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<hr />
<div>{{出典の明記|date=2015年11月13日 (金) 14:26 (UTC)}}<br />
[[Image:Fermat_Point.svg|thumb|フェルマー点]]<br />
'''フェルマー点'''（フェルマーてん、'''トリチェリ点'''・'''等角中心'''とも呼ばれる）は、[[三角形]]の3つの[[頂点]]からの距離の合計が最小になる点である。[[ピエール・ド・フェルマー|フェルマー]]が私信の中でこの問題に触れたことから彼の名がつけられている。<br />
<br />
== 作図 ==<br />
フェルマー点は以下のように求められる。<br />
#三角形の3辺に対し、それぞれを1辺とする[[正三角形]]を三角形の外側に描く。<br />
#元の三角形の１つの頂点と，その向かい合う 元の三角形の辺を一辺とする正三角形の頂点のうち，もとの三角形と共有しない頂点とを結ぶ。<br />
#2.の3直線が交わる点がフェルマー点である。<br />
<br />
1.の正三角形をそれぞれ三角形と同じ側に描いても、2.の直線は1点で交わる。この点を第2フェルマー点という。<br />
<br />
== フェルマー点の特徴 ==<br />
[[Image:Fermat_Point_Proof.svg|thumb]]<br />
<br />
* 120度以上の角を持たない三角形において、3頂点からの距離の合計が最も小さくなる点である。<br />
** 120度以上の角を持つ三角形の場合、最も大きい角を持つ頂点がこの性質を満たす。<br />
* 120度以上の角を持たない三角形の場合、フェルマー点 ''F'' は三角形の内部にあり、∠AFB=∠BFC=∠CFA=120度 を満たす。<br />
* 作図の項で描いた3つの正三角形の[[外接円]]はフェルマー点で交わる。<br />
** 上であげた3つの外接円の中心は正三角形を描く（[[ナポレオンの定理]]）。<br />
* フェルマー点から3辺に下ろした[[垂線]]の足は正三角形となる。<br />
* フェルマー点・[[外心]]・[[九点円]]の中心・第2フェルマー点は同一円周上にある。この円を[[レスターの定理|レスター円]]という。<br />
<br />
== 歴史 ==<br />
フェルマー点に関する問題は、[[ピエール・ド・フェルマー|フェルマー]]が[[エヴァンジェリスタ・トリチェリ|トリチェリ]]への私信の中で出題している（このことからこの問題を「トリチェリの問題」という）。トリチェリはフェルマーと似たような方法（頂点を結ぶ直線ではなく外接円の交点を利用している）で解を求めている。トリチェリの弟子であった[[ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニ|ヴィヴィアーニ]]が1659年に解を発表している。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
{{Div col}}<br />
* [[キーペルト双曲線]]<br />
* [[三角形の中心]]<br />
* [[ナポレオンの定理]]<br />
{{Div col end}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{高校数学の美しい物語|title=三角形のフェルマー点の3通りの証明|urlname=fermat}}<br />
* {{MathWorld|title=Fermat Points|urlname=FermatPoints}}<br />
* {{MathWorld|title=First Fermat Point|urlname=FirstFermatPoint}}<br />
* {{MathWorld|title=Second Fermat Point|urlname=SecondFermatPoint}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ふえるまあてん}}<br />
[[Category:初等幾何学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>2001:268:C03E:5484:48FA:DD15:CDB:ECCE Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46