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http:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=2001%3ACE8%3A96%3A1%3A7C65%3AFD47%3AA4D5%3AB9A&feedformat=atom 2024-04-18T12:07:54Z 利用者の投稿記録 MediaWiki 1.31.0 2017-02-18T01:03:00Z

<p>2001:CE8:96:1:7C65:FD47:A4D5:B9A: </p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;開立法&#039;&#039;&#039;（かいりつほう、かいりゅうほう、&#039;&#039;extraction of cubic root&#039;&#039;）は、[[正の数と負の数|正]]の[[実数]]の[[立方根]]の[[小数]]による[[近似値]]を求める方法の1つである。&#039;&#039;&#039;開立&#039;&#039;&#039;とも。立方根を求めることを&#039;&#039;&#039;開立する&#039;&#039;&#039;という。[[開法]]の一種。<br /> <br /> == 立方九九 ==<br /> 開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。<br /> {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center;&quot;<br /> |+ 表:立方九九<br /> |-<br /> | 計算 || 暗唱方法<br /> |-<br /> | &lt;math&gt;1^3=1&lt;/math&gt; || いんいちがいち <br /> |-<br /> | &lt;math&gt;2^3=8&lt;/math&gt; || ににんがはち<br /> |-<br /> | &lt;math&gt;3^3=27&lt;/math&gt; || さざんにじゅうしち <br /> |-<br /> | &lt;math&gt;4^3=64&lt;/math&gt; || ししろくじゅうし<br /> |-<br /> | &lt;math&gt;5^3=125&lt;/math&gt; || ごごひゃくにじゅうご<br /> |-<br /> | &lt;math&gt;6^3=216&lt;/math&gt; || ろくろくにひゃくじゅうろく<br /> |-<br /> | &lt;math&gt;7^3=343&lt;/math&gt; || しちしちさんびゃくしじゅうさん<br /> |-<br /> | &lt;math&gt;8^3=512&lt;/math&gt; || はっぱごひゃくじゅうに<br /> |-<br /> | &lt;math&gt;9^3=729&lt;/math&gt; || くくななひゃくにじゅうく <br /> |}<br /> <br /> == 近似計算法 ==<br /> === 計算式(1) ===<br /> 開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。<br /> :&lt;math&gt; (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3} &lt;/math&gt;<br /> ここで、&lt;math&gt;a \gg b&lt;/math&gt;とすると、<br /> :&lt;math&gt; (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b &lt;/math&gt;<br /> :&lt;math&gt; b = \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}} &lt;/math&gt;<br /> である。両辺に&#039;&#039;a&#039;&#039;を加えて、<br /> :&lt;math&gt; a + b = a + \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}} &lt;/math&gt;<br /> となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の &lt;math&gt;(a+b)^{3}&lt;/math&gt;を与えられた数として扱う。<br /> ただし、&lt;math&gt;a^{3}&lt;/math&gt;は与えられた数に最も近い完全立方数である。<br /> <br /> === 計算式(2) ===<br /> また、<br /> :&lt;math&gt; (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b + 3ab^{2} - b^{3} &lt;/math&gt;<br /> を用いて、&lt;math&gt; a \gg b &lt;/math&gt;として、<br /> :&lt;math&gt; (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b &lt;/math&gt;<br /> :&lt;math&gt; b = \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}} &lt;/math&gt;<br /> である。したがって、<br /> :&lt;math&gt; a - b = a - \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}} &lt;/math&gt;<br /> この式の左辺を近似立方根、右辺の &lt;math&gt;(a-b)^{3}&lt;/math&gt;を与えられた数として扱う。<br /> ただし、&lt;math&gt;a^{3}&lt;/math&gt;は与えられた数に最も近い完全立方数である。<br /> <br /> === 近似計算法を用いた計算例 ===<br /> :&lt;math&gt; \sqrt[3]{1361} &lt;/math&gt;<br /> ::&lt;math&gt; \sqrt[3]{1000}=10,~ \sqrt[3]{1331}=11,~ \sqrt[3]{1728}=12 &lt;/math&gt; と &lt;math&gt; \sqrt[3]{1361} &lt;/math&gt; に近い数を求めると、&lt;math&gt; \sqrt[3]{1331} &lt;/math&gt; が最も近い数であることがわかる。<br /> ::計算式(1)を用いて、&lt;math&gt;(a+b)^{3}=1361,~ a=11,~ a^{3}=1331&lt;/math&gt; として求める数 &lt;math&gt;a+b&lt;/math&gt; は、<br /> ::&lt;math&gt;a + b = 11+ \frac{1361 - 1331}{3 \times 11^{2}} = 11.08264463\cdots &lt;/math&gt;<br /> ::となる。電卓により計算すると、<br /> ::&lt;math&gt; \sqrt[3]{1361} \fallingdotseq 11.08203137\cdots &lt;/math&gt;<br /> ::であり近似計算できることがわかる。<br /> <br /> == 珠算による開立法 ==<br /> === 根の定位 ===<br /> * 立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。<br /> * 立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。<br /> * 立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。<br /> <br /> === 倍根法 ===<br /> 例: &lt;math&gt; \sqrt[3]{314432}=68 &lt;/math&gt;<br /> {| style=&quot;text-align:center; border-style:hidden&quot;<br /> |{{そろばん|314432}}<br /> | 立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。（根の定位による。）<br /> |-<br /> |{{そろばん|600314432}}<br /> | 最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗（&lt;math&gt;6^3=216&lt;/math&gt;）を314から引く。<br /> |-<br /> |{{そろばん|1800600098432}}<br /> | 初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を、初根6の右４けために商を得るけたまで割る。<br /> |-<br /> |{{そろばん|1800605460152}}<br /> | 54を初根6で割って次根8を求める。<br /> |-<br /> |{{そろばん|1800680660152}}<br /> | 8×1=8を引く。 次根8の2乗（&lt;math&gt;8^2=64&lt;/math&gt;）を66から引く。 <br /> |-<br /> |{{そろばん|1800680020152}}<br /> | 残った2に左の18を掛ける。（余りのかけ戻し） <br /> |-<br /> |{{そろばん|1800680000512}}<br /> | 次根8の3乗（&lt;math&gt;8^3=512&lt;/math&gt;）を引く。<br /> |-<br /> |{{そろばん|1800680000000}}<br /> | 立方根は68である。<br /> |-<br /> |}<br /> <br /> == 電卓による開立法 ==<br /> [[関数電卓]]でない普通の[[電卓]]でも、開平を行う{{keypress|√}}キーさえあれば立方根を求めることができる。<br /> * まず与えられた数を入力し、{{keypress|×}}{{keypress|{{=}}}}の順にキーを押す。ただし[[カシオ計算機|カシオ]]の電卓に限り、{{keypress|×}}{{keypress|×}}と押す（定数計算モードを示す「K」が表示される）。<br /> * {{keypress|√}}{{keypress|√}}と押す。このときに表示された数値の末尾数桁を記憶しておく。<br /> * 次に{{keypress|{{=}}}}を押す。定数計算により、表示された数に最初の数が掛けられる。<br /> * また{{keypress|√}}{{keypress|√}}と押す。表示された数値の末尾数桁が先程と同じ数値であれば、その数値が立方根となる。同じでなければ前項に戻って繰り返す。<br /> <br /> == 関連項目 ==<br /> * [[開平法]]<br /> <br /> [[Category:算術|かいりつほう]]<br /> [[Category:初等数学|かいりつほう]]<br /> [[Category:数学に関する記事|かいりつほう]]<br /> <br /> == 外部リンク ==<br /> * [http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm 平方根・立方根を筆算で求める方法]</div>

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