n(x)\, dx </math><br />
を用いることで、臨界波速（critical wave speed）<br />
:<math> c^* := \min_{ w > 0 } \left[\frac{1}{w} \ln \left( R \int_{-\infty}^{\infty} k(s) e^{w s} \,ds \right) \right] </math><br />
が求められる。<br />
<br />
空間内の個体群ダイナミクスをモデル化する上で用いられる他のタイプの方程式には、[[反応拡散方程式]]や[[メタ個体群|メタ個体群方程式]]などがある。しかし、拡散方程式は明示的な分散パターンを含むことが出来るほど簡単なものではなく、世代が重なるような個体群に対してのみ生物学的に正当なものとなる<ref>Kot, Mark and William M Schaffer. 1986. Discrete-Time Growth Dispersal Models. ''Mathematical Biosciences''. 80:109-136</ref>。またメタ個体群方程式は、連続的な土地ではなく離散的なパッチに個体群を細分するという点において、積分差分方程式とは異なるものとなる。<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{reflist}}<br />
{{refbegin}} <br />
{{refend}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:せきふんさふんほうていしき}}<br />
[[Category:応用数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
[[Category:数理生物学]]</div>210.149.174.166超幾何級数2018-07-17T04:59:29Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div>{{複数の問題|<br />
出典の明記=2013年10月|<br />
正確性=2013年10月}}<br />
数学において、'''超幾何級数'''（ちょうきかきゅうすう、{{lang-en-short|hypergeometric series}}）は、一般に<br />
<br />
:<math>_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n</math><br />
<br />
の形式で表される[[級数]]である<ref>{{MathWorld|title=Hypergeometric Series|urlname=HypergeometricSeries}}</ref>。但し、<br />
:<math>\begin{align}<br />
(x)_0 &:= 1, \\<br />
(x)_n &:= \prod_{k=0}^{n-1} (x+k) \\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
は[[ポッホハマー記号]]である。古典的には[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]の超幾何関数<br />
{{Indent|<math>F(a,b,c;z):={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n</math>}}<br />
を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。<br />
<br />
== 収束条件 ==<br />
超幾何級数<math>_rF_s[a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z]</math>は、<math>r<s+1</math>であれば[[絶対収束]]し、<math>r>s+1</math>であれば発散する。<math>r=s+1</math>の場合は、<math>|z|<1</math>であれば絶対収束し、<math>|z|>1</math>であれば発散する。<math>|z|=1</math>の場合は、<math>\sum\real{a_j}<\sum\real{b_j}</math>であれば絶対収束し、<math>\sum\real{a_j}>\sum\real{b_j}</math>であれば発散する。但し、<math>a_j</math>又は<math>b_j</math>が正でない整数<math>k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}</math>である場合は、<math>(a_j)_{n{\ge}k}=0</math>となって<math>{z}<\infty</math>で収束、或いは<math>(b_j)_{n{\ge}k}=0</math>となって<math>z\ne0</math>で発散する場合がある。<br />
=== 収束条件の証明 ===<br />
第<math>n</math>項を<math>c_n</math>とする:<br />
<br />
:<math>\begin{align}<br />
{}_rF_{r-1} \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_{r-1} \end{matrix}; z \right] = \sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n \\<br />
c_n = \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_{r-1})_n (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_{r-1})_n \; n!}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
公比は<br />
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{c_{n+1}}{c_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(a_1+n) (a_2+n) \dotsb (a_{r-1}+n) (a_r+n)}{(b_1+n) (b_2+n) \dotsb (b_{r-1}+n)(1+n)}z = z</math><br />
であるから、<math>|z|<1</math>であれば絶対収束し、<math>|z|>1</math>であれば発散する。<math>|z|=1</math>の場合は、<br />
:<math>\begin{align}<br />
\frac{a+n}{n} &= 1+\frac{a}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\<br />
\frac{n}{b+n} &= 1-\frac{b}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\<br />
\end{align}</math><br />
であるから、<br />
:<math>\begin{align}<br />
\frac{c_{n+1}}{c_{n}}<br />
&= \prod_{j=1}^{r} \left( 1 + \frac{a_j}{n} \right) \cdot \prod_{j=1}^{r-1} \left( 1 - \frac{b_j}{n} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + O \left( n^{-2} \right) \\<br />
&= 1 + \sum_{j=1}^{r} \frac{a_j}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{b_j}{n} - \frac{1}{n} + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k) \\<br />
\left| \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right|^2<br />
&= \left( 1 + \sum_{j=1}^{r} \frac{\real{a_j}}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{\real{b_j}}{n} - \frac{1}{n} \right)^2 + \left( \sum_{j-1}^{r} \frac{\image{a_j}}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{\image{b_j}}{n} \right)^2 + O \left( n^{-2} \right) \\<br />
&= 1 + \frac{2}{n} \left( \sum_{j=1}^{r} \real{a_j} - \sum_{j=1}^{r-1} \real{b_j} - 1 \right) + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k) \\<br />
\left| \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right|<br />
&= 1 - \frac{1}{n} \left( \sum_{j=1}^{r} \real{a_j} - \sum_{j=1}^{r-1} \real{b_j} - 1 \right) + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k)<br />
\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
であり、<br />
:<math>\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}-1\right)-1=-\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}\right)</math><br />
である。従って、[[ラーペの判定法]]により、<math>\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}<0</math>であれば絶対収束し、<math>\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}>0</math>であれば発散する。<br />
<br />
== 超幾何関数 ==<br />
超幾何級数で定義される、或いは表示される関数を超幾何関数という。超幾何関数は多くの[[初等関数]]や[[特殊関数]]を包含する。<br />
:<math>\begin{align}<br />
(1-z)^{-a} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-n+1)}{n!}(-z)^n={_1F_0}\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]\\<br />
e^z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n={_0F_0}\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};z\right]\\<br />
\sin z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\<br />
\cos z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}={_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{1}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\<br />
\log(1+z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-z\right]\\<br />
\log\left(\frac{1+z}{1-z}\right) &= 2z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}z^{2n}=2z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\<br />
\sin^{-1}z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\<br />
\tan^{-1}z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};-z^2\right]\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
完全[[楕円積分]]<br />
:<math>\begin{align}<br />
K(k) &= \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\<br />
E(k) &= \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
[[正弦積分]]、[[余弦積分]]、[[指数積分]]<br />
:<math>\begin{align}<br />
\operatorname{Si}(z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_1F_2}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\<br />
\operatorname{Ci}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)(2n)!}z^{2n}=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\<br />
\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
== オイラー積分表示 ==<br />
ガウスの超幾何関数は[[オイラー積分]]で表される。<br />
:<math>F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)</math><br />
これは<br />
:<math>\begin{align}F(a,b,c;z)<br />
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\<br />
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\<br />
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\Beta(a+n,c-a)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\<br />
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\<br />
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}(tz)^n\right)dt\\<br />
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\<br />
\end{align}</math><br />
として導かれる。<br />
<br />
== 超幾何定理 ==<br />
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に<math>z=1</math>を代入するとガウスの超幾何定理を得る<ref>{{MathWorld|title=Gauss's Hypergeometric Theorem|urlname=GausssHypergeometricTheorem}}</ref>。<br />
:<math>\begin{align}F(a,b,c;1)<br />
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\<br />
&=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\<br />
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})\\<br />
\end{align}</math><br />
となる。更に<math>a=-n</math>を代入すると{{仮リンク|ヴァンデルモンドの恒等式|en|Vandermonde's identity}}を得る<ref>{{MathWorld|title=Chu-Vandermonde Identity|urlname=Chu-VandermondeIdentity}}</ref>。<br />
:<math>F(-n,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}</math><br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{Reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
{{参照方法|date=2013年10月}}<br />
*{{Cite book|和書|author=西本敏彦|authorlink=西本敏彦|year=1998|month=11|title=超幾何・合流型超幾何微分方程式|publisher=共立出版|isbn=4-320-01593-2|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320015937|ref={{Harvid|西本|1998}}}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<!--項目の50音順--><br />
*[[オイラー積分]]<br />
*[[ガンマ関数]]<br />
*[[特殊関数]]<br />
*[[ベッセル関数]]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ちようきかきゆうすう}}<br />
[[Category:離散数学]]<br />
[[Category:特殊関数]]<br />
[[Category:常微分方程式]]<br />
[[Category:級数]]<br />
[[Category:超幾何級数|*]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166写像2018-07-16T13:55:48Z<p>210.149.174.166: /* 写像の集合 */</p>
<hr />
<div>'''写像'''（しゃぞう、{{lang|en|''mapping''}}, {{lang|en|''map''}}）とは、二つの[[集合]]が与えられたときに、一方の集合の各[[元 (数学)|元]]に対し、他方の集合のただひとつの元<!-- からなる集合 -- なるほど 一般の"対応"では結び付けられる先は集合ですが、一般の"対応"がどのように特殊化されたものが"写像"なのかを表現しなくとも写像の概要を説明できるでしょう。 シングルトンをその要素と同一視しても写像がどんなものかは説明できて 本文の #素朴な説明 のところとも整合する -->を指定して結びつける[[対応 (数学)|対応]]のことである。'''[[函数]]'''（'''関数'''）、'''[[変換 (数学)|変換]]'''、'''[[作用素]]'''、'''[[射 (圏論)|射]]'''などが写像の同義語として用いられる<ref>例えば{{harv|ケリー|1968|p=10}}は「'''関数'''，'''対応'''，'''写像'''，'''作用素'''をすべて同じ意味で使用することにする」という断り書きをつけている。</ref><ref>The words '''map''' or '''mapping''', '''transformation''', '''correspondence''', and '''operator''' are often used synonymously. {{harv|Halmos|1970|p=30}}. (訳文: '''写像'''、'''変換'''、'''対応'''および'''作用素'''の語がしばしば (函数の) 同義語として用いられる)</ref>こともある。<br />
<br />
[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]に見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「[[函数]]」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は[[解析学]]に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（[[多価函数]]参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合[[実数]]体 {{math|'''R'''}} または[[複素数]]体 {{math|'''C'''}} の部分集合）を[[終域]]に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる<ref>例えば {{harvnb|Lang|1971|p=83}}, {{harvnb|松坂|1968|p=28}}, PlanetMath など</ref><ref>{{Harvtxt|松本|1988}} は、多様体上の実数値写像を関数と呼んでいる。</ref>。[[函数]]、[[二項関係]]、[[対応 (数学)|対応]]の各項も参照のこと。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
=== 素朴な説明 ===<br />
{{seealso|{{仮リンク|函数記法|en|Functional notation}}}}<br />
集合 {{mvar|A}} の各元に対してそれぞれ集合 {{mvar|B}} の元をただひとつずつ指定するような規則 {{mvar|f}} が与えられているとき、{{mvar|f}} を「'''[[始域]]'''または'''[[定義域]]'''{{mvar|A}} から'''[[終域]]''' {{mvar|B}} への'''写像'''」といい<br />
: <math>f\colon A \to B,\quad A \stackrel{f}{{}\to{}} B</math><br />
などと表す。また {{mvar|f}} は {{mvar|A}} で（あるいは {{mvar|A}} の上で）定義されているといい、あるいはまた {{mvar|f}} は {{mvar|B}} に（あるいは {{mvar|B}} の中に）値を持つという。始域 {{mvar|A}} を {{math|sour(''f'')}}、終域 {{mvar|B}} を {{math|tar(''f'')}} のように記すこともある。また、{{mvar|A}} の元 {{mvar|a}} に対して {{mvar|f}} によって指定される {{mvar|B}} の元が {{mvar|b}} である（このことを、{{mvar|a}} が {{mvar|f}} によって {{mvar|b}} に'''写される'''という）とき、{{mvar|b}} を {{mvar|a}} における {{mvar|f}} の[[像 (数学)|像]]あるいは'''値'''（あたい、{{lang|en|value}}）と呼び、{{mvar|b}} を {{math|''f''(''a'')}} で表す。また、代表元 {{mvar|a}} が {{mvar|f}} によって {{mvar|b}} に写されることを、棒つき矢印を用いて<br />
:<math>f \colon a \mapsto b,\quad f \colon A \ni a \mapsto b \in B</math><br />
などとも表す{{sfn|松坂|1968|p=298}}。[[変数]] {{mvar|x}} を用いて {{math|''x'' {{mapsto}} ''f''(''x'')}} のように写像を表すとき、{{mvar|f}} は、 {{mvar|A}} をわたる（または動く）変数 {{mvar|x}} の函数である、あるいは変数 {{mvar|x}} に従属するという。<br />
<br />
=== 二項関係を用いた定義 ===<br />
{{seealso|二項関係}}<br />
<br />
集合論に由来する定義と、圏論に由来する定義に分けて説明する。<br />
<br />
==== 集合論における函数としての写像 ====<br />
<br />
集合論においては、集合 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} の元の順序対からなる集合（すなわち[[二項関係]]）{{mvar|f}} が<br />
* {{math|''x'' &isin; ''A''}} ならば {{math|(''x'', ''y'') &isin; ''f''}} を満たす {{math|''y'' &isin; ''B''}} が存在する<br />
* {{math|(''x'', ''y''<sub>1</sub>) &isin; ''f''}} かつ {{math|(''x'', ''y''<sub>2</sub>) &isin; ''f''}} ならば {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''y''<sub>2</sub>}}<br />
の二つをみたすとき、{{math|''f''}} を {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への函数と呼び<ref>{{harvnb|Kunen|1980|p=14}}</ref>、{{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} で表す。またこのとき、{{math|(''x'',&thinsp;''y'') &isin; ''f''}} であることを {{math|''f''(''x'') {{=}} ''y''}} と書く。この文脈では、{{mvar|f}} と {{mvar|f}} の[[グラフ (函数)|グラフ]] {{math|{(''x'', ''y'') {{!}} ''y'' {{=}} ''f''(''x'')}}} を同一視し、函数と写像を同じ意味に用いる。<br />
二つの写像 {{mvar|f}} と {{mvar|g}} の[[相等関係|相等]]は、集合として同一であるということ、すなわち<br />
:{{math|∀''x''∀''y'' ( (''x'',''y'') &isin; ''f'' &hArr; (''x'',''y'') &isin; ''g'' )}}<br />
ということであるが、これは（ {{mvar|f}} と {{mvar|g}} の定義域が等しく、かつ）任意の {{math|''a'' &isin; ''A''}} に対して {{math|''f''(''a'') {{=}} ''g''(''a'')}} であることと同値である。<br />
<br />
==== 圏論の射の一種としての写像 ====<br />
<br />
一方、圏論の用語との整合性を重んじる文脈では、次のようになる。<br />
集合 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} の元の順序対からなる集合（すなわち[[二項関係]]）{{mvar|G{{sub|f}}}} が<br />
* '''全域性''': {{math|''x'' &isin; ''A''}} ならば {{math|(''x'', ''y'') &isin; ''G''{{sub|''f''}}}} を満たす {{math|''y'' &isin; ''B''}} が存在する<br />
* '''右一意'''または'''函数的''': {{math|(''x'', ''y''<sub>1</sub>) &isin; ''G''{{sub|''f''}}}} かつ {{math|(''x'', ''y''<sub>2</sub>) &isin; ''G''{{sub|''f''}}}} ならば {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''y''<sub>2</sub>}}<br />
の二つをみたすとき、三つ組 {{math|''f'' :{{=}} (''A'', ''B'', ''G''{{sub|''f''}})}} をこの関数関係 {{mvar|G{{sub|f}}}} から定まる {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への写像と呼び、{{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} で表す。またこのとき、{{math|(''x'',&thinsp;''y'') &isin; ''G''{{sub|''f''}}}} であることを {{math|''f''(''x'') {{=}} ''y''}} と書き、{{math|''G''{{sub|''f''}} {{=}} {(''x'', ''y'') {{!}} ''y'' {{=}} ''f''(''x'')} }}を写像 {{mvar|f}} の[[グラフ (函数)|グラフ]]と呼ぶ。二つの写像 {{math|(''A'', ''B'', ''G''{{sub|''f''}})}} と {{math|(''C'', ''D'', ''G''{{sub|''g''}})}} の[[相等関係|相等]]は、三つ組としての[[等式|相等]]をいう。特に、{{mvar|f}}, {{mvar|g}} がともに {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への写像のとき、{{mvar|f}} と {{mvar|g}} が等しいというのは、この二つの写像のグラフ{{math|''G''{{sub|''f''}} }} と {{math|''G''{{sub|''g''}} }}とが {{math|''A'' &times; ''B''}} の集合として同一であるということ、すなわち<br />
:{{math|∀''x''∀''y'' ( (''x'',''y'') &isin; ''G''{{sub|''f''}} &hArr; (''x'',''y'') &isin; ''G''{{sub|''g''}})}}<br />
ということであるが、これは任意の {{math|''a'' &isin; ''A''}} に対して {{math|''f''(''a'') {{=}} ''g''(''a'')}} であることと同値なので、素朴な意味で写像 {{mvar|f}} と {{mvar|g}} が等しいと言ったときと同じ意味となる。<br />
<br />
圏論の用語と整合性をとる文脈では、写像の相等を扱う際の、二つの写像が「ともに {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への」写像であるという但し書きは重要である。例えば {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への写像 {{mvar|f}} と {{mvar|A}} から {{math|''B'' &sube; ''B''&prime;}} なる {{math|''B''&prime;}} への写像 {{mvar|g}} について、集合として {{math|''f'' {{=}} ''g''}}（つまりグラフが一致）でも三つ組としては異なるから、この二つの写像は同一でない。実際、{{math|''x'' &#x21a6; ''x''<sup>2</sup>}} なる元の対応で定められる二つの写像 {{math|''f'': '''R''' &rarr; '''R'''}} と {{math|''g'': '''R''' &rarr; '''R'''<sub>&ge;0</sub>}} を考えると後者は[[全射性]]を持つが前者はそうでない<ref>{{harvtxt|松本|2004}}, 注意 1.1.6, 定義 1.1.7 なども参照</ref>（[[値域]]・[[終域]]の各項も参照）。<br />
<br />
また、[[超限帰納法]]を用いるなどして写像を集合論的に構成する場合、始域や終域としては「すべての集合」のような[[クラス (集合論)|真の類]]を考えることもある。そのような場合でも定義域 {{mvar|A}} が集合であれば順序対の集まり {{mvar|f}} や値域 {{mvar|f(A)}} も集合となる。<br />
<br />
== 例 ==<br />
=== 自明な写像 ===<br />
* 集合 {{mvar|A}} の任意の元 {{mvar|a}} に対して {{mvar|a}} 自身を対応させると、これは {{mvar|A}} から {{mvar|A}} への写像になる。この写像を[[恒等写像]]といい、{{math|I<sub>''A''</sub>}} や {{math|id<sub>''A''</sub>}} や {{math|'''1'''<sub>''A''</sub>}} などで表す。<br />
* {{mvar|B}} を {{mvar|A}} の部分集合とするとき、{{mvar|B}} の任意の元 {{mvar|b}} に対して {{mvar|b}} 自身を {{mvar|A}} の元として対応させる {{mvar|B}} から {{mvar|A}} への写像を[[包含写像]]といい、{{math|i<sub>''A'', ''B''</sub>}} や {{math|inc<sub>''A'', ''B''</sub>}} などで表す。<br />
* {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} とする。{{mvar|A}} の部分集合 {{math|''A''&prime;}} について、{{math|''A''&prime;}} の各元 {{mvar|a}} に対して {{mvar|B}} の元 {{math|''f''(''a'')}} を対応させると、これは {{math|''A''&prime;}} から {{mvar|B}} への写像になる。この写像を {{mvar|f}} の {{math|''A''&prime;}} への[[制限写像]]といい、{{math|''f''{{!}}<sub>''A''&prime;</sub>}} と表す。<br />
* {{mvar|A}} が[[空集合]]のとき、{{mvar|A}} から {{mvar|B}} への写像はただ一つ存在し、これを[[空写像]]と呼ぶ。空写像に対応するグラフは空集合である。{{mvar|A}} の元が存在しないので何の対応も定めてはいないが、これも立派な写像である。素朴な定義では、{{mvar|f}} が写像であるとは「{{mvar|a}} が {{mvar|A}} の元ならば {{mvar|B}} の元 {{math|''f''(''a'')}} がただ一つ定まる」が成り立つことであったが、{{mvar|A}} が空集合ならば「{{mvar|a}} が {{mvar|A}} の元」は[[論理包含#例|偽であるから、この命題は真]]である。この議論は {{mvar|A}} と {{mvar|B}} が共に空集合である場合も通用するので、空集合から空集合への写像は空写像ただ一つである{{efn|この事実は[[0の0乗]]を 1 と定義する理由の一つに挙げられる（ただし、いつもそのように定義するわけではない）}}。<br />
<br />
=== 一般の例 ===<br />
*{{math|''x'' &isin; '''R'''}} に [[絶対値]] {{math|{{abs|''x''}}}} を対応させる {{math|{{abs|・}}: '''R''' &rarr; [0, ∞)}} は写像である。これは全射であるが単射ではない。<br />
*{{math|''GL''(''n'', '''R''')}} を {{mvar|n}} 次実[[一般線型群]]、即ち[[正則行列|正則]]な実 {{mvar|n}} 次正方行列の全体とする。行列 {{math|''A'' &isin; ''GL''(''n'', '''R''')}} にその[[行列式]] <math>\det A \in \mathbb{R}^\times:=\R \setminus \{0\}</math> を対応させる対応 {{math|det: ''GL''(''n'', '''R''') &rarr; '''R'''<sup>&times;</sup>}} は写像になる。これも全射であるが {{math|''n'' &ge; 2}} のとき単射ではない。<br />
*{{math|'''R'''<sub>2</sub>[''x'']}} を {{math|{{mset|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' | ''a'', ''b'', ''c'' &isin; '''R''', ''a'' ≠ 0}}}} （実係数2次[[多項式]]全体）で定める。多項式 {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' &isin; '''R'''<sub>2</sub>[''x'']}} にその[[判別式]] {{math|''D'' {{=}} ''b''<sup>2</sup> &minus; 4''ac'' &isin; '''R'''}} を対応させる対応 {{math|''D'': '''R'''<sub>2</sub>[''x''] &rarr; '''R'''}} は写像である。これも全射であるが単射ではない。<br />
*<math>x \in \mathbb{R}</math> に <math>\lfloor x \rfloor := \max\{n \in \mathbb{Z} \mid x \geq n\}</math> （<math>x</math> 以下の最大の整数）を対応させる対応 <math>\lfloor \cdot \rfloor \colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}</math> は[[床関数]]といわれる。同様に、<math>\lceil x \rceil:=\min\{n \in \mathbb{Z} \mid x \leq n\}</math> （<math>x</math> 以上の最小の整数）を対応させる対応 <math>\lceil \cdot \rceil \colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}</math> は[[天井関数]]といわれる。どちらも、全射であるが単射ではない。<br />
*<math>z=a+bi \in \mathbb{C}</math> に実部, 虚部を対応させる写像 <math> \mathrm{Re} \colon \mathbb{C} \ni z \mapsto a \in \mathbb{R}</math>, <math>\mathrm{Im} \colon \mathbb{C} \ni z \mapsto b \in \mathbb{R} </math> はともに全射であるが単射でない.<br />
*{{mvar|n}} 個の空でない集合 {{mvar|''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>n</sub>}} の直積集合 <math>X_1 \times \cdots \times X_n</math> から {{mvar|''X''<sub>i</sub>}} への写像 {{mvar|''p''<sub>i</sub>}} を次のように定める: <math>p_i \colon X_1 \times \cdots \times X_n \ni (x_1,\dots,x_n) \mapsto x_i \in X_i.</math> これは <math>X_1 \times \cdots \times X_n</math> から {{mvar|''X''<sub>i</sub>}} への'''第''' <math>i</math> '''射影'''（<math>i</math> -th projection）といわれる. これは全射であるが単射でない.<br />
<br />
=== 各分野で代表的な写像 ===<br />
* [[線型空間]]の間の[[線型写像]]<br />
* [[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]等の間の[[準同型写像]]<br />
* [[距離空間]]や[[位相空間]]の間の[[連続写像]]<br />
* [[順序集合]]の間の[[単調写像]]<br />
* [[可微分多様体]]間の[[可微分写像]]<br />
など。これらはどれも、[[圏論]]における[[射 (圏論)|射]]の例になっている。（[[#射・函手]]）<br />
<br />
=== 定値写像 ===<br />
{{mvar|X, Y}} を集合とする。写像 {{math|''f'': ''X'' &rarr; ''Y''}} が {{mvar|X}} の任意の元 {{mvar|x, y}} に対して {{math|1=''f''(''x'') = ''f''(''y'')}} をみたすとき、{{mvar|f}} は[[定値写像]]といわれる。{{mvar|X}} が空でないとき、定値写像とはその[[像 (数学)|像]]が一元集合となるものである。{{mvar|X}} が空であるときは、文献によって扱いが異なる。<br />
<br />
== 基本概念 ==<br />
=== 像・逆像 ===<br />
{{main|像 (数学)|値域}}<br />
{{math|''B''&prime;}} を {{mvar|B}} の部分集合とするとき、{{mvar|f}} によって {{math|''B''&prime;}} に写される始域 {{mvar|A}} の元全体からなる集合 {{math|{{mset|''a'' &isin; ''A'' | ''f''(''a'') &isin; ''B''&prime;}}}} を {{math|''B''&prime;}} の[[逆像]]または原像といい、{{math|''f''<sup>&minus;1</sup>(''B''&prime;)}} で表す。{{efn|ここに、{{math|''f''<sup>&minus;1</sup>}} は単なる符牒であって必ずしも写像を定義しないが、[[対応 (数学)|対応]]と考えることができるし、写像 {{mvar|f}} が[[逆写像|逆]]を持てばそれに一致する。}}<br />
<br />
{{mvar|A}} の部分集合 {{mvar|X}} の元の {{mvar|f}} による像たちの全体からなる終域 {{mvar|B}} の部分集合 {{math|{{mset|''f''(''a'') | ''a'' &isin; ''X''}}}} を {{mvar|X}} の {{mvar|f}} による[[像 (数学)|像]]といい、{{math|''f''[''X'']}}, {{math|''f''″''X''}} などで表す。特に {{mvar|f}} の {{mvar|A}} による像 {{math|''f''[''A'']}} を {{mvar|f}} の'''[[値域]]''' {{lang|en|(range)}} と呼び、{{math|ran(''f'')}}, {{math|Im(''f'')}} などで表す。{{efn|部分写像を写像と呼ぶ立場と同様に、やはり値域と終域を明示的に区別しない立場もある。またこの立場では値域と終域とを区別せずに'''コドメイン''' {{lang|en|(codomain)}} あるいは'''ターゲット''' {{lang|en|(target)}} と呼ぶこともある。}}つまり、写像 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} あるいは {{math|''G''{{sub|''f''}} &sube; ''A'' &times; ''B''}} の[[値域]] {{math|ran(''f'')}} は<br />
:<math>\operatorname{ran}(f) = \{y \mid \exists x ((x,y)\in G_f)\}\subseteq B</math><br />
で定義される。<br />
<br />
=== 合成 ===<br />
{{main|写像の合成}}<br />
二つの写像 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}}, {{math|''g'': ''C'' &rarr; ''D''}} を考える。<br />
{{mvar|B}} が {{mvar|C}} の部分集合であるとき、{{mvar|A}} の任意の元 {{mvar|a}} に対して {{math|''g''(''f''(''a''))}} は {{mvar|D}} のある一つの元であるから、 {{mvar|a}} に対して {{math|''g''(''f''(''a''))}} を対応させることで {{mvar|A}} から {{mvar|D}} への写像が得られる。この写像を {{mvar|f}} と {{mvar|g}} との'''合成'''（ごうせい、{{lang|en|composition}}; 結合）または積{{sfn|松坂|1968|p=34}}といい、{{math|''g'' ∘ ''f''}} あるいは {{mvar|gf}} と表す。{{efn|{{mvar|fg}} あるいは {{math|''f'' ∘ ''g''}}, {{math|''f'' ; ''g''}} と書く流儀もある。{{sfn|松坂|1968|p=299}}}}<br />
<br />
上の集合論的な定義に従って書けば<br />
:<math>G_{g \circ f} = \left\{ (a,d) \mid \exists x \in B;\; (a,x)\in G_f \and (x,d) \in G_g \right\}</math><br />
が合成写像のグラフであり、合成 {{math|''g'' ∘ ''f''}} は三つ組として {{math|(''A'', ''D'', ''G''<sub>''g''∘''f''</sub>)}} で表される。<br />
<br />
以下の合成が定義される限りにおいて、<br />
* [[結合法則|結合律]]: <math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math><br />
* [[単位元|単位律]]: <math>\operatorname{id}\circ f = f \circ \operatorname{id} = f</math><br />
が成り立つ{{sfn|松坂|1968|p=35|loc=定理 6}}。また<br />
* [[交換法則|可換律]]: <math>f\circ g = g\circ f</math><br />
は両辺が定義される場合においても一般には成立し'''ない'''{{sfn|松坂|1968|p=36}}。これらのことから、特に {{mvar|A}} からそれ自身への写像（{{mvar|A}} 上の[[変換 (数学)|変換]]）全体の集合は恒等写像を[[単位元]]とする非可換[[モノイド]]をなすことがわかる。<br />
<br />
=== 全射・単射および逆写像 ===<br />
[[Image:Surjection.svg|thumb|right|全射であり単射でない。]]<br />
[[Image:Funcao venn.png|thumb|right|単射であり全射でない。]]<br />
[[Image:Bijection.svg|thumb|right|全単射。]]<br />
<br />
{{main|{{仮リンク|全射・単射・全単射|en|Bijection, injection and surjection}}}}<br />
{{seealso|全射|単射|全単射|逆写像}}<br />
* 右全域性「{{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} について {{math|ran(''f'') {{=}} ''B''}}」が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、{{mvar|f}} を {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への[[全射]]という。<br />
* 左一意性「{{mvar|A}} の任意の元 {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>}} に対して、{{math|''a''<sub>1</sub> &ne; ''a''<sub>2</sub>}} ならば {{math|''f''(''a''<sub>1</sub>) &ne; ''f''(''a''<sub>2</sub>)}}」が成り立つとき、 {{mvar|f}} を[[単射]]という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。<br />
* {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への全射 {{mvar|f}} がさらに単射でもあるとき、{{mvar|f}} は {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への[[全単射]]であると言われる。定義域を {{mvar|A}} とする任意の単射 {{mvar|f}} はあきらかにその値域 {{math|''f''(''A'')}} への全単射である。<br />
<br />
{{mvar|f}} を {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への全単射とする。{{math|''f''(''a'') {{=}} ''b''}} によって {{mvar|b}} は {{mvar|a}} に対応しているが、{{mvar|f}} は全射だから、全ての {{mvar|b}} がある {{mvar|a}} に対応していて、{{mvar|f}} が単射であることからそのような {{mvar|a}} は一つしかないことが分かる。従ってこの関係を逆に見て、{{mvar|a}} が {{mvar|b}} に対応しているとみなすこともできる。この対応によって得られる {{mvar|B}} から {{mvar|A}} への写像を {{mvar|f}} の[[逆写像]]といい、{{math|''f''<sup>&minus;1</sup>}} と表す。{{math|''f''<sup>&minus;1</sup>}}は {{mvar|B}} から {{mvar|A}} への全単射である。{{math|''f''<sup>&minus;1</sup>}} の構成から、<br />
:<math>f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A,\quad f\circ f^{-1} = \operatorname{id}_B</math><br />
であることが分かる。<br />
<br />
{{mvar|A}} からそれ自身への全単射全体の集合を {{math|''S''(''A'')}} とすると、写像の合成は結合法則を満たし、恒等写像を単位元として、任意の全単射が逆写像を逆元に持つから、これは[[群 (数学)|群]]をなす。特に {{mvar|A}} が {{mvar|n}} 個の元からなる有限集合の場合の {{math|''S''(''A'')}} を {{mvar|n}} 次'''[[対称群]]'''という。<br />
<br />
{{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}}, {{math|''g'': ''C'' &rarr; ''D''}} の合成 {{math|''g'' ∘ ''f'': ''A'' &rarr; ''D''}} が定義可能で全単射であるとき、{{mvar|g}} が全射であることおよび {{mvar|f}} が単射であることが容易に確かめられるが、このことの逆も次の意味で成り立つ。<br />
<br />
* {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} が全射であるとき、（[[選択公理]]を仮定すると）{{mvar|B}} から {{mvar|A}} への写像 {{mvar|r}} が存在して右可逆性 {{math|''f'' ∘ ''r'' {{=}} id<sub>''B''</sub>}} が成り立つ。この {{mvar|r}} のことを、{{mvar|f}} の'''右逆写像'''という。<br />
* {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} が単射であるとき、''B'' から {{mvar|A}} への写像 {{mvar|l}} が存在して左可逆性 {{math|''l'' ∘ ''f'' {{=}} id<sub>''A''</sub>}} が成り立つ。この {{mvar|l}} のことを、{{mvar|f}} の'''左逆写像'''という。<br />
この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる；<br />
:写像 {{mvar|f}} が右逆写像を持つとき、{{mvar|f}} を全射といい、{{mvar|f}} が左逆写像を持つとき、{{mvar|f}} を単射という。<br />
{{seealso|モノ射|エピ射}}<br />
<br />
== 写像の構成法 ==<br />
既知の写像から別の新たな写像を構成する方法をいくつか示す。<br />
=== 制限と延長 ===<br />
{{main|制限 (数学)|}}<br />
<br />
写像の定義域をより小さな部分集合に取り換えることで写像の'''制限''' (restriction) または縮小{{sfn|松坂|1968|p=36}}が定義される。すなわち、写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} と部分集合 {{math|''S'' &sube; ''X''}} が任意に与えられたとき、任意の {{math|''s'' &isin; ''S''}} に対して {{math|''f''{{!}}{{sub|''S''}}(''s'') :{{=}} ''f''(''s'')}} と置くことにより定義される写像 {{math|''f''{{!}}{{sub|''S''}}: ''S'' → ''Y''}} を写像 {{mvar|f}} の {{mvar|S}} への（定義域の）制限と呼ぶ。写像 {{mvar|h}} の適当な制限が {{mvar|f}} に一致するとき、{{mvar|h}} は {{mvar|f}} の'''延長''' (continuation) または拡大{{sfn|松坂|1968|p=37}}もしくは拡張 (extension) であるという。終域の制限や延長を考えることもある。また写像の制限の記号は誤解のおそれが無い限り省略されることも多い。<br />
<br />
=== 直和 ===<br />
{{main|区分的に定義された写像}}<br />
ふたつの写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}}, {{math|''g'': ''W'' → ''Y''}} で、それらの定義域が交わりを持たない ({{math|''X''&thinsp;&cap;&thinsp;''W'' {{=}} &empty;}}) とき、これらのグラフの[[合併 (集合論)|合併]]として写像の直和 {{math|''f''&thinsp;⊕&thinsp;''g'': ''X''&thinsp;&cup;&thinsp;''W'' → ''Y''}} を定義する。これは具体的に<br />
: <math>(f\oplus g)(\xi) = \begin{cases} <br />
f(\xi) & (\xi\in X)\\<br />
g(\xi) & (\xi\in W)<br />
\end{cases}</math><br />
と書ける区分的に定義された写像である。より一般に、{{math|''X''&thinsp;&cap;&thinsp;''W'' &ne; &empty;}} のとき、二つの写像の {{math|''X''&thinsp;&cap;&thinsp;''W''}} への制限が {{math|''f''{{!}}{{sub|''X''&cap;''W''}} {{=}} ''g''{{!}}{{sub|''X''&cap;''W''}}}} を満たすとき、直和写像 {{math|''f''&thinsp;&oplus;&thinsp;''g''}} は [[well-defined]] で、<br />
: <math>(f\oplus g)(\xi) = \begin{cases} <br />
f(\xi) & (\xi\in X\smallsetminus W)\\<br />
f|_{X\cap W}(\xi)=g|_{X\cap W}(\xi) & (\xi\in X\cap W) \\<br />
g(\xi) & (\xi\in W \smallsetminus X)<br />
\end{cases}</math><br />
を満たす。直和 {{math|''f''&thinsp;&oplus;&thinsp;''g''}} は {{mvar|f}}, {{mvar|g}} の共通の延長として最小であり、直和のグラフはそれぞれの写像のグラフの合併である。直和は[[交換法則|可換]]である。<br />
<br />
さらに一般の場合に、{{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} の {{math|''g'': ''W'' → ''Y''}} による上書き和 (override union) と呼ばれる {{mvar|g}} の延長 {{math|''f''&thinsp;⊕&thinsp;''g'': ''X''&thinsp;∪&thinsp;''W'' → ''Y''}} が {{mvar|g}} および {{mvar|f{{!}}{{sub|X&#x2216;W}}}} のグラフの合併として与えられ、<br />
: <math>(f\oplus g)(\xi) = \begin{cases} <br />
f(\xi) & (\xi\in X)\\<br />
g(\xi) & (\xi\in W\smallsetminus X)<br />
\end{cases}</math><br />
と書ける。上書き和は一般には可換でない。<br />
<br />
=== 直積 ===<br />
ふたつの写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Z''}}, {{math|''g'': ''Y'' → ''W''}} に対して、写像の直積 {{math|''f''&thinsp;&times;&thinsp;''g'': ''X''&thinsp;&times;&thinsp;''Y'' → ''Z''&thinsp;&times;&thinsp;''W''}} は<br />
: <math>(f\times g)(x,y) := (f(x),g(y))\quad (x\in X,\,y\in Y)</math><br />
で与えられる。<br />
<br />
=== 商と標準分解 ===<br />
任意の写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} に対し、{{mvar|X}} 上の[[二項関係]] {{math|&sim;{{sub|''f''}}}} を<br />
: <math>a \sim_f b \iff f(a)=f(b)</math><br />
で定めると {{math|&sim;{{sub|''f''}}}} は[[同値関係]]で、写像 {{mvar|f}} に'''付随する同値関係'''{{sfn|松坂|1968|p=55}}と呼ばれる。この同値関係による類別を考えることにより {{mvar|X}} は[[等位集合]] {{math|''C''(''y'') {{=}} ''f''{{sup|&minus;1}}(''y'') (''y'' &isin; ''Y'')}} の[[非交和|和]]に[[集合の分割|分割]]される。このとき、[[商集合]] {{mvar|X/&sim;{{sub|f}}}} からの写像<br />
: <math>\varphi\colon X/{\sim_f} \to \operatorname{ran}(f) (\sub Y);\; C(y) \mapsto y</math><br />
は [[well-defined]] で、{{mvar|f}} の同値関係 {{math|&sim;{{sub|''f''}}}} による[[商写像]]あるいは {{mvar|f}} に'''付随する全単射'''{{sfn|松坂|1968|p=59}}と呼ぶ。写像系列<br />
: <math>f\colon X \stackrel{\pi}{{}\twoheadrightarrow{}} X/{\sim_f} \stackrel{\varphi}{{}\to{}} \operatorname{ran}(f) \stackrel{\iota}{{}\hookrightarrow{}} Y,</math><br />
あるいは等式 {{math|''f'' {{=}} &iota; ∘ &phi; ∘ &pi;}} （ただし、{{math|&pi;}} は[[自然な全射]]、{{math|&iota;}} は[[自然な単射]]）を写像 {{mvar|f}} の'''標準分解'''{{sfn|松坂|1968|p=59}}と呼ぶ。<br />
<br />
== 写像の集合 ==<br />
{{main|配置集合}}<br />
{{mvar|X}} から {{mvar|Y}} への写像全体の成す集合は'''配置集合'''{{sfn|松坂|1968|p=38}} ({{lang-de-short|Belegungsmenge}}<ref>{{citation|title=Georg Cantor|author=Dauben|year=1990|url={{google books|id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|plainurl=yes}}|page=174}}</ref>) と呼ばれ、しばしば指数記法に従って {{mvar|Y{{sup|X}}}}（あるいは {{mvar|{{sup|X}}Y}}）と書かれる。圏論の言葉で言えば配置集合は[[集合の圏|集合と写像の圏]]の[[冪対象|指数]]である。配置集合は <math>[X \to Y],\ \mathcal{F}(X,Y),\ \operatorname{Map}(X,Y)</math> とも書かれる。 <br />
<br />
* [[濃度 (数学)|濃度]]の冪は配置集合の濃度と定義される: {{math|{{abs|''B''{{sup|''A''}}}} {{=}} {{abs|''B''}}{{sup|{{abs|''A''}}}}. <ref>{{citation|title=Georg Cantor|author=Dauben|year=1990|url={{google books|id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=exponentiation|plainurl=yes}}|page=174}}</ref><br />
<br />
[[カリー化]] {{math|{{sup|''A''&times;''B''}}''C''}} → {{sup|''A''}}({{sup|''B''}}''C'')}} は<br />
: <math>f \mapsto g \quad (C\ni f(a,b) = g(a)(b);\; g: A \to [B\to C])</math><br />
のように二変数写像をある種一変数化する、配置集合の間の同型である。<br />
<br />
==写像の相等==<br />
写像 <math>f, g \in \mathcal{F}(X,Y)</math> の間の相等関係 <math>=</math> は次のように定義される：<br />
<center><math>f=g\ :\Leftrightarrow\ f(x)=g(x)\quad \forall\ x \in X.</math></center><br />
<br />
集合論では，定義域の相等と同じ元に対する像の相等のみ要求して，終域の相等は要求しない<ref>{{harvnb|Kunen|1980|p=14}}</ref>．<br />
<br />
一方，圏論の用語と整合性をとる文脈では「定義域」「終域」「同じ元に対する像の相等」によって写像の相等を特徴づける．このような文脈では，定義域と終域を特定せずに勝手に選んだ写像 <math>\varphi \colon X \to Y,\ \psi \colon Z \to W</math> については，<br />
<center><math>\varphi = \psi\ :\Leftrightarrow\ X=Z,\ Y=W,\ \varphi(x)=\psi(x)\quad \forall\ x \in X</math></center><br />
と定義される（<math>x \in X</math> に対して <math>\psi(x)</math> が定まることは <math>X=Z</math> より従う）．<br />
<br />
===例===<br />
<math>f \colon [0,2\pi) \to [-1,1],\ g \colon [0,2\pi) \to \mathbb{R}</math> を <math>f(x):=\sin x=:g(x)</math> と定義したとする．この <math>f,g</math> は写像として異なる．しかし， <math>g</math> の終域を像 <math>[-1,1]</math> に置き換えた写像 <math>g^* \colon [0,2\pi) \to [-1,1]</math> を考えると <math>f=g^{\ast}</math> となる．このように，'''終域を像に置き換えることによって等しくなる写像を，最初から等しいとみなしてしまおう'''，という考え方が，上で述べた「終域の相等」を要求しない定義に対応する．<br />
<br />
一方で，<math>f \colon [0,2\pi) \to [-1,1],\ h \colon [0,4\pi) \to [-1,1]</math> を <math>f(x):=\sin x=:h(x)</math> と定義したとする．この <math>f,h</math> も写像として異なるが， <math>h</math> の定義域を <math>[0,2\pi)</math> に制限した[[制限写像]] <math>h|_{[0,2\pi)} \colon [0,2\pi) \to [-1,1]</math> を考えると， <math>f=h|_{[0,2\pi)}</math> となる．このような，'''定義域の制限によって等しくなる写像は，等しくないと考える'''のが通例である．<br />
<br />
== 写像図式 ==<br />
{{main|可換図式}}<br />
複数の集合と写像を一度に扱う必要があるとき、図式や系列と呼ばれる道具を用いると記述が簡素になる。[[ホモロジー代数]]や[[圏論]]の文脈ではよく用いられる。写像の図式{{sfn|松坂|1968|p=296}}とは、いくつかの集合を頂点とし、それらの集合間の写像を有向辺にもつような[[グラフ (グラフ理論)|グラフ]]である。簡単な図式の例としては鎖 <math>A_1\stackrel{f_1}{{}\to{}}A_2\stackrel{f_2}{{}\to{}}A_3</math> や<br />
<gallery><br />
File:Morphism-Composition-with-name.svg|写像の合成: 可換三角形<br />
File:Commutative square.svg|可換矩形<br />
</gallery><br />
などを挙げることができる。任意の頂点から別の任意の頂点への写像が経路の取り方に依らないとき、図式は[[可換図式|可換]]であるという{{sfn|松坂|1968|p=297}}。例えば {{math|''h'' {{=}} ''g'' ∘ ''f''}} のとき図式<br />
: [[File:Morphism-Composition-with-name.svg|200px]]<br />
は可換であり、逆もまた成り立つ。<br />
<br />
== 一般化と応用 ==<br />
=== 部分写像 ===<br />
{{main|[[部分写像]]}}<br />
一般には、定義域と始域が異なる（値の定められていない始域の元が存在する）という場合も考え得る。集合 {{mvar|A}}, {{mvar|B}} の元の順序対からなる集合（すなわち[[二項関係]]）{{mvar|G{{sub|f}}}} が<br />
* '''右一意性''': {{math|(''x'', ''y''<sub>1</sub>) &isin; ''G''{{sub|''f''}}}} かつ {{math|(''x'', ''y''<sub>2</sub>) &isin; ''G''{{sub|''f''}}}} ならば {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''y''<sub>2</sub>}}<br />
をみたすとき {{mvar|G{{sub|f}}}} は {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への'''関数関係'''であると言われる。このとき、三つ組 {{math|''f'' :{{=}} (''A'', ''B'', ''G''{{sub|''f''}})}} をこの関数関係 {{mvar|G{{sub|f}}}} から定まる {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への部分写像と呼び{{efn|全域的でないものに限って部分写像と言っている場合もある。}}、{{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} で表す。部分写像 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} すなわち {{math|''G''{{sub|''f''}} &sube; ''A'' &times; ''B''}} の'''定義域''' {{math|dom(''f'')}} と'''値域''' {{math|ran(''f'')}} は次のように定義される：<br />
:<math> \operatorname{dom}(f) = \{x \mid \exists y ((x,y)\in G_f)\}\subseteq A,\quad \operatorname{ran}(f) = \{y \mid \exists x ((x,y)\in G_f)\}\subseteq B.</math><br />
<br />
写像の定義の際には課した関係の全域性は、部分写像 {{mvar|f}} の定義域 {{math|dom(''f'')}} が始域 {{mvar|A}} に一致することをいうものであり、全域的な部分写像を特に'''全域写像''' ({{lang|en|total mapping}}) と呼ぶ。すなわち、全域写像は写像の同義語である。{{efn|部分写像と全域写像を総称して写像と呼ぶ流儀もある。これは、定義域と始域の区別を重視しない立場であるということもでき、この立場で始域や定義域を区別せずに'''ドメイン''' {{lang|en|(domain)}}あるいは'''ソース'''{{lang|en|(source)}}と呼ぶこともある。}}<br />
<br />
=== 多変数・多価の写像 ===<br />
{{main|多変数函数|多価函数}}<br />
写像の多変数化による一般化を考えると、それは始域を何らかの[[直積集合]]に取り換えた通常の意味の写像として扱える。とくに一つの集合 {{mvar|M}} に対して {{math|''M'' &times; ''M'' &times;…&times; ''M'' → ''M''}} なる形の多変数写像は {{mvar|M}} の複数の元から別の新しい元を作り出す操作と見做して[[算法]]と呼ばれる{{sfn|松坂|1968|p=50}}。<br />
<br />
多値の函数の場合も終域を直積集合に取り換えた写像として定式化することができる場合もあり、例えば[[ベクトル値函数]] はスカラー値函数の直積として理解できる。しかし単純にそのように捉えることができない場合、あるいは捉えないほうがよい場合もある。例えば多価の複素[[解析函数]]は、分岐切断を超えてそれぞれの分枝の間に素性の良い関係性を記述することができ、適当な[[リーマン面]]上で定義された通常の函数と考えることが有効である。<br />
<br />
=== 射・函手 ===<br />
{{main|射 (圏論)|函手}}<br />
写像は[[集合の圏|集合と写像の圏]]における[[射 (圏論)|射]]であり、一般に{{仮リンク|具体圏|en|concrete category}}における射はある種の写像として与えられるが、一般の圏における射は必ずしも写像でない。<br />
<br />
圏の間の[[函手]]は、集合の間の写像と似た概念だが、対象同士の対応関係とともに対象間の射についても同時に対応関係を記述する。さらに、函手間の射として[[自然変換]]の概念が定式化される。<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{reflist|group="注釈"}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{div col}}<br />
{{reflist}}<br />
{{div col end}}<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{cite book|和書|author=ニコラ・ブルバキ|series=数学原論|title=集合論 要約|translator=前原昭二|year=1968}}<br />
* {{cite book |ref=harv |last=Halmos |first=Paul R. |year=1970 |title=Naive Set Theory |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-90092-6 |url=http://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC}}<br />
* {{cite book|和書|author=ジョン L. ケリ－|translator=児玉之宏|title=位相空間論|publisher=吉岡書店|year=1968}}<br />
* {{cite book |ref=harv |last=Kunen |first=Kenneth |year=1980 |title=Set Theory An Introduction to Independence Proofs|publisher=North-Holland |isbn=0-444-86839-9}}<br />
* {{citation|first=Serge|last=Lang|title=Linear Algebra|edition=2nd|year=1971|publisher=Addison-Wesley}}<br />
* {{Cite book<br />
| 和書<br />
| last1 = 松本<br />
| first1 = 幸夫<br />
| year = 1988<br />
| title = 多様体の基礎<br />
| series = 基礎数学5<br />
| publisher = 東京大学出版会<br />
| isbn = 978-4-13-062103-8<br />
| ref = harv<br />
}}<br />
* {{cite book|和書|author=松坂和夫|title=集合・位相入門|publisher=岩波書店|year=1968|isbn=4-00-005424-4}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[射 (圏論)]]<br />
* [[列 (数学)]]<br />
* [[族 (数学)]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=Map|title=Map}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=Mapping|title=mapping}}<br />
* {{cite web|url=http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-MAT/TEACH/daisu-a.pdf|format=PDF|author=松本眞|title=代数系入門|publisher=広島大学 理学部数学科 松本研究室|year=2004|accessdate=2012年5月}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:しやそう}}<br />
[[Category:写像|*]]<br />
[[Category:集合の基本概念]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166マンハッタン距離2018-07-15T00:15:30Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div>[[Image:Manhattan distance bgiu.png|thumb|250px|right|マンハッタン距離の例: どの色のコースを辿っても同じ距離が決まっている]]<br />
'''マンハッタン距離'''（マンハッタンきょり、''Manhattan distance''）または'''''L''<sub>1</sub>-距離'''は、[[幾何学]]における[[距離空間|距離概念]]のひとつ。各座標の差（の絶対値）の総和を2点間の距離とする。<br />
<br />
[[ユークリッド幾何学]]における[[ユークリッド計量|通常の距離]]（[[ユークリッド距離]]）に代わり、この距離概念を用いた幾何学は'''タクシーの幾何''' (''taxicab geometry'') と呼ばれる。[[19世紀]]に[[ヘルマン・ミンコフスキー]]によって考案された。 <br />
<br />
== 定義 ==<br />
より形式的には、2点間の距離を[[直交]]する座標軸に沿って測定することで一般の <math>n</math> 次元空間において'''マンハッタン距離''' <math>d_1</math> が定義される。<br />
:<math>d_1(\mathbf{x},\mathbf{y}):=\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|.</math><br />
ただし、<math>\mathbf{x} := (x_1, x_2, ..., x_n), \mathbf{y} := (y_1, y_2, ..., y_n)</math> とおいた。例えば、[[平面]]上において座標 <math>(x_1, y_1)</math> に置かれた点 <math>P_1</math> と、座標 <math>(x_2, y_2)</math> に置かれた点 <math>P_2</math> 間のマンハッタン距離は<br />
:<math>|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|</math><br />
となる。<br />
<br />
== 例 ==<br />
マンハッタン距離は、'''都市ブロック距離'''（city block distance, 市街地距離）としても知られている。マンハッタン距離の名は、[[マンハッタン]]のような正方形のブロックに区分された都市で、自動車が運転される距離に由来する。ある角から東に 3 ブロック、北に 6 ブロックの位置にある角まで移動するには、いかなる経路を辿っても最低 9 ブロックを通過せねばならない。<br />
<br />
[[チェス]]では、[[ルーク]]にとってのマス間の距離はマンハッタン距離によって測られる（[[キング (駒)|キング]]・[[クイーン (駒)|クイーン]]や[[ビショップ]]は[[チェビシェフ距離]]を用いる）。<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:まんはつたんきより}}<br />
[[Category:距離空間]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166フビニの定理2018-07-05T13:07:25Z<p>210.149.174.166: </p>
<hr />
<div>[[数学]]において'''フビニの定理'''（フビニのていり、{{Lang-en-short|Fubini's theorem}}）とは、{{harvs|txt|authorlink= グイド・フビニ|first=Guido|last= Fubini|year=1907}} によって導入された、[[逐次積分]]による[[二重積分]]の計算が可能となるための条件に関する一結果である。すなわち、次のような計算が可能となる：<br />
: <math>\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y).</math><br />
この結果、{{仮リンク|積分の順序|en|Order of integration (calculus)}}は逐次積分において変えることが可能となる。フビニの定理は、ある二変数函数が可積分であれば、上記のような二回の繰り返しの積分は等しいことを意味する。{{harvs|txt|first=Leonida|last=Tonelli|authorlink=レオニダス・トネリ|year=1909}} によって導入された'''トネリの定理'''（Tonelli's theorem）も同様のものであるが、その定理が適用される函数は可積分ではなくとも非負であればよい。<br />
<br />
== 歴史 ==<br />
<br />
フビニの定理の特別な場合として、実ベクトル空間の閉有界部分集合の積上の連続函数に対する定理は、18世紀にオイラーによって知られていた。{{harvs|txt|last=Lebesgue|year=1904}} はこの結果を、ある区間の積上の有界可測函数へと拡張した。1906年にレヴィは、この定理は有界ではなくても可積分である函数に対して拡張されると予想し、フビニは1907年にそれが事実であることを証明した。<br />
<br />
== 積測度 ==<br />
<br />
''X'' と ''Y'' が測度を伴う測度空間であるなら、それらの積に関する[[積測度]]を定義するいくつかの自然な方法が存在する。<br />
<br />
測度空間の（[[圏論]]の意味での）積 ''X''&times;''Y'' は、それらの可測な部分集合の積 ''A''&times;''B'' によって生成される[[完全加法族|σ代数]]をその可測集合として持つ。''X''&times;''Y'' 上の測度 μ は、可測部分集合 ''A'' および ''B'' に対して μ(''A''&times;''B'')=μ(''A'')μ(''B'') を満たすとき、'''積測度'''と呼ばれる。一般に ''X''&times;''Y'' 上には多くの異なる積測度が存在しうる。フビニの定理とトネリの定理はいずれも、この問題を解決するための技術的な条件を必要としている。その最も一般的な方法として、すべての可測空間は σ-有限であると仮定する方法がある。この場合、''X''&times;''Y'' 上の積測度は唯一つとなる。また、可測集合の測度が、可測集合の積の可算個の合併であるような集合の測度の下限で与えられる場合、''X''&times;''Y'' 上には常に唯一つの極大積測度（maximal product measure）が存在する。その極大積測度は、可測集合の積によって生成される集合の環上で μ(''A''&times;''B'')=μ(''A'')μ(''B'') を満たすような加法的函数 μ に対して[[カラテオドリの拡張定理]]を適用することで構成できる。<br />
<br />
二つの[[完備距離空間]]の積は通常、完備ではない。例えば、単位区間 ''I'' 上の[[ルベーグ測度]]の積は、平方 ''I''&times;''I'' 上のルベーグ測度ではない。完備測度に対するフビニの定理の変化版も存在し、そこでは不完備な測度の積の代わりにその積の完備化が用いられる。<br />
<br />
== 可積分函数に対するフビニの定理 ==<br />
<br />
''X'' と ''Y'' を[[測度空間]]とし、''X&nbsp;&times;&nbsp;Y'' を与えられた極大積測度（''X'' と ''Y'' が σ-有限であるなら、それは唯一つの積測度となる）とする。フビニの定理では、''f(x,y)'' が ''X&nbsp;&times;&nbsp;Y'' 可積分であるなら、すなわち[[可測関数|可測]]かつ<br />
<br />
:<math>\int_{X\times Y} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty </math><br />
<br />
が有限であるなら、次が成立すると述べられている：<br />
<br />
:<math>\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,dy\right)dx=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,dx\right)dy=\int_{X\times Y} f(x,y)\,d(x,y).</math><br />
<br />
この式のはじめの二つの積分は、それぞれ二つの測度に関する逐次積分であり、三つ目の積分はそれら二つの測度の極大積に関する積分である。上記に現れる各偏積分 <math>\textstyle\int_Y f(x,y)\,dy, \int_X f(x,y)\,dx</math> は至る所で定義されている必要はない。実際、それらが定義されない点は測度 0 の集合を構成するため、このことは問題とならない。<br />
<br />
上述の、絶対値に関する積分が有限でないなら、上式の二つの逐次積分は実際に異なる値を取りうる。そのような可能性については、後述の内容を参照されたい。<br />
<br />
フビニの定理はしばしば、''X'' と ''Y'' は σ-有限であるという仮定が初めから置かれ、そのような場合、積測度は極大であるという仮定は必要なくなる（実際、極大積測度が唯一つの積測度となるため）。空間が σ-有限でないなら、フビニの定理が成立しないような異なる積測度が存在する可能性もある。例えば、ある積測度と非負可測函数 ''f'' に対して、|''f''| の二重積分はゼロとなるが二つの逐次積分は異なる値となることが起こり得る（後述の、反例に関する節を参照）。ある非極大積測度に対するフビニの定理の技巧的な一般化も存在する。このことについては {{harv|Fremlin|2003}} を参照されたい。トネリの定理およびフビニ＝トネリの定理は、非 σ-有限空間上では極大積測度に対してでさえも成立しないことがある。しかし実際の場合、フビニの定理を使う対象となるほとんど全ての測度空間は、σ-有限である。<br />
<br />
== 非負函数に対するトネリの定理 ==<br />
<br />
（{{仮リンク|レオニダス・トネリ|en|Leonida Tonelli}}の名にちなむ）'''トネリの定理'''（Tonelli's theorem）は、フビニの定理の後継となる定理である。トネリの定理の結論はフビニの定理のものと同一であるが、フビニの定理の ''|f|'' の積分が有限であるという仮定は、''f'' が非負であるという仮定に置き換えられる。<br />
<br />
トネリの定理では、(''X'', ''A'', μ) と (''Y'', ''B'', ν) が {{仮リンク|σ-有限測度|label= σ-有限測度空間|en|Sigma-finite measure}}であり、''X×Y'' から [0,∞] への函数 ''f'' が非負かつ可測であるなら、次が成立すると述べられている：<br />
<br />
: <math>\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y).</math><br />
<br />
トネリの定理の特別な場合として、<math>\sum_x \sum_y a_{xy}=\sum_y \sum_x a_{xy}</math> のような和の順序交換が挙げられる。ただし <math>a_{xy}</math> は全ての ''x'' および ''y'' に対して非負であるとする。トネリの定理の要点は、このような和の順序交換はたとえ級数が発散する場合でも成立する、ということである。実際、和の順序交換によって値が変わるような例は、<math>+\infty</math> および <math>-\infty</math> にそれぞれ発散する部分列が存在する場合にしか起こり得ないが、今回は全ての元は非負であるため、この可能性は除かれている。<br />
<br />
測度空間は σ-有限であるという条件が無い場合、上述の三つの積分がそれぞれ異なる値を取ることも起こり得る。何人かの研究者は、σ-有限でない測度空間に対するトネリの定理の一般化を与えているが、そのような一般化ではしばしば問題を σ-有限の場合に直ちに帰着させるような追加条件が与えられている。例えば、''A''&times;''B'' 上の σ-代数を、可測集合のすべての積によってではなく、有限測度の部分集合の積によって生成されるものと設定されることもあるが、これはその積から各要素 ''A'' および ''B'' への射影が可測ではないという望ましくない結果をもたらす。また他の例では、''f'' の台が有限測度の積の可算個の合併に含まれるという条件が加えられている。{{harvtxt|Fremlin|2003}} は、トネリの定理のいくつかの非 σ-有限空間への拡張が与えられているが、それは幾分技術的なものである。そのような一般化はどれも、抽象的な測度論の範疇を超えた点において意義深い応用例が見つかっているものではなく、実際の興味あるほとんど全ての測度空間は σ-有限である。<br />
<br />
== フビニ＝トネリの定理 ==<br />
<br />
フビニの定理とトネリの定理を組み合わせることで、フビニ＝トネリの定理（しばしばフビニの定理と省略して呼ばれる）が得られる。その定理では、''X'' と ''Y'' が {{仮リンク|σ-有限測度|en|σ-finite measure}}であり、''f'' は以下の三つの積分<br />
:<math>\int_X\left(\int_Y |f(x,y)|\,\text{d}y\right)\,\text{d}x,</math><br />
:<math>\int_Y\left(\int_X |f(x,y)|\,\text{d}x\right)\,\text{d}y,</math><br />
: <math>\int_{X\times Y} |f(x,y)|\,\text{d}(x,y)</math><br />
<br />
のいずれかが有界であるような可測函数であるなら、次の等式が成立することが述べられている：<br />
: <math>\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y).</math><br />
<br />
上述の条件式における ''f'' の絶対値は、''f'' の正あるいは負の部分で置き換えることが出来る。非負函数の負の部分はゼロであり、積分は有限となることから、そのような置き換えはトネリの定理を含むものであることが分かる。非公式的に、それらの条件が満たされるなら ''f'' の二重積分は（無限となることもあるが）well defined と呼ばれる。<br />
<br />
フビニの定理に対してフビニ＝トネリの定理を用いることの利点は、絶対値 |''f''| の逐次積分は二重積分よりも容易に研究できることがあることである。フビニの定理におけるように、単一の積分は測度 0 の集合上で定義されないこともある。<br />
<br />
== 完備測度に対するフビニの定理 ==<br />
<br />
上述のフビニおよびトネリの定理は、ルベーグ測度を伴う実数直線 '''R''' 同士の積の上での積分に対して適用できないという厄介な問題がある。これは、'''R'''&times;'''R''' 上のルベーグ測度は '''R''' 上のルベーグ測度同士の積とは異なり、その完備化であるという点から生じる問題である。一般に二つの完備測度空間 ''X'' と ''Y'' の積は、完備ではない。この理由により、完備測度に対するフビニの定理の変形版がしばしば用いられる。大雑把に言うと、すべての測度をその完備化で置き換えるということである。上述のものと似たフビニの定理の変形版は多く存在するが、それらには以下のようないくつかの小さな差異が見られる：<br />
* 二つの測度空間の積 ''X''&times;''Y'' を取る代わりに、ある測度の完備化を取る。<br />
* ''X''&times;''Y'' の完備化の上で ''f'' が可測であるなら、その垂直あるいは水平直線への制限は、それらの直線内の測度 0 の部分集合に対して非可測となることがある。したがってそのような垂直あるいは水平に対する積分は、非可測な函数の積分も含むため、測度 0 の集合上では定義されない可能性も許す必要がある。可積分ではない函数は定義されていないため、このことによってわずかな差異が生じる。 <br />
* 一般に、''X'' と ''Y'' 上の測度は完備であることが仮定される。そうでなければ、垂直あるいは水平直線に沿った二つの部分積分は well-defined であるが可測でないという場合が起こり得る。例えば ''f'' を、測度 0 の集合を含むようなある可測集合と非可測集合の積に関する特性函数とする。このとき、その積分は至る所で well-defined であるが、非可測である。<br />
<br />
== 証明 ==<br />
<br />
フビニおよびトネリの定理の証明は、σ-有限性に関連する仮定を用いるため、必然的に幾分技巧的なものとなる。ほとんどの証明では、以下に述べるような徐々に複雑になっていく函数に対して定理の成立を示すことで、最終的にすべてを示す方針を採っている。<br />
<br />
* 手順１：積上の測度は積測度であるという事実を使って、長方形区間上の特性函数に対して定理を証明する。<br />
* 手順２：空間が σ-有限であるという条件（あるいはそれに関連する条件）を使って、可測集合上の特性函数に対して定理を証明する。<br />
* 手順３：函数が可測であるという条件を使って、単函数（有限個の値のみを取る函数。手順２の函数の有限の線型結合である）近似により正の可測函数に対して定理を証明する。これによって、トネリの定理は証明される。<br />
* 手順４：函数が可積分であるという条件を使って、その函数を二つの正の可積分函数の差で表し、それぞれに対してトネリの定理を用いる。これによって、フビニの定理が証明される。<br />
<br />
== 反例 ==<br />
<br />
次の例では、フビニの定理およびトネリの定理のいくつかの仮定が満たされないとき、どのようにして定理が成立しないかを示す。<br />
<br />
=== σ-有限空間でない場合にトネリの定理が成立しないこと ===<br />
<br />
''X'' はルベーグ可測集合とルベーグ測度を伴う単位区間とし、''Y'' は数え上げ測度を伴う単位区間でそのすべての部分集合は可測であるものとする。したがって ''Y'' は σ-有限ではない。''f'' が ''X''&times;''Y'' の対角についての特性函数であるなら、''f'' の ''X'' に沿った積分は ''Y'' 上の函数 0 となるが、''Y'' に沿った積分は ''X'' 上の函数 1 となる。したがって二つの逐次積分の値は異なるものとなる。このことは、積測度がどのように選ばれたとしても、σ-有限でない空間に対してはトネリの定理は成立しないことを意味する。その測度はいずれも[[分解可能測度|分解可能]]であり、トネリの定理は（σ-有限測度よりもやや一般的である）分解可能測度に対しては成立しないことが示される。<br />
<br />
=== 非極大積測度に対してフビニの定理が成立しないこと ===<br />
<br />
たとえ σ-有限でない空間であっても、極大積測度が用いられるなら、フビニの定理は成立する。実際、上記の例において極大積測度を考えると、対角は無限測度を持ち、したがって |''f''| の二重積分は無限大となるため、（空虚な意味で）フビニの定理は成立する。しかし ''X''&times;''Y'' を、測度の集合がその水平区分のルベーグ測度の和であるような積測度とするとき、|''f''| の二重積分はゼロであるが、二つの逐次積分の値は依然として異なるものであり得る。これはフビニの定理が成立しないような積測度の例である。<br />
<br />
このことにより、二つの測度空間の同一の積上の異なる二つの積測度の例が得られた。二つの σ-有限測度空間の積として、唯一つの積測度が存在する。<br />
<br />
=== 非可測函数に対してトネリの定理が成立しないこと ===<br />
<br />
''X'' は第一非可算順序数で、可測集合が（測度 0 で）可算であるか、可算個の（測度 1 の）補集合であるような有限測度を伴うものとする。''X''&times;''X'' の（非可測な）部分集合 ''E'' を ''x''<''y'' を満たすペア (''x'',''y'') で与えると、それはすべての水平直線上で可算であり、すべての垂直直線上に可算個の補集合を持つ。''f'' を ''E'' の特性函数とすると、''f'' の二種類の逐次積分が定義され、それらは 1 と 0 という異なる値を取る。この函数 ''f'' は非可測であるため、これはトネリの定理が非可測函数に対して成立しない例となる。<br />
<br />
=== 非可測函数に対してフビニの定理が成立しないこと ===<br />
<br />
上の例の変形版として、たとえ |''f''| が可積分でいずれの逐次積分が well-defined であっても、非可測であればフビニの定理が成立しないことがあるという例を以下に挙げる：''f'' は ''E'' 上で 1 であり、''E'' の補集合上で -1 とする。このとき |''f''| はその直積空間上で積分 1 となり可積分であるが、well-defined である各逐次積分の値はそれぞれ 1 と -1 となり、異なる。<br />
<br />
[[連続体仮説]]を考えることで、''X'' を単位区間 ''I'' と見なすことが出来、二つの（ルベーグ測度による）逐次積分は定義されるが等しくないような ''I''&times;''I'' 上の有界非負函数が存在することが分かる。この例は {{harvs|txt|last=Sierpiński|year=1920}} によって発見された。ルベーグ測度を伴う二つの単位区間の積上に対するフビニの定理のより強い結果において、函数はもはや可測である必要はなく、二つの逐次積分が well-defined で存在していればよいが、その結果は標準的な[[集合論]]の{{仮リンク|ツェルメロ＝フレンケルの集合論|label=ツェルメロ＝フレンケルの公理|en|Zermelo–Fraenkel set theory}}とは独立なものである。連続体仮説と[[マーティンの公理]]はいずれも、逐次積分の値が異なるような単位正方形上の函数が存在することを意味するが、{{harvs|txt|last=Friedman|year=1980}} は、それは[[公理的集合論|ZFC]]と一致し、[0,&nbsp;1] に対する強フビニ型定理が成立し、二つの逐次積分が存在するならそれらは等しくなることを示した。[[ZFCから独立な命題の一覧]] を参照。<br />
<br />
=== 非可積分函数に対してフビニの定理が成立しないこと ===<br />
<br />
フビニの定理によれば、（σ-有限測度空間の積上の可測函数に対して）絶対値の積分が有限であるなら、積分の順序は問題にならない。すなわち、はじめに ''x'' について積分し、続いて ''y'' について積分すれば、はじめに ''y''、続いて ''x'' について積分したものと同じ結果が得られる。絶対値の積分は有限であるという仮定は、[[ルベーグ積分|ルベーグ可積分性]]であり、この仮定が無いと二つの逐次積分は異なる値を取り得る。<br />
<br />
逐次積分が一般に異なる値を取る簡単な例として、二つの測度空間を正の整数として定め、函数 ''f''(''x'',''y'') は ''x''=''y'' なら 1、''x''=''y''+1 なら -1、それ以外なら 0 となるものが挙げられる。このとき二つの逐次積分はそれぞれ 0 と 1 という異なる値を取る。<br />
<br />
他の例として、次の函数が考えられる：<br />
:<math>\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\arctan(y/x).</math><br />
<br />
このとき[[二重積分|逐次積分]]は<br />
<br />
:<math>\int_{x=0}^1\left(\int_{y=0}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\frac{\pi}{4}</math><br />
<br />
および<br />
<br />
:<math>\int_{y=0}^1\left(\int_{x=0}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=-\frac{\pi}{4}</math><br />
<br />
となり、異なる値となる。対応する二重積分は[[絶対収束]]（言い換えると、[[絶対値]]を取った積分は有限でない）しない。すなわち、<br />
<br />
:<math>\int_0^1\int_0^1 \left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\,\text{d}y\,\text{d}x=\infty </math><br />
<br />
となる。<br />
<br />
== クラトフスキ＝ウラムの定理 ==<br />
<br />
ポーランドの数学者[[カジミェシュ・クラトフスキ]]と[[スタニスワフ・ウラム]]の名にちなむクラトフスキ＝ウラムの定理は、任意の[[第二可算的空間|第二可算的]][[ベール空間]]に対する同様の結果であり、「圏に対するフビニの定理」とも呼ばれている。''X'' と ''Y'' を第二可算的ベール空間（あるいは特に、[[ポーランド空間]]）とし、<math>A\subset X\times Y</math> とする。このとき、''A'' が[[ベールの性質]]を持つものであるなら、以下の二つの条件は同値である：<br />
<br />
# ''A'' は{{仮リンク|痩集合|en|meagre set}}（meagre set）。<br />
# 集合 <math>\{ x \in X :A_x \text{ is meagre in } Y \}</math> は X 内の補痩集合（comeagre set）。ただし <math>A_x=\pi_Y[A\cap \lbrace x \rbrace \times Y]</math> であり、<math>\pi_Y</math> は Y の上への射影。<br />
<br />
各条件の痩集合はそれぞれ補痩集合に代えても成立する。仮に A がベールの性質を持たないとしても、条件２は条件１より従う<ref>S. Srivastava ''A course on Borel sets''. Springer, 1998, p. 112.</ref>。この定理は、任意のハウスドルフ空間 X および可算 n-基を持つハウスドルフ空間 Y に対しても（空虚な意味であることもあるが）成立する。<br />
<br />
この定理は、考えている函数がある積空間の集合の特性函数である場合の通常のフビニの定理と類似なものである。その場合、痩集合は測度 ０ の集合、補痩集合は全測度（full measure）の集合、ベールの性質を持つ集合は可測集合に対応する。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[カヴァリエリの原理]]（フビニの定理の特別な場合）<br />
* {{仮リンク|余面積公式|en|Coarea formula}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
{{reflist}}<br />
*{{citation|MR=1897317 |last=DiBenedetto|first= Emmanuele<br />
|title=Real analysis|series=Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher|publisher= Birkhäuser Boston, Inc.|place= Boston, MA|year= 2002|ISBN= 0-8176-4231-5}} <br />
*{{citation|MR=2462280|last=Fremlin|first= D. H.<br />
|title=Measure theory|volume= 2 <br />
|publisher=Torres Fremlin|place= Colchester|year=2003 |ISBN=0-9538129-2-8 }}<br />
*{{citation |first=Wacław |last=Sierpiński |year=1920 |title=Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=1 |issue=1 |pages=112&ndash;115 |url=https://eudml.org/doc/212592 }}<br />
*{{citation |first=Harvey |last=Friedman |year=1980 |title=A Consistent Fubini-Tonelli Theorem for Nonmeasurable Functions |journal=Illinois J. Math. |volume=24 |issue=3 |pages=390&ndash;395 |mr=573474|url=http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256047607 }}<br />
*{{citation|first=G. |last=Fubini|title=Sugli integrali multipli|journal=Rom. Acc. L. Rend. (5)|volume= 16|issue=1|pages= 608-614 |year=1907| |ZBL =38.0343.02}} Reprinted in {{citation|first=G. |last=Fubini|title= Opere scelte |volume= 2 |publisher= Cremonese |year=1958|pages= 243–249}}<br />
*{{citation|last=Lebesgue|year=1904|title=Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives|publisher=Gauthier-Villars|place=Paris|url=https://archive.org/details/leconegrarecher00leberich}}<br />
*{{citation|first=L.|last=Tonelli|title= Sull'integrazione per parti|journal=Atti della Accademia Nazionale dei Lincei (5) |volume=18|issue=2 |year=1909|pages=246-253}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{SpringerEOM|title=Fubini theorem |id=F/f041870 |first=L.D. |last=Kudryavtsev}}<br />
* {{citation | last = Teschl| first = Gerald| authorlink = :en:Gerald Teschl| title = Topics in Real and Functional Analysis| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html|publisher = (lecture notes)}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ふひにのていり}}<br />
[[Category:測度論の定理]]<br />
[[Category:微分積分学の定理]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>210.149.174.166 Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46