Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
http:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=125.9.201.214&feedformat=atom
miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-05-04T05:43:44Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
行列の階数
2018-08-05T02:24:21Z
<p>125.9.201.214: ｒｖｖ58.98.195.214 (会話) による ID:69465020 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2017年7月}}<br />
[[線型代数学]]における[[行列]]の'''階数'''（かいすう、{{lang|en|''rank''}}; '''ランク'''）は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す[[線型方程式系]]および[[線型変換]]がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。<br />
<br />
例えば、行列 {{mvar|A}} の階数 {{math|rank(''A'')}}（あるいは {{math|rk(''A'')}} または丸括弧を落として {{math|rank ''A''}}）は、{{mvar|A}} の[[列空間]]（列ベクトルの張るベクトル空間）の[[次元 (線型代数学)|次元]]<ref>Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359</ref>に等しく、また {{mvar|A}} の[[行空間]]の次元<ref name="mackiw">{{Citation | last= Mackiw | first= G. | title= A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix | year= 1995 | journal= [[Mathematics Magazine]] | volume= 68 | issue= 4 | ref= harv}}</ref>とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
任意の与えられた行列 {{mvar|A}} に対して以下は何れも互いに同値である<br />
* {{mvar|A}} の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（{{mvar|A}} の列空間の次元）<br />
* {{mvar|A}} の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（{{mvar|A}} の行空間の次元）<br />
* {{mvar|A}} に[[行列の基本変形|基本変形]]を施して[[階段行列]] {{mvar|B}} を得たとする。このときの {{mvar|B}} の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）<br />
* 表現行列 {{mvar|A}} の[[線型写像]]の像空間の[[次元]]。詳しくは[[#線型写像の階数]]を見られたし。<br />
* {{mvar|A}} の 0 でないような[[行列式#小行列式|小行列式]]の最大サイズ<br />
* {{mvar|A}} の[[特異値]]の数<br />
<br />
文献により、上記の条件の何れかを以って行列 {{mvar|A}} の階数は定義される。<br />
<br />
=== 注意 ===<br />
いま {{mvar|A}} の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、[[線型代数学の基本定理|線型代数学における基本的な結果]]の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に {{mvar|A}} の階数と呼ぶことができる。これについて、{{harvtxt|Wardlaw|2005}}<ref name="wardlaw">{{Citation | last= Wardlaw | first= William P. | title= Row Rank Equals Column Rank | year= 2005 | journal= [[Mathematics Magazine]] | volume= 78 | issue= 4 | ref= harv}}</ref> はベクトルの[[線型結合]]の基本性質に基づく短い証明を与えた（これは任意の[[可換体|体]]上で有効である）。また、{{harvtxt|Mackiw|1995}}<ref name="mackiw" />は[[実数]]体上の行列に対して有効な、[[直交性]]を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 {{harvtxt|Banerjee|Roy|2014}}<ref name="banerjee-roy">{{Citation | last = Banerjee | first = Sudipto | last2 = Roy | first2 = Anindya | date = 2014 | title = Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics | series = Texts in Statistical Science | publisher = Chapman and Hall/CRC | edition = 1st | isbn = 978-1420095388 | ref= harv}}</ref> に出ている。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
{{mvar|A}} を {{math|''m'' × ''n''}} 行列とする。また、 {{mvar|f}} を表現行列 {{mvar|A}} の線型写像とする<br />
=== 一般の体上 ===<br />
* {{math|''m'' × ''n''}} 行列の階数は[[非負整数]]で、{{mvar|m, n}} の何れも超えない。すなわち {{math|rank(''A'') &le; min(''m'', ''n'')}} が成り立つ。特に {{math|1=rank(''A'') = min(''m'', ''n'')}} のとき、{{mvar|A}} は'''最大階数'''（''full rank''; '''フルランク'''; '''充足階数'''、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくば{{mvar|A}} は{{ill2|階数落ち|en|rank deficient|preserve=1}} (rank deficient; 階数不足) であるという。 <br />
* {{mvar|A}} が[[零行列]]のときかつその時に限り {{math|1=rank(''A'') = 0}}.<br />
* {{mvar|f}} が[[単射]]となるための必要十分条件は、{{math|1=rank(''A'') = ''n''}}（これを {{mvar|A}} は'''列充足階数'''を持つという）となることである。<br />
* {{mvar|f}} が[[全射]]となるための必要十分条件は、{{math|1=rank(''A'') = ''m''}} となる（{{mvar|A}} が'''行充足階数'''を持つ）ことである。<br />
* {{mvar|A}} が[[正方行列]]（つまり {{math|1=''m'' = ''n''}}）のとき、{{mvar|A}} が[[正則行列|正則]]であるための必要十分条件は、{{mvar|1=rank(''A'') = ''n''}}（{{mvar|A}} が充足階数）となることである。<br />
* {{mvar|B}} を任意の {{math|''n'' × ''k''}} 行列として {{math|rank(''AB'') &le; min(rank(''A''), rank(''B''))}} が成り立つ。<br />
** {{mvar|B}} が行充足階数 {{math|''n'' × ''k''}} 行列ならば {{math|1=rank(''AB'') = rank(''A'')}} が成り立つ。<br />
** {{mvar|C}} が列充足階数 {{math|''l'' × ''m''}} 行列ならば {{math|1=rank(''CA'') = rank(''A'')}} が成り立つ。<br />
<br />
* {{math|1=rank(''A'') = ''r''}} となるための必要十分条件は、{{math|''m'' × ''m''}} 正則行列 {{mvar|X}} と {{math|''n'' × ''n''}} 正則行列 {{mvar|Y}} が存在して <math display="block">XAY =\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> が成立することである。ただし {{mvar|I{{sub|r}}}} は {{math|''r'' × ''r''}} [[単位行列]]である。<br />
* {{math|1=rank(''A'') = rank(''A''{{sup|⊤}})}}（ {{math|''A''{{sup|⊤}}}} は[[転置行列]]）<br />
* [[階数・退化次数の定理]]が成立<br />
<br />
; シルベスターの階数不等式: {{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{mvar|A}} と {{math|''n'' × ''k''}} 行列 {{mvar|B}} に対し <math display="block"><br />
\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B)<br />
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 階数–退化次数定理を不等式 <math display="block">\dim\ker(AB) \le \dim\ker(A) + \dim\ker(B)</math> に適用すればよい}}<br />
; フロベニウスの不等式: 行列の積 {{mvar|A, ABC, BC}} がいずれも定義されるとき、<math display="block"><br />
\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)<br />
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 写像 <math display="block">C\colon \ker(ABC) / \ker(BC) \to \ker(AB) / \ker(B)</math> は矛盾なく定義されて、単射である。したがって退化次数に対する不等式が得られるが、それを階数–退化次数定理で階数に関するものへ読み替えればよい。あるいは別法として、任意の部分線型空間 {{mvar|M}} に対し {{math|dim(''AM'') ≤ dim(''M'')}} が成り立つから、これを {{mvar|BC}} の像の {{mvar|B}} の像における（直交）補空間の定める部分空間（次元は {{math|rank(''B'') &minus; rank(''BC'')}}）を {{mvar|M}} として適用する。その {{mvar|A}} による像は次元 {{math|rank(''AB'') – rank(''ABC'')}} である。}}<br />
; 劣加法性: {{mvar|A, B}} は同じ型の行列として <math display="block">\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)</math> が成り立つ。この帰結として、{{nowrap|階数 {{mvar|k}}}} の行列は{{nowrap|階数 {{math|1}}}} の行列 {{mvar|k}} 個の和に書くことができ、また {{mvar|k}} 個より少ない{{nowrap|階数 {{math|1}}}}-行列の和には書けない。<br />
<br />
=== 特定の体上 ===<br />
* {{mvar|A}} が[[実数]]体上の行列であるとき、{{mvar|A}} の階数は対応する[[グラム行列]]の階数に等しい。すなわち、実行列 {{mvar|A}} に対し <math display="block">\operatorname{rank}(A^{\top}A) = \operatorname{rank}(AA^{\top}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^{\top})</math> が成り立つ。これは各々の[[核空間]]が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は {{math|1=''A''{{sup|⊤}}''Ax'' = 0}} となるベクトル {{mvar|x}} からなる。このときさらに {{math|1=0 = ''x''{{sup|⊤}}''A''{{sup|⊤}}''x'' = {{abs|''Ax''}}{{exp|2}}}} も成り立つ<ref>{{cite book| last = Mirsky| first = Leonid| title = An introduction to linear algebra| year = 1955| publisher = Dover Publications| isbn = 978-0-486-66434-7 }}</ref>。<br />
* {{mvar|A}} が[[複素数]]体上の行列であるとき、{{mvar|A}} の複素共軛行列を {{mvar|{{overline|A}}}}, [[随伴行列|共軛転置行列]]を {{mvar|A*}} と書けば、<math display="block"><br />
\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*)<br />
</math> が成り立つ。<br />
<br />
== 階数の計算 ==<br />
<br />
例えば、行列<br />
: <math><br />
M = <br />
\begin{pmatrix}<br />
4 & 2 & 1 \\<br />
5 & 4 & 1 \\<br />
1 & 2 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
</math><br />
は、[[行列の基本変形|基本変形]]を行うことによって<br />
: <math><br />
M \iff <br />
\begin{pmatrix}<br />
1 & 2 & 3 \\<br />
0 & 4 & 5 \\<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
</math><br />
と書けるから、{{mvar|M}} の階数は {{math|1=rank ''M'' = 2}} である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは[[線型独立]]でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、{{math|1=rank ''M'' = 2}} である。<br />
<br />
[[浮動小数点]]を用いたコンピューター上の[[数値計算]]においては、この基本変形を用いたり[[LU分解]]を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、[[特異値分解]]（SVD）や[[QR分解]]を用いて求められる。<br />
<br />
== 線型写像の階数 ==<br />
{{mvar|V, W}} をベクトル空間とし、線型写像 {{math|''f'': ''V'' &rarr; ''W''}} が与えられたとき、{{mvar|f}} の像 {{math|''f''(''V'')}} の次元を線型写像 {{mvar|f}} の'''階数'''と呼び、{{math|rk ''f''}} や {{math|rank ''f''}} などで表す。{{mvar|V}} や {{mvar|W}} は一般に無限次元であっても、像の次元 {{math|dim ''f''(''V'')}} が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに[[有限階作用素|階数有限なる線型写像]]には[[トレース]]が定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。<br />
<br />
{{mvar|V}} や {{mvar|W}} が有限次元ならば、行列表現によって {{mvar|f}} は表現行列 {{mvar|A{{sub|f}}}} の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には {{math|1=rank ''f'' = rank ''A{{sub|f}}''}} という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 {{mvar|A{{sub|f}}}} のとり方に依らない。<br />
<br />
ベクトル空間 {{mvar|V, W}} に対して {{mvar|V}} が {{mvar|n}} 次元とすれば、線型写像 {{math|''f'': ''V'' &rarr; ''W''}} の階数は {{mvar|n}} 以下である。実際に、{{math|1=rank ''f'' = ''n''}} となるとき、線型写像 {{mvar|f}} は'''非退化'''（ひたいか、{{en|''non-degenerate'', ''full rank''}}）であるという。そうでないときには、像 {{math|''f''(''V'')}} は {{mvar|f}} で {{math|0}} へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 {{mvar|f}} の[[零空間|核]]<br />
:<math>\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\} </math><br />
の次元 {{math|dim ker ''f''}} を {{mvar|f}} の'''退化次数'''と呼ぶ。{{mvar|f}} の退化次数を {{math|nl ''f''}} や {{math|null ''f''}} などで表すことがある。次の公式<br />
:<math> \dim V = \operatorname{rank} f + \operatorname{null}\, f. </math><br />
が成立し、'''階数と退化次数の関係式'''あるいは簡単に'''[[階数・退化次数の定理|階数・退化次数公式]]'''などと呼ばれる。<br />
<br />
== 注 ==<br />
{{脚注ヘルプ}}<br />
=== 注釈 ===<br />
{{notelist|30em}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{reflist|30em}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=MatrixRank|title=Matrix Rank}}<br />
* {{MathWorld|urlname=Nullity|title=Nullity|author=Barile, Margherita.}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=RankOfAMatrix|title=rank of a matrix}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=RankOfALinearMapping|title=rank of a linear mapping}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=ElementaryMatrixOperationsAsRankPreservingOperations|title=elementary matrix operations as rank preserving operations}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=DeterminingRankOfMatrix|title=determining rank of matrix}}<br />
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Rank_(Linear_Algebra)|title=Definition:Rank (Linear Algebra)}}<br />
<br />
{{Linear algebra}}<br />
{{DEFAULTSORT:きようれつのかいすう}}<br />
[[Category:行列|かいすう]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
順序対
2018-08-03T01:52:41Z
<p>125.9.201.214: en:Ordered pair 19:54, 18 May 2018 の一部</p>
<hr />
<div>[[数学]]における'''順序対'''（じゅんじょつい、{{lang-en-short|''ordered pair''}}）は、一口に言えば[[数学的対象|対象]]を「対」にしたものである。二つの対象 {{mvar|a, b}} の順序対をふつうは {{math|(''a'', ''b'')}} で表す。ここで、「順序」対において対象の現れる順番は重要であることに注意しなければならない、すなわち {{math|''a'' {{=}} ''b''}} でない限り {{math|(''a'', ''b'')}} という対と {{math|(''b'', ''a'')}} という対とが相異なる{{efn2|これに対して[[集合|'''非順序対''']] {{math|{{mset|''a'', ''b''}}}} は非順序対 {{math|{{mset|''b'', ''a''}}}} と常に等しい。[[集合]]および[[多重集合]]の項も参照のこと}}。<br />
<br />
順序対 {{math|(''a'', ''b'')}} において、対象 {{mvar|a}} を第一成分 (first entry, first component), 対象 {{mvar|b}} を第二成分 (second entry, second component) などと呼ぶ。場合によっては、第一、第二[[座標]]や、左射影・右射影ともいう。<br />
<br />
順序対のことを[[順序組|二つ組]]とか長さ {{math|2}} の[[列 (数学)|列]]（計算機科学方面では[[リスト (構造型)|リスト]]）とも呼ぶ。あるいは、[[スカラー (数学)|スカラー]]（数量）の順序対は二次元の[[数ベクトル|（数）ベクトル]]である。順序対の成分となる対象として、別の順序対を取ることもでき、それによって[[順序組|順序 {{mvar|n}}-組]]の再帰的定義が可能になる。例えば、順序三つ組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を、ひとつの対を別の対へ入れ子にした {{math|(''a'', (''b'', ''c''))}} として定義できる。<br />
<br />
[[直積集合]]やその部分集合である[[二項関係]]（これは[[対応 (数学)|対応]]と言っても同じであり、また従って当たり前のように目にする[[写像]]や[[函数]]もこれに含まれる）は順序対を用いて定義される。<br />
<br />
== 一般論 ==<br />
{{math|(''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>), (''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub>)}} をふたつの順序対とするとき、順序対の'''特徴づけ''' (''characteristic property'') あるいは'''定義性質''' (''defining property''）とは<br />
<br />
: {{math|(''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>) {{=}} (''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub>)}} となるのは {{math|''a''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>2</sub>}} かつ {{math|''b''<sub>1</sub> {{=}} ''b''<sub>2</sub>}} [[同値|のとき、かつそのときに限る]]<br />
<br />
というものである。第一成分が集合 {{mvar|X}} の元で、第二成分が集合 {{mvar|Y}} の元となるような順序対全体の成す[[集合]]は、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} との[[直積集合]]と呼ばれ、{{math|''X'' &times; ''Y''}} と書かれる。{{math|''X'' &cup; ''Y''}} 上の[[二項関係]]とは、{{math|''X'' &times; ''Y''}} の[[部分集合]]のことである。<br />
<br />
; 注: 数学の広範な分野において記号 {{math|(''a'', ''b'')}} はざまざまな意味で用いられ、そうしたものの中で顕著な例はたとえば[[実数直線]]上の[[開区間]]を挙げることができるだろう。記号の意味は文脈に完全に依存しており、意味を取るためには文脈に注意しなければならない{{sfn|Lay|2005|p=50}}{{sfn|Devlin|2004|p=79}}。そうして時には、区別の明確化のために順序対を {{math|{{angbr|''a'', ''b''}}}} などの少し異なる記号で表すこともある（が、そういった記号もやはり他で多義的に用いられている）。<br />
<br />
順序対 {{mvar|p}} が与えられたとき、その第一および第二成分への[[射影 (集合論)|射影]]はそれぞれ {{math|''π''<sub>1</sub>(''p'')}} および {{math|''π''<sub>2</sub>(''p'')}} のように書くのがふつうである（左射影・右射影の意味で {{math|''π''<sub>''l''</sub>(''p''), ''π''<sub>''r''</sub>(''p'')}} のように書いてもよい）。この文脈では、自然に {{mvar|n}}-組 {{mvar|t}} が第 {{mvar|i}}-成分への射影 {{math|{{subsup|π|''i''|''n''}}(''t'')}} を使って考えられる（必ずしも再帰的でない取り扱いができる）。<br />
<br />
== 直観的な定義 ==<br />
入門書の類いにおいては、順序対の定義としてやや不正確だが直観的に<br />
{{quote|1= 二つの対象 {{mvar|a}}, {{mvar|b}} に対し、順序対 {{math|(''a'', ''b'')}} とは、対象 {{mvar|a, b}} をこの順番で指定する記法である{{sfn|Wolf|1998|p=164}}}}<br />
というような形で与えるものがある。こういった場合、順序対の理解のために[[集合]]の場合との比較を持ってくるのが通例である: たとえば、集合 {{math|{{mset|''a'', ''b''}}}} の[[元 (数学)|元]]として {{mvar|a}} と {{mvar|b}} が区別できるには、{{mvar|a, b}} は相異なるものでなければならないが、順序対 {{math|(''a'', ''b'')}} ではその必要が無い。また、集合では元の書き並べ方を変えてももとと意味が変わることはない ({{math|{{mset|''b'', ''a''}} {{=}} {{mset|''a'', ''b''}}}}) が、順序対では並べる順番が異なればそれらは別の順序対 ({{math|(''b'', ''a'') &ne; (''a'', ''b'')}}) である<br />
<br />
このような「定義」は、記述的に与えられたにすぎず、また並べる「順番」というのも直観的に与えられたものでしかないから、厳密な意味での定義と呼ぶには不十分である。それでも大抵の場合はこのような感覚的な捉え方で問題となることはなく、順序対はそのようなものとして受け止められていると考えられる{{sfn|Fletcher|Patty|1988|p=80}}<br />
<br />
もう少し正確な取り扱いをするには、上で述べた「順序対の定義性質」を満たすものという役割が数学における順序対の意味の全てであると捉えることになる。そういう立場では、順序対とは順序対の定義性質を対応する公理とする{{ill2|原始概念|en|primitive notion}}として扱うという見方ができる。1954年に出版された[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]の『集合論』{{lang|en|("''Theory of Sets''")}} ではこのやり方が取られている。しかしこれは順序対の存在と定義性質の両方を公理的に仮定しなければならないのが難である{{sfn|Wolf|1998|p=164}}。<br />
<br />
順序対を厳密に取り扱う別な方法としては、集合論の文脈で形式的に定義してしまうというのがある。やり方はいくつかあるが、何れも存在と特徴付けを集合論の公理から証明可能という点で優位性がある。そういった定義のなかでもっともよく用いられるのが[[カシミール・クラトフスキー]]によるもの（後述）であり、その定義は1970年に出版されたブルバキ『集合論』の第二版で用いられた。順序対を直観的に導入する教科書でも、クラトフスキーによる厳密な定義に演習問題の中で言及するといったものも少なくない。<br />
<br />
== 集合論による順序対の定義 ==<br />
[[集合論]]による[[数学基礎論|数学の基礎付け]]というパラダイムに則れば、全ての[[数学的対象]]はある種の[[集合]]として定義される。したがって、順序対を原始概念と考えないならば、順序対もまた集合として定義されなければならない{{efn2|クワインは、順序対の概念の集合論的な実現は哲学的概念を明確化するパラダイムであると主張した（"Word and Object" の &sec;53 を参照）。そのような概念や実現の一般概念が、トーマス・フォースター {{lang|en|(Thomas Forster)}} の "Reasoning about theoretical entities" に論じられている。}}。順序対の集合論的定義を以下にいくつか挙げる。<br />
<br />
=== ウィーナーの定義 ===<br />
[[ノーバート・ウィーナー|ウィーナー]]が初めて順序対の集合論的定義:<br />
:<math>(a, b) := \{\{\{a\},\, \emptyset\},\, \{\{b\}\}\}</math><br />
を提唱したのは1914年のことである{{efn2|{{Wikicite|ref={{sfnref|Wiener|1914}}|reference=ウィーナーの論文 "A Simplification of the logic of relations"（「論理と関係の単純化」）}}が、貴重な解説付きで {{harv|van Heijenoort|1967|pages=224ff}} に再録されている。ヴァン・エジュノールはこの方法での単純化について "By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes"（クラス演算による二つの元の順序対の定義が与えられれば、そのようなクラスに対する関係の理論のノートが節約できる）と述べている。}}。ウィーナーはこの定義によって『[[プリンキピア・マテマティカ]]』における[[型理論|型]]が集合として定義できるようになることを注意している。『プリンキピア・マテマティカ』では型、したがって任意の[[アリティ]]を持つ関係の全体を[[原始概念]]として採用するものであった。<br />
<br />
=== ハウスドルフの定義 ===<br />
{{harvtxt|Wiener|1914}} とほぼ同時期に[[フェリックス・ハウスドルフ|ハウスドルフ]]は<br />
: <math>(a, b) := \{\{a, 1\},\, \{b, 2\}\}</math><br />
という順序対の定義を提唱した。「ここで、{{math|1}} および {{math|2}} は、{{mvar|a}} とも {{mvar|b}} とも異なる、相異なるふたつの対象である」{{sfn|van Heijenoort|1967|p=224|ps=, &mdash;ウィーナーの論文の導入を参照。}}<br />
<br />
=== クラトフスキーの定義 ===<br />
{{harvtxt|Kuratowski|1921}} は今日的に広く受け入れられている順序対 {{math|(''a'', ''b'')}} の定義{{sfn|van Heijenoort|1967|p=224|ps=, &mdash;ウィーナーの論文の導入を参照。}}{{efn2|ヴァン・エジュノールは、結果として得られる順序対を表す集合は（それらが同じ型の元であるとき）「それらの元よりも 2 階高い型を持つ」ことを注意している。これを示すのに関連して、エジュノールは、特定の状況下で型が 1 か 0 に還元できることを述べている。}} <br />
: <math>(a, b)_\text{K} := \{\{a\},\, \{a, b\}\}</math><br />
を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも<br />
: <math>p = (x, x) = \{\{x\},\, \{x, x\}\} = \{\{x\},\{x\}\} = \{\{x\}\}</math><br />
として有効な定義になっていることである。<br />
<br />
順序対 {{mvar|p}} が与えられたとき、「{{mvar|p}} の第一成分が {{mvar|x}} である」という性質は<br />
:<math>\forall Y \in p : x \in Y</math><br />
として定式化することができる。「{{mvar|p}} の第二成分が {{mvar|x}} である」という性質は<br />
:<math>(\exist Y \in p : x \in Y )\and(\forall Y_{1},\,\forall Y_{2} \in p : Y_{1}\ne Y_{2}\rarr (x \notin Y_{1} \or x \notin Y_{2}))</math><br />
と定式化できる。第一成分と第二成分が等しいときは、連言の右側の条件<br />
: <math>(\forall Y_{1},\,\forall Y_{2} \in p : Y_{1}\ne Y_{2}\rarr (x \notin Y_{1} \or x \notin Y_{2}))</math><br />
は {{math|''Y''<sub>1</sub> &ne; ''Y''<sub>2</sub>}} となることが絶対に無いので、明らかに真である。<br />
<br />
順序対の第一座標は<br />
<br />
:<math>\pi_1(p) = \bigcup\bigcap p</math><br />
<br />
とすることで簡単に取り出せる。第二座標の取り出しは第一座標のそれより難しいが、<br />
<br />
:<math>\pi_2(p) = \begin{cases}<br />
\bigcup\bigcap p & \text{if } \bigcap p = \bigcup p\\[7pt]<br />
\bigcup\left(\bigcup p \smallsetminus \bigcap p\right) & \text{if }\bigcap p \ne \bigcup p \end{cases}</math><br />
<br />
とすればよい。<br />
<br />
上述のクラトフスキーによる順序対の定義は順序対が満足すべき特徴づけ <math display="block">(a,b) = (x,y) \iff a=x \and b=y</math> を満足するに「相応しい」ものである。ほかにもこれと同じくらい相応しい、同様あるいはより単純な形の定義として<br />
; クラトフスキーの定義の変形版<br />
:* <math>(a, b)_\text{reverse} := \{\{b\},\, \{a, b\}\},</math><br />
:* <math>(a, b)_\text{short} := \{a,\, \{a, b\}\},</math><br />
:* <math>(a, b)_\text{01} := \{\{0, a\},\, \{1, b\}\}</math>{{efn2|ハウスドルフ版の定義とほぼ同じだが、{{math|0, 1}} が {{mvar|a, b}} と異なるとは限らない}}<br />
などが存在する。'''reverse'''（逆順）版はあまり使われないが、クラトフスキーの定義の自明な変形版であり、もとの定義で見たこと以外の特徴としてとくに見るべきものは無い。'''short'''（省略）版はその名の通り、もとの定義に[[ブレース]]の組が三つあったことに比べて、ふたつの組に減っている。'''short''' 版が順序対の特徴付けを満足することの証明には、[[公理的集合論|ZFC]]の[[正則性公理]]が必要である{{sfn|Tourlakis|2003|loc= Proposition III.10.1.}}。さらに、[[自然数|自然数の集合論的構成]]を認めるならば、自然数の "{{math|2}}" は集合 {{math|{{mset|0, 1}} {{=}} {{mset|0, {{mset|0}}}}}} として定義されるが、これは順序対 {{math|(0, 0)<sub>short</sub>}} と区別が付かない。<br />
<br />
{{math proof|title=これらの定義が特徴づけを満足する事|drop=yes|1=<br />
{{math|(''a'', ''b'') {{=}} (''c'', ''d'')}} となるための[[必要十分条件]]が {{math|''a'' {{=}} ''c''}} かつ {{math|''b'' {{=}} ''d''}} であることを示す。<br />
<br />
; Kratowski の定義<br />
:; 十分性: {{math|''a'' {{=}} ''c''}} かつ {{math|''b'' {{=}} ''d''}} ならば {{math|{{mset|{{mset|''a''}}, {{mset|''a'', ''b''}}}} {{=}} {{mset|{{mset|''c''}}, {{mset|''c'', ''d''}}}}}} ゆえ {{math|(''a'', ''b'')<sub>K</sub> {{=}} (''c'', ''d'')<sub>K</sub>}} である。<br />
:; 必要性: {{math|''a'' {{=}} ''b''}} と {{math|''a'' &ne; ''b''}} のふたつの場合がある。<br />
:: {{math|''a'' {{=}} ''b''}} のとき、{{math|(''a'', ''b'')<sub>K</sub> {{=}} {{mset|{{mset|''a''}}, {{mset|''a'', ''b''}}}} {{=}} {{mset|{{mset|''a''}}, {{mset|''a'', ''a''}}}} {{=}} {{mset|{{mset|''a''}}}}}} に注意すれば <math display="block">\{\{c\}, \{c, d\}\} = (c, d)_\text{K} = (a, b)_\text{K} = \{\{a\}\}</math> から {{math|{{mset|''c''}} {{=}} {{mset|''c'', ''d''}} {{=}} {{mset|''a''}}}} でなければならないが、これは {{math|''a'' {{=}} ''c''}} かつ {{math|''a'' {{=}} ''d''}} ということであり、また仮定より {{math|''a'' {{=}} ''b''}} であったから {{math|''b'' {{=}} ''d''}} を得る。<br />
:: {{math|''a'' &ne; ''b''}} のとき、{{math|(''a'', ''b'')<sub>K</sub> {{=}} (''c'', ''d'')<sub>K</sub>}} は {{math|{{mset|{{mset|''a''}}, {{mset|''a'', ''b''}}}} {{=}} {{mset|{{mset|''c''}}, {{mset|''c'', ''d''}}}}}} の意である。まず、{{math|{{mset|''c'', ''d''}} {{=}} {{mset|''a''}}}} であるとすると {{math|''c'' {{=}} ''d'' {{=}} ''a''}} ゆえ <math display="block">\{\{c\}, \{c, d\}\} = \{\{a\}, \{a, a\}\} = \{\{a\}, \{a\}\} = \{\{a\}\}</math> となるがこれと {{math|{{mset|{{mset|''a''}}, {{mset|''a'', ''b''}}}}}} とが等しいとすると {{math|''b'' {{=}} ''a''}} であることになり、{{math|''a'' &ne; ''b''}} という仮定に反する。また、{{math|{{mset|''c''}} {{=}} {{mset|''a'', ''b''}}}} であるとすると {{math|''a'' {{=}} ''b'' {{=}} ''c''}} ゆえ同様に {{math|''a'' &ne; ''b''}} という仮定に反する。したがって、{{math|{{mset|''c''}} {{=}} {{mset|''a''}}}} であり、{{math|''c'' {{=}} ''a''}} および {{math|{{mset|''c'', ''d''}} {{=}} {{mset|''a'', ''b''}}}} を得る。このとき {{math|''d'' {{=}} ''a''}} であるとすると {{math|{{mset|''c'', ''d''}} {{=}} {{mset|''a'', ''a''}} {{=}} {{mset|''a''}} &ne; {{mset|''a'', ''b''}}}} で矛盾するから、この場合 {{math|''d'' {{=}} ''b''}} であり、まとめると {{math|''a'' {{=}} ''c''}} かつ {{math|''b'' {{=}} ''d''}} であることを得る。<br />
; Reverse 版<br />
: {{math|(''a'', ''b'')<sub>reverse</sub> {{=}} {{mset|{{mset|''b''}}, {{mset|''a'', ''b''}}}} {{=}} {{mset|{{mset|''b''}}, {{mset|''b'', ''a''}}}} {{=}} (''b'', ''a'')<sub>K</sub>}} であることに注意すれば簡明である。<br />
:; 十分性<br />
:: {{math|''a'' {{=}} ''c''}} かつ {{math|''b'' {{=}} ''d''}} ならば {{math|{{mset|{{mset|''b''}}, {{mset|''a'', ''b''}}}} {{=}} {{mset|{{mset|''d''}}, {{mset|''c'', ''d''}}}}}} ゆえ {{math|(''a'', ''b'')<sub>reverse</sub> {{=}} (''c'', ''d'')<sub>reverse</sub>}} を得る。<br />
:; 必要性 : {{math|(''a'', ''b'')<sub>reverse</sub> {{=}} (''c'', ''d'')<sub>reverse</sub>}} ならば {{math|(''b'', ''a'')<sub>K</sub> {{=}} (''d'', ''c'')<sub>K</sub>}} ゆえに {{math|''b'' {{=}} ''d''}} かつ {{math|''a'' {{=}} ''c''}} である。<br />
; Short 版{{efn2|'''short'''の適格性の厳密な[[超数学]]的証明は [http://us.metamath.org/mpegif/opthreg.html こちら (opthreg)]を参照。また {{harvtxt|Tourlakis|2003|}}, Proposition III.10.1. も参照。}}<br />
:; 十分性<br />
:: 明らか。<br />
:; 必要性<br />
:: {{math|{{mset|''a'', {{mset|''a'', ''b''}}}} {{=}} {{mset|''c'', {{mset|''c'', ''d''}}}}}} を仮定すれば {{math|''a''}} は左辺に属すから、したがって右辺にも属する。集合の相等条件は属する元が全体として相等しいことであったから、{{math|''a'' {{=}} ''c''}} か {{math|''a'' {{=}} {{mset|''c'', ''d''}}}} のうちのいずれか一方が成り立つ。<br />
:: {{math|''a'' {{=}} {{mset|''c'', ''d''}}}} ならば上と同様の理由で {{math|{{mset|''a'', ''b''}}}} が右辺に属するから {{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} ''c''}} であるか {{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} {{mset|''c'', ''d''}}}} である。{{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} ''c''}} ならば {{math|''c''}} は {{math|{{mset|''c, d''}} {{=}} ''a''}} に属し、{{mvar|a}} は {{mvar|c}} に属するが、これは {{math|{{mset|''a'', ''c''}}}} が「～の元である」という関係の下での最小元を持たないことになり、正則性の公理に矛盾する。{{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} {{mset|''c'', ''d''}}}} ならば {{mvar|a}} は {{mvar|a}} の元で、{{math|''a'' {{=}} {{mset|''c'', ''d''}} {{=}} {{mset|''a'', ''b''}}}} から再び正則性に反する。ゆえに {{math|''a'' {{=}} ''c''}} でなければならない。<br />
:: 再びはじめに戻れば、{{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} ''c''}} または {{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} {{mset|''c'', ''d''}}}} である。{{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} ''c''}} かつ {{math|''a'' {{=}} ''c''}} とすれば {{mvar|c}} は {{mvar|c}} の元となり正則性に反する。ゆえに {{math|''a'' {{=}} ''c''}} かつ {{math|{{mset|''a'', ''b''}} {{=}} {{mset|''c'', ''d''}}}} であり、それゆえに <math display="block">\{b\} = \{a, b\} \smallsetminus \{a\} = \{c, d\} \smallsetminus \{c\} = \{d\}</math> したがって {{math|''b'' {{=}} ''d''}} を得る。<br />
}}<br />
=== クワイン&ndash;ロッサーの定義 ===<br />
{{harvs|txt|author-link=ジョン・バークリー・ロッサー|first1=J. Barkley|last1=Rosser|year1=1953}} は[[ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン]]に負うところよる[[自然数]]のア・プリオリな定義を必要とする順序対の定義を採用している。{{mathbf|N}} を自然数全体の成す集合とし、函数 <br />
<br />
:<math>\varphi(x) = (x \smallsetminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}</math><br />
<br />
を定義する。この函数を適用するには、ただ {{mvar|x}} に属するどの自然数も {{math|1}} 増やせばいい。とくに、{{math|''&phi;''(''x'')}} は最小の自然数である {{math|0}} を含まないので、任意の集合 {{mvar|x, y}} に対し <br />
:<math>\varphi(x) \ne \{0\} \cup \varphi(y)</math><br />
<br />
が成立する。これを用いて順序対 {{math|(''A'', ''B'')}} を<br />
<br />
:<math>(A, B) = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}</math><br />
<br />
と定義する。この対から {{math|0}} を含まない元をすべて取り出して、{{mvar|&phi;}} の適用を取り消せば {{mvar|A}} が得られる。同様に、{{math|0}} を含む元を考えれば {{mvar|B}} を復元することができる。<br />
<br />
[[型理論]]および公理的集合論 [[新基礎集合論|NF]] のような副産物において、クワイン-ロッサー対は、対とその成分とが同じ型を持つため、「型レベル」{{lang|en|("type-level")}} の順序対と呼ばれる。その意味でこの定義は、順序対として定義される[[写像]]が、その引数よりも 1 だけ高い階の型を持つことを許すという点で有利である。この定義は、自然数全体の成す集合が無限集合である場合にのみうまくいく。これは NF ではそうなっているが、[[型理論]]や NFU においてはそうではない。[[ジョン・バークリー・ロッサー|ロッサー]]はそのような型レベルの順序対（あるいは「型が 1 だけ上がる」順序対）の存在性が無限公理を含意することを示した。クワイン集合論の文脈での順序対の広範な議論は {{harvtxt|Holmes|1998}} を参照せよ。<br />
<br />
=== カントール&ndash;フレーゲの定義 ===<br />
集合論の初期（カントールの逆理の出現以前）、カントールはフレーゲに従い、関係の概念は原始概念として認めたうえで、二つの集合の順序対をそれらの集合の間に成り立つ関係全体の成すクラス <math display="block">(x, y) = \{R : x R y \}</math>として定義した{{sfn|Frege|1893|loc=§144}}。<br />
<br />
この定義は現代的に定式化されたほとんどの集合論では許容されないが、たとえば集合の[[濃度 (数学)|濃度]]を与えられた集合と等濃な集合全体の成すクラスとして定義する方法論と似て整然としたものである{{sfn|last=Kanamori|2007|p=22|loc=footnote 59}}。<br />
<br />
=== モースの定義 ===<br />
{{ill2|モース・ケリー集合論|en|Morse–Kelley set theory}} では[[真のクラス]]を自由に扱うことができる {{harv|Morse|1965}}。モースは成分が集合のみならず真のクラスであるような順序対を定義した（クラトフスキーの定義ではそのようなことはできない）。モースはまず、クラトフスキーの方法で成分が集合となる順序対を定義し、それから順序対 {{math|(''x'', ''y'')}} を <br />
: <math>(x \times \{0\}) \cup (y \times \{1\})</math><br />
として「再定義」した。これに現れる直積は集合上のクラトフスキー対からなる。この第二段階で、成分が真のクラスとなるような順序対というものが可能になる。また、上述のクワイン-ロッサーの定義でも成分を真のクラスとすることができる。<br />
<br />
== 圏論 ==<br />
[[集合の圏]]における圏論的な[[積 (圏論)|直積]] {{math|''A'' &times; ''B''}} は、第一成分が {{mvar|A}} に属し、第二成分が {{mvar|B}} に属する順序対全体の成す集合を表現する。この文脈では上で述べた順序対の特徴づけは、直積の[[普遍性]]と集合 {{mvar|X}} の元が（ある一元集合）{{mathbf|1}} から {{mvar|X}} への射と同一視されるという事実とからの帰結である。別の対象が同じ普遍性を持つかもしれないが、それらはすべて[[自然同型]]である。<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{notelist2}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{citation|first=Keith|last=Devlin|title=Sets, Functions and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics|edition=3rd|publisher=Chapman & Hall / CRC|year=2004|isbn=978-1-58488-449-1|ref=harv}}<br />
* {{citation|first1=Peter|last1=Fletcher|first2=C. Wayne|last2=Patty|title=Foundations of Higher Mathematics|publisher=PWS-Kent|year=1988|isbn=0-87150-164-3|ref=harv}}<br />
* {{cite book |last=Frege |first=Gottlob |year=1893 |title=Grundgesetze der Arithmetik |url=https://korpora.zim.uni-duisburg-essen.de/Frege/PDF/gga1_o_corr.pdf |location=Jena |publisher=Verlag Hermann Pohle |ref=harv}}<br />
* {{citation|last=Holmes|first= Randall |year=1998 | url= http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf | title= Elementary Set Theory with a Universal Set | publisher= Academia-Bruylant|ref=harv}} (The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved.)<br />
* {{cite book |last=Kanamori |first=Akihiro |year=2007 |title=Set Theory From Cantor to Cohen |url=http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf |publisher=Elsevier BV |ref=harv}}<br />
* {{cite journal|title=Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles|first=Casimir|last=Kuratowski|authorlink=Kazimierz Kuratowski|year=1921|journal=[[Fundamenta Mathematicae]]|pages=161–171|volume=2|number=1|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm2/fm2122.pdf}}<br />
* {{citation|first=Steven R.|last=Lay|title=Analysis / With an Introduction to Proof|edition=4th|publisher=Pearson / Prentice Hall|isbn=978-0-13-148101-5|year=2005|ref=harv}}<br />
* {{citation|last=Morse|first= Anthony P.|year= 1965|title= A Theory of Sets |publisher= Academic Press|ref=harv}}<br />
* {{citation|authorlink=ジョン・バークリー・ロッサー|first=J. Barkley |last=Rosser |year= 1953|title= Logic for Mathematicians | publisher=McGraw-Hill}}<br />
* {{cite book|last=Tourlakis |first= George|year=2003|title=Lectures in Logic and Set Theory. Vol. 2: Set Theory|pablisher=Cambridge Univ. Press|ref=harv}}<br />
* {{cite book|last=van Heijenoort|first= Jean|year=1967|title=From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931|publisher=Harvard University Press, Cambridge MA|ISBN=0-674-32449-8| ref=harv}}<br />
* {{citation|first=Robert S.|last=Wolf|title=Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox|publisher=W. H. Freeman and Co.|year=1998|isbn=978-0-7167-3050-7|ref=harv}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:しゆんしよつい}}<br />
[[Category:集合論]]<br />
[[Category:型理論]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
局所凸位相ベクトル空間
2018-08-02T10:32:45Z
<p>125.9.201.214: /* 局所凸空間の例 */ {{abs}},{{norm}} etc.</p>
<hr />
<div>[[関数解析学]]および関連する[[数学]]の分野において、'''局所凸位相ベクトル空間'''（きょくしょとついそうベクトルくうかん、{{Lang-en-short|locally convex topological vector space}}）あるいは'''局所凸空間'''（locally convex space）は、[[ノルム空間]]を一般化する[[位相ベクトル空間]]（TVS）の例である。それらは、[[均衡集合|均衡]]かつ[[併呑集合|併呑]]な[[凸集合]]の平行移動によって位相が[[基底 (位相空間論)|生成される]]ような[[位相空間|位相]]ベクトル空間として定義される。または代わりに、それらは[[ノルム|半ノルム]]の[[集合族|族]]を伴う[[ベクトル空間]]として定義され、その族に関して位相を定義することが出来る。一般にこのような空間は必ずしも[[ノルム|ノルム化可能]]ではないが、[[零ベクトル]]に対する凸[[近傍系|局所基]]の存在は[[ハーン＝バナッハの定理]]の成立を保証する上で十分に強く、その結果として連続[[線型汎函数]]に関する豊富な理論がもたらされた。<br />
<br />
[[フレシェ空間]]は、[[距離化定理|距離化可能]]かつその[[距離]]に関して[[完備距離空間|完備]]であるような局所凸空間である。それらは、[[ノルム]]に関する完備ベクトル空間であるような[[バナッハ空間]]の一般化である。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
<br />
{{mvar|V}} を、[[複素数]]の部分体 {{math|'''K'''}}（通常は {{math|'''C'''}} 自身か、[[実数|実数体]] {{math|'''R'''}}）上のベクトル空間とする。局所凸空間は、凸集合あるいは半ノルムに関して定義される。<br />
<br />
=== 凸集合による定義 ===<br />
<br />
{{mvar|V}} 内のある部分集合 {{mvar|C}} について、以下が成り立つ：<br />
# {{mvar|C}} が[[凸集合|凸]]であるとは、{{mvar|C}} 内の任意の {{math|''x'', ''y''}} と {{math|0 ≤ ''t'' ≤ 1}} に対して、{{math|''tx'' + (1 – ''t'')''y''}} が {{mvar|C}} 内に含まれることを言う。これを言い換えると、{{mvar|C}} はその内部の点の間のすべての線分を含むということになる。<br />
# {{mvar|C}} が circled であるとは、{{mvar|C}} 内の任意の {{mvar|x}} に対して、{{math|{{!}}''λ''{{!}} {{=}} 1}} ならば {{math|''λx''}} が {{mvar|C}} 内に含まれることを言う。{{math|'''K''' {{=}} '''R'''}} であるなら、このことは {{mvar|C}} が原点を通るその[[鏡映]]と等しいことを意味する。{{math|'''K''' {{=}} '''C'''}} に対しては、このことは {{mvar|C}} 内の任意の {{mvar|x}} によって生成される一次元複素部分空間において、{{mvar|x}} を通る原点中心の円板を {{mvar|C}} が含むことを意味する。<br />
# {{mvar|C}} が（考えている体が[[順序体|順序付けられている]]場合に）[[錐 (線型代数学)|錐]]であるとは、{{mvar|C}} 内の任意の {{mvar|x}} と {{math|0 ≤ ''λ'' ≤ 1}} に対して、{{math|''λx''}} が {{mvar|C}} 内に含まれることを言う。<br />
# {{mvar|C}} が[[均衡集合|均衡]]であるとは、{{mvar|C}} 内の任意の {{mvar|x}} に対し、{{math|{{!}}''λ''{{!}} ≤ 1}} であるなら {{math|''λx''}} が {{mvar|C}} 内に含まれることを言う。{{math|'''K''' {{=}} '''R'''}} であるなら、このことはもし {{mvar|x}} が {{mvar|C}} 内にあるなら、{{mvar|C}} は {{mvar|x}} と {{math|−''x''}} の間の線分を含むことを意味する。{{math|'''K''' {{=}} '''C'''}} に対してこのことは、{{mvar|C}} 内の任意の {{mvar|x}} が生成する一次元複素部分空間において、原点を中心とし {{mvar|x}} を境界に置く円板を {{mvar|C}} が含むことを意味する。また同値であるが、均衡集合は circled な錐である。<br />
# {{mvar|C}} が[[併呑集合|併呑]]であるとは、すべての {{math|''t'' > 0}} についての {{math|''tC''}} の合併が {{mvar|V}} 全体であること、あるいは同値であるが {{mvar|V}} 内のすべての {{mvar|x}} に対し、{{math|''tx''}} が {{mvar|C}} に含まれるようなある {{math|''t'' > 0}} が存在することを言う。集合 {{mvar|C}} は、その空間内のすべての点を併呑するために膨張させることが出来る。<br />
# {{mvar|C}} が[[絶対凸集合|絶対凸]]であるとは、それが均衡かつ凸であることを言う。<br />
<br />
より簡潔に、{{mvar|V}} のある部分集合が'''絶対凸'''であるとは、係数の絶対和が {{math|≤ 1}} であるような線型結合の下で閉じていることを言う。そのような集合は、{{mvar|V}} 全体を張るとき、'''併呑'''と呼ばれる。<br />
<br />
'''局所凸位相ベクトル空間'''とは、原点が絶対凸併呑集合の[[近傍系|局所基]]を持つような[[位相ベクトル空間]]のことを言う。平行移動は（位相ベクトル空間の定義より）連続であるため、すべての平行移動は[[位相同型]]であり、したがって原点の近傍のすべての基は与えられた任意のベクトルの近傍に対する基へと平行移動することが出来る。<br />
<br />
=== 半ノルムによる定義 ===<br />
<br />
{{mvar|V}} 上の[[半ノルム]]とは、次を満たす写像 {{math|''p'': ''V'' → '''R'''}} のことを言う：<br />
# {{mvar|p}} は正あるいは正定。すなわち {{math|''p''(''x'') ≥ 0}}。<br />
# {{mvar|p}} は正同次あるいは正スケール化可能。すなわち、すべてのスカラー {{mvar|λ}} に対して {{math|''p''(''λx'') {{=}} {{abs|''λ''}}&sdot;''p''(''x'')}} となる。したがって、特に {{math|''p''(0) {{=}} 0}} が成り立つ。<br />
# {{mvar|p}} は劣加法的で、次の三角不等式を満たす。{{math|''p''(''x'' + ''y'') ≤ ''p''(''x'') + ''p''(''y'')}}。<br />
<br />
{{mvar|p}} が正定性を満たすなら、すなわち {{math|''p''(''x'') {{=}} 0}} ならば {{math|''x'' {{=}} 0}} であるなら、{{mvar|p}} はノルムである。一般に半ノルムは必ずしもノルムではないが、半ノルムの族に対する類似の性質である分離性（separatedness）が後述のように定義される。<br />
<br />
'''局所凸空間'''は、半ノルムの[[族 (数学)|族]] {{math|{{mset|''p{{sub|α}}''}}{{sub|''α''∈''A''}}}} に沿ったあるベクトル空間 {{mvar|V}} として定義される。その空間は自然な位相である、半ノルムの{{仮リンク|始位相|en|Initial topology}}をもたらす。言い換えると、それはすべての写像<br />
<br />
:<math>p_{\alpha,y}\colon V\to\mathbf{R};\; x\mapsto p_\alpha(x-y) \quad(\forall y\in V,\, \alpha\in A)</math><br />
<br />
が連続であるような{{仮リンク|位相の比較|label=最も粗い|en|comparison of topologies}}位相である。この位相に対する {{mvar|y}} の近傍の基は、次の方法で定義することが出来る：{{mvar|A}} のすべての有限部分集合 {{mvar|B}} と、すべての {{math|''ε'' > 0}} に対して、<br />
<br />
:<math>U_{B, \varepsilon}(y) = \{x \in V : p_\alpha(x - y) < \varepsilon \ (\forall \alpha \in B)\}</math><br />
<br />
を定める。次に注意されたい。<br />
<br />
:<math>U_{B,\varepsilon}(y) = \bigcap_{\alpha\in B} (p_{\alpha,y})^{-1}([0,\varepsilon)).</math><br />
<br />
この位相においてベクトル空間の演算が連続であることは、前述の性質 2 および 3 より従う。結果として得られる位相ベクトル空間は、各 {{math|''U''{{sub|''B'',''ε''}}(0)}} が絶対凸かつ併呑であるため（特に後者の性質は平行移動に対して保存されるため）、局所凸である。<br />
<br />
=== 二つの定義の同値性 ===<br />
<br />
近傍基に関する定義はより良い幾何的な表現を与えるものであるが、半ノルムに関する定義は実際に扱う上でより簡単なものとなる。それら二つの定義の同値性は、[[ミンコフスキー汎関数|ミンコフスキー汎函数]]あるいはミンコフスキーゲージとして知られる構成法によって従う。{{mvar|ε}}-球の凸性を保証する半ノルムのキーとなる性質は、[[三角不等式]]である。<br />
<br />
{{mvar|C}} 内の {{mvar|x}} に対し、{{math|0 ≤ ''t'' ≤ 1}} ならば {{math|''tx''}} も {{mvar|C}} 内にあるような併呑集合 {{mvar|C}} を考える。{{mvar|C}} のミンコフスキー汎函数を次で定義する。<br />
<br />
:<math>\mu_C(x) = \inf \{\lambda > 0: x\isin \lambda C\}.</math><br />
<br />
この定義より、{{mvar|C}} が均衡かつ凸（また仮定より併呑）であるなら、{{mvar|μ{{sub|C}}}} は半ノルムとなる。逆に、半ノルムの族が与えられたとき、集合<br />
<br />
:<math>\{x : p_{\alpha_1}(x) < \varepsilon, \dotsc, p_{\alpha_n}(x) < \varepsilon\}</math><br />
<br />
は凸併呑均衡集合の基を形成する。<br />
<br />
== さらなる定義と性質 ==<br />
<br />
* 半ノルムの族 {{math|{''p<sub>α</sub>''}<sub>''α''</sub>}} が'''トータル'''（total）あるいは'''分離'''（separated）であるとは、すべての {{mvar|α}} に対して {{math|''p<sub>α</sub>''(''x'') {{=}} 0}} が成り立つときは常に {{mvar|x}} が {{math|0}} となることを言う。局所凸空間が[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]であるための[[必要十分条件]]は、それが半ノルムの分離族を持つことである。多くの研究者はハウスドルフの条件を定義に含めている。<br />
<br />
* [[擬距離空間|擬距離]]は距離の一般化で、{{math|''d''(''x'', ''y'') {{=}} 0}} が成り立つのは {{math|''x'' {{=}} ''y''}} の場合に限る、という条件を満たさないものである。局所凸空間が、擬距離によってその位相が生じるという意味で擬距離化可能であるための必要十分条件は、それが可算個の半ノルムの族を持つことである。実際、同一の位相を導く擬距離はこのとき<br />
<br />
:<math>d(x,y)=\sum^\infty_n \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}</math><br />
<br />
:で与えられる（ここで {{math|1/2<sup>''n''</sup>}} は任意の正の[[級数|総和可能]]な列 {{math|''a<sub>n</sub>''}} で置き換えることが出来る）。この擬距離は平行移動不変であるが、{{math|''d''(''kx'', ''ky'') ≠ {{!}}''k''{{!}}''d''(''x'', ''y'')}} となるという意味で非同次であり、したがって（擬）ノルムを定義することは無い。擬距離が正当な距離であるための必要十分条件は、半ノルムの族が分離であることである。実際そのような場合は、空間がハウスドルフであるときにのみ成り立つからである。さらに空間が完備であるなら、その空間は[[フレシェ空間]]と呼ばれる。<br />
<br />
* 任意の位相ベクトル空間と同様に、局所凸空間もまた[[一様空間]]である。したがって[[一様連続|一様連続性]]や[[一様収束]]、[[コーシー列]]について論じることが出来る。<br />
<br />
* 局所凸空間内の{{仮リンク|コーシーネット|en|Cauchy net}}とは、すべての {{math|''ε'' > 0}} およびすべての半ノルム {{math|''p<sub>α</sub>''}} に対して、{{math|''λ'', ''μ'' > ''κ''}} ならば {{math|''p<sub>α</sub>''(''x<sub>λ</sub>'' − ''x<sub>μ</sub>'') < ''ε''}} を満たす {{mvar|κ}} が存在するようなある[[有向点族|ネット]] {{math|{''x<sub>κ</sub>''}<sub>''κ''</sub>}} のことを言う。言い換えると、そのようなネットはすべての半ノルムについて同時にコーシー的でなければならない。距離化可能なフレシェ空間とは異なり、一般の空間は非可算の擬距離の族によって定義されることもあり得るため、ここでの完備性の定義は、[[列 (数学)|列]]を使ったより有名なものの代わりにネットを使って行う。定義により、可算であるような列はそのような空間において収束を特徴付ける上で十分ではない。局所凸空間が[[一様空間|完備一様空間]]であるための必要十分条件は、すべてのコーシーネットが収束することである。<br />
<br />
* 半ノルムの族が関係 {{math|''p<sub>α</sub>'' ≤ ''p<sub>β</sub>''}} の下で{{仮リンク|前順序|en|preorder}}となるための必要十分条件は、すべての {{mvar|x}} に対して {{math|''p<sub>α</sub>''(''x'') ≤ ''Mp<sub>β</sub>''(''x'')}} となるようなある {{math|''M'' > 0}} が存在することである。その族が[[結びと交わり|結び]]として加法を伴う[[有向集合]]であるなら、言い換えるとすべての {{mvar|α}} および {{mvar|β}} に対して {{math|''p<sub>α</sub>'' + ''p<sub>β</sub>'' ≤ ''p<sub>γ</sub>''}} を満たす {{mvar|γ}} が存在するなら、その族は'''半ノルムの有向族'''（directed family of seminorms）と呼ばれる。すべての半ノルムの族は、同一の位相を定義するという意味で同値な有向族を持つ。実際、与えられた族 {{math|{''p<sub>α</sub>''}<sub>''α'' ∈ ''I''</sub>}} に対して、{{mvar|I}} の有限部分集合からなる集合を {{math|Φ}} とすると、{{math|Φ}} 内のすべての {{mvar|F}} に対して<br />
<br />
:<math> q_F = \sum_{\alpha \in F} p_{\alpha}.</math><br />
<br />
:が定義される。{{math|{''q<sub>F</sub>''}<sub>''F'' ∈ Φ</sub>}} は同値な有向族であることが確かめられる。<br />
<br />
* 空間の位相が単一の半ノルムによって導かれるなら、その空間は'''半ノルム化可能'''（seminormable）と言われる。有限の半ノルムの族を伴う任意の局所凸空間は半ノルム化可能である。さらに空間がハウスドルフ（族が分離される）なら、その空間は半ノルムの和によって与えられるノルムによってノルム化可能である。開集合に関して、局所凸位相ベクトル空間が半ノルム化可能であるための必要十分条件は、{{math|0}} が[[有界集合|有界]]な近傍を持つことである。<br />
<br />
== 例と反例 ==<br />
<br />
=== 局所凸空間の例 ===<br />
<br />
* すべてのノルム空間はハウスドルフな局所凸空間であり、局所凸空間の理論のほとんどは、一部のノルム空間の理論を一般化するものである。半ノルムの族は単一のノルムとして取られる。すべてのバナッハ空間は完備かつハウスドルフな局所凸空間であり、特に {{math|''p'' ≥ 1}} に対する[[Lp空間|{{mvar|L{{sup|p}}}}-空間]]は局所凸である。<br />
* より一般に、すべてのフレシェ空間は局所凸である。フレシェ空間は、半ノルムの分離可算族を伴う完備局所凸空間として定義できる。<br />
* [[数列空間|実数列の空間]] {{math|'''R'''<sup>''ω''</sup>}} で、半ノルム族<math display="block">p_i(\{x_n\}_n) = |x_i| \qquad (i \in \mathbf{N})</math>を備えるものを考える。この半ノルムの可算族は完備かつ可分であるため、その空間はノルム化可能ではないフレシェ空間である。その空間はまた、有限列に無限個の {{math|0}} を付けくわえて無限列にする自然な方法で {{math|'''R'''<sup>''ω''</sup>}} に埋め込まれる空間 {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} の[[逆極限|極限位相]]となることに注意されたい。<br />
* 任意のベクトル空間 {{mvar|V}} と、その上の線型汎函数の集まり {{mvar|F}} が与えられたとき、{{mvar|F}} 内のすべての線型汎函数を連続にしながら最も弱い位相を与えることで、{{mvar|V}} は局所凸位相ベクトル空間に作り変えることが出来る。これは {{mvar|F}} によって定められる[[弱位相]]あるいは{{仮リンク|始位相|en|initial topology}}として知られる。その集まり {{mvar|F}} は {{mvar|V}} あるいは他の任意の集まりの[[双対空間|代数的双対]]である。この場合の半ノルムの族は、{{mvar|F}} 内のすべての {{mvar|f}} に対して {{math|''p<sub>f</sub>''(''x'') {{=}} {{abs|''f''(''x'')}}}} で与えられる。<br />
* 微分可能な函数の空間は、他のノルム化不可能な例を与える。{{mvar|a}} と {{mvar|b}} を[[多重指数]]としたとき、{{math|{{underset|''x''|sup}}{{abs|''x<sup>a</sup>D<sup>b</sup>f''}} < ∞}} を満たすような[[滑らかな関数]] {{math|''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''C'''}} の空間を考える。{{math|''p<sub>a,b</sub>''(''f'') {{coloneqq}} {{underset|''x''|sup}}{{abs|''x<sup>a</sup>D<sup>b</sup>f''(''x'')}}}} で定義される半ノルムの族は分離かつ可算であり、その空間は完備なので、距離化可能なフレシェ空間である。これは[[シュワルツ空間]]あるいは急減少函数の空間であり、その[[双対空間]]は{{仮リンク|緩増加表現|label=緩増加超函数|en|tempered representation}}の空間である。<br />
* 函数解析学における一つの重要な[[函数空間]]として、{{math|''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup>}} 内の[[関数の台|コンパクトな台]]を持つ滑らかな函数の空間 {{math|''D''(''U'')}} が挙げられる。{{math|{{subsup|C|0|∞}}(''U'')}} は一様ノルムについて完備でないため、そのような空間の位相についてはより詳細な構成が必要となる。{{math|''D''(''U'')}} 上の位相は次のように定義される：任意の固定された[[コンパクト集合]] {{math|''K'' ⊂ ''U''}} に対し、台 {{math|supp(''f'') ⊂ ''K''}} を持つ函数 {{math|''f'' ∈ {{subsup|C|0|∞}}(''U'')}} の空間 {{math|{{subsup|C|0|∞}}(''K'')}} は、可算個の半ノルムの族 {{math|{{norm|''f''}}<sub>''m''</sub> {{coloneqq}} {{underset|''x''|sup}}{{abs|''D<sup>m</sup>f''(''x'')}}}} を伴う[[フレシェ空間]]である（そのような半ノルムは実際にはノルムであり、ノルム {{math|{{norm|&bull;}}<sub>''m''</sub>}} を伴う空間 {{math|{{subsup|C|0|∞}}}} はバナッハ空間 {{math|''D<sup>m</sup>''(''K'')}} である）。包含によって向き付けられ、すべての合併が {{mvar|U}} に等しいようなコンパクト集合の任意の集まり {{math|{{mset|''K<sub>λ</sub>''}}<sub>''λ''</sub>}} が与えられたとき、{{math|{{subsup|C|0|∞}}(''K<sub>λ</sub>'')}} は[[帰納極限|順系]]を形成し、{{math|''D''(''U'')}} はその系の極限として定義される。そのようなフレシェ空間の極限は[[LF空間]]として知られている。より具体的に {{math|''D''(''U'')}} は、各[[包含写像]] {{math|{{subsup|C|0|∞}}(''K''<sub>λ</sub>) ↪ ''D''(''U'')}} を連続にするような{{仮リンク|終位相|en|final topology}}を伴うすべての {{math|{{subsup|C|0|∞}}(''K<sub>λ</sub>'')}} の合併である。この空間は局所凸かつ完備である。しかし、距離化可能でないためフレシェ空間ではない。{{math|''D''('''R'''<sup>''n''</sup>)}} の双対空間は、{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} 上の[[シュワルツ超函数|超函数]]の空間である。<br />
* より抽象的に、ある[[位相空間]] {{mvar|X}} が与えられたとき、{{mvar|X}} 上の（必ずしも有界でない）連続函数の空間 {{math|''C''(''X'')}} には、コンパクト集合上の[[一様収束]]の位相を与えることが出来る。この位相は半ノルム {{math|''φ<sub>K</sub>''(''f'') {{coloneqq}} max{{mset|{{abs|''f''(''x'')}} : ''x'' ∈ ''K''}}}} によって定義される（{{mvar|K}} は {{mvar|X}} のすべてのコンパクト部分集合の[[有向集合]]について変動する）。{{mvar|X}} が局所コンパクトであるとき（例えば、{{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} 内の開集合であるとき）、[[ストーン＝ワイエルシュトラスの定理]]が適用される。すなわち、実数値函数の場合、点を分離し、定数函数を含むような {{math|''C''(''X'')}} の任意の[[部分代数]]（例えば、多項式の部分代数）は、[[稠密集合|稠密]]である。<br />
<br />
=== 局所凸性を持たない空間の例 ===<br />
<br />
位相ベクトル空間の多くは局所凸である。局所凸性を持たない空間の例には、以下のようなものがある：<br />
<br />
* {{math|0 < ''p'' < 1}} に対する空間 [[Lp空間|{{math|''L<sup>p</sup>''([0, 1])}}]] で、次の[[F-空間|F-ノルム]]を備えるもの。<br />
<br />
::<math>\|f\|_p = \int_0^1 |f(x)|^p \, dx</math><br />
<br />
:このような空間は、ゼロの唯一つの凸近傍が全空間となるため、局所凸ではない。より一般に、アトムレス（atomless）な有限測度 {{mvar|μ}} を備える、{{math|0 < ''p'' < 1}} に対する空間 {{math|''L<sup>p</sup>''(''μ'')}} は局所凸ではない。<br />
<br />
* [[単位区間]] {{math|[0, 1]}} 上の[[測度|可測函数]]の空間（[[ほとんど (数学)|ほとんど至る所]]で等しい函数は区別する）は、平行移動不変な距離によって定義されるベクトル空間位相を持つ。すなわち<br />
<br />
::<math>d(f, g) = \int_0^1 \frac{|f(x) - g(x)|}{1+|f(x) - g(x)|} \, dx</math><br />
<br />
:（この距離は可測函数の[[測度収束]]を導く。[[確率変数]]に対して、測度収束は[[確率変数の収束|確率収束]]である）。この空間はしばしば {{math|''L''<sub>0</sub>}} と記述される。<br />
<br />
上の例はいずれも、[[実数]]への任意の連続線型写像は {{math|0}} であるという性質を持つ。特にそれらの[[双対空間]]は自明、すなわち、ゼロ汎函数のみを含む。<br />
<br />
* {{math|0 < ''p'' < 1}} に対する数列空間 {{math|''ℓ<sup>p</sup>''}} は局所凸ではない。<br />
<br />
== 連続線型写像 ==<br />
<br />
局所凸空間はベクトル空間であるとともに位相空間であるので、二つの局所凸空間の間で考えられる自然な函数は[[連続 (数学)|連続線型写像]]である。半ノルムを用いることで、線型写像の連続性に対する必要十分条件は、バナッハ空間に対して知られているより有名な[[有界作用素|有界性の条件]]と非常に似たものとして与えられる。<br />
<br />
それぞれ半ノルムの族 {{math|{''p<sub>α</sub>''}<sub>''α''</sub>}} および {{math|{''q<sub>β</sub>''}<sub>''β''</sub>}} を備える局所凸空間 {{mvar|V}} および {{mvar|W}} が与えられたとき、ある線型写像 {{math|''T'' : ''V'' → ''W''}} が連続であるための必要十分条件は、すべての {{mvar|β}} に対して、{{mvar|V}} 内のすべての {{mvar|v}} が<br />
<br />
:<math>q_\beta(Tv)\le M \left (p_{\alpha_1}(v) +\dotsb+p_{\alpha_n}(v) \right )</math><br />
<br />
を満たすような {{math|''α''<sub>1</sub>, ''α''<sub>2</sub>, ..., ''α<sub>n</sub>''}} および {{math|''M'' > 0}} が存在することである。これを言い換えると、{{mvar|T}} の値域の各半ノルムが[[定義域]]内の半ノルムのある有限和によって上から評価される、となる。族 {{math|{''p<sub>α</sub>''}<sub>''α''</sub>}} が有向族で、上述のように向き付けられるように常に選ばれるなら、上の式はより簡単かつ有名な次の形になる：<br />
<br />
:<math>q_\beta(Tv)\le Mp_\alpha(v).</math><br />
<br />
すべての局所凸位相ベクトル空間の[[クラス (集合論)|類]]は、[[射 (圏論)|射]]としての連続線型写像を伴う[[圏 (数学)|圏]]を形成する。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[クレイン＝ミルマンの定理]]<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{cite book |last=Conway |first=John |title=A Course in Functional Analysis | year=1990 | publisher=Springer |isbn=0-387-97245-5}}<br />
* {{Cite isbn|9780070542365}} <!-- Rudin, Walter (1991) Functional Analysis --><br />
<br />
{{DEFAULTSORT:きよくしよとついそうへくとるくうかん}}<br />
[[Category:位相空間]]<br />
[[Category:関数解析学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
複素数
2018-07-30T12:49:05Z
<p>125.9.201.214: 115.39.225.113 (会話) による ID:69408309 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>[[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|複素数は視覚的には実数の対 {{math|(''a'', ''b'')}} として表すことができ、それは[[複素数平面]]を表現する'''アルガン図'''上のベクトルとして働く。"Re" は実軸、"Im" は虚軸を意味する符牒であり、{{math|''i''}} は[[虚数単位]]と呼ばれる {{math|1=''i''{{exp|2}} = −1}} を満たす量である。]]<br />
[[数学]]における'''複素数'''（ふくそすう、{{lang-en-short|''complex number''}}）は、[[実数]]の対 {{mvar|a, b}} と {{math|1}} と[[線型独立]]な（実数ではない）要素 {{mvar|i}} の[[線型結合]] {{math|''a'' + ''bi''}} の形に表される[[数]]（[[二元数]]: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 {{mvar|i}} はその平方が {{math|&minus;1}} になるという特別な性質を持ち[[虚数単位]]と呼ばれる。{{efn|{{要出典範囲|1=複素数は元々、[[単位]]の異なる数の組み合わせで書かれる数のことを指す言葉であり、この場合は 1 を単位（素）とする実数と ''i'' を単位とする純虚数の和で表されているために「複数の要素を組み合わせたもの」という意味で複素数という言葉が用いられるようになった。|date=2016年5月}}}}<br />
<br />
複素数全体の成す集合を太字の {{math|'''C'''}} あるいは[[黒板太字]]で {{math|ℂ}} と表す。{{math|'''C'''}} は、[[実数]]全体の成す集合 {{math|'''R'''}} と同様に、[[可換体]]の構造を持ち、とくに {{math|'''R'''}} を含む[[代数閉体]]を成す。複素数体は[[ケイリー&ndash;ディクソン代数]]（[[四元数]]、[[八元数]]、[[十六元数]]など）の基点となる体系であり、またさまざまな[[超複素数系]]の中で最もよく知られた例である。<br />
<br />
複素数の概念は、一次元の[[実数直線]]を二次元の[[複素数平面]]に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり[[全順序]]）をいれることはできない<ref>{{Mathworld | urlname= ComplexNumber | title= Complex Number}}</ref>。すなわち {{math|'''C'''}} は[[順序体]]でない。<br />
<br />
ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、[[複素解析]]、複素[[行列]]、複素（係数）[[多項式]]、複素[[リー代数]]など。<br />
<br />
== 概観 ==<br />
=== 定義 ===<br />
任意の[[実数]]と（実数体上）[[線型独立]]な {{mvar|i}} は {{math|1=''i''{{exp|2}} = &minus;1}} を満たすものとするとき、これを[[虚数単位]]という{{efn|1 と<u>実数体上線型独立な</u>ベクトル {{mvar|u}} が {{math|1=''u''{{exp|2}} = 1 or 0}} となるものとすれば、別の種類の[[二元数]]が得られる。}}。{{math|''a'', ''b''}} を実数として形式的に [[線型結合|{{math|''a'' + ''bi''}}]] の形に書かれる式を一種の[[数]]と見做して'''複素数'''と呼ぶ。<br />
<br />
任意の実数 {{mvar|a}} は {{math|''a'' + 0''i''}} と同一視して、実数の全体は自然に複素数の全体に[[埋め込み|埋め込む]]ことができる（この埋め込みは、[[四則演算]]および[[絶対値]]を保つという意味で、[[位相体]]の埋め込みである）。また任意の[[純虚数]] {{mvar|bi}} は {{math|0 + ''bi''}} に同一視して複素数となる。<br />
<br />
複素数 {{math|''a'' + ''bi''}} に対して、{{mvar|a}} をその'''実部''' (''real part'') といい、{{mvar|b}} をその'''虚部''' (''imaginary part'') という。ここで複素数の虚部は実数であって、虚数単位を含めた純虚数を言うのではないことに注意<ref>Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3</ref><ref>{{Citation |title=College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann |first2=Vernon C. |last2=Barker |first3=Richard D. |last3=Nation |publisher=Cengage Learning |year=2007 |isbn=0-618-82515-0 |page=66 |url=https://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P}}</ref>。複素数 {{mvar|z}} の実部および虚部は、それぞれ {{math|Re(''z'')}} あるいは {{math|ℜ(''z'')}} および {{math|Im(''z'')}} あるいは {{math|ℑ(''z'')}} などで表される。すなわち<br />
: <math>z = \operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z)\cdot i.</math><br />
* 虚部が {{math|0}} でない、すなわち[[実数]]でない複素数のことを[[虚数]]という。<br />
* 実部が {{math|0}} である[[虚数]]は特に[[純虚数]]という。<br />
* 実部、虚部がともに[[整数]]のとき[[ガウス整数]]といい、その全体を {{math|'''Z'''{{bracket|''i''}}}} と書く。<br />
* 実部、虚部がともに[[有理数]]のとき'''ガウス有理数'''といい、その全体を {{math|'''Q'''(''i'')}} と表す。<br />
<br />
=== 複素数平面 ===<br />
{{main|ガウス平面}}<br />
[[画像:Complex.png|right|複素数平面]]<br />
複素数 ''z'' = ''x'' + ''iy'' と2つの実数 ''x'', ''y'' の組 (''x'', ''y'') は[[単射|1 : 1 に対応]]するから、複素数全体からなる集合 {{math|'''C'''}} は、''z'' = ''x'' + ''iy'' を (''x'', ''y'') と見なすことにより座標平面と考えることができる。そこで '''C''' を'''[[複素数平面]]'''または単に'''数平面'''という。[[カール・フリードリヒ・ガウス]]に因んで'''ガウス平面'''あるいは{{仮リンク|ジャン゠ロベール・アルガン|en|Jean-Robert Argand}}に因んで'''アルガン図'''などと呼ぶ。これと異なる語法として、{{math|'''C'''}} は複素数体上一次元のアフィン線型多様体であるので、'''複素直線'''とも呼ばれる。<br />
<br />
数平面においては、''x''座標が実部、''y''座標が虚部に対応し、''x''軸（横軸）を'''実軸''' (''real axis'')、''y'' 軸（縦軸）を'''虚軸''' (''imaginary axis'') と呼ぶ<ref name="omote"/>。<br />
複素数 ''z'', ''w'' に対して<br />
:''d''(''z'', ''w'') = |''z'' &minus; ''w''|<br />
とすると、('''C''', ''d'') は[[距離空間]]となる。この距離は、座標平面における[[ユークリッド距離]]に対応する。複素平面は複素数の形式的な計算を視覚化でき、数の概念そのものを拡張した。<br />
<br />
=== 複素数球面 ===<br />
{{main|リーマン球面|射影直線}}<br />
[[画像:Stereographic_projection_in_3D.png|thumb|right|リーマン球面の視覚化]]<br />
複素関数論においては、複素平面 '''C''' を考えるよりも、[[無限遠点]]を付け加えて1点コンパクト化した {{math|'''C''' ∪ {{mset|∞}}}} を考える方が自然であり、議論が透明になることもある。'''複素数球面'''または[[リーマン球面]]と呼ばれ、以下に示すように[[球面|2次元球面 {{math|''S''{{msup|2}}}}]] と同相である。無限遠点にも幾何的な意味を与えることができる。<br />
<br />
複素数平面 {{math|'''C'''}} を、{{mvar|xyz}}-座標空間内の {{mvar|xy}}-平面とみなし、{{math|''z'' ≥ 0}} に含まれ {{mvar|xy}}-平面に原点で接する球面 {{math|1=''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}} + (''z'' &minus; 1){{exp|2}} = 1}} を考える。この球における原点の{{仮リンク|対蹠点 (数学)|label=対蹠点|en|Antipodal point}} {{math|(0, 0, 2)}} を北極と呼ぶことにする。任意の複素数 {{mvar|w}} に対し {{mvar|w}} と北極を結んだ線分はこの球面と、両端以外の一点で必ず交わり、それを {{math|''f''(''w'')}} と書けば {{mvar|f}} は[[単射]]である。{{mvar|f}} の像は、全球面から射影の中心である北極を除いた部分である。そこで、北極は[[無限遠点]]に対応すると定めることにすると、この球面は {{math|'''C''' ∪ {{mset|∞}}}} と[[全単射|一対一対応]]する。<br />
<br />
この関数 ''f'' は、複素平面上の円を円に写し、複素平面上の直線を、無限遠点を通る円に写す。このことは、複素平面上の直線と円はほぼ同等であることを表している。<br />
<br />
== 基本的な性質 ==<br />
=== 相等関係 ===<br />
二つの複素数が'''等しい'''とはそれらの実部および虚部がそれぞれ等しいことを言う。記号で書けば<br />
:<math>z_{1} = z_{2} \iff ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \and \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})).</math><br />
<br />
=== 四則演算 ===<br />
[[File:Vector Addition.svg|200px|right|thumb|二つの複素数の和は幾何学的には平行四辺形の対角線を作ることと解釈できる。]]<br />
*(''a'' + ''bi'') ± (''c'' + ''di'') = (''a'' ± ''c'') + (''b'' ± ''d'')''i''（[[複号]]同順）<br />
*(''a'' + ''bi'')(''c'' + ''di'') = (''ac'' &minus; ''bd'') + (''bc'' + ''ad'')''i''<br />
*<math>\frac{a+bi}{c+di} =\frac{ac+bd}{c^2 +d^2} +\frac{bc-ad}{c^2 +d^2} i</math><br />
<br />
*''z{{sup|n}}z{{sup|m}} = z{{sup|n+m}}''<br />
*(''z{{sup|n}}){{sup|m}}'' = ''z{{sup|nm}}''<br />
*(''zw''){{sup|''n''}} = ''z{{sup|n}}w{{sup|n}}''<br />
<br />
=== 複素共役（共役複素数） ===<br />
{{See also|複素共軛}}<br />
[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|複素数 {{mvar|z}} およびその共軛 {{mvar|{{overline|z}}}} の複素数平面における幾何学的表現]]<br />
虚部の符号だけが異なる複素数 ''a'' + ''bi'' と ''a'' &minus; ''bi'' を互いに'''[[複素共役]]'''あるいは単に'''共役'''（きょうやく、''conjugate''、本来は'''共軛'''）であるといい、''z'' = ''a'' + ''bi'' と共役な複素数 ''a'' &minus; ''bi'' を記号で {{overline|''z''}} （または ''z''*）と表す<ref name="omote">{{Harvtxt|表|1988}}</ref>。すなわち<br />
: <math>\bar{z} = \Re e(z) - \Im m(z)\cdot i.</math><br />
<br />
*''z'' が実数 ⇔ {{overline|''z''}} = ''z''<br />
*''z'' が純虚数 ⇔ {{overline|''z''}} = &minus;''z'' ≠ 0<br />
*<math>\overline{\overline{z}}=z</math>（[[対合]]）<br />
*<math>|z|=|\overline{z}|</math><br />
*''z'' + {{overline|''z''}} = 2 Re ''z''<br />
*''z'' &minus; {{overline|''z''}} = 2''i'' Im ''z''<br />
*''z''{{overline|''z''}} = |''z''|{{sup|2}}<br />
:特に <math>z^{-1} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \ (z \ne 0)</math> <br />
*<math>\overline{z\pm w} =\overline{z} \pm \overline{w}</math>（複号同順）<br />
*{{overline|''zw''}} = {{overline|''z''}} {{overline|''w''}}<br />
*<math>\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} =\frac{\overline{z}}{\overline{w}}</math><br />
*<math>\overline{z^n} =\left( \overline{z} \right)^n</math><br />
これらから、<br />
:「複素数 ''α'' が実数係数の[[多項式]] ''P''(''x'') の解ならば、{{overline|''α''}} も ''P''(''x'') の解である」<br />
が容易に示せる（[[1746年]]:[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]]）。すなわち、<br />
:実数係数多項式 ''P''(''x'') について、''P''(''α'') = 0 ⇔ ''P''({{overline|''α''}}) = 0<br />
が成り立つ。<br />
<br />
== 極形式 ==<br />
{{seealso|極座標|{{仮リンク|極分解|en|polar decomposition}}}}<br />
[[File:Complex number illustration modarg.svg|right|thumb|偏角 {{mvar|φ}} および絶対値 {{mvar|r}} は複素数平面上の点の位置を定める。すなわち各点の「極」表示が {{math|''r''(cos(''φ'') + ''i'' sin(''φ''))}} あるいは {{mvar|re{{exp|iφ}}}} で与えられる。]]<br />
<br />
{{mvar|x}}-軸および {{mvar|y}}-軸をそれぞれ実軸および虚軸ととるのとは別の仕方で、複素数を複素数平面上の点 {{math|P}} として定義する方法として、[[原点 (数学)|原点]] {{math|O: (0,0)}} からの距離と、{{仮リンク|正の実数|en|Positive real numbers|label=正の実軸}}と線分 {{math|OP}} の見込む角を反時計回りに測ったものの対（{{math|P}} の[[極座標]]）を考えることが挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。<br />
<br />
=== 絶対値 ===<br />
{{main|絶対値}}<br />
複素数 {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} の[[絶対値]] (absolute value, modulus) とは<br />
: <math>r = |z|=\sqrt{x^2 +y^2}</math><br />
で与えられる実数を言う。{{mvar|z}} が実数（つまり {{math|1=''y'' = 0}}）のとき {{math|1=''r'' = {{abs|''x''}}}} は実数の絶対値 ({{math|1={{abs|''x''}} = max{{mset|''x'', &minus;''x''}}}}) に一致する。一般の場合には、[[ピュタゴラスの定理]]により、{{mvar|r}} は原点と {{mvar|z}} の表す点 {{mvar|P}} との距離に等しい。絶対値の平方は、自身とその共軛複素数との積に等しい。すなわち複素数 {{mvar|z}} に対して<br />
: <math>|z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2</math><br />
が成り立つ。<br />
<br />
* 非退化性: {{math|1={{abs|''z''}} = 0 ⇔ ''z'' = 0}}<br />
* [[三角不等式]]: {{math|{{abs|''z'' + ''w''}} ≤ {{abs|''z''}} + {{abs|''w''}}}} ([[劣加法的函数|劣加法性]]とも)<br />
* [[バナッハ環|乗法性]]: {{math|1={{abs|''zw''}} = {{abs|''z''}}{{abs|''w''}}}}<br />
<br />
=== 偏角 ===<br />
{{main|[[偏角 (複素数)]]}}<br />
複素数 {{mvar|z}} の[[偏角 (複素数)|偏角]]（応用の場面ではしばしば「[[位相]]」とも呼ばれる）{{math|arg(''z'')}} は正の実軸から測った[[動径]] {{math|OP}} の角度をいう。偏角 {{mvar|φ}} の値は[[ラジアン]]で表すものとする。絶対値のときと同様、直交形式 {{math|''x'' + ''yi''}} から偏角を<br />
: <math>\varphi = \arg(z) =<br />
\begin{cases}<br />
\arctan(\frac{y}{x}) & \text{if } x > 0 \\<br />
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \text{if } x < 0 \text{ and } y \ge 0\\<br />
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \text{if } x < 0 \text{ and } y < 0\\<br />
\frac{\pi}{2} & \text{if } x = 0 \text{ and } y > 0\\<br />
-\frac{\pi}{2} & \text{if } x = 0 \text{ and } y < 0\\<br />
\text{indeterminate } & \text{if } x = 0 \text{ and } y = 0.<br />
\end{cases}</math><br />
と求めることができる<ref>{{Citation | title= Complex Variables: Theory And Applications | edition= 2nd | chapter= Chapter 1 | first1= H.S. | last1= Kasana | publisher= PHI Learning Pvt. Ltd | year= 2005 | isbn= 81-203-2641-5 | page= 14 | url={{google books|plainurl=yes|id=rFhiJqkrALIC|page=14}}}}</ref>（計算機言語ではしばしばこのような対応を {{mvar|x, y}} 二つの引数を持つ函数 {{仮リンク|atan2|en|atan2}} として実装する）。例外として複素数 {{math|[[0]]}}に対する極形式の偏角は不定 (indeterminate) とするが、角度 {{math|0}} は如何なる偏角の取り方においても共通して正の実数を表す。<br />
<br />
通常はこのように、区間 {{math|(&minus;''π'', ''π''{{)!}}}} に値を取るものとして、それを[[主値]]とする。あるいはこのとき負の値となるものに対して {{math|2''&pi;''}} を加えるものとすれば {{math|[0, 2''&pi;'')}} の範囲で値を取ることができる。同じ角に対してその角度に {{math|2''π''}} の任意の整数倍を加えても同じ角を表すのだから、偏角を与える函数は[[多価函数|多価]]であるものとして考えることもしばしばである。このような多価性は、数学的には以下のように捉えられる。すなわち {{math|1=arctan(''z'')}} がひとたび与えられたとき、{{mvar|z}} がその近傍を連続的に変化するならば、函数の値もまたその近傍で連続的に変化するように枝をとるものとして、それを単に {{math|1=arg(''z'') = arctan(''y''/''x'')}} のように書く{{efn|これは正確には適当な[[リーマン面]]を考えるべきであろうけれども、直観的には {{math|1=tan(arctan(''α'')) = ''α''}} かつ {{math|1=arctan(tan(''β'')) = ''β''}} が常に成り立っているように枝を渡る（特定の一つの枝を固定したのでは不連続となる点の前後で、実際には隣の枝に遷る）と理解することができる。}}。<br />
<br />
=== 表示形式と記法 ===<br />
絶対値 {{mvar|r}} と偏角 {{mvar|φ}} を併せれば複素数平面上の点の位置を完全に特定することができ、'''極形式''' (''polar form'') と呼ばれる複素数の表現方法が与えられる。極形式からもとの直交座標 (rectangular co-ordinates) を恢復するには、「三角函数形式」<br />
: <math> z = r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))</math><br />
を考えればよい。[[オイラーの公式]]を用いれば、これを {{math|size=large|1=''z'' = ''re''{{exp|''iφ''}}}} と書くことができるし、[[cis函数]]を用いて {{math|size=larger|1=''z'' = ''r''&thinsp;cis(''φ'')}} と書くこともある。<br />
<br />
{{仮リンク|フェーザ形式|en|angle notation}}<br />
: <math>z = r \ang \varphi</math><br />
は[[電子工学]]において振幅 {{mvar|r}} と位相 {{mvar|φ}} を持つ[[フェーザ表示|フェーザ]]を表すのによく用いられる<ref>{{Citation | title= Electric circuits | chapter= Chapter 9 | edition= 8th | first1= James William | last1= Nilsson | first2= Susan A. | last2= Riedel | publisher= Prentice Hall | year= 2008 | isbn= 0-13-198925-1 | page= 338 | url= {{google books|plainurl=yes|id=sxmM8RFL99wC|page=338}}}}</ref>。<br />
<br />
=== 極形式の下での乗除法 ===<br />
[[File:Complex multi.svg|right|thumb|{{math|2 + ''i''}} (青) と {{math|3 + ''i''}} (赤) の積。赤三角は青三角の頂点の見込む角の分だけ回転され、青三角の[[斜辺]]の長さ [[5の平方根|{{sqrt|5}}]] の分だけ引き延ばされて<br />
: <math>(2+i)(3+i)=5+5i</math><br />
を表す三角 (灰) に変形される。{{math|5 + 5''i''}} の実部と虚部は等しいので、偏角は {{math|π/4}} である（ラジアンで測った角）。もとの青および赤の三角形の原点にある角はそれぞれ {{math|[[arctan]](1/3)}} および {{math|arctan(1/2)}} であるから<br />
: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math><br />
が成り立つ。[[逆正接函数]]は高効率で近似することができることに応じて、[[円周率|{{π}}]] を高精度に近似するこのような式（[[マチンの公式|マチン類似の公式]]と呼ばれる）に用いられる。]]<br />
乗法、除法および冪の計算は、極形式のもとで行うほうが直交座標によるよりも簡明である。二つの複素数を {{math|1=''z''{{ind|1}} = ''r''{{ind|1}}(cos(''φ''{{ind|1}}) + ''i'' sin(''φ''{{ind|1}}))}} および {{math|1=''z''{{ind|2}} = ''r''{{ind|2}}(cos(''φ''{{ind|2}}) + ''i'' sin(''φ''{{ind|2}}))}} とすれば、よく知られた三角函数の加法定理 <br />
: <math> \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b),</math><br />
: <math> \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)</math><br />
によって<br />
: <math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))</math><br />
が導かれる。すなわち積の極形式表示において、積の絶対値は絶対値の積であり、積の偏角は偏角の和である。例えば {{mvar|i}} を掛けることは反時計回りに直角に回転させることであり、その意味において {{math|1=''i''{{exp|2}} = &minus;1}} であることが再び確かめられる。 <br />
<br />
同様にして、商は<br />
: <math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right)</math><br />
と与えられる。<br />
<br />
=== 偏角の計算規則 ===<br />
偏角に関する等式 {{math|1=arg(''zw'') = arg(''z'') + arg(''w'')}} は、各項に {{math|2''π''}} の任意の整数倍を加える不定性を[[違いを除いて|除いて]]成り立つ等式であることに注意しなければならない。例えば {{math|1=arg(''z''{{exp|2}}) = arg(''z'') + arg(''z'') = 2 arg(''z'')}} において、もし各項任意に偏角をとるものとしてしまうと、{{math|1=arg(''z'') = ''θ'' + 2''nπ''}} ({{mvar|n}} は任意の整数) と書けば、右辺は {{math|2''θ'' + 4''nπ''}} だが左辺は {{math|2''θ'' + 2''mπ''}} ({{mvar|m}} は任意の整数) となり厳密には等しくならない。それを明示するために[[合同式]]の記法を流用してしばしば {{math|arg(''zw'') ≡ arg(''z'') + arg(''w'') (mod 2''π'')}} などとも書く。これが {{math|mod 2''π''}} に関して合同であるという理解は重要である。しかし、先述のように（適当な[[リーマン面]]上で）偏角をとるものと仮定すれば、{{math|2''π''}} の整数倍を加える不定性無く実際に等号が成り立つ。すなわち、三つの複素数 {{mvar|zw, z, w}} のそれぞれに対して独立に偏角をとるのではなく、ひとたび {{math|1=arg(''zw'') = arg(''z'') + arg(''w'')}} を満たすように偏角を一組選べば（例えば右辺の各項の値を決め、それによって左辺の値を定義すれば）、{{mvar|z}} あるいは {{mvar|w}} を連続的に変化させるとき、{{math|arg(''zw'')}} も連続的に変化して、そのような三点の近傍において常に厳密な意味で等号が成立する{{sfn|木村|高野|1991|p=4}}。<br />
<br />
同様の注意のもと以下が成り立つ:<br />
* {{math|1=arg(''zw'') = arg(''z'') + arg(''w'')}}<br />
* {{math|1=arg(''{{sfrac|z|w}}'') = arg(''z'') &minus; arg(''w'')}}<br />
* {{math|1=arg(''z{{exp|n}}'') = ''n'' arg(''z'')}} （{{mvar|n}} は整数）<br />
偏角の計算法則は[[対数]]のそれとほぼ同じであるが、それは複素数を変数とする[[自然対数]]の虚部が偏角によって表されることに起因している。<br />
<br />
=== ド・モアブルの定理 ===<br />
{{main|ド・モアブルの定理}}<br />
実数 ''θ'', 整数 ''n'' に対して、<br />
:(''e{{sup|iθ}}''){{sup|''n''}} = ''e{{sup|inθ}}''<br />
が成り立つ（ド・モアブルの定理）。同じことであるが<br />
:(exp ''iθ''){{sup|''n''}} = exp ''inθ''<br />
:(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ''){{sup|''n''}} = cos ''nθ'' + ''i'' sin ''nθ''<br />
とも表現される。''n'' が整数でないとき一般には成り立たない。<br />
<br />
== 性質と特徴付け ==<br />
{{unreferenced section|date=June 2013}}<br />
<br />
=== 体構造 ===<br />
{{main|可換体}}<br />
複素数全体の成す集合 {{math|'''C'''}} は[[可換体|体]]を成す。これは以下のような事実が成り立つことを意味する。<br />
* [[閉性|演算が閉じている]]: 任意の二つの複素数の和および積はふたたび複素数になる。<br />
* [[反数]]の存在: 任意の複素数 {{mvar|z}} に加法逆元 {{math|&minus;''z''}} が存在してそれもまた複素数である。<br />
* [[逆数]]の存在: 任意の非零複素数に対して乗法逆元 {{math|1/''z''}} が存在する。<br />
* さらにいくつかの法則を満足する。{{math|''z''{{ind|1}}, ''z''{{ind|2}}, ''z''{{ind|3}}}} を任意の複素数として<br />
** 和の[[交換法則]]: {{math|1=''z''{{ind|1}} + ''z''{{ind|2}} = ''z''{{ind|2}} + ''z''{{ind|1}}}}<br />
** 和の[[結合法則]]: {{math|1=(''z''{{ind|1}} + ''z''{{ind|2}}) + ''z''{{ind|3}} = ''z''{{ind|1}} + (''z''{{ind|2}} + ''z''{{ind|3}})}}<br />
** 積の交換法則: {{math|1=''z''{{ind|1}}''z''{{ind|2}} = ''z''{{ind|2}}''z''{{ind|1}}}}<br />
** 積の結合法則: {{math|1=(''z''{{ind|1}}''z''{{ind|2}})''z''{{ind|3}} = ''z''{{ind|1}}(''z''{{ind|2}}''z''{{ind|3}})}}<br />
** [[分配法則]]: {{math|1=''z''{{ind|1}}(''z''{{ind|2}} + ''z''{{ind|3}}) = ''z''{{ind|1}}''z''{{ind|2}} + ''z''{{ind|1}}''z''{{ind|3}}}}<br />
これらの性質は、実数全体の成す集合 {{math|'''R'''}} が体であるという事実のもと、先に与えた基本的な和と積の定義式から証明することができる。<br />
<br />
実数のときと異なり、{{math|'''C'''}} は[[順序体]]にはならない。つまり、加法および乗法に両立する[[順序関係]] {{math|''z''{{ind|1}} < ''z''{{ind|2}}}} を定義することはできない<ref name="omote"/>。実は、任意の順序体において任意の元の平方は {{math|0}} 以上でなければならず、それゆえ {{math|1=''i''{{exp|2}} = −1}} となることは {{math|'''C'''}} 上のそのような[[全順序]]の存在を否定することになる。<br />
<br />
=== 代数閉体 ===<br />
{{main|代数学の基本定理|代数閉体}}<br />
任意の複素数 {{math|''a''{{ind|0}}, …, ''a''{{ind|''n''}}}} を[[係数]]とする多項式<br />
: <math>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0</math><br />
は、高次の係数 {{math|''a''{{ind|1}}, …, ''a''{{ind|''n''}}}} のうちの少なくとも一つが非零のとき、少なくとも一つの複素根 {{mvar|z}} を持つ。これが[[代数学の基本定理]]である。この事実により {{math|'''C'''}} は[[代数閉体|代数閉]]である。この性質は[[有理数]]体 {{math|'''Q'''}} や実数体 {{math|'''R'''}} では成り立たない（前者は例えば {{math|''x''{{exp|2}} − 2}} が有理根を持たず、後者は例えば {{math|''a'' > 0}} に対して {{math|''x''{{exp|2}} + ''a''}} が実根を持たない）。<br />
<br />
代数学の基本定理の証明はざまざまなやり方があり、例えば[[リウヴィルの定理 (解析学)|リューヴィルの定理]]などを用いる解析的な方法や、[[回転数 (数学)|巻き数]]などを使う[[位相幾何学|位相的]]な証明、あるいは奇数次の実係数多項式が少なくとも一つの実根を持つ事実に[[ガロワ理論]]を組み合わせた証明などがある。<br />
<br />
この事実により、「任意の代数閉体に対して成り立つ定理」を {{math|'''C'''}} にも適用できる。例えば、任意の空でない複素[[正方行列]]は少なくとも一つの複素[[固有値]]を持つ。<br />
<br />
=== 代数的特徴付け ===<br />
体 {{math|'''C'''}} は以下の三つの性質:<br />
* [[標数]]は {{math|0}} である。これは各項がすべて {{math|1}} であるような和は項の数がいくつであっても {{math|1=1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0}} となるという意味である。<br />
* {{math|'''C'''}} の[[素体 (数学)|素体]] {{math|'''Q'''}} 上の[[超越次数]]は[[連続体濃度]]に等しい。<br />
* [[代数閉体]]である。（前の節を参照）<br />
を満足する。この三つの性質を持つ任意の体は、体として {{math|'''C'''}} に同型であることが示せる。例えば [[p進数|{{math|'''Q'''{{ind|''p''}}}}]] の[[代数閉包]]はこれら三つを満たすので、{{math|'''C'''}} に同型となる。この代数的な {{math|'''C'''}} の特徴付けの帰結として、{{math|'''C'''}} は自身に同型な真の部分体を無数に含むことがわかる。<br />
<br />
また {{math|'''C'''}} は複素{{仮リンク|ピュイズー級数|en|Puiseux series}}体に同型である（が、その同型を決めるには[[選択公理]]が必要となる）。<br />
<br />
=== 位相体としての特徴付け ===<br />
{{math|'''C'''}} には代数的側面のみならず、[[近傍 (位相空間論)|近傍]]や[[連続写像|連続性]]などの[[解析学]]や[[位相空間論]]の分野で考慮の対象となる性質も備えている。そのような位相的性質に関して {{math|'''C'''}} は、適当な意味で収束の概念を考えることのできる[[位相体]]を成すことに注意しよう。<br />
<br />
{{math|'''C'''}} は以下の三条件を満たす部分集合 {{math|''P''}} を持つ<br />
* {{math|''P''}} は加法、乗法および逆元を取ることについて[[閉性|閉じている]]。<br />
* {{mvar|x, y}} が {{math|''P''}} の相異なる元ならば {{math|''x'' &minus; ''y''}} または {{math|''y'' &minus; ''x''}} のうちの何れか一方のみが {{math|''P''}} に属する。<br />
* {{mvar|S}} が {{math|''P''}} の空でない部分集合ならば、適当な {{math|''x'' &isin; '''C'''}} に対して{{math|1=''S'' + ''P'' = ''x'' + ''P''}} が成り立つ。<br />
この {{mvar|P}} はつまり正の実数全体の成す集合である。さらに言えば、{{math|'''C'''}} は非自明な[[対合]]的{{仮リンク|反自己同型|en|antiautomorphism}}として複素共軛変換 {{math|''x'' {{mapsto}} ''x''*}} を持ち、任意の非零複素数 {{mvar|x}} に対して {{math|''xx''* &isin; ''P''}} が成り立つ。<br />
<br />
これらの性質を満たす任意の体 {{mvar|F}} には、任意の {{math|''x'' &isin; ''F'', ''p'' &isin; ''P''}} に対する集合 {{math|1= ''B''(''x'', ''p'') = {{mset| ''y'' | ''p'' &minus; (''y'' &minus; ''x'')(''y'' &minus; ''x'')* ∈ ''P''}}}} を[[基底 (位相空間論)|開基]]とすることによって、位相を入れることができ、この位相に関して {{mvar|F}} は {{math|'''C'''}} に'''位相体として'''同型になる。<br />
<br />
これとは別の位相的な特徴付けに、[[連結空間|連結]]な[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]][[位相体]]は {{math|'''R'''}} および {{math|'''C'''}} に限ることが利用できる。実際このとき、非零複素数の全体 {{math|'''C''' {{setminus}} {{mset|0}}}} は連結だが、非零実数の全体 {{math|'''R''' {{setminus}} {{mset|0}}}} は連結でないという事実を併せれば、{{math|'''R'''}} と峻別することができる。<br />
<br />
=== 乗法群の構造 ===<br />
非零複素数の全体 {{math|1='''C'''* = '''C''' {{setminus}} {{mset|0}}}} は、複素数体 {{math|'''C'''}} の[[単元群|乗法群]] {{math|'''C'''{{msup|&times;}}}} であり、{{math|'''C'''}} における[[距離空間]]としての[[部分位相空間]]と見て、[[位相群]]を成す。また、絶対値 {{math|1}} の複素数全体の成す群（[[単位円|円周群]]）{{math|'''U'''}} はその部分位相群であり、写像<br />
: <math>\mathbb{R/Z} \to \mathbb{U};\; x + \mathbb{Z} \mapsto e^{2\pi ix}</math><br />
および写像<br />
: <math>\mathbb{C}^* \to \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{U};\; re^{i\theta} \mapsto (r,e^{i\theta})</math><br />
は位相群としての[[準同型|同型]]である。ここに、{{math|'''R'''/'''Z'''}} は[[位相群#商位相群|商位相群]]、{{math|'''R'''{{subsup|2=+|3=&lowast;}}}} は正の実数の全体が乗法についてなす群であり、{{math|×}} は位相[[群の直積]]を表す。<br />
<br />
== 形式的構成 ==<br />
=== 実数の対として ===<br />
{{main|ケイリー&ndash;ディクソン構成}}<br />
[[1835年]]に[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン|ハミルトン]]によって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。<br />
<br />
実数の[[直積集合|順序対]] (''a'', ''b'') および (''c'', ''d'') に対して和と積を<br />
:(''a'', ''b'') + (''c'', ''d'') = (''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')<br />
:(''a'', ''b'') × (''c'', ''d'') = (''ac'' &minus; ''bd'', ''ad'' + ''bc'')<br />
により定めるとき、(''a'', ''b'') を'''複素数'''という。実数 ''a'' は (''a'', 0) の形で表され、虚数単位 ''i'' は (0, 1) に当たる。このとき、'''R'''{{sup|2}} は+, × に関して[[可換体|体]]となり、[[加法単位元|零元]]は (0, 0)、[[単位元]]は (1, 0) である。<ref>高木『解析概論』付録I, §10.</ref><br />
<br />
ハミルトンの代数的な見方に対するこだわりは、複素数をさらに拡張した[[四元数]]の発見へと結び付いた。<br />
<br />
=== 剰余環としての構成 ===<br />
{{main|剰余環|体の拡大}}<br />
{{seealso|根体|分解体}}<br />
{{math|'''C'''}} の代数的な姿をより明確にする特徴付けは、体および多項式の概念に基づく構成によって示される。[[可換体|体]]とは[[有理数]]全体の成す集合のように四則演算ができてよく知られたいくつかの性質を満たすものである。実数全体の成す集合 {{math|'''R'''}} が体であり、また {{math|'''R'''}} に係数を持つ多項式全体の成す集合 {{math|'''R'''[''X'']}} が通常の多項式の和および積に関して[[多項式環]]と呼ばれる[[環 (数学)|環]]を成すことに注意する。<br />
<br />
[[剰余環]] {{math|'''R'''{{bracket|''X''}}/(''X''{{exp|2}} + 1)}} が {{math|'''R'''}} を含む体となることは示すことができる。この拡大体は {{mvar|X}} および {{math|&minus;''X''}}（の属する剰余類）を {{math|−1}} の二つの平方根として含む。この剰余環の任意の元は {{math|''a'' + ''bX'' (''a'', ''b'' は実数)}} の形の多項式を代表元に持ち、[[ユークリッド除法|多項式の除法の原理]]によってこのような多項式は一意的に決まるから、{{math|1}} および {{math|''X''}} の属する剰余類は実[[ベクトル空間]]としての {{math|'''R'''{{bracket|''X''}}/(''X''{{exp|2}} + 1)}} の基底である。<br />
<br />
さらに言えば、このような元（剰余類）を（その代表元となる上記の一次式の係数によって）実数の順序対 {{math|(''a'', ''b'')}} によって表すならば、この体における（[[抽象代数学]]的に与えられた）加法および乗法は[[#実数の対として|前節]]で述べた（形式的に与えられた）加法と乗法の定義式に整合する。すなわち、二つのやり方で得られた体 {{math|'''C'''}} は体として[[同型]]である。<br />
<br />
=== 行列表現 ===<br />
{{seealso|実二次正方行列}}<br />
対応<br />
:<math>a+bi\leftrightarrow \begin{pmatrix}<br />
a &-b\\<br />
b &a<br />
\end{pmatrix}\quad (a,b\in\mathbb{R})</math><br />
により、複素数を[[行列]]で表現することができる。つまり、複素数の加法および乗法は、この対応によって通常の{{仮リンク|行列の和|en|matrix addition}}および[[行列の積]]に写される。また複素共軛は[[行列の転置]]に対応することが確認できる。<br />
<br />
[[#極刑式|極形式]]を用いて {{math|1=''a'' + ''bi'' = ''r''(cos(''θ'') + ''i''&thinsp;sin(''θ''))}} と書けば、<br />
: <math>\begin{pmatrix}<br />
a &-b\\<br />
b &a<br />
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}<br />
r\cos \theta &-r\sin \theta \\<br />
r \sin \theta &r\cos \theta<br />
\end{pmatrix} =r\begin{pmatrix}<br />
\cos \theta &-\sin \theta \\<br />
\sin \theta &\cos \theta<br />
\end{pmatrix}</math><br />
は角度 {{mvar|θ}} の[[回転行列]]のスカラー {{mvar|r}}-倍であり、これは複素数の積が {{math|'''R'''{{msup|2}}}} 上の（原点を中心とする）{{仮リンク|相似拡大|en|Homothetic transformation}}と[[回転 (数学)|回転]]の合成を引き起こすことに対応する。<br />
<br />
複素数 {{math|1=''z'' = ''a'' + ''bi''}} の表現行列を {{mvar|A}} とすると、{{mvar|A}} の[[行列式]]<br />
: {{math|1=det(''A'') = ''a''{{exp|2}} + ''b''{{exp|2}} = {{abs|''z''}}{{exp|2}}}}<br />
は対応する[[#絶対値|複素数の絶対値]]の平方である。<br />
<br />
この行列表現はよく用いられる標準的なものだが、行列 <math>(\begin{smallmatrix}1&-1\\0&1\end{smallmatrix})</math> を平方が[[単位行列]]の {{math|&minus;1}}-倍となる任意の行列に取り換えて、別の行列表現が無数に考えられる（[[#複素数の拡張|後述]]、また[[実二次正方行列]]の項も参照）。<br />
<br />
== 複素函数 ==<br />
[[File:Sin1perz.png|thumb|270px|[[Color wheel graphs of complex functions|Color wheel graph]] of {{math|sin(1/''z'')}}. Black parts inside refer to numbers having large absolute values.]]<br />
{{main|複素解析}}<br />
複素変数の函数の研究は[[複素函数論]]と呼ばれ、純粋数学の多くの分野のみならず[[応用数学]]においても広汎な応用がもたれる。[[実函数論]]や[[数論]]等における命題の最も自然な証明が、複素解析の手法によって為されることもしばしば起こる（例えば[[素数定理]]。あるいは[[代数学の基本定理]]の[[ルーシェの定理]]による証明）。[[実函数]]が一般に実二次元のグラフとして視覚的に理解することができたのとは異なり、{{仮リンク|複素函数|en|complex function}}のグラフは実四次元となるから、その視覚化に際しては二次元や{{仮リンク|三次元グラフ|en|three-dimensional graph}}に色相（もしくは明度や彩度、輝度）による次元を加えたり、あるいは複素函数の引き起こす複素数平面の動的な変換をアニメーションで表したりすることが有効になる。<br />
<br />
実解析における[[収斂級数]]や[[連続函数|連続性]]などの概念は、いわゆる[[ε-δ論法]]において実数の絶対値を用いたところを複素数の絶対値で置き換えることにより、複素解析においても自然に考えられる。例えば、複素数列が収束するための必要十分条件は、その実部および虚部の成す実数列がともに収束することである。もう少し抽象的な観点では、{{math|'''C'''}} は[[距離函数]]<br />
: <math>d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|\quad (z_1,z_2\in \mathbb{C})</math><br />
を備える[[完備距離空間]]で、特に[[三角不等式]]<br />
: <math>|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|</math><br />
が成立する。実解析と同様に、収束の概念はいくらかの[[初等函数]]の構成において用いられる。<br />
<br />
=== 指数・対数 ===<br />
==== 複素指数函数 ====<br />
[[複素指数函数]] {{math|exp(''z'')}} あるいは {{mvar|e{{exp|z}}}} は[[無限級数]]<br />
: <math>\exp(z):= 1+z+\frac{z^2}{2\cdot 1}+\frac{z^3}{3\cdot 2\cdot 1}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}</math><br />
として定義され、この級数を用いて（実変数の指数函数によって {{math|sinh}} や {{math|cosh}} のような[[双曲線函数]]を定義するように）実変数の[[正弦函数]] {{math|sin(''x'')}} や[[余弦函数]] {{math|cos(''x'')}} を定義すれば、それらは何も変えることなく複素変数 {{mvar|z}} において定義された複素函数 {{math|sin(''z''), cos(''z'')}} にすることができる。[[オイラーの等式]]の述べるところによれば、任意の実数 {{mvar|φ}} に対して<br />
: <math>\exp(i\varphi) = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)</math><br />
が成立する（特に {{math|1=exp(''πi'') = &minus;1}} である）。<br />
<br />
==== 複素対数函数 ====<br />
実函数の場合と異なり、複素数 {{mvar|z}} に関する方程式<br />
: <math>\exp(z) = w</math><br />
は任意の非零複素数 {{mvar|w}} に対して[[無限集合|無限個]]の複素解を持つ。そのような解 {{mvar|z}}、すなわち {{mvar|w}} の[[複素対数函数]] {{math|log(''w'')}} は<br />
: <math>\log(w)=\ln|w| + i\arg(w)</math><br />
と表すことができる。ただし、{{math|ln}} は実函数としての[[自然対数]]で、{{math|arg}} は[[#偏角|上述]]の[[偏角 (複素数)|偏角]]である。この値は、偏角のときと同様に {{math|2''π''}} の整数倍を加える[[違いを除いて]]一意であるから、複素対数函数もまた[[多価函数]]である。[[主値]]としては、この虚部が[[区間 (数学)|区間]] {{math|(&minus;''π'', ''π''{{)!}}}} の範囲にあるように制限したものを取ることが多い。<br />
<br />
==== 複素数の複素数乗 ====<br />
[[冪乗|複素数の複素数乗]] {{mvar|z{{exp|ω}}}} は<br />
: <math>z^\omega = \exp(\omega \log z)</math><br />
として定義される。対数函数は多価であったから、その結果として複素数の複素数乗も一般には多価になる。適当な自然数 {{mvar|n}} に対する {{math|1=''ω'' = 1/''n''}} を考えるときには、これは複素数の {{mvar|n}}-[[冪根]]が一意でないことを意味するものになる（例えば {{math|1={{radic|''z''{{exp|''n''}}|''n''}} = ''z''}} は一般には成り立たない）。より一般に、対数函数の適当な枝をとって一価函数として扱うとき、実数の実数乗の場合に成立していた指数法則や対数法則は、複素数の複素数乗では一般に成り立たない。例えば、<br />
: <math>a^{bc} = (a^b)^c</math><br />
は {{mvar|a, b, c}} が複素数である場合には一般には成立しない。この式の両辺をいま述べたような多価の値を持つものと看做す場合、左辺の値の全体は右辺の値の全体の成す集合の部分集合になっていることに注意する。<br />
<br />
=== 正則函数 ===<br />
複素函数 {{math|''f'': '''C''' → '''C'''}} が[[正則函数]]であるとは、それが[[コーシー&ndash;リーマン方程式]]を満足するときに言う。例えば、複素係数 {{mvar|a, b}} を持つ<br />
: <math>f(z)=az+b\bar{z}</math><br />
の形の任意の {{math|'''R'''}}-線型写像 {{math|''f'': '''C''' → '''C'''}} が正則であるのは {{math|1=''b'' = 0}} のとき、かつそのときに限る。第二項 {{mvar|b{{overline|z}}}} は実函数として微分可能だがコーシー&ndash;リーマン方程式を満たさず複素微分可能でない。<br />
<br />
複素解析には実解析に無いいくつかの特徴がある。例えば任意に与えられた正則函数 {{mvar|f, g}} が {{math|'''C'''}} の任意に小さな[[開集合]]上で一致するならば、それらは全体でも一致する。[[有理型函数]]は、局所的に正則函数 {{mvar|f}} を用いて {{math|''f''(''z'')/(''z'' &minus; ''z''{{msub|0}}){{exp|''n''}}}} とかくことができ、正則函数といくつかの特徴が共通する。有理型でない函数は[[真性特異点]]をもつ（例えば{{math|sin(1/''z'')}} は {{math|1=''z'' = 0}} に真性特異点を持つ）。<br />
<br />
== 歴史 ==<br />
負の数の平方根について、いささかなりとも言及している最も古い文献は、数学者で発明家の[[アレクサンドリアのヘロン]]による『測量術』(''{{Lang|en|Stereometrica}}'') である。そこで彼は、現実には不可能なピラミッドの錐台について考察しているものの、計算を誤り、不可能であることを見逃している。<br />
<br />
[[16世紀]]にイタリアの数学者[[ジェロラモ・カルダーノ|カルダノ]]や[[ラファエル・ボンベリ|ボンベリ]]によって[[三次方程式]]の解の公式が考察され、特に 3 つの異なる実数を解に持つ場合において解の公式を用いると、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かった。当時は、まだ、負の数でさえあまり認められておらず、回避しようと努力したが、それは不可能なことであった。<br />
<br />
[[17世紀]]になり[[ルネ・デカルト]]によって、'''虚''' ({{Lang|en|imaginary}}) という言葉が用いられ、虚数と呼ばれるようになった。デカルトは作図の不可能性と結び付けて論じ、虚数に対して否定的な見方を強くさせた。<br />
<br />
その後、[[ジョン・ウォリス|ウォリス]]により幾何学的な解釈が試みられ、[[ヨハン・ベルヌーイ]]や[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]、[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]]らにより、虚数を用いた[[解析学]]、[[物理学]]に関する研究が多くなされた。<br />
<br />
複素平面が世に出たのは、[[1797年]]に[[ノルウェー]]の数学者{{ill2|カスパー・ベッセル|en|Caspar Wessel}} (Caspar Wessel) によって提出された論文が最初とされている。しかしこの論文はデンマーク語で書かれ、デンマーク以外では読まれずに[[1895年]]に発見されるまで日の目を見ることはなかった。[[1806年]]に{{ill2|ジャン＝ロベール・アルガン|en|Jean-Robert Argand}} (Jean-Robert Argand) によって出版された複素平面に関するパンフレットは、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]を通して広まったものの、その後、特に進展は無く忘れられていった。<br />
<br />
[[1814年]]に[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]が[[複素解析|複素関数論]]を始め、複素数を[[変数 (数学)|変数]]に取る[[解析関数]]や[[複素積分]]が論じられるようになった<ref name="takagi1996.pp=88-94">{{Harvtxt|高木|1996|loc=14. 函数論縁起}}</ref>。<br />
<br />
[[1831年]]に、機は熟したと見た[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]が、複素平面を論じ、複素平面は複素平面として知られるようになった<ref name="takagi1996.pp=94f">{{Harvtxt|高木|1996|pp=94f.}}</ref>。ここに、虚数に対する否定的な視点は完全に取り除かれ、複素数が受け入れられていくようになる。実は、ガウスはベッセル（[[1797年]]）より前の[[1796年]]以前にすでに複素平面の考えに到達していた。[[1799年]]に提出されたガウスの学位論文は、今日、[[代数学の基本定理]]と呼ばれる定理の証明であり<ref name="takagi1965.pp=48-52">{{Harvtxt|高木|1965|loc=§9. 代数学の基本定理}}</ref>、複素数の重要な特徴付けを行うものだが、複素数の概念を表に出さずに巧妙に隠して論じている<ref name="takagi1996.pp=94f" />。<br />
<br />
== 他分野における複素数の利用 ==<br />
複素数 ''A'' と実数 ''ω'' により定まる、一変数 ''t'' の関数 ''Ae{{sup|iωt}}'' は時間 ''t'' に対して周期的に変化する量を表していると見なすことができる。周期的に変化し、ある種の微分方程式を満たすような量を示すこのような表示は[[フェーザ表示]]と呼ばれ、[[電気工学|電気]]・[[電子工学]]における回路解析や、[[機械工学]]・[[ロボティクス]]における[[制御理論]]、土木・建築系における震動解析で用いられている。なお電気回路上では電流（の密度）「''i''」と混同を避けるため、虚数単位は「''j''」を用いることが多い。<br />
<br />
物理における振動や波動など、互いに関係の深い2つの実数の物理量を複素数の形に組み合わせて表現すると便利な場面が多いため、よく用いられる。<br />
<br />
[[量子力学]]の数学的な定式化には複素数の体系が本質的な形で用いられている。ものの位置と[[運動量]]とは[[フーリエ変換]]を介して同等の扱いがなされ、波動関数たちのなす複素[[ヒルベルト空間]]とその上の[[作用素]]たちが理論の枠組みを与える。<br />
{{See also|量子力学の数学的定式化}}<br />
<br />
== 複素数の拡張 ==<br />
{{main|超複素数系}}<br />
複素数とは[[実数]]を係数とする実数単位 {{math|[[1]]}} と[[虚数単位]] {{mvar|i}} の[[線形結合]]であるが、これに新たな単位を有限個加えて通常の四則演算ができる数の体系（[[可換体|体]]）を作ることはできない<ref name = "shiga">{{Harvtxt|志賀|1989|pp=212–214}}</ref><ref name = "takagi1996.pp=102-116">{{Harvtxt|高木|1996|pp=102–116}}</ref>。実数体 {{math|'''R'''}} から拡張して {{math|'''C'''}} を得る過程は[[ケイリー&ndash;ディクソン構成]]と呼ばれる。この過程を推し進めて、より高次元の[[四元数]]体 {{math|'''H'''}} および[[八元数]]体 {{math|'''O'''}} が得られ、これらは実数体上のベクトル空間としての次元がそれぞれ 4 および 8 である。この文脈において複素数は「二元数」(''binarions'') とも呼ばれる<ref>Kevin McCrimmon (2004) ''A Taste of Jordan Algebras'', p.&nbsp;64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 {{mr|id=2014924}}</ref>。<br />
<br />
注意すべき点として、実数体にケイリー&ndash;ディクソン構成を施したことにより、[[順序体|順序]]に関する性質が失われていることである。より高次元へ進めば実数や複素数に関してよく知られた性質が失われていくことになる。[[四元数]]は唯一の[[斜体 (数学)|非可換体]]であり<ref name = "shiga"/><ref name = "takagi1996.pp=102-116"/>（つまり、適当な二つの四元数 {{mvar|x, y}} に対して {{math|''x''·''y'' ≠ ''y''·''x''}} となることが起きる）、[[八元数]]の乗法は（非可換なばかりでなく）[[結合法則|結合性]]も失われる（つまり、適当な {{math|''x'', ''y'', ''z''}} に対して {{math|(''x''&sdot;''y'')&sdot;''z'' ≠ ''x''&sdot;(''y''&sdot;''z'')}} となりうる）。一般に、実数体 '''R''' 上の[[ノルム多元体]]は、[[同型]]による違いを除いて、実数体 '''R''', 複素数体 '''C''', 四元数体 '''H''', [[八元数]]体 '''O'''、の4種類しかない（{{仮リンク|フルヴィッツの定理 (代数学)|label=フルヴィッツの定理|en|Hurwitz's theorem (composition algebras)}}）<ref>{{Harvtxt|エビングハウスほか|2012}}</ref>。ケイリー&ndash;ディクソン構成の次の段階で得られる[[十六元数]]環ではこの構造は無くなってしまう。<br />
<br />
ケイリー&ndash;ディクソン構成は、{{math|'''C'''}}（を {{math|'''R'''}}-[[環上の多元環|線型環]]、つまり乗法を持つ {{math|'''R'''}}-線型空間と見ての）の[[正則表現 (数学)|正則表現]]と近しい関係にある。すなわち、任意に複素数 {{mvar|w}} をとるとき、{{math|'''R'''}}-[[線型写像]] {{mvar|f{{msub|w}}}} を<br />
: <math>f_w\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C};\; z \mapsto wz</math><br />
とすると、これは[[線型代数学]]でよく知られた仕方によって（適当な基底を選ぶことにより）、[[行列]]で表現することができる。順序付けられた基底 {{math|(1, ''i'')}} に関して {{mvar|f{{msub|w}}}} は [[実二次正方行列|{{gaps|2|×|2}}-実行列]]<br />
: <math><br />
\begin{pmatrix}<br />
\operatorname{Re}(w) & -\operatorname{Im}(w) \\<br />
\operatorname{Im}(w) & \quad \operatorname{Re}(w)<br />
\end{pmatrix}<br />
</math><br />
で表現される（つまり、行列表現の節で述べた行列に他ならない）。これは {{math|'''C'''}} の標準的な[[線型表現]]だが、唯一の表現ではない。実際、<br />
: <math>J = \begin{pmatrix}p & q \\ r & -p \end{pmatrix}, \quad(p^2 + qr + 1 = 0)</math><br />
なる形の任意の行列はその平方が[[単位行列]]の {{math|&minus;1}} 倍、すなわち {{math|1=''J''{{exp|2}} = −''I''}} を満たすから、行列の集合<br />
: <math>\{ z = a I + b J : a,b \in \mathbb{R} \}</math><br />
もまた {{math|'''C'''}} に同型となり、{{math|'''R'''{{msup|2}}}} 上に別の複素構造を与える。これは{{仮リンク|線型複素構造|en|linear complex structure}}の概念によって一般化することができる。<br />
<br />
[[超複素数]]は {{math|'''R''', '''C''', '''H''', '''O'''}} もさらに一般化するもので、例えば[[分解型複素数]]環は剰余環 {{math|'''R'''{{bracket|''x''}}/(''x''{{exp|2}} &minus; 1)}} である（複素数は剰余環 {{math|'''R'''{{bracket|''x''}}/(''x''{{exp|2}} + 1)}} であった）。この環において方程式 {{math|1=''a''{{exp|2}} = 1}} は四つの解を持つ。<br />
<br />
実数体 {{math|'''R'''}} は[[有理数体]] {{math|'''Q'''}} の通常の[[絶対値]]による[[距離函数|距離]]に関する完備化である。{{math|'''Q'''}} 上の別の距離函数をとれば、任意の[[素数]] {{mvar|p}} に対して [[p進数|{{mvar|p}}-進数体]] {{math|'''Q'''{{ind|''p''}}}} が導かれる（つまりこれは実数体 {{math|'''R'''}} の類似対応物である）。[[オストロフスキーの定理]]によれば、この {{math|'''R'''}} と {{math|'''Q'''{{ind|''p''}}}} 以外に {{math|'''Q'''}} の非自明な完備化は存在しない。{{math|'''Q'''{{ind|''p''}}}} の代数閉包 {{math|{{overline|'''Q'''}}{{ind|''p''}}}} にもノルムは伸びるが、{{math|'''C'''}} の場合と異なり、そのノルムに関して {{math|{{overline|'''Q'''}}{{ind|''p''}}}} は完備にならない。{{math|{{overline|'''Q'''}}{{ind|''p''}}}} の完備化 {{math|'''C'''{{ind|''p''}}}} はふたたび代数閉体であり、{{math|'''C'''}} の類似対応物として {{mvar|p}}-進複素数体と呼ぶ。<br />
<br />
体 {{math|'''R'''}}, {{math|'''Q'''{{ind|''p''}}}} およびそれらの有限次拡大体は、すべて[[局所体]]である。<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{reflist|group="注釈"}}<br />
<br />
=== 出典 ===<br />
{{脚注ヘルプ}}<br />
{{Reflist|2}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
*{{Cite book|和書|author=H.D.エビングハウス ほか|others=[[成木勇夫]] 訳|date=2012-09|title=数|volume=下|edition=新装版|series=シュプリンガー数学リーディングス 7|publisher=[[丸善出版]]|isbn=978-4-621-06387-3|ref={{Harvid|エビングハウスほか|2012}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=[[表実]]|date=1988-12-08|title=複素関数|series=理工系の数学入門コース 5|publisher=[[岩波書店]]|isbn=4-00-007775-9|ref={{Harvid|表|1988}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=[[志賀浩二]]|date=1989-04-10|title=複素数30講|publisher=[[朝倉書店]]|isbn=978-4-254-11481-2|ref={{Harvid|志賀|1989}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=[[高木貞治]]|date=1965-11-25|title=代数学講義|edition=改訂新版|publisher=[[共立出版]]|isbn=978-4-320-01000-0|ref={{Harvid|高木|1965}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|date=1996-12-10|title=復刻版 近世数学史談・数学雑談|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01551-7|ref={{Harvid|高木|1996}}}}<br />
* {{cite book | 和書 | author = [[木村俊房]] | author2 = 高野恭一 | series= 新数学講座 | title= 関数論 | publisher= 朝倉書店 | year= 1991}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
<!--項目の50音順--><br />
{{Div col}}<br />
*[[オイラーの等式]]<br />
*[[虚数単位]]<br />
*[[四元数]]<br />
*[[実数]]<br />
*[[絶対値]]<br />
*[[等角写像]]<br />
*[[ド・モアブルの定理]]<br />
*[[フェーザ表示]]<br />
*[[複素解析]]<br />
*[[複素平面]]<br />
*[[分解型複素数]]<br />
*[[平方根]]<br />
*[[マンデルブロ集合]]<br />
*[[メビウス変換]]（[[一次分数変換]]）<br />
{{Div col end}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
*{{Kotobank|複素数|2=[[寺田文行]]}}<br />
*{{MathWorld|title=Complex Number|urlname=ComplexNumber}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ふくそすう}}<!--カテゴリの50音順--><br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
[[Category:複素数|*]]</div>
125.9.201.214
三角形の中心
2018-07-20T12:55:02Z
<p>125.9.201.214: 122.249.241.218 (会話) による ID:66300695 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2016年5月}}<br />
[[初等幾何学]]における'''三角形の心'''（さんかくけいのしん、{{lang-en-short|''triangle center''}}）とは、任意の[[三角形]]から一意的に求めることができる[[点 (幾何学)|点]]の総称である。別に三角形の'''芯'''、あるいは比喩的に'''中心'''とも呼ばれる。<br />
<br />
「五心」と呼ばれる点（[[三角形の内接円と傍接円|内心]]・[[外心]]・[[重心]]・[[垂心]]・[[三角形の内接円と傍接円|傍心]]）が一般的に広く知られている。<br />
<br />
== 心の定義法 ==<br />
三角形の心となる点は、以下のような方法で定義することができる。<br />
<br />
;3本の線の交点<br />
: 3 頂点または 3 辺に対し指定された方法で引かれた 3 本の直線が 1 点で交わる（共点である）とき、その交点。共点であることを示すために[[チェバの定理]]がよく利用される。<br />
:例<br />
:*垂心 - 3 本の[[高さ]](各頂点からその対辺へ垂直に下ろした線分)の交点。<br />
:*内心 - [[角の二等分線]]、3 本の交点。<br />
:*外心 - 辺の[[垂直二等分線]]、3 本の交点。<br />
:*重心 - 3 本の三角形の中線(各頂点とその対辺の中点を結ぶ線分)の交点。<br />
:*加重重心 - 各頂点とその対辺の内分点を結ぶ線分、3 本の交点。各頂点に各辺の比をいれかえた値の重りをつり下げるとつりあいの中心となる。<br />
;円の中心<br />
:特定の円の中心に当たる点。<br />
:例<br />
:*内心 - 3 辺に接する円([[内接円]])の中心。<br />
:*外心 - 3 頂点を通る円([[外接円]])の中心。<br />
:*傍心 - [[三角形の内接円と傍接円|三角形の傍接円]]の中心。<br />
:*[[六点円]]の中心 - 各頂点から下ろした垂線の足から他の 2 辺に下ろした合計6個の垂線の足を通る円の中心。<br />
:*[[九点円]]の中心 - 各辺の中点、各頂点からその対辺に下ろした垂線の足、垂心と各頂点の中点の 9 点を通る円の中心。<br />
;既存の点や線から導かれるもの<br />
:計量を最小にする点、特定の 2 点の中点、特定の線と円の交点など。<br />
:例<br />
:*[[フェルマー点]] - 3 頂点からの距離の和が最小となる点。<br />
:*[[九点円]]の中心 - 外心と垂心の中点に当たる点。<br />
上で例にあげた内心や九点円のように、1つの点を複数の方法で定義することも可能である。<br />
<br />
== 歴史 ==<br />
三角形の五心と呼ばれる代表的な5つの心は古くから知られており、[[エウクレイデス|ユークリッド]]の「[[ユークリッド原論|原論]]」にも記述が見られる。<br />
<br />
他の点の多くは、[[1678年]]の[[チェバの定理]]の発表後に発見されている。この定理によって存在が容易に示される心は少なくない。代表的な心に[[ジェルゴンヌ点]]などがある。<br />
<br />
[[モーレーの定理]]の発表などもあり、19世紀から20世紀にかけて三角形の研究は広く行われた。この時期に発見された点には[[ブロカール点]]・[[ド・ロンシャン点]]などがある。<br />
<br />
その後も新しい心が発見されており、[[エヴァンズビル大学]]内のサイト「[[:en:Encyclopedia of Triangle Centers|Encyclopedia of Triangle Centers]]」には2015年現在7500以上の心が登録されている。<br />
<br />
== 心の名称 ==<br />
心の名前には、その心に関する研究をした人の名前が付けられることが多い。[[ナポレオンの定理|ナポレオン点]]の[[ナポレオン・ボナパルト]]や[[ソディ点]]の[[フレデリック・ソディ]]のように、数学者以外の名前がつく例もある。<br />
<br />
[[マルファッティの円#安島-マルファッティ点|安島-マルファッティ点]]のように、日本人の名前が入っているものもある。<br />
<br />
== 三線座標と重心座標 ==<br />
平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。<br />
<br />
'''三線座標系'''は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから ''h''<sub>A</sub>・辺CAから ''h''<sub>B</sub>・辺ABから ''h''<sub>C</sub> だけ離れているとき、Pの三線座標を (''h''<sub>A</sub>, ''h''<sub>B</sub>, ''h''<sub>C</sub>) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを'''絶対三線座標'''という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。<br />
<br />
例：[[三角形の内接円と傍接円|内心]]の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は (''r'', ''r'', ''r'') である。ここで ''r'' は[[内接円]]の半径である。<br />
<br />
'''{{ill2|重心座標系|en|Barycentric coordinate system}}'''は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が (''g''<sub>A</sub>, ''g''<sub>B</sub>, ''g''<sub>C</sub>) のとき、<br />
:<math>\vec P=\frac{g_A \vec A+g_B \vec B+g_C \vec C }{g_ A+g_ B+g_C }</math><br />
が成り立つ。重心座標によって指定される点は、三角形の頂点 A, B, C に (''g''<sub>A</sub>, ''g''<sub>B</sub>, ''g''<sub>C</sub>) の質量を置いた時のいわゆる「加重重心」に相当する。<br />
<br />
三線座標と重心座標の間には、''g''<sub>A</sub> : ''g''<sub>B</sub> : ''g''<sub>C</sub> = ''a h''<sub>A</sub> : ''b h''<sub>B</sub> : ''c h''<sub>C</sub> の関係が成り立つ。ここで、''a'', ''b'', ''c'' は 3 辺の長さである。<br />
<br />
3 点の三線座標からなる行列式の値が 0 の場合、その 3 点は同一直線上にある。重心座標でも同様である。<br />
<br />
主な心を三線座標・重心座標と共に示す<ref group="註">各座標は、比が意味を持つ事、および、角''A'', ''B'', ''C''と辺の長さ''a'', ''b'', ''c''は互換であることから、表示は一意的でない。表中の座標の表記は一例である。</ref>と以下のようになる:<br />
{|class="wikitable" border="1"<br />
!記号<ref group="註" name="symbol">記号は主に Encyclopedia of Triangle Centers に従う。</ref>!!名称!!三線座標または ''h''<sub>A</sub> = ''h''(''a'', ''b'', ''c'')<ref group="註" name="center-function">心の三線座標・重心座標は、その対称性から triangle center function ''h''(''a'', ''b'', ''c'') = (1/''a'') ''g''(''a'', ''b'', ''c'') が存在して、三線座標 (''h''(''a'', ''b'', ''c''), ''h''(''b'', ''c'', ''a''), ''h''(''c'', ''a'', ''b'')), 重心座標 (''g''(''a'', ''b'', ''c''), ''g''(''b'', ''c'', ''a''), ''g''(''c'', ''a'', ''b'')) と書ける。</ref>!!重心座標または ''g''<sub>A</sub> = ''g''(''a'', ''b'', ''c'') <ref group="註" name="center-function" /><br />
|-<br />
|''X''<sub>1</sub>, ''I''||[[内心]]||(1, 1, 1)||(''a'', ''b'', ''c'')<br />
|-<br />
|''X''<sub>2</sub>, ''G''||[[重心]]||(1/''a'', 1/''b'', 1/''c'')||(1, 1, 1)<br />
|-<br />
|''X''<sub>3</sub>, ''O''||[[外心]]||(cos ''A'', cos ''B'', cos ''C'')||(sin 2''A'', sin 2''B'', sin 2''C'')<br />
|-<br />
|''X''<sub>4</sub>, ''H''||[[垂心]]||(1/cos ''A'', 1/cos ''B'', 1/cos ''C'')||(tan ''A'', tan ''B'', tan ''C'')<br />
|-<br />
|''X''<sub>5</sub>, ''N''||[[九点円]]の中心||(cos(''B'' - ''C''), cos(''C'' - ''A''), cos(''A'' - ''B''))||''g''<sub>A</sub> = ''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup>) - (''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)<sup>2</sup><br />
|-<br />
|''X''<sub>6</sub>, ''K''||[[類似中線|類似重心]] (ルモワーヌ点)||(''a'', ''b'', ''c'')||(''a''<sup>2</sup>, ''b''<sup>2</sup>, ''c''<sup>2</sup>)<br />
|-<br />
|''X''<sub>7</sub>, ''G<sub>e</sub>''||[[ジェルゴンヌ点]]||(sec<sup>2</sup>(''A''/2), sec<sup>2</sup>(''B''/2), sec<sup>2</sup>(''C''/2))||(tan(''A''/2), tan(''B''/2), tan(''C''/2))<br />(1/(''b''+''c''-''a''), 1/''c''+''a''-''b''), 1/(''a''+''b''-''c''))<br />
|-<br />
|''X''<sub>8</sub>, ''N<sub>a</sub>''||[[ナーゲル点]]||(csc<sup>2</sup>(''A''/2), csc<sup>2</sup>(''B''/2), csc<sup>2</sup>(''C''/2))||(cot(''A''/2), cot(''B''/2), cot(''C''/2))<br />(''b''+''c''-''a'', ''c''+''a''-''b'', ''a''+''b''-''c'')<br />
|-<br />
|''X''<sub>13</sub>, ''X''||[[フェルマー点]]||(csc(''A'' + π/3), csc(''B'' + π/3), csc(''C'' + π/3))||''g''<sub>A</sub> = ''a''<sup>4</sup> - 2(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)<sup>2</sup> + ''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + 4√3×△ABC)<br />但し、△ABC = (1/4)√[(''a'' + ''b'' + ''c'')(''a'' + ''b'' - ''c'')(''b'' + ''c'' - ''a'')(''c'' + ''a'' - ''b'')]<br />
|-<br />
|''X''<sub>17</sub>, ''N''||第1[[ナポレオンの定理|ナポレオン点]]||(sec(''A'' - π/3), sec(''B'' - π/3), sec(''C'' - π/3))||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub><br />
|-<br />
|''X''<sub>18</sub>, ''N'''||第2ナポレオン点||(sec(''A'' + π/3), sec(''B'' + π/3), sec(''C'' + π/3))||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub><br />
|-<br />
|''X''<sub>20</sub>||[[ド・ロンシャン点]]||''h''<sub>A</sub> = cos ''A'' - cos ''B'' cos ''C''||''g''<sub>A</sub> = tan ''B'' + tan ''C'' - tan ''A''<br />
|-<br />
|''X''<sub>175</sub>||第1[[ソディ点]]||''h''<sub>A</sub> = sec(''A''/2) cos(''B''/2) cos(''C''/2) - 1||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub><br />
|-<br />
|''X''<sub>176</sub>||第2ソディ点||''h''<sub>A</sub> = sec(''A''/2) cos(''B''/2) cos(''C''/2) + 1||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub><br />
|-<br />
|''X''<sub>179</sub>||第1[[マルファッティの円#安島-マルファッティ点|安島-マルファッティ点]]||(sec<sup>4</sup>(''A''/4), sec<sup>4</sup>(''B''/4), sec<sup>4</sup>(''C''/4))||(sin ''A'' sec<sup>4</sup>(''A''/4), sin ''B'' sec<sup>4</sup>(''B''/4), sin ''C'' sec<sup>4</sup>(''C''/4))<br />
|-<br />
|''X''<sub>180</sub>||第2安島-マルファッティ点||''h''<sub>A</sub> = 1/''t''(''B'', ''C'', ''A'') + 1/''t''(''C'', ''B'', ''A'') - 1/''t''(''A'', ''B'', ''C''),<br>但し、''t''(''A'', ''B'', ''C'') = 1 + 2(sec(''A''/4) cos(''B''/4) cos(''C''/4))<sup>2</sup>||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub><br />
|-<br />
|''X''<sub>389</sub>||[[六点円]]の中心||''h''<sub>A</sub> = cos ''A'' - cos 2''A'' cos(''B'' - ''C'')||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub><br />
|}<br />
<br />
また、（厳密な意味で）三角形の心ではないが重要な点の座標を以下に挙げる:<br />
{|class="wikitable" border="1"<br />
!記号<ref group="註" name="symbol" />!!名称!!三線座標!!重心座標<br />
|-<br />
|A<br />B<br />C||頂点||(1, 0, 0)<br />(0, 1, 0)<br />(0, 0, 1)||(1, 0, 0)<br />(0, 1, 0)<br />(0, 0, 1)<br />
|-<br />
|''I''<sub>A</sub><br />''I''<sub>B</sub><br />''I''<sub>C</sub>||[[傍心]]||(-1, 1, 1)<br />(1, -1, 1)<br />(1, 1, -1)||(-''a'', ''b'', ''c'')<br />(''a'', -''b'', ''c'')<br />(''a'', ''b'', -''c'')<br />
|-<br />
|''P''<sub>1</sub><br />''U''<sub>1</sub>||第1[[ブロカール点]]<br />第2ブロカール点||(''c''/''b'', ''a''/''c'', ''b''/''a'')<br />(''b''/''c'', ''c''/''a'', ''a''/''b'')||(''ac''/''b'', ''ba''/''c'', ''cb''/''a'')<br />(''ab''/''c'', ''bc''/''a'', ''ca''/''b'')<br />
|}<br />
{{Reflist|group=註}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* Clark Kimberling, [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] - [http://www.evansville.edu/ エヴァンズビル大学]。2015年4月18日更新版、2015年5月24日閲覧。<br />
* Clark Kimberling, [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html Bicentric Pairs] - [http://www.evansville.edu/ エヴァンズビル大学]。2015年1月7日更新版、2015年5月24日閲覧。<br />
* {{MathWorld|urlname=TriangleCenter|title=Triangle Center}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=TriangleCenter|title=triangle center}}<br />
* {{SpringerEOM|urlname=Triangle_centre|title=Triangle centre|author= Hazewinkel, M.}}<br />
<br />
{{math-stub}}<br />
{{DEFAULTSORT:さんかくけいのちゆうしん}}<br />
[[Category:三角形]]<br />
[[Category:幾何学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
多項式
2018-07-20T12:51:27Z
<p>125.9.201.214: 122.249.241.218 (会話) による ID:69291687 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2015年7月}}<br />
[[数学]]における'''多項式'''（たこうしき、{{lang-en-short|poly&shy;nomial}}）は、多数を意味する{{lang-el-short|''poly-''}} と部分を意味する {{lang-la-short|''-nomen''}} あるいは {{lang-el-short|nomós}} を併せた語で、[[定数]]および[[不定元]]（略式ではしばしば[[変数 (数学)|変数]]と呼ぶ）の和と積のみからなり、[[代数学]]の重要な対象となる[[数学的対象]]である。歴史的にも[[抽象代数学|現代代数学]]の成立に大きな役割を果たした。<br />
<br />
不定元がひとつの多項式は、一元多項式あるいは一変数多項式 ({{en|uni&shy;variate or uni&shy;variable polynomial}}) と呼ばれ、不定元を {{mvar|x}} とすれば {{math|3''x''{{exp|3}} &minus; 7''x''{{exp|2}} + 2''x'' &minus; 23}} のような形をしている。これを各部分の和となっていると考えて {{math|(3''x''{{exp|3}}) + (&minus; 7''x''{{exp|2}}) + 2''x''+(&minus; 23)}} となっているととらえ、 "{{math|3''x''{{exp|3}}}}", "{{math|&minus;7''x''{{exp|2}}}}", "{{math|2''x''}}", "{{math|&minus;23}}" のことを'''項'''（こう、{{en|''term''}}）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を[[単項式]] (monomial)、同様に[[二項式]] (binomial)、[[三項式]] (trinomial) などが、''-nomial'' にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを'''整式''' (integral expression)<ref>{{kotobank|多項式|ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}</ref> と呼ぶ流儀もある{{efn|整 (integer, entire) は「全体」あるいは「完全なもの」を意味する接頭辞で、この場合は代数式（特に根号を含まない有理式）が分母を持たないという意味である<ref>{{kotobank|整式|日本大百科全書}}</ref>。（本項で言うのと異なり）単項式や多項式を広義に単項代数式や多項代数式の意味で用いるならば、完全な単項式、完全な多項式という言い回しもある<ref>{{citation|title=代数学精義|last=長澤|first=龜之助|publisher=成美堂|year=1907|url={{google books|id=0K5IgjUt7DcC|plainurl=1}}|page= {{google books quote|id=0K5IgjUt7DcC|pg=PA17|16}}|ref=harv}}</ref>}}。<br />
<br />
{{seealso|{{仮リンク|多項式函数の初等的記述|fr|Fonction polynôme (mathématiques élémentaires)}}}}<br />
<br />
多項式同士の等式として与えられる[[方程式]]は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において[[代数方程式]]という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。<br />
<br />
不定元がふたつならば'''二元''' (bivariate), 三つならば'''三元''' (trivariate) というように異なる[[アリティ]]を持つ[[多元多項式]]が同様に定義できる。[[算術]]あるいは[[初等代数学]]において、数の計算の抽象化として[[実数]]（あるいは必要に応じてより狭く[[有理数]]、[[整数]]、[[自然数]]）を代表する記号としての「文字」変数を伴う「{{ill2|代数式|label=文字式|en|algebraic expression}}」<ref>{{kotobank|文字式|デジタル大辞泉}}</ref>およびその計算を扱うが、それは大抵の場合多変数の多項式である。<br />
<br />
本項では主として一元多項式を扱い、多元の場合にも多少触れるが、詳細は[[多元多項式]]の項へ譲る。<br />
<br />
== 注意 ==<br />
; 変数と不定元<br />
: 多項式に現れる {{mvar|x}} は一般的に「変数」あるいは「不定元」と呼ばれるが、[[数式]]（記号表現）としての多項式そのものを対象とするときには {{mvar|x}} は一つの定まった記号であってそれ自身は値を持たない（あるいは「不定元である」という値をもつ）{{efn|つまり、不定元に定義域は無いし、不定元に値を代入するということもない。また例えば、二つの不定元 {{mvar|x, y}} は如何なる函数従属関係 {{math|1=''F''(''x'', ''y'') = 0}} も満足することはない}}。そういった場合には、変数ではなく「不定元」と呼ぶのがより正確である{{citation needed|date=January 2016}}。一方、多項式の定める函数を考えているときには、{{mvar|x}} は函数の[[引数]]となるべき[[定義域|何らかの集合]]の元を代表するものとして生じるのであって、それは「変数」と呼ばれるべきである。ただし、多くの文献においてこれら二つの語は暗黙的に同義に扱われ、互いに入れ替えて用いても大抵は差し支えない。よく用いられる規約として、不定元であることを強調する意味では大文字（例えば {{mvar|X}}）を用い、対応する小文字（いまは {{mvar|x}} は付随する多項式函数の変数として用いるというものがある{{citation needed|date=January 2016}}。<br />
<br />
多少紛らわしい表記上の慣習として、不定元 {{mvar|x}} に関する多項式を単文字で表すのに、例えば {{mvar|P}} や {{math|''P''(''x'')}} のように {{mvar|x}} を書いたり書かなかったりする<ref>{{cite book|和書|title=リフレッシュ数学 ―高校数学から大学数学へ―|last=大石|first=彰|publisher=オーム社|year= 2012|isbn=9784274211652|ref=harv}} {{google books quote|id=EyzX9W93DdcC|pg=PA131|text=多項式|p. 131}}</ref>。普通は、{{mvar|P}} はその多項式の名前を指し示しているもので、{{math|''P''(''x'')}} はその不定元を明示する目的で付けてあるだけと考えられる{{efn|これはいわゆる函数記法全般でよく用いられる慣習である}}。ただし慣習的な規約として、例えば {{mvar|a}} を数（や変数や別の多項式やより一般の任意の式）であるとき {{mvar|P}} において {{mvar|x}} に {{mvar|a}} を代用（単なる記号の書き換えあるいは、値の代入）した結果を {{math|''P''(''a'')}} と書くものとすれば、「多項式 {{mvar|P}} によって函数 {{math|''a'' {{mapsto}} ''P''(''a'')}} が定まる」と考えることができる（これは多項式 {{mvar|P}} に付随する多項式函数と呼ばれる）。このような多項式函数を扱うとき、{{mvar|a}} は何らかの数であることが多いが、任意の[[環 (数学)|環]]など加法と乗法の定義された任意の定義域上で考えることが可能である。特に {{mvar|a}} が不定元 {{mvar|x}} であるときのこの多項式函数による {{mvar|x}} の像 {{math|''P''(''x'')}} は多項式 {{mvar|P}} そのものに他ならない。そのような意味で {{math|1=''P''(''x'') = ''P''}} は等価な別表記と理解することができる。つまりは「{{mvar|P}} を不定元 {{mvar|x}} に関する多項式とする」というような文の簡略形として意味を損なわずに「{{math|''P''(''x'')}} を多項式とする」と書くことが許されるということである。もちろん、文脈上明らかで不定元を明示・強調する必要が特にないという状況下では、式が簡素になり読みやすくなることも少なくないので各多項式の不定元を書かないことも多い。<br />
<br />
== 一変数多項式 ==<br />
[[不定元]] {{mvar|X}} に関する（一変数の）'''多項式'''は、{{mvar|n}} を適当な非負整数として、<math display="block">a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dotsb + a_1 X + a_0</math> の形に表すことができる。{{math|''a''{{ind|0}} &ne; 0, ''a''{{ind|1}}, …, ''a''{{ind|''n''}}}} はこの多項式の'''[[係数]]'''と呼ばれる[[定数]]（'''[[スカラー (数学)|スカラー]]'''）で、例えば[[実数]]や[[有理数]]などであることが多い。各 {{mvar|a{{ind|i}}&sdot;x{{exp|i}}}} をこの多項式に属する'''項'''あるいは単項式と呼び、冪指数 {{mvar|i}} をその'''[[単項式の次数|項の次数]]'''と呼ぶ。したがって、{{mvar|a{{sub|i}}X{{exp|i}}}} を {{mvar|i}}-次の項、{{mvar|a{{sub|i}}}} を {{mvar|i}}-次の係数という{{sfn|大石|2012|p=131}}。多項式 {{math|1= ''f'' = ''f''(''X'')}} の'''[[多項式の次数|次数]] {{math|deg ''f''}}''' とは、その非零係数項の最大次数（いまの場合 {{mvar|n}}）を言う。特に {{math|deg(''f'')}}-次の項 {{mvar|a{{sub|n}}X{{exp|n}}}} をこの多項式の'''最高次項'''、その係数を'''最高次係数'''あるいは'''主係数''' ({{en|''leading coefficient''}}) と呼ぶ{{sfn|大石|2012|p=131}}。{{math|1=''a{{sub|n}}'' = 1}} のとき、多項式は'''[[モニック多項式|モニック]]'''（{{nowrap|最高次係数 {{math|1}}}}）である、または'''単多項式'''と言う{{sfn|大石|2012|p=131}}。また、{{math|0}} 次の項を'''{{ill2|定数項|en|constant term}}'''と呼ぶ。任意のスカラーを[[定数多項式|定数項しかない多項式]]と見なすことができる。非零定数多項式の次数は定義により {{math|0}} であるが、[[零多項式|定数 {{math|0}} を多項式と見なす]]とき、その次数は定義されないか、または便宜的に {{math|&minus;∞}} と定義されることが多い。<br />
* 多項式の項の間の加法は可換であるから、項の排列順は必ずしも一意でない。大抵の場合、上に挙げたような左から右へ追うごとに次数が常に減少する「降冪の順」か、常に増大する「昇冪の順」で排列するのが便利である。<br />
* {{mvar|n}}-次多項式 {{mvar|f}} は {{math|1=''f''(''X'') = ''a{{sub|n}}X{{exp|n}}'' + ⋯ + ''a''{{sub|0}} (''a{{sub|n}}'' ≠ 0)}} と書ける。さらに、{{math|''a''{{sub|0}}}} から {{mvar|a{{sub|n}}}} の全ての係数が非零であるとき、完備であるという。完備な {{mvar|n}}-次多項式は {{math|''n'' + 1}} 個の項を持つ。{{sfn|長澤|1907|p= {{google books quote|id=0K5IgjUt7DcC|pg=PA17|17}}}}<br />
<br />
多項式は[[総和]]を表す記号 {{sum}} を使って <math display="inline">\sum_{k=0}^n a_k X^k</math> とも記される{{sfn|大石|2012|p=131}}。ここで {{math|1=''k'' = 0}} のときの [[空積|{{math|''X''{{exp|0}}}}]] とは[[定数多項式]] {{math|1}} の別表記である{{efn|見かけ上 {{mvar|X}} があっても、実際には定数多項式は {{mvar|X}} を含まないので、多項式函数を考える場合でも「{{math|1=''x'' = 0}} を {{math|''x''{{exp|0}}}} に代入すると [[0^0|{{math|0{{exp|0}}}}]] を生じる」というようなことは実際には起きない。}}。<br />
<br />
係数の属する集合が {{mvar|K}} であるような {{mvar|X}} を不定元とする多項式の全体を {{math|''K''[''X'']}} で表す{{sfn|大石|2012|p=131}}。たとえば実数係数の多項式の全体は {{math|'''R'''[''X'']}}、複素数係数の多項式の全体は {{math|'''C'''[''X'']}} などと表す。係数の集合 {{mvar|K}} は四則演算の定義されるような[[代数系]]であるのが通常で、多くはとくに[[可換体|体]]と呼ばれる四則演算が自由に行えるものを想定することになる。もうすこし一般の（必ずしも可換でない、単位元を持つとは限らない）[[環 (数学)|環]] {{mvar|R}} についても、それを係数にもつ多項式が定義される。<br />
{{seealso|[[多項式環|形式多項式]]}}<br />
<br />
環 {{mvar|R}} に対し、不定元 {{mvar|X}} と任意の非負[[整数]] {{mvar|n}} に対し、新たな不定元 {{math|''X''{{exp|''n''}}}} を用意する。ただし、{{math|''X''{{exp|1}}}} は自然に {{mvar|X}} と同一視する。不定元の冪 {{math|''X''{{exp|''n''}}}} の定数倍、すなわち {{math|1=''R''{{ind|''n''}} = {{mset|''aX''{{exp|''n''}} | 0 &ne; ''a'' &isin; ''R''}}}} の元を {{mvar|n}} 次の'''[[単項式]]'''と呼ぶ。このとき、適当な {{math|''n'' ∈ '''N'''}} をとってできる、単項式の形式的な線型結合 <math display="block">\sum_{i=0}^n a_i x^i <br />
= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x^1 + a_0 x^0\quad (a_i\in R) <br />
</math> を {{mvar|X}} を不定元とする {{mvar|R}} 上の（あるいは、'''係数''' を {{mvar|R}} にもつ）'''多項式'''と呼ぶ。ただし {{math|0 ''X''{{exp|''i''}}}} は {{math|0}} と同一視する。{{mvar|X}} を不定元とする {{mvar|R}} 上の多項式全体の成す集合を {{math|''R''[''X'']}} と表し、{{mvar|R}} を {{math|''R''[''X'']}} の'''係数環'''とよぶ。{{mvar|R}} は {{math|''a'' {{mapsto}} ''aX''{{exp|0}}}} によって {{math|''R''[''X'']}} に[[埋め込み|埋め込まれ]]、通常この同一視によって {{math|''R'' ⊂ ''R''[''X'']}} と見なされる。<br />
<br />
== 多項式の演算 ==<br />
{{main|多項式環}}<br />
単位的可換環 {{mvar|R}} 上の多項式 <math display="inline">f:= \sum_{i=0}^m a_i Xx^i,\quad g:= \sum_{j=0}^l b_j X^j \in R[X]</math> に対し、<br />
; 相等<br />
: <math>f=g \iff [m=l \and a_i = b_i\quad(\forall i=0,\dotsc,m)]</math><br />
;加法<br />
:<math>\Bigl(\sum_{i=0}^m a_i X^i\Bigr) + \Bigl(\sum_{j=0}^l b_j X^j\Bigr) = \sum_{k=0}^{\max(m,l)} (a_k + b_k)X^k</math><br />
;定数倍（スカラー倍）<br />
:<math>c \cdot \sum_{i=0}^m a_i X^i = \sum_{i=0}^m c a_i X^i</math><br />
;乗法<br />
:<math>\Bigl(\sum_{i=0}^m a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_{j=0}^l b_j X^j\Bigr) = \sum_{k=0}^{m+l}(\sum_{i+j=k} a_i b_j)X^k</math><br />
などの演算が定義される。多項式の加法およびスカラー倍は[[点ごと]]の演算、多項式の乗法は[[畳み込み]]あるいは[[コーシー積]]の一種として理解できる。特に積は、不定元 {{mvar|X}} と環 {{mvar|R}} の任意の元 {{mvar|a}} に対して、{{math|1=''aX'' = ''Xa''}} が成り立つと仮定して、分配法則が成り立つように定義されている（[[多項式の展開]]の項も参照）ので、{{math|''R''[''X'']}} は {{mvar|R}} 上の[[多元環]]になる。これを {{mvar|X}} を不定元とする {{mvar|R}} 係数の（一変数）'''多項式環'''あるいは簡単に、環 {{mvar|R}} 上の'''多項式環'''ともいう。{{mvar|R}} が単位的環であるなら、多項式環 {{math|''R''[''X'']}} も単位的環であり、{{mvar|R}} が可換なら多項式環 {{math|''R''[''X'']}} も可換環である。多項式環の[[単元群]]は係数環 {{mvar|R}} の単元群に等しい。<br />
<br />
体 {{mvar|K}} 上の一変数多項式環 {{math|''K''[''X'']}} は[[ユークリッド環]]であり、[[ユークリッド除法|余りのある除法]]を定義することができる。{{seealso|{{仮リンク|多項式の除法|en|Polynomial long division|fr|Division d'un polynôme}}}}<br />
<br />
== 多項式関数 ==<br />
{{main|多項式函数}}<br />
<br />
単位的可換環 {{mvar|K}} 上の多項式 <math display="inline">f(X) = a_n X^n + \cdots + a_0 \in K[X]</math> および {{math|α ∈ ''K''}} に対して、変数 {{mvar|X}} を {{math|α}} に置き換えることを'''代入'''（だいにゅう、''substitution''）と言い、代入で得られた式 <math display="inline">f(\alpha) := a_n \alpha^n + \cdots + a_1 \alpha + a_0</math> を計算して得られる {{mvar|K}} の元を {{math|''f''(''X'')}} を {{math|α}} において'''評価'''（ひょうか、''evaluate''）した値という。特に {{math|1=''f''(''α'') = 0}} を満たす元 {{math|α ∈ ''K''}} を多項式 {{math|''f''(''X'')}} の'''[[多項式の根|根]]'''あるいは[[零点]]という。<br />
<br />
任意の {{math|''f''(''X'') ∈ ''K''[''X'']}} を {{math|α ∈ ''K''}} で評価することで与えられる'''評価写像''' <math display="inline">\varphi_\alpha\colon K[X] \to K;\, f(x) \mapsto f(\alpha)</math> は {{math|''K''[''X'']}} から {{mvar|K}} への[[環準同型]]となる。<br />
<br />
代入と評価に関して、より一般に以下のような普遍性が成り立つ:<br />
; 代入準同型の普遍性<br />
: 任意の単位的可換環 {{math|''R'', ''S''}} とその間の単位的環準同型 {{math|''h'': ''R'' → ''S''}}, および任意の {{math|''α'' ∈ ''S''}} が与えられたとき、単位的環準同型 <math>\psi_{h,\alpha}\colon R[X] \to S</math> が一意に存在して、{{math|ψ{{ind|''h'',α}}(''X'') {{=}} α}} かつ {{math|1=''ψ{{ind|h,α}}''(''r'') = ''h''(''r'') (∀''r'' ∈ ''R'')}} を満たす。<br />
この準同型 {{mvar|ψ{{sub|h,α}}}} を {{mvar|h}} の延長となる {{mvar|α}} の'''代入準同型'''とよぶ<ref>{{citation|title=Basic Algebra|first=Anthony W.|last= Knapp|publisher= Springer Science & Business Media |year= 2007|isbn= 9780817645298}} {{google books quote|id=NSXCaGSVaX4C&pg=PA151|pp= 151&ndash;152|Proposition 4.24 & Remarks}}</ref>。<math>f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0</math> に対する {{mvar|α}} の代入 {{math|''f''(''α'')}} とは <math display="block">f(\alpha) := \psi_{h,\alpha}(f) = <br />
h(a_n)\alpha^n +h(a_{n-1})\alpha^{n-1} + \cdots + h(a_1)\alpha + h(a_0)<br />
</math> のことを言い、{{math|''f''(''α'')}} の {{mvar|S}} の元としての値を {{math|''f''(''X'')}} を {{mvar|α}} で評価した値と呼ぶ。<br />
<br />
; 定義 (多項式函数)<br />
: 与えられた多項式 {{math|1=''f''(''X'') = ''a''{{ind|''n''}}''X''{{exp|''n''}} + ⋯ + ''a''{{ind|0}} ∈ ''K''[''X'']}} に対し、{{mvar|f}} を各点 {{mvar|''x'' ∈ ''K''}} で評価することにより[[関数 (数学)|関数]] <math display="block">f\colon K \to K;\ x \mapsto <br />
f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0<br />
</math> が定まる。このような関数 {{math|''f''}} を総称して（{{mvar|K}} 上で定義された）'''多項式関数'''とよぶ。<br />
特に、多項式 {{math|''f''}} の[[次数]] {{math|deg ''f''}} が {{mvar|n}} であるとき、{{math|''f''}} の定める多項式関数は '''''n''''' '''次関数'''と呼ばれる。<br />
* {{math|1=''y'' = ''ax'' + ''b'' (''a'', ''b'' ∈ ''K'', ''a'' ≠ 0)}} の形の多項式から定まる関数は[[一次関数]]と呼ばれる。<br />
* {{math|1=''y'' = ''ax''{{exp|2}} + ''bx'' + ''c'' (''a'', ''b'', ''c'' ∈ ''K'', ''a'' ≠ 0)}} の形の多項式から定まる関数は[[二次関数]]と呼ばれる。<br />
<br />
; 注意 (多項式として等しいことと多項式函数として等しいこととは異なる)<br />
: 係数の集合 {{mvar|K}} が実数体 {{math|'''R'''}} や複素数体 {{math|'''C'''}} などの無限体であれば、異なる多項式は異なる関数を定める。{{mvar|K}} が一般の[[可換環]]であるときはこの限りではない。例えば、有限体 {{math|'''F'''{{ind|2}}}} 上多項式 {{math|''X''{{exp|2}} + ''X''}} は[[零多項式]] {{math|0}} でないがこれの定める関数は[[零函数]] {{math|0}} である。無限体上、あるいは有限体上でも次数が体の位数よりも小さければ、このようなことは起きないことが知られている。<br />
<br />
多項式の微分積分は{{ill2|微積分の冪の法則|en|power rule|label=以下の式}}が基本的である：<br />
:<math>\frac{d}{dx} \, x^n= nx^{n-1}, \quad<br />
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.</math>（<math>C </math>は積分定数）<br />
これは[[解析学]]的に {{mvar|x}} を実数や複素数に値をとる変数と見る場合は、関数に対する[[微分]]・[[積分]]の定義から導かれる事実である。一方、[[代数学]]的にはこの式を定義として扱うことが多い（{{仮リンク|形式微分|en|Formal derivative}}を参照）。<br />
<br />
たとえば、多項式 {{math|''X''{{exp|2}} &minus; 3''X'' + 1}} の微分（'''導多項式'''）は {{math|2''X'' &minus; 3}} となる。<br />
<br />
* 複素変数の多項式関数は[[ガウス平面]]の全域で正則な[[解析関数]]（[[整関数]]）である。<br />
* 多項式が[[重根]]を持つことと、その多項式が自身の導多項式との間に共通の因数を持つこととが同値である。単根のみを持つ多項式は[[分離多項式]]と呼ばれる<br />
<br />
== 多変数多項式 ==<br />
{{main|多変数多項式}}<br />
{{mvar|m}} 個の不定元 {{math|''X''{{ind|1}}, ''X''{{ind|2}}, …, ''X''{{ind|''m''}}}} に関する単項式とは、これら不定元の非負整数冪をもつ不定元の冪積の定数倍 {{math|''a''&sdot;{{subsup|X|1|''e''{{ind|1}}}}&sdot;{{subsup|X|2|''e''{{ind|2}}}}⋯{{subsup|X|''m''|''e''{{ind|''m''}}}}}} を言う。[[多重指数]] {{math|1=α = (''e''{{ind|1}}, ''e''{{ind|2}}, …, ''e''{{ind|''m''}})}} に対して <math display="inline">a_\alpha X^\alpha := a_{e_1 e_2 \ldots e_m} X_1^{e_1} X_2^{e_2}\dotsb X_m^{e_m} </math> と約束する。非零係数を持つ単項式 {{mvar|a{{ind|α}}X{{exp|α}}}} ({{math|1=''α'' = (''a''{{ind|1}}, ''a''{{ind|2}}, …, ''a''{{ind|''m''}})}}) の[[単項式|次数]]とは、指数 {{mvar|α}} の「大きさ」<math display="inline"> |\alpha| := a_1 + a_2 + \dotsb + a_m</math> を言う。<br />
<br />
; 定義 (多変数多項式): '''{{mvar|m}} 変数の多項式'''とは、同変数に関する単項式の有限和 <math display="inline">\sum_{\alpha} a_\alpha X^\alpha</math> である。[[多項式の次数]]または'''全次数''' {{math|deg ''f''}} は、その多項式に現れる非零係数項の次数の最大値とする。<br />
<br />
たとえば {{math|''X{{ind|m}}''}} に注目すると、{{math|''m'' &minus; 1}} 個の変数 {{math|''X''{{ind|1}}, …, ''X''{{ind|''m''&minus;1}}}} に関する多項式を係数としてもつ一変数 {{math|''X{{ind|m}}''}} の多項式と見ることができる。すなわち、単位的可換環 {{mvar|R}} 上の変数 {{math|''X''{{ind|1}}, …, ''X''{{ind|''m''&minus;1}}, ''X''{{ind|''m''}}}} に関する多変数多項式環 {{math|''R''{{bracket|''X''{{ind|1}}, …, ''X''{{ind|''m''&minus;1}}, ''X{{ind|m}}''}}}} は、多項式を係数にもつ一変数多項式として <math display="inline">R[X_1, X_2, \dotsc, X_m] := R[X_1, X_2, \dotsc, X_{m-1}][X_m]</math> のように帰納的に定義できる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
多項式を一般化する筋道は少なくとも以下の二種類を考えることができる:<br />
* 「多項式」や「多項式表示」という言葉を、単項式における不定元の冪積（特に一変数の単項式列 {{math|{{mset|1, ''x'', ''x''{{exp|2}}, …}}}}）を特定の函数列で置き換えたり、あるいは不定元を行列などの数学的対象で置き換えた形と看做すことができる積和に対してしばしば用いる。<br />
* [[有理函数|有理式]]や[[冪級数]]のような、多項式をその特別の場合として含むような対象。<br />
<br />
=== 三角多項式 ===<br />
{{main|三角多項式}}<br />
実係数の[[三角多項式]]は {{mvar|n}} がいくつかの自然数を亙るときの[[三角函数]] {{math|sin(''nx''), cos(''nx'')}} に関する有限[[線型結合]] {{math|''a''{{ind|0}} + {{sum|b=''n''=1|p=''N''}} ''a{{ind|n}}''&thinsp;cos (''nx'') + {{sum|b=''n''=1|p=''N''}} ''b{{ind|n}}''&thinsp;sin(''nx'')}} として表される実数値函数をいう<ref>{{cite book |last1=Powell |first1=Michael J. D. |author1-link=Michael J. D. Powell |title=Approximation Theory and Methods |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-29514-7 |year=1981}}</ref>。これを「三角多項式」と呼ぶのは、多項式の{{仮リンク|単項式基底|en|monomial basis}}と函数列 {{math|sin(''nx''), cos(''nx'')}} を類似のものと看做してのアナロジーである。<br />
<br />
また、複素係数の三角多項式とは、有限[[フーリエ級数]]（フーリエ多項式）のことを言う。これは {{mvar|e{{exp|ix}}}} を不定元と見て、その正負の冪によって張られる。<br />
<br />
三角多項式の用例は広く、例えば[[周期函数]]の[[内挿|補間法]]に{{仮リンク|三角補間|en|trigonometric interpolation}}が用いられる。<br />
<br />
=== 行列変数多項式 ===<br />
{{main|l1=行列変数多項式|行列多項式}}<br />
[[行列多項式]]は[[行列]]変数の多項式である<ref>{{cite book |title=Matrix Polynomials |volume=58 |series=Classics in Applied Mathematics |first1=Israel |last1=Gohberg |first2=Peter |last2=Lancaster |first3=Leiba |last3=Rodman |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] |location=Lancaster, PA |year=2009 |origyear=1982 |isbn=0-89871-681-0 |zbl=1170.15300}}</ref>。通常はスカラー値の多項式 {{math|1=''P''(''x'') = {{sum|b=''i''=0|p=''n''}} ''a{{ind|i}}x{{exp|i}}'' = ''a''{{ind|0}} + ''a''{{ind|1}}''x'' + ''a''{{ind|2}}''x''{{exp|2}} + ⋯ + ''a{{ind|n}}x{{exp|n}}''}} が与えられたとき、これを行列 {{mvar|A}} で評価した値というものを<br />
: <math>P(A) = \sum_{i=0}^n a_i A^i =a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_n A^n</math><br />
のこととして定義する。ここで、定数項は[[単位行列]] {{mvar|I}} のスカラー倍に置き換わることに注意<ref>{{citation | first1= Roger A. | last1= Horn | first2= Charles R. | last2= Johnson | title= Matrix Analysis | year=1990 | publisher= Cambridge University Press | isbn= 978-0521386326}}</ref>{{rp|36}}。<br />
{{seealso|汎函数計算}}<br />
'''行列多項式方程式'''は行列多項式の間の等式であって、考えている範囲の行列のうち特定のもののみがそれを満足するものを言う。同様に、考えている[[行列環]] {{math|''M''{{msub|''n''}}(''R'')}} に属する任意の行列について成り立つ行列多項式の間の等式は'''行列多項式恒等式'''と呼ぶ。<br />
<br />
=== 冪級数 ===<br />
{{main|形式冪級数環}}<br />
[[形式冪級数]] {{math|{{sum|b=''n''=0|p=∞}} ''a{{ind|n}}x{{exp|n}}''}} は多項式とよく似ているが、非零項が（可算）無限個あってもよい（つまり有限次とは限らない）点が異なる。ゆえに多項式と違って、一般には全ての項を陽に書き下すことは（[[無理数]]の小数表示が全て書ききれないことと同様の意味で）できない。しかし、各項に対する扱いや演算における項の操作ルールは多項式に対するものとまったく同じくすることができる。形式冪級数ではなく収束冪級数を考えることでも多項式を一般化することができるが、積は必ずしも収束するとは限らないので、環構造の埋め込みにはならないことに注意。形式冪級数は一般に次数に関して最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つから、多項式の次数に対応する概念として形式冪級数の位数 (order) は最小の非零項の次数として定まる。<br />
<br />
=== ローラン多項式 ===<br />
{{main|ローラン級数|{{仮リンク|ローラン多項式|en|Laurent polynomial|preserve=1}}}}<br />
冪級数に対して、さらに有限個の負冪の項も許した一般化として形式[[ローラン級数]]が定義される。形式ローラン級数もまた最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つ（が、略式的には両側無限和として {{math|{{sum|b=''n''=&minus;∞|p=+∞}} ''a{{ind|n}}x{{exp|n}}''}} のようにも書く）。<br />
<br />
形式冪級数の特別の場合が多項式であったことの（形式）ローラン級数において対応する概念として、（形式）ローラン多項式は不定元の負冪の項を有限個含む多項式の類似物である。すなわち、ローラン多項式は正負の次数の項を含む有限和 <math display="inline">\sum_{i=-N}^M a_i x^i\quad (N,M\in\mathbb{N})</math> であり、最小の非零項および最大の非零項を持つ。<br />
<br />
=== ピュイズー多項式 ===<br />
{{main|{{仮リンク|ピュイズー級数|en|Puiseux series}}}}<br />
ピュイズー級数は冪級数に対して、分数冪を許すような一般化になっている。ピュイズー級数は[[アイザック・ニュートン]]が1676年に導入した<ref>{{Cite book|first=Isaac|last=Newton|year=1960|chapter=letter to Oldenburg dated 1676 Oct 24|title=The correspondence of Isaac Newton|volume=II|publisher=Cambridge University press|pages=126–127|ref=harv|postscript=<!--None-->|isbn=0-521-08722-8}}</ref>ものを[[ビクトル・ピュイズー]]が再発見した<ref>{{Cite journal | last=Puiseux | first=Victor Alexandre | author-link=Victor Puiseux | year=1850 | title=Recherches sur les fonctions algébriques | journal=J. Math. Pures Appl. | volume=15 | pages=365–480 | ref=harv | url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1850_1_15_A24_0.pdf }}, {{Cite journal | last=Puiseux | first=Victor Alexandre | author-link=Victor Puiseux | year=1851 | title=Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques | journal=J. Math. Pures Appl. | volume=16 | pages=228–240 | ref=harv | url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A15_0.pdf }}</ref>ためこの名がある。不定元 {{mvar|x}} に関する各ピュイズー級数は、適当な自然数 {{mvar|L}} に対する {{math|''x''{{exp|1/''L''}}}} を不定元とする[[ローラン級数]] {{math|<br />
{{sum|b=''n''=''l''|p=∞}} ''a{{ind|n}}x{{exp|n/L}}''}} として表される。ここで {{mvar|l}} は適当な整数であり、もちろん負であってもよい。[[代数閉体]]上のピュイズー級数体はそれ自身がまた代数閉体であり、またローラン級数体の[[代数閉包]]になる。<br />
<br />
ピュイズー級数版の多項式として、ピュイズー多項式は有限和となっているようなピュイズー級数 <math display="inline">\sum_{i=l}^m a_i x^{i/L} \quad (l\le m,\;l,m\in\mathbb{Z})</math> をいう。<br />
<br />
=== 指数多項式 ===<br />
{{main|{{仮リンク|指数多項式|en|exponential polynomial}}}}<br />
<br />
二変数多項式の第二変数を第一変数の指数函数で置き換えた {{math|''P''(''x'', ''e''{{exp|''x''}})}} を{{仮リンク|指数多項式|en|exponential polynomial}}と呼ぶ。<br />
<br />
=== 非可換多項式 ===<br />
{{main|[[自由多元環]]}}<br />
[[ファイル:TensorAlgebra-01.png|thumb|right|テンソル代数の普遍性]]<br />
通常の多変数多項式環は、変数と係数および変数同士の可換性が仮定されている。この変数の間の可換性を仮定からはずすことで、'''非可換多項式環'''が定義される。可換性をはずしたために、非可換多項式を一般に書き表すのは困難であるが、非可換多項式環は[[テンソル代数]]として記述することができる。{{math|1='''X''' = {''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ..., ''x''{{ind|''n''}}} }}を基底とする有限次元 {{mvar|K}} ベクトル空間あるいは可換環 {{mvar|K}} 上の[[階数]]有限な[[自由加群]] {{math|''V''}} 上のテンソル代数 {{math|''T''(''V'')}} を<br />
:<math>T(V) =: K\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle = K\langle\mathbf{X}\rangle</math><br />
などと記して{{mvar|K}} 上の'''非可換多項式環'''と呼ぶ。ここで術語「[[自由対象|自由]]」{{lang|en|(free)}} は、この環が必ずしも乗法が可換でないような多元環としての[[普遍性]]を持つということを意味している。{{mvar|K}} 上で有限生成な（非可換）環 {{math|''A''}}<br />
:<math><br />
A = K\langle \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\rangle := \left\{<br />
\sum_l c_l \alpha_{i_1}^{(l)}\alpha_{i_2}^{(l)}\cdots\alpha_{i_{k_l}}^{(l)}<br />
\mid c_l \in K, \alpha_{i_j}^{(l)} \in \{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}<br />
\right\}<br />
</math><br />
は {{math|''K''&lang;'''X'''&rang;}} の代入による[[準同型]][[像 (数学)|像]]として得られる。つまり、適当な {{mvar|K}} 多元環の全射準同型で<br />
:<math>K\langle \mathbf{X} \rangle \to A;\ <br />
f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \mapsto f(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)<br />
</math><br />
なるものが必ず取れ、またしたがって {{math|''A''}} は {{math|''K''&lang;'''X'''&rang;}} のある[[商環|商多元環]]に同型である。この準同型の {{math|''V''}} への制限は {{math|''V''}} から {{math|''A''}} への [[線型写像|{{mvar|K}} 線型写像]]であるが、逆に {{math|''V''}} から {{math|''A''}} への任意の {{mvar|K}} 線型写像はかならずこのような形の多元環の準同型に延長可能である。これは'''テンソル代数の[[普遍性]]'''と呼ばれる性質の一部である。<br />
<br />
また、非可換多項式環 {{math|''K''&lang;''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, …, ''x''{{ind|''n''}}&rang;}} をテンソル代数とみるとき、対応する[[対称代数]] {{math|''S''(''V'')}} ({{math|''xy'' &minus; ''yx''}} の形の元全体で生成される両側イデアルで割った代数) は多項式環 {{math|''K''[''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, …, ''x''{{ind|''n''}}]}} であり、多項式環が有限生成可換多元環に対する普遍性を持っていることに対応している。<br />
<br />
=== 有理函数 ===<br />
{{main|有理函数}}<br />
[[有理式]]は、二つの多項式 {{mvar|P, Q}} の[[分数|商]]（{{仮リンク|代数的分数式|en|algebraic fraction}}）{{math|{{sfrac|''P''(''x'')|''Q''(''x'')}}}} のことを言い、有理式として書き直すことのできる任意の{{仮リンク|代数式|en|algebraic expression}}の定める函数を[[有理函数]]と呼ぶ。<br />
<br />
多項式函数は変数に対する任意の代入に対して値が定義されるが、有理函数は分母が零にならないような変数の値に対してしか定義されない。<br />
<br />
有理函数はローラン多項式を分母が不定元の冪であるような特別の場合として含む。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* {{仮リンク|多項式の因数分解|en|Factorization of polynomials}}: 可約/[[既約多項式]], 素多項式, {{仮リンク|原始多項式|en|Primitive polynomial (ring theory)}}<br />
* [[多項式補間]]<br />
* [[多項式列]]<br />
* {{仮リンク|多項式に関する主題一覧|en|List of polynomial topics}}<br />
* {{仮リンク|多項式函数環|en|Polynomials on vector spaces}}: ベクトル空間上で定義される（座標を用いない仕方での）多項式函数からなる函数環<br />
* {{仮リンク|多項式変換 (方程式論)|en|Polynomial transformations}}: 多項式の求根において、もとの多項式の根が計算できるより容易に根の求まる函数や多項式へ変換すること。{{仮リンク|チルンハウス変換|en|Tschirnhaus transformation}}や{{仮リンク|分解方程式|en|Resolvent (Galois theory)}}など。<br />
<br />
== 注 ==<br />
{{脚注ヘルプ}}<br />
=== 注釈 ===<br />
{{reflist|group="注釈"}}<br />
=== 参考文献 ===<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 関連文献 ==<br />
<!-- *{{cite book |title= |publisher= |year= |isbn= |url=}} --><br />
{{Refbegin}}<br />
*{{cite book |last=Barbeau |first=E.J. |title=Polynomials |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-40627-5 |url=https://books.google.com/?id=CynRMm5qTmQC&printsec=frontcover}}<br />
*{{cite book |editor-last=Bronstein |editor-first=Manuel |title=Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-3-540-27357-8 |url=https://books.google.com/?id=aIlSmBV3yf8C&printsec=frontcover|display-editors=etal}}<br />
*{{cite book |last1=Cahen |first1=Paul-Jean |last2=Chabert |first2=Jean-Luc |title=Integer-Valued Polynomials |publisher=American Mathematical Society |year=1997 |isbn=978-0-8218-0388-2 |url=https://books.google.com/?id=AlAluH5is6AC&printsec=frontcover}}<br />
*{{Lang Algebra}}. This classical book covers most of the content of this article.<br />
*{{cite book |last=Leung |first=Kam-tim |title=Polynomials and Equations |publisher=Hong Kong University Press |year=1992 |isbn=9789622092716 |url=https://books.google.com/?id=v5uXkwIUbC8C&printsec=frontcover|display-authors=etal}}<br />
*Mayr, K. Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. ''Monatshefte für Mathematik und Physik'' vol. 45, (1937) pp.&nbsp;280–313.<br />
*{{cite book |last=Prasolov |first=Victor V. |title=Polynomials |publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-3-642-04012-2 |url=https://books.google.com/?id=qIJPxdwSqlcC&printsec=frontcover}}<br />
*{{cite book |last=Sethuraman |first=B.A. |chapter=Polynomials |title=Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra Via Geometric Constructibility |publisher=Springer |year=1997 |isbn=978-0-387-94848-5 |url=https://books.google.com/?id=yWnTIqmUOFgC&pg=PA119}}<br />
*Umemura, H. Solution of algebraic equations in terms of theta constants. In D. Mumford, ''Tata Lectures on Theta II'', Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston, 1984.<br />
*von Lindemann, F. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PID=GDZPPN00252161X&L=1 Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen]. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften, vol. 7, 1884. Polynomial solutions in terms of theta functions.<br />
*von Lindemann, F. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PID=GDZPPN002526069&L=1 Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen II]. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, 1892 edition.<br />
{{Refend}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
{{Commons category|Polynomials}}<br />
{{Wiktionary|polynomial}}<br />
*{{springer|title=Polynomial|id=p/p073690}}<br />
*{{citation |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&pf=1 |title=Euler's Investigations on the Roots of Equations |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110522161001/http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&pf=1 |archivedate=2011年5月22日 |deadurl=yes |deadlinkdate=2017年9月 }}<br />
*{{MathWorld |title=Polynomial|id=Polynomial}}<br />
* {{PlanetMath|title=Polynomial|urlname=Polynomial}}<br />
<br />
{{Polynomials}}<br />
{{Authority control}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:たこうしき}}<br />
[[Category:多項式|*]]<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
冪乗
2018-07-20T12:50:23Z
<p>125.9.201.214: 122.249.241.218 (会話) による ID:69291821 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{Calculation results}}<br />
'''冪演算'''（べきえんざん、[[英語|英]]: [[ドイツ語|独]]: [[フランス語|仏]]: ''Exponentiation''）は、'''底''' (base) および'''冪指数''' (exponent) と呼ばれる二つの[[数]]に対して定まる[[数学]]的[[算法 (数学)|算法]]である。通常は、冪指数を底の右肩につく[[上付き文字]]によって示す。[[自然数]] {{mvar|n}} を冪指数とする冪演算は'''累[[乗法|乗]]'''（るいじょう、{{lang-en-short|''repeated multiplication''}}) に一致する。<br />
<br />
具体的に、{{仮リンク|冪の底|en|Base (exponentiation)|label=底}} {{mvar|b}} および冪指数 {{mvar|n}} を持つ冪 (power) {{mvar|b{{exp|n}}}} は、{{mvar|n}} が自然数（正整数）のとき、底の累乗<br />
: <math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_{n\text{ factors}}</math><br />
で与えられる。このとき {{mvar|b{{exp|n}}}} は {{mvar|b}} の {{mvar|n}}-乗とか、{{mvar|n}}-次の {{mvar|b}}-冪などと呼ばれる。<br />
<br />
よく用いられる冪指数に対しては、固有の名前が与えられているものがある。例えば冪指数 {{math|2}} に対して二次の冪（二乗） {{math|''b''{{exp|2}}}} は {{mvar|b}} の[[平方数|平方]] (square of {{mvar|b}}) あるいは {{mvar|b}}-[[自乗]] ({{mvar|b}}-squared) と呼ばれ、冪指数 {{math|3}} に対する三次の冪 {{math|''b''{{exp|3}}}} は {{mvar|b}} の[[立方数|立方]] (cube of {{mvar|b}}, {{mvar|b}}-cubed) と呼ばれる。また冪指数 {{math|−1}} に対して冪 {{math|''b''{{exp|&minus;1}}}} は {{math|1/''b''}} であり {{mvar|b}} の[[逆数]]（あるいは[[乗法逆元]]）と呼ばれる。一般に負の整数 {{mvar|n}} に対して底 {{mvar|b}} が零でないとき、冪 {{mvar|b{{exp|n}}}} はふつう {{math|1=''b''<sup>''n''</sup> × ''b''<sup>''m''</sup> = ''b''<sup>''n'' + ''m''</sup>}} なる性質を保つように {{math|''b''{{exp|''n''}} :{{=}} 1/''b''{{exp|−''n''}}}} と定義される。<br />
<br />
冪演算は任意の[[実数]]あるいは[[複素数]]を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数であるような冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば[[指数函数]]が、冪指数を固定して底を変数と見れば[[冪函数]]がそれぞれ生じる。整数乗冪に限れば、[[行列]]などを含めた非常に多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができるが、冪指数まで同種の対象に拡張するならばその上で定義された自然指数函数と自然対数函数を持つ[[バナッハ環|完備ノルム環]]（例えば実数全体 {{mathbf|R}} や複素数全体 {{mathbf|C}} などはそう）を想定するのが自然である。<br />
<br />
== 歴史 ==<br />
歴史上に冪が現れたのは非常に古くB.C.16世紀頃に作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれており{{sfn|鈴木|2013|p=319|loc=(PDF p. 5)}}エジプトやインド、ギリシャなどでも冪の概念は明示されている。一方で指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する用語 "power" は[[ギリシア数学|ギリシアの数学者]][[エウクレイデス]]（ユークリッド）が直線の平方を表すのに用いた語に起源がある<ref name="MacTutor" />。また「原論」において指数法則 {{math|''a''<sup>''m''</sup> × ''a''<sup>''n''</sup> {{=}} ''a''<sup>''m''+''n''</sup>}} に相当する命題に言及している{{sfn|鈴木|2013|p=319|loc=(PDF p. 5)}}が、この時代には算式は発明されておらずすべて言葉で表現していた{{sfn|鈴木|2013|p=319|loc=(PDF p. 5)}}。<br />
<br />
=== 記法について ===<br />
[[アルキメデス]]は {{math|10}} の冪を扱うために必要となる指数法則 {{math|10{{exp|''a''}}{{*}}10{{exp|''b''}} {{=}} 10{{exp|''a''+''b''}}}} を発見し証明した{{efn|For further analysis see [[The Sand Reckoner]].}}。9世紀、ペルシアの数学者[[フワーリズミー|アル゠フワーリズミ]]は平方を {{mvar|mal}}, 立方を {{mvar|kab}} で表した。これを後に[[アラビア数学|中世イスラム]]の数学者がそれぞれ {{mvar|m, k}} で表す記法として用いていることが、15世紀ごろの{{仮リンク|アル゠カラサディ|en|Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī}}の仕事に見ることができる<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>。<br />
<br />
16世紀後半、[[ヨスト・ビュルギ]]は冪指数をローマ数字を用いて表した<ref>Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 ISBN 1602066841</ref>。<br />
<br />
17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形は[[ルネ・デカルト]]が著書 ''La Géométrie'' の一巻において導入した<ref name="Descartes">René Descartes, ''Discourse de la Méthode'' ... (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book one, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image page 299.] From page 299: ''" ... Et ''aa'', ou ''a''<sup>2</sup>, pour multiplier ''a'' par soy mesme; Et ''a''<sup>3</sup>, pour le multiplier encore une fois par ''a'', & ainsi a l'infini ; ... "'' ( ... and ''aa'', or ''a''<sup>2</sup>, in order to multiply ''a'' by itself; and ''a''<sup>3</sup>, in order to multiply it once more by ''a'', and thus to infinity ; ... )</ref>。<br />
<br />
[[アイザック・ニュートン]]など一部の数学者は冪指数は二乗よりも大きな冪に対してのみ用い、平方は反復積として書き表した。これは例えば {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}} のように多項式を書くということである。<br />
<br />
=== 用語について ===<br />
15世紀に{{仮リンク|ニコラ・ショケ|en|Nicolas Chuquet}}は冪記法の一種を用い、それは後の16世紀に{{仮リンク|ハインリヒ・シュライベル|en|Henricus Grammateus}}および{{仮リンク|ミハエル・スティーフェル|en|Michael Stifel}}が用いている。<br />
<br />
16世紀に{{仮リンク|ロバート・レコード|en|Robert Recorde}}は square（二次）, cube（三次）, zenzizenzic（{{仮リンク|四乗|en|fourth power|label=四次}}）, sursolid（五次）, zenzicube（六次）, second sursolid（七次）, zenzizenzizenzic（{{仮リンク|八乗|en|zenzizenzizenzic|label=八次}}）の語を用いた<ref>{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|accessdate=2010-03-19}}</ref>。四乗については ''Biquadrate''（複二次）の語も用いられた。<br />
<br />
歴史的には "involution" が冪の同義語として用いられていた<ref>This definition of "involution" appears in the OED second edition, 1989, and Merriam-Webster online dictionary [http://www.m-w.com/dictionary/involution]. The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806.</ref>が現在では稀であり、現在[[対合|別の意味]]で用いられているので混同すべきではない。<br />
<br />
==== 冪指数について ====<br />
冪指数を意味する用語として、英語ではしばしば exponent と index が同義語として用いられる。この用語選定は18世紀、19世紀を通じて極めて曖昧で個人の嗜好に委ねられていた{{sfn|鈴木|2013|p=372|loc=(PDF p. 58)}}。しかし、[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]はその著書 ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' において通常の冪指数と[[指数 (初等整数論)|数論的な指数]]を峻別する必要性から exponens は通常の冪指数、index は数論的な指数を表すものとして明確に区別し使い分けて解説に使用しており、この使い分けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通じて数論の世界での標準となった{{sfn|鈴木|2013|p=372|loc=(PDF p. 58)}}。<br />
<br />
もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルが{{lang-la|"exponens"}} を造語し<ref>See:<br />
* [http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]<br />
* Michael Stifel, ''Arithmetica integra'' (Nuremberg ("Norimberga"), (Germany): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Book 3), Caput III (Chapter 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (On algorithms of algebra.), [http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&vq=exponens&pg=RA7-PA231#v=onepage&q&f=false page 236.] Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. On page 236, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: ''"Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam."'' (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from [[Christoff Rudolff]], who in turn took them from Leonardo Fibonacci's ''Liber Abaci'' (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words ''res''/''radix'' (x), ''census''/''zensus'' (''x''<sup>2</sup>), and ''cubus'' (''x''<sup>3</sup>).]</ref>{{sfn|鈴木|2013|p=337|loc=(PDF p. 23)}}、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注として{{lang-la|"index"}} を（シュテイフェルが exponens と呼んだものと同じものを指す意味で）用いた{{sfn|鈴木|2013|p=348|loc=(PDF p. 34)}}のがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳で、例えば index は{{仮リンク|サミュエル・ジーク|en|Samuel Jeake}}が1696年に導入した<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref>。<br />
<br />
exponentとindexの微妙な使い分けと併用の時代はここから始まるのであるが、その併用のされ方は国と時代のみならず個人によっても異なり、イギリスは当初indexが優勢でこれは聖バーソロミューの大虐殺で殉死したラムスの著作がプロテスタント諸国で非常に人気を集めたためとの指摘がある{{sfn|鈴木|2013|p=350|loc=(PDF p. 36)}}。<br />
<br />
=== 日本語「冪」について ===<br />
「冪」の字義は「覆う、覆うもの」である。[[江戸時代]]の[[和算]]家は冪の略字として「巾」を用いていた<ref>{{Citation|title=「算木」を超えた男|last=王青翔|isbn=4-88595-226-3|publisher=東洋書店|place=東京|year=1999}}</ref>。<br />
<br />
第二次世界大戦後の漢字制限政策のもと、これらの字は[[常用漢字]]・[[当用漢字]]に含まれず、[[1950年代]]以降の学習参考書などの出版物では[[仮名 (文字)|仮名]]書きまたは「累乗」への書き換えが進められ、結果として[[算数|初等数学]]の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。「累乗」の字義は「重ね掛けた乗算」であり、自然数乗以外の冪に対して用いることは字義からすればあまり自然でない。<br />
<br />
「[[冪剰余]]」「[[冪集合]]」「[[冪級数]]」などの高等学校以下で扱われない多くの概念に対しては、「冪」の部分が置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」や「累乗集合」などといった表現は生じていない。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
=== 自然数乗冪 ===<br />
[[実数]]（または積 <math>\times</math> の定義された[[群 (数学)|群]]、より一般には[[半群]]）において、元 ''x'' 、および、[[自然数]] ''n'' に対して<br />
''x''<sup>''n''</sup> を<br />
:<math>x^n = \underbrace{x \times \cdots \times x}_{n\ \text{times}}</math><br />
で定義する。（厳密には再帰的に定義する。）<br />
上付きの ''n'' が書けない場合などには、''' ''x''^''n'' '''という表記を用いることが多い。<br />
これを''' ''x'' の ''n''-乗'''あるいは ''' ''x'' の ''n'' -乗冪'''と呼び、''n'' を問題にしないときは''' ''x'' の累乗'''や''' ''x'' の冪'''と言う。<br />
<br />
また、これら操作を「''x'' の ''n'' 乗 (etc.) を取る」などと称し、特に ''n'' を固定して ''x'' を入力とする関数（特に実数 {{mvar|x}} の函数）と見るときは、[[冪関数]]という。<br />
''x'' の 2乗、3乗は特に、それぞれ x の'''平方''' (へいほう、 {{lang-en-short|''square''}})、'''立方''' (りっぽう、 {{lang-en-short|''cube''}}) と呼ばれ、2乗を特に'''自乗'''という場合もある。<br />
<br />
冪 ''x''<sup>''n''</sup> において、''x'' を'''底'''（てい、{{lang-en-short|''base''}}、 '''基数'''）と呼び、''n'' を'''冪数'''、'''冪指数'''または単に'''指数'''（しすう、 {{lang-en-short|''exponent''}}) と呼ぶ{{efn|単に「指数」と呼ぶ場合、"exponent" に限らず、（数学に限っても）種々の index を意味する場合も多く、文脈に注意を要する（たとえば[[部分群の指数]]）。また、（必ずしも冪指数のことでない）"exponent" の訳として冪数が用いられることもある（たとえば[[群の冪数]]）。}}。また、必ずしも冪指数とは限らない添字 ''n'' をその基準となる文字 ''x'' の右肩に乗せる[[添字記法]]を指数表記・冪記法などとよぶ場合もある。<br />
<br />
厳密には、''x'' の ''n''-乗冪は<br />
# ''x''<sup>1</sup> = ''x'',<br />
# ''x''<sup>''n''+1</sup> = ''x''<sup>''n''</sup> × ''x'' &nbsp; (''n'' ≥ 1)<br />
<br />
によって再帰的に定義される。<br />
<br />
=== 負の整数乗冪 ===<br />
帰納的定義を見れば以下のように拡張するのが自然である。<br />
<br />
有理数の範囲で[[2の累乗数]]を例に取ると：<br />
*2<sup>4</sup> = [[16]]<br />
*2<sup>3</sup> = [[8]]<br />
*2<sup>2</sup> = [[4]]<br />
*2<sup>1</sup> = [[2]]<br />
*2<sup>0</sup> = [[1]]<br />
*2<sup>&minus;1</sup> = [[1/2]]<br />
*2<sup>&minus;2</sup> = [[1/4]]<br />
*2<sup>&minus;3</sup> = [[1/8]]<br />
*2<sup>&minus;4</sup> = [[1/16]]<br />
<br />
ただし、底が0の場合は「0で割れない」などの理由から定義しないか、あるいは 0<sup>0</sup> については 1 と定義するのが一般的である。<br />
{{Main|0の0乗}}<br />
<br />
=== 有理数乗冪 ===<br />
{{main|冪根}}<br />
自然数 ''m'' に対し、''x'' の ''m'' [[冪根|乗根]]すなわち ''m'' 乗して ''x'' になるような数 ''y'' がただ一つあるならば、その ''y'' を ''x''<sup>1/''m''</sup> とし、自然数または整数 ''n'' に対し<br />
: ''x''<sup>''n''/''m''</sup> = (''x''<sup>1/''m''</sup>)<sup>''n''</sup><br />
と定めることによって、''x'' を底とする冪乗の指数を[[有理数]]の範囲まで拡張することができる。<br />
このとき、'''指数法則'''と呼ばれる以下の関係式が成り立つ。<br />
* ''x''<sup>''r''+''s''</sup> = ''x''<sup>''r''</sup> × ''x''<sup>''s''</sup><br />
* ''x''<sup>''r''×''s''</sup> = (''x''<sup>''r''</sup>)<sup>''s''</sup><br />
<br />
ここで、''r'' と ''s'' は、冪が定義できる範囲の有理数である。つまり、''x'' が逆元をもたないなら自然数、逆元はもつが冪根をもたないなら整数、''m'' 乗根をもつが逆元をもたないならば ''m'' を分母とする正の有理数、逆元も ''m'' 乗根ももつならば ''m'' を分母とする有理数である。<br />
<br />
=== 実数乗冪 ===<br />
{{main|指数関数}}<br />
''x'' が正の実数であれば、上で制限されていた指数への条件は外れる。<br />
なぜなら、正数であれば任意の自然数 ''m'' に対する正の ''m'' 乗根 {{sup|''m''}}√{{overline|''x''}} がただ一つだけ存在するから、正の有理数 ''n''/''m'' に対し<br />
:<math>x^{n/m} = \bigl(\!\sqrt[m]{x}\,\bigr)^n = \sqrt[m]{x^n}</math><br />
と定めることができるし、さらに ''x'' が 0 でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。<br />
<br />
さて、''x'' (>0) の冪はその指数に関して[[極限]]を取ることにより、実数上の関数に拡張され連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを ''x'' を底とする[[指数関数]]と呼ぶ。<br />
<br />
=== 複素数乗冪 ===<br />
{{seealso|複素指数函数|複素対数函数}}<br />
複素数 ''z'' に対し、<br />
:<math>e^z:=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}</math><br />
と定める。この級数は任意の複素数 ''z'' に対して収束する。''z'' = ''x'' + ''iy'' （''x'', ''y'' は実数）と表すと、<br />
:<math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math><br />
が成り立つ。<br />
<br />
さらに、この関数の「逆関数」を [[自然対数|log]] と書けば、一般の複素数 ''w'' ≠ 0 に対し<br />
:<math>w^z:=e^{z\log w}</math><br />
と定義される。これは log が[[多価関数]]であるため一般には値が 1 つには定まらない。ただし、{{math|''w'' {{=}} ''e''}} の場合には、上に冪級数で定義した方の意味で用いるのが普通である。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
* 冪演算は[[交換法則|可換]]でない（たとえば {{math|1=2{{exp|3}} = 8 &ne; 9 = 3{{exp|2}}}}）。また[[結合法則|結合的]]でない（たとえば {{math|1=(3{{exp|1}}){{exp|3}} = 27 &ne; 3 = 3{{exp|(1{{exp|3}})}}}}）。<br />
* 括弧を用いずに {{mvar|a{{exp|b{{exp|c}}}}}} と書いたときには、これはふつう {{math|''a''{{exp|(''b''{{exp|''c''}})}}}} を意味する。すなわち冪演算は右結合的である（[[演算子の優先順位]]も参照）。<br />
<br />
=== 指数法則 ===<br />
以下の一覧表において多重定義の虞を除くため、底は非零実数であるような冪のみを考える。ただし、正の冪のみを考えるならば、底が {{math|0}} でも各法則は成り立つ。また以下の一覧において、有理数について分母が奇数あるいは偶数であるというときは、常にその有理数の既約分数表示における分母のことを言っているものとする。<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|+ 指数法則<br />
! 規則 !! 条件<br />
|-<br />
| <math>a^0 = 1</math><br />
| {{math|''a'' &ne; 0}} は任意<br />
|-<br />
| <math> a^{-r} = \frac{1}{a^r}</math><br />
| <br />
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の実数<br />
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r}} は分母が奇数の任意の有理数<br />
|-<br />
| <math>a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}=(\sqrt [n] a)^m</math><br />
|<br />
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|n}} は任意の自然数で {{mvar|m}} は任意の整数<br />
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|n}} は任意の奇数で {{mvar|m}} は任意の整数<br />
|-<br />
| <math>a^{r+s} = a^r\cdot a^s</math><br />
| <br />
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の実数<br />
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r, s}} は分母が奇数の任意の有理数<br />
|-<br />
| <math>a^{r-s}=\frac{a^r}{a^s}</math><br />
| <br />
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の実数<br />
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r, s}} は分母が奇数の任意の有理数<br />
|-<br />
| <math>(a\cdot b)^r = a^r\cdot b^r</math><br />
|<br />
* {{math|''a'' {{*}} ''b'' &ne; 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の自然数、あるいは任意の整数<br />
* {{math|''a'' > 0, ''b'' > 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の実数<br />
* {{mvar|a, b}} の少なくとも一方が負ならば {{mvar|r}} は分母が奇数の任意の有理数<br />
|-<br />
| <math>\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}</math><br />
|<br />
* 整数 {{mvar|r}} に対して、[{{math|''r'' &ge; 0}} かつ {{math|''b'' &ne; 0}}] または [{{math|''r'' &le; 0}} かつ {{math|''a'' &ne; 0}}] のとき<br />
* {{math|''a'' > 0, ''b'' > 0}} ならば {{mvar|r}} は任意の実数<br />
* {{mvar|a, b}} の少なくとも一方が負ならば {{mvar|r}} は分母が奇数の任意の有理数<br />
|-<br />
| <math>(a^r)^s = a^{r\cdot s}</math><br />
| <br />
* {{math|''a'' &ne; 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の整数<br />
* {{math|''a'' > 0}} ならば {{mvar|r, s}} は任意の実数<br />
* {{math|''a'' < 0}} ならば {{mvar|r, s}} は分母が奇数の任意の有理数<br />
|-<br />
| <math>(a^r)^s =- a^{r\cdot s}</math><br />
| {{math|''a'' < 0}} かつ有理数 {{mvar|r, s}} に対して、{{mvar|r}} および {{math|''r'' {{*}} ''s''}} は分母が奇数、かつ {{math|''r'' {{*}} ''s''}} の分子が奇数のとき<br />
|}<br />
<br />
; {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} &plusmn;''a''{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} に関して<br />
:* 冪指数 {{mvar|r, s}} の少なくとも一方が無理数であるとき、あるいはこれらの双方が有理数だが {{mvar|r}} または {{math|''r'' {{*}} ''s''}} の少なくとも一方の分母が偶数となるときには、{{math|''a'' < 0}} に対する {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}}}} または {{mvar|a{{exp|r{{*}}s}}}} は定義されない。それ以外のとき、この両者は定義されて[[符号]]の違いを除いて一致する。特に両者は {{math|''a'' > 0}} ならば任意の実数 {{mvar|r, s}} に対して一致し、また {{math|''a'' &ne; 0}} ならば任意の整数 {{mvar|r, s}} に対して一致する。<br />
:* {{math|''a'' < 0}} かつ {{mvar|r, s}} が整数でない有理数であるときには可能性は二通り考えられ、どちらになるかは {{mvar|r}} の分子と {{mvar|s}} の分母の素因数分解が関係する。式 {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} &plusmn;''a''{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} の右辺の符号は何れが正しいのかを知るには {{math|''a'' {{=}} &minus;1}} のときを見れば十分である（与えられた {{math|r, s}} に対して {{math|''a'' {{=}} &minus;1}} のとき正しくなる方の符号をとれば、任意の {{math|''a'' < 0}} についても成り立つ）。<br />
:* {{math|''a'' < 0}} に対して {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} &minus;''a''{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} が適用されるならば、{{math|''a'' &ne; 0}} に対して {{math|(''a''{{exp|''r''}}){{exp|''s''}} {{=}} {{abs|''a''}}{{exp|''r''{{*}}''s''}}}} が成り立つ（冪指数が正ならば {{math|''a'' {{=}} 0}} のときも成り立つ）。<br />
<br />
例えば、{{math|((&minus;1){{exp|2}}){{exp|{{fraction|1|2}}}} {{=}} 1}} および {{math|(&minus;1){{exp|2{{*}}{{fraction|1|2}}}} {{=}} &minus;1}} であるから、{{math|''a'' < 0}} に対して {{math|{{sqrt |''a''{{exp|2}}}} {{=}} (''a''{{exp|2}}){{exp|{{fraction|1|2}}}} {{=}} &minus;''a''{{exp|2{{*}}{{fraction|1|2}}}} {{=}} &minus;''a''}}, したがって任意の実数 {{mvar|a}} に対して {{math|{{sqrt|''a''{{exp|2}}}} {{=}} {{abs|''a''}}}} が成り立つ。<br />
<br />
=== 指数・対数法則の不成立 ===<br />
正の実数に対する冪および対数に関する等式のいくつかは、複素数冪や複素対数がどのように{{underline|一価函数として}}定義されようとも、複素数に対しては成り立たないことが起こる。<br />
{{ordered list<br />
|1= 等式 {{math|1=log(''b{{sup|x}}'') = ''x''&sdot;log(''b'')}} は {{mvar|b}} が正の実数で {{mvar|x}} が実数のときにはいつでも成り立つ。しかし、複素対数の{{仮リンク|主枝 (数学)|label=主枝|en|principal branch}}に対して<br />
: <math>i\pi=\log(-1)=\log\left[(-i)^2\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-\frac{i\pi}{2}\right)=-i\pi</math><br />
は反例になる。複素対数のどの枝を用いたかに関わらず、この等式には同様の反例が存在する。（この結果のみを使うものとすれば）<br />
: <math>\log(w^z)\equiv z \cdot\log(w)\pmod{2\pi i}</math><br />
であるとまでしか言えない。<br />
<br />
この等式は {{math|log}} を多価函数と考えるときでさえ成り立たない。{{math|log(''w{{sup|z}}'')}} の取り得る値は {{math|''z''&sdot;log(''w'')}} の取り得る値を部分集合として含む。{{math|log(''w'')}} の主値を {{math|Log(''w'')}} とし、{{mvar|m, n}} を任意の整数とすると、両辺の取り得る値は<br />
: <math>\{\log(w^z)\} = \{z\cdot\operatorname{Log}(w) + z\cdot 2\pi in+2\pi im\}</math><br />
: <math>\{z\cdot\log w\} = \{z\cdot\operatorname{Log}(w) + z\cdot 2\pi in\}</math><br />
である。<br />
<br />
|2= 等式 {{math|1=(''bc''){{sup|''x''}} = ''b{{sup|x}}&sdot;c{{sup|x}}''}} および {{math|1=(''b''/''c''){{sup|''x''}} = ''b{{sup|x}}''/''c{{sup|x}}''}} は {{mvar|x}} が実数でさらに {{mvar|b}} と {{mvar|c}} が正の実数ならば成り立つ。しかし主枝を用いた計算で<br />
: <math>1=((-1)(-1))^\frac{1}{2} \ne (-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2}=-1</math><br />
および<br />
: <math>i=(-1)^\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{-1}\right)^\frac{1}{2} \ne \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{i}=-i</math><br />
が反例として示される。<br />
<br />
他方、{{mvar|x}} が整数のときには任意の非零複素数に対して成り立つ。<br />
<br />
複素数冪を多価函数として考えれば、{{math|((&minus;1)(&minus;1)){{sup|1/2}}}} の取り得る値は {{math|{{mset|1, &minus;1}}}} で、等式は成り立つが {{math|{{mset|1}} {{=}} {{mset|((&minus;1)(&minus;1))<sup>1/2</sup>}}}} と言うことは間違っている。<br />
<br />
|3= 等式 {{math|1=(''e{{sup|x}}''){{sup|''y''}} = ''e{{sup|xy}}''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} が実数であるときには成り立つが、任意の複素数に対して正しいと仮定すると、{{harvtxt|Clausen et al.|1827|ref=Clausen}}<ref>{{cite journal|author1=Steiner, J.|author2=Clausen, T.|author3=Abel, N. H.|title=Aufgaben und Lehrsatze, erstere aufzulosen, letztere zu beweisen|trans_title=Problems and propositions, the former to solve, the later to prove|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=270662|location=[[ベルリン|Berlin]]|publisher={{enlink|Walter de Gruyter|p=off|s=off}}|journal=[[クレレ誌|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|volume=2|year=1827|month=January|pages=286-287|issn=0075-4102|oclc=1782270|doi=10.1515/crll.1827.2.96|ref=ref={{SfnRef|Clausen et al.|1827}}}}</ref>の発見した{{quote|任意の整数 {{mvar|n}} に対して、<br />
# <math>e^{1+2\pi in}=e^{1} e^{2\pi in}=e\cdot 1=e</math><br />
# <math>(e^{1+2\pi in})^{1+2\pi in}=e</math><br />
# <math>e^{1+4\pi in-4\pi^{2}n^{2}}=e</math><br />
# <math>e^1e^{4\pi i n}e^{-4\pi^2n^2}=e</math><br />
# <math>e^{-4\pi^2n^2}=1</math><br />
を得るが、これは {{mvar|n}} が {{math|0}} でないとき誤りである。}}<br />
という[[誤った数学的推論|不合理]]が生じる。この推論にはいくつも問題がある:<br />
* 主な誤りは、二行目から三行目に行くときに冪の順番を変えることで選ばれる主値が変わることである。<br />
* 多価函数の視点から見ると、最初の誤りは更に早く起きている。一行目で暗に {{mvar|e}} は実数としているにも拘らず、{{math|''e''{{sup|1+2''&pi;in''}}}} の結果は複素数であり、{{math|''e'' + 0''i''}} と書いたほうがよい。二行目を実数ではなくこの複素数で置き換えることで、そこでの冪が取れる値を複数持つようになる。二行目から三行目で指数の順番を変えたことも、取りうる値の数に影響を及ぼす。{{math|(''e{{sup|z}}''){{sup|''w''}} &ne; ''e{{sup|zw}}''}} だが、整数 {{mvar|n}} にわたって多価な意味で {{math|1=(''e{{sup|z}}''){{sup|''w''}} = ''e''{{sup|(''z''+2''&pi;in'')''w''}}}} としたほうがよい。<br />
}}<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
<br />
=== モノイドにおける冪 ===<br />
冪演算は任意の[[モノイド]]において定義できる<ref>{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|title=Algèbre|year=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>。モノイドは単位元を持つ半群、すなわち適当な集合 {{mvar|X}} を台として合成あるいは乗法と呼ばれる[[二項演算]]が定義される[[代数系]]であって、その乗法が[[結合法則]]を満足し、かつ[[乗法単位元]] {{math|1{{sub|''X''}}}} を持つものを言う。モノイドにおける自然数冪は<br />
* <math>x^0:=1_X\quad (\forall x\in X),</math><br />
* <math>x^{n+1}:=x^nx\quad (x\in X,\,n\in \mathbb{Z}_{\ge 0})</math><br />
として帰納的に定義することができる（先の式の右辺（の 1）は {{mvar|X}} の単位元、後の式の左辺の 1 は自然数の [[1]] で、当然だがこれらは互いに別のものである）。特に先の式（零乗すること）は「単位元を持つ」ことによって初めて意味を成す規約であることに注意すべきである（[[空積]]も参照のこと）。<br />
<br />
モノイドの例には[[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]（の乗法モノイド）のような数学的に重要な多くの構造が含まれ、またより特定の例として[[行列環]]や[[可換体|体]]の場合について後述する。<br />
<br />
=== 行列および線型作用素の冪 ===<br />
正方行列 {{mvar|A}} に対して {{mvar|A}} 自身の {{mvar|n}} 個の[[行列の積|積]]を行列の冪と呼ぶ。また {{math|''A''{{exp|0}}}} は単位行列に等しいものと定義され<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton</ref>、さらに {{mvar|A}} が可逆ならば {{math|''A''{{exp|&minus;''n''}} {{coloneqq}} (''A''{{msup|&minus;1}}){{exp|''n''}}}} と定義する。<br />
<br />
行列の冪は{{仮リンク|離散力学系|en|discrete dynamical system}}の文脈でしばしば現れる。そこでは行列 {{mvar|A}} は適当な系の状態ベクトル {{mvar|x}} を次の状態 {{mvar|Ax}} へ遷移させることを表す<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|year=1988|edition=3rd}}, Chapter 5.</ref>。これは例えば[[マルコフ連鎖]]の標準的な解釈である。これにより、{{math|''A''{{exp|2}}''x''}} は二段階後の系の状態であり、以下同様に {{mvar|A{{exp|n}}x}} は {{mvar|n}} 段階後の系の状態と理解される。つまり行列の冪 {{mvar|A{{exp|n}}}} は現在と {{mvar|n}} 段階後の状態の間の遷移行列であって、行列の冪を計算することはこの力学系の発展を解くことに等しい。便宜上、多くの場合において行列の冪は[[固有値]]と固有ベクトルを用いて計算することができる。<br />
<br />
行列を離れてより一般の[[線型作用素]]にも冪演算は定められる。例えば微分積分学における[[微分]]演算 {{mvar|d{{\}}dx}} は函数 {{mvar|f}} に作用して別の函数 {{math|''df''{{\}}''dx'' {{=}} ''f{{'}}''}} を与える線型作用素であり、この作用素の {{mvar|n}}-乗は {{mvar|n}}-階微分<br />
: <math>\Bigl(\frac{d}{dx}\Big)^{\!n}f(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x)</math><br />
である。これは線型作用素の離散的な冪の例であるが、作用素の連続的な冪が定義できたほうがよい場面が多く存在する。[[C0半群|{{math|''C''{{ind|0}}}}-半群]]の数学的理論はこのような事情を出発点としている<ref>E Hille, R S Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref>。離散冪指数に対する行列の冪の計算が離散力学系を解くことであったのと同様に、連続冪指数に対する作用素の冪の計算は連続力学系を解くことに等しい。そういった例として[[熱方程式]]、[[シュレーディンガー方程式]]、[[波動方程式]]あるいはもっとほかの時間発展を含む偏微分方程式を挙げることができる。このような冪演算の特別の場合として、微分演算の非整数乗は[[分数階微分]]と呼ばれ、{{仮リンク|分数階積分|en|fractional integral}}とともに、[[分数階微分積分学]]の基本演算の一つとなっている。<br />
<br />
=== 有限体における冪 ===<br />
{{seealso|冪剰余}}<br />
[[可換体|体]]は、四則演算が矛盾なく定義されそれらの馴染み深い性質が満足されるような代数的構造である。例えば[[実数]]全体は体を成す。複素数の全体、有理数の全体などもそうである。これら馴染み深い例が全て[[無限集合]]であるのと異なり、有限個の元しか持たない体も存在する。そのもっとも簡単な例が二元体 {{math|'''F'''{{ind|2}} {{=}} {{(}}0,1{{)}}}} で、加法は {{math| 0 + 1 {{=}} 1 + 0 {{=}} 1, 0 + 0 {{=}} 1 + 1 {{=}} 0}} および乗法は {{math|0 {{*}} 0 {{=}} 1 {{*}} 0 {{=}} 0 {{*}} 1 {{=}} 0, 1 {{*}} 1 {{=}} 1}} で与えられる。<br />
<br />
有限体における冪演算は[[公開鍵暗号]]に応用を持つ。例えば[[ディフィー・ヘルマン鍵交換]]は、有限体における冪は計算量的にコストが掛からないのに対し、冪の逆である[[離散対数]]は計算量的にコストが掛かるという事実を用いている。<br />
<br />
任意の有限体 {{mvar|F}} は、[[素数]] {{mvar|p}} がただ一つ存在して、任意の {{math|''x'' &isin; ''F''}} に対して {{math|''px'' {{=}} 0}} が成り立つ（{{mvar|x}} を {{mvar|p}} 個加えれば零になる）という性質を持つ。例えば二元体 {{math|'''F'''{{ind|2}}}} では {{math|''p'' {{=}} 2}} である。この素数 {{mvar|p}} はその体の[[標数]]と呼ばれる。{{mvar|F}} を標数 {{mvar|p}} の体として {{mvar|F}} の各元を {{mvar|p}}-乗する写像 {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''{{exp|''p''}}}} を考える。これは {{mvar|F}} の[[フロベニュース自己準同型]]と呼ばれる。{{仮リンク|新入生の夢|en|Freshman's dream}}（幼稚な二項定理）とも呼ばれる等式 {{math|(''x'' + ''y''){{exp|''p''}} {{=}} ''x''{{exp|''p''}} + ''y''{{exp|''p''}}}} がこの体においては成り立つため、フロベニュース自己準同型が実際に体の自己準同型を与えるものであることが確認できる。フロベニュース自己準同型は {{mvar|F}} の素体上の[[ガロワ群]]の生成元であるため[[数論]]において重要である。<br />
<br />
=== 抽象代数学における冪 ===<br />
冪指数が整数であるような冪演算は[[抽象代数学]]における極めて一般の構造に対して定義することができる。<br />
<br />
[[集合]] {{mvar|X}} は乗法的に書かれた{{仮リンク|冪結合性|label=冪結合的|en|power-associative}}[[二項演算]]を持つもの:<br />
: <math>(x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k) \quad (\forall x\in X)</math><br />
とするとき、任意の {{math|''x'' &isin; ''X''}} と任意の[[自然数]] {{mvar|n}} に対して冪 {{mvar|x{{exp|n}}}} は、{{mvar|x}} の {{mvar|n}} 個のコピーの積を表すものとして<br />
: <math>\begin{align}<br />
x^1 &= x \\<br />
x^n &= x^{n-1}x \quad(n > 1)<br />
\end{align}</math><br />
のように帰納的に定義される。これは以下のような性質<br />
: <math>\begin{align}<br />
x^{m+n} &= x^m x^n \\<br />
(x^m)^n &= x^{mn}<br />
\end{align}</math><br />
を満足する。さらに、考えている演算が両側[[単位元]] {{math|1}} を持つ:<br />
: <math>\exists! 1 \text{ s.t. } x1 = 1x = x \quad (\forall x\in X)</math><br />
ならば {{math|''x''{{exp|0}}}} は任意の {{mvar|x}} に対して {{math|1}} に等しいものと定義する。{{citation needed|date=April 2014}}<br />
<br />
さらにまた演算が両側[[逆元]]を持ち、なおかつ結合的<br />
: <math>\begin{align}<br />
x x^{-1} &= x^{-1} x = 1,\\<br />
(x y) z &= x (y z)<br />
\end{align}</math><br />
ならば[[マグマ (数学)|マグマ]] {{mvar|X}} は[[群 (数学)|群]]を成す。このとき {{mvar|x}} の逆元を {{math|''x''{{exp|−1}}}} と書けば、冪演算に関する通常の規則<br />
:<math>\begin{align}<br />
x^{-n} &= \left(x^{-1}\right)^n \\<br />
x^{m-n} &= x^m x^{-n}<br />
\end{align}</math><br />
はすべて満足される。また（例えば[[アーベル群]]のように）乗法演算が[[交換法則|可換]]ならば<br />
: <math>(xy)^n = x^n y^n </math><br />
も満足される。（アーベル群が通常そうであるように）二項演算を加法的に書くならば、「冪演算は累乗（反復乗法）である」という主張は「乗法は累加（反復加法）である」という主張に引き写され、各指数法則は対応する乗法法則に引き写される。<br />
<br />
一つの集合上に複数の冪結合的に項演算が定義されるときには、各演算に関して反復による冪演算を考えることができるから、どれに関する冪かを明示するために上付き添字に反復したい演算を表す記号を併置する方法がよく用いられる。つまり演算 {{math|∗}} および {{math|#}} が定義されるとき、{{math|''x''{{exp|∗''n''}}}} と書けば {{math|''x'' ∗ ⋯ ∗ ''x''}} を意味し、{{math|''x''{{exp|#''n''}}}} と書けば {{math|''x'' # ⋯ # ''x''}} を意味するという具合である。<br />
<br />
上付き添字記法は、特に[[群論]]において、共軛変換を表すのにも用いられる（即ち、{{mvar|g, h}} を適当な群の元として {{math|1=''g''<sup>''h''</sup> = ''h''<sup>−1</sup>''gh''}}）。この共軛変換は指数法則と同様の性質を一部満足するけれども、これはいかなる意味においても反復乗法としての冪演算の例ではない。[[カンドル]]はこれら共軛変換の性質が中心的な役割を果たす代数的構造である。<br />
<br />
=== 集合の冪 ===<br />
==== デカルト冪 ====<br />
{{Main|デカルト積}}<br />
<br />
自然数 {{mvar|n}} と任意の集合 {{mvar|A}} に対して、式 {{mvar|A{{exp|n}}}} はしばしば {{mvar|A}} の元からなる順序 {{mvar|n}}-[[タプル|組]]全体の成す集合を表すのに用いられる。これは {{mvar|A{{exp|n}}}} は集合 {{math|{{mset|0, 1, 2, …, ''n''−1}}}} から集合 {{mvar|A}} への写像全体の成す集合であると言っても同じことである（{{mvar|n}}-組 {{math|(''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''n''−1</sub>)}} は {{mvar|i}} を {{mvar|a{{ind|i}}}} へ送る写像を表す）。<br />
<br />
無限[[基数]] {{mvar|κ}} と集合 {{mvar|A}} に対しても、記号 {{mvar|A{{exp|κ}}}} は濃度 {{mvar|κ}} の集合から {{mvar|A}} への写像全体の成す集合を表すのに用いられる。基数の冪との区別のために {{mvar|{{exp|κ}}A}} と書くこともある。<br />
<br />
==== 反復直和 ====<br />
一般化された冪は、複数の集合上で定義される演算や追加の[[数学的構造|構造]]を持つ集合に対しても定義することができる。例えば、[[線型代数学]]において勝手な添字集合上での[[ベクトル空間]]の[[加群の直和|直和]]を考えることができる。つまり {{mvar|V{{ind|i}}}} をベクトル空間として<br />
: <math>\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_{i}</math><br />
を考えるとき、任意の {{mvar|i}} について {{math|1=''V''<sub>''i''</sub> = ''V''}} とすれば得られる直和を冪記法を用いて {{math|''V''{{exp|⊕'''N'''}}}} あるいは直和の意味であることが明らかならば単に {{math|''V''{{exp|'''N'''}}}} のように書くことができる。ここで再び集合 {{math|'''N'''}} を基数 {{mvar|n}} で取り替えれば {{mvar|V{{exp|n}}}} を得る（濃度 {{mvar|n}} を持つ特定の標準的な集合を選ぶことなしに、これは[[同型を除いて]]のみ定義される）。{{mvar|V}} として実数体 {{math|'''R'''}} を（それ自身の上のベクトル空間と見て）とれば、{{mvar|n}} を適当な自然数として線型代数学でもっともよく調べられる実ベクトル空間 {{math|'''R'''{{exp|''n''}}}} を得る。<br />
<br />
==== 配置集合 ====<br />
冪演算の底を集合とするとき、何も断りがなければ冪演算は[[デカルト積]]である。複数の集合のデカルト積は {{mvar|n}}-組を与え、{{mvar|n}}-組は適当な濃度を持つ集合上で定義された写像として表すことができるのだから、この場合冪 {{mvar|S{{exp|N}}}} は単に {{mvar|N}} から {{mvar|S}} への[[配置集合|写像全体の成す集合]]<br />
: <math>S^N \equiv \{ f\colon N \to S \}</math><br />
である。この定義は {{math|1={{abs|''S''<sup>''N''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''N''}}</sup>}} が満たされるという意味で基数の冪と整合する。ただし {{mvar|{{abs|X}}}} は {{mvar|X}} の濃度を表す。"{{math|2}}" を集合 {{math|{{mset|0, 1}}}} として定義すれば {{math|1={{abs|2<sup>''X''</sup>}} = 2<sup>{{abs|''X''}}</sup>}} が得られる。ここに {{math|2{{exp|''X''}}}} は {{mvar|X}} の[[冪集合]]であり、普通は {{math|𝒫(''X'')}} などで表される。<br />
<br />
=== 圏論における冪対象 ===<br />
{{Main|デカルト閉圏}}<br />
[[デカルト閉圏]]において、任意の対象に対して別の任意の対象を冪指数とする冪演算を[[冪対象]]によって与えることができる。[[集合の圏]]における冪対象は配置集合であるから、これはその一般化になっている。考えている圏に[[始対象]] {{math|0}} が存在するならば、冪対象 {{math|0{{exp|0}}}} は任意の[[終対象]] {{math|1}} に同型である。<br />
<br />
=== 順序数・基数の冪 ===<br />
{{Main|濃度#基数の演算|l1=基数の冪|順序数#順序数の演算|l2=順序数の冪}}<br />
<br />
[[集合論]]では[[基数]]や[[順序数]]の冪演算も定義される。<br />
<br />
基数 {{mvar|κ, λ}} に対して冪 {{mvar|κ{{exp|λ}}}} は基数 {{mvar|λ}} の任意の集合から基数 {{mvar|κ}} の任意の集合への写像全体の成す集合の基数を表す<ref name="Bourbaki">N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.</ref>。{{mvar|κ, λ}} がともに有限ならばこれは通常の算術的な（つまり自然数の）冪演算と一致する（たとえば、二元集合から元を取って得られる三つ組全体の成す集合の基数は {{math|1=8 = 2{{exp|3}}}} で与えられる）。基数の算術において {{math|κ{{exp|0}}}} は常に（特に {{mvar|κ}} が無限基数や {{math|0}} であるときでさえ）{{math|1}} である。<br />
<br />
基数の冪は順序数の冪とは異なる。後者は[[超限帰納法]]を含む過程の極限として定義される。<br />
<br />
=== 反復冪 ===<br />
{{main|テトレーション}}<br />
自然数冪が乗法の反復として考えられたことと同様に、冪演算を繰り返す演算というものを定義することもできる。それをまた反復すれば別の演算が定義され、同様に繰り返して[[ハイパー演算]]の概念を得る。このようにして得られるハイパー演算の列において、次の演算は前の演算に対して急速に増大する。<br />
{{seealso|アッカーマン函数|クヌースの矢印記法|巨大数}}<br />
<br />
== 写像の冪の記法に関する注意 ==<br />
=== 合成冪 ===<br />
{{seealso|反復合成写像}}<br />
写像の冪乗となるべきものとして、写像を表す符牒の直後に整数の上付き添字を添えたとき、それは（反復乗法ではなくて）[[反復合成写像|反復合成冪]]の意味で用いることがよく行われる。つまり例えば {{math|''f''{{exp|3}}(''x'')}} は {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}} の意味であり、また特に {{math|''f''{{exp|−1}}(''x'')}} は {{mvar|f}} の[[逆写像]]を意味するのが普通である。反復合成写像は[[フラクタル]]や[[力学系]]の研究において興味を持たれる。[[チャールズ・バベッジ]]は[[写像の平方根]] {{math|''f''<sup>&nbsp;1/2</sup>(''x'')}} を求める問題を研究した最初の人であった。<br />
<br />
=== 値ごとの冪 ===<br />
{{seealso|[[点ごとの積]]}}<br />
しかし歴史的経緯により、[[三角函数]]の場合には、函数の略号に正の冪指数を添えたときは函数の値に対して冪を取ることを意味する一方で、{{math|&minus;1}} を冪指数としたときは逆函数を意味するという特別な文法が適用される。つまり、 {{math|sin{{exp|2}}&thinsp;''x''}} は {{math|(sin&thinsp;''x''){{exp|2}}}} を括弧を用いずに略記する方法に過ぎない一方、{{math|sin{{exp|−1}}&thinsp;''x''}} は[[逆正弦函数]] {{math|arcsin&thinsp;''x''}} を意味するのである。三角函数の逆数函数は（例えば {{math|1=1/(sin&thinsp;''x'') = (sin&thinsp;''x'')<sup>−1</sup> = csc&thinsp;''x''}} のように）それぞれ固有の名前と略号が与えられているから、三角函数の逆数の略記法は無用である。同様の規約は対数函数にも適用され、{{math|log{{exp|2}}&thinsp;''x''}} はふつう {{math|(log&thinsp;''x''){{exp|2}}}} の意味であって {{math|log&thinsp;log&thinsp;''x''}} の意味でない。<br />
<br />
=== 上付き添字 ===<br />
{{seealso|添字表記法}}<br />
添字付けられた変数を考えるとき、その変数の添字を[[上付き文字|上付き]]にする場合があり、それはあたかも冪であるかのような印象を受けるかもしれないが混同するべきではない。これは特に[[テンソル解析]]において[[ベクトル場]]の座標表示などで現れる。あるいはまた[[数列]]の[[列 (数学)|列]]のような、既にそれ自身添字付けられているような量に対してさらに添字付けを行う場合にもしばしば用いられる。<br />
<br />
=== 高階導函数 ===<br />
函数 {{mvar|f}} の {{mvar|n}}-階[[導函数]]はふつう {{math|''f''{{exp|(''n'')}}}} と書かれるように、冪記法は冪指数を[[パーレン|括弧]]で囲んで書くこともある。<br />
<br />
== 効率的な演算法 ==<br />
コンピュータ上で冪乗演算を行なう効率的な演算方法として'''バイナリ法'''（[[二進法|二進数]]法; [[:en:Exponentiation by squaring]]) とも呼ばれる演算方法を示す。<br />
<br />
[[RSA暗号]]や[[素数判定#確率的素数判定法|確率的素数判定法]]である[[フェルマーの小定理#フェルマーテスト|フェルマーテスト]]などによって、指数として巨大な自然数を扱うことが多くなった。この方法を使うと、指数となる自然数がいかに巨大であっても高々その[[ビット]]数の2倍の回数の[[乗算]]で算出することが可能になり、繰り返し掛けるよりも大幅に効率がよくなる。特にRSA暗号やフェルマーテストなどにおいて各演算後に必要となる[[剰余]]演算（一般に最も計算時間がかかる）の回数を減らす効果がある。<br />
<br />
一般に、コンピュータにとって標準的な（32bitsコンピュータならば約4億までの）自然数や浮動小数点数を扱う場合は下位桁から計算する方式を、前述のような巨大な自然数を扱う場合には上位桁から計算する方式を用いると効率が良い。<br />
<br />
=== 下位桁から計算する方式 ===<br />
バイナリ法では、次の性質を利用する。<br />
: <math>(a^x)^2 = a^{2x}</math><br />
例えば {{math|1=(''a''<sup>8</sup>)<sup>2</sup> {{=}} ''a''<sup>16</sup>}} である。したがって、{{mvar|a}}（すなわち {{math|''a''<sup>1</sup>}}）から始めて2乗を繰り返すと以下のようになる。<br />
: <math>a^1 \to a^2 \to a^4 \to a^8 \to a^{16} \to a^{32} \to \cdots</math><br />
これらの数のうち、適切なものを選んで掛け合わせれば、任意の累乗を速く（すなわち少ない乗算回数で）計算することができる<ref name="algo">{{cite book | 1=和書 | title=C言語による最新アルゴリズム事典 | publisher=[[技術評論社]] | author=奥村晴彦 | authorlink=奥村晴彦 | year=1991 | page=304 | isbn=4-87408-414-1}}</ref>。例えば {{math|''a''<sup>43</sup>}} は、上で示した指数法則によって、<br />
: <math>a^{43} = a^{32+8+2+1} = a^{32} \times a^8 \times a^2 \times a^1</math><br />
として計算することができる（乗算回数は 8 回で済むので、{{mvar|a}} を 42 回繰り返し掛け合わせるのに比べて効率がよい）。<br />
<br />
<!-- LaTeX の {matrix} を使うことも考えたが、保守性のために表にした --><br />
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="1"<br />
<!-- |+ バイナリ法による高速な累乗 --><br />
|-<br />
| align="right" | （十進表記）：<br />
| &nbsp;<br />
| ''a''<sup>1</sup><br />
|<br />
| ''a''<sup>2</sup><br />
|<br />
| ''a''<sup>4</sup><br />
|<br />
| ''a''<sup>8</sup><br />
|<br />
| ''a''<sup>16</sup><br />
|<br />
| ''a''<sup>32</sup><br />
|-<br />
| align="right" | 2乗の繰返し（[[二進法|二進表記]]）：<br />
| &nbsp;<br />
| ''a''<sup>1</sup><br />
|→<br />
| ''a''<sup>10</sup><br />
|→<br />
| ''a''<sup>100</sup><br />
|→<br />
| ''a''<sup>1000</sup><br />
|→<br />
| ''a''<sup>10000</sup><br />
|→<br />
| ''a''<sup>100000</sup><br />
|-<br />
| &nbsp;<br />
| &nbsp;<br />
| ↓<br />
|<br />
| ↓<br />
|<br />
| &nbsp; <br />
|<br />
| ↓<br />
|<br />
| &nbsp; <br />
|<br />
| ↓<br />
|-<br />
| align="right" | 累乗の計算（二進表記）：<br />
| &nbsp;<br />
| ''a''<sup>1</sup><br />
|→<br />
| ''a''<sup>11</sup><br />
|→<br />
| →→<br />
|→<br />
| ''a''<sup>1011</sup><br />
|→<br />
| →→→<br />
|→<br />
| ''a''<sup>101011</sup><br />
|-<br />
| &nbsp; <!-- align="right"（十進数表記）： --><br />
| &nbsp;<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| align="right" | ＝<br />
| ''a''<sup>43</sup><br />
|}<br />
<br />
[[コンピュータ]]の[[アルゴリズム]]として書くとこうなる。下位桁から順に扱うことから、順に2で割ると同時にその余りを求め（実際にはシフト演算を用い）ながら演算を行うことで二進表記を省略し、効率を高める。<br />
# 指数を n とし、2乗していく値 p := a、結果値 v := 1 とする。<br />
# n が 0 なら、v を出力して終了する。<br />
# n の最下位桁が 1 なら、v := v * p とする。<br />
# n := [n/2] とし（端数切り捨て）、 p := p * p として、2. に戻る。<br />
<br />
この方式は {{mvar|a}} が浮動小数点数である場合や、最終結果がレジスタに収まることがわかっている場合に効率が良い。また乗算に[[モンゴメリ乗算]]などを用いて[[冪剰余]]を計算する場合も、この方式で充分な効率が得られる。<br />
<br />
=== 上位桁から計算する方式 ===<br />
上の方式と同様に、次の性質を使う。<br />
: <math>a^{2x} = (a^x)^2</math><!-- ←上にある式と同一 --><br />
これに性質 <math>a^{x+1} = a^x \cdot a</math> を組み合わせると、次の変形ができる。<br />
: <math>a^{2x+1} = ( a^x )^2 \cdot a</math><br />
これら二つの式を適宜使い分けることによって、指数を順次約1/2にしていくことができる。例えば<math>a^{43}</math>は、上で示した指数法則によって、<br />
: <math>a^{43} = a^{21 \cdot 2 +1} = (a^{21})^2 \cdot a</math><br />
である。そして<math>a^{21}</math>も同様に、<br />
: <math>a^{21} = a^{10 \cdot 2 +1} = (a^{10})^2 \cdot a</math><br />
である。<math>a^{10}</math>はこうなる。<br />
: <math>a^{10} = a^{5 \cdot 2} = (a^{5})^2</math><br />
以下同様に、<br />
: <math>a^{5} = a^{2 \cdot 2 +1} = (a^{2})^2 \cdot a</math><br />
: <math>a^{2} = a^{1 \cdot 2 } = (a^{1}) ^2</math><br />
: <math>a^{1} = a</math><br />
となる。これを逆にたどり、<br />
: <math>a^{43} = ( ( ( ( ( a )^2 )^2 \cdot a )^2 )^2 \cdot a )^2 \cdot a </math><br />
として算出される。<br />
<br />
この各演算において、2乗した後に {{mvar|a}} を乗算するのか否かの判定は、ちょうど指数 {{mvar|n}} を二進表記したときの各ビットが1であるか否かと一致する。<br />
<br />
コンピュータのアルゴリズムとして書くとこうなる。<br />
# 指数 n を二進表記したものを n とし、n の最下位桁を n[0]、最上位桁を n[m]、最下位から数えて k 桁目を n[k] と表記する。<br />
# 結果値 v := 1 とし、<br />
# k := m とする（最上位）。<br />
# v := v * v<br />
# n[k] が 1 ならば v := v * a とする。<br />
# k := k - 1<br />
# k ≧ 0 なら 4. に戻る。<br />
<br />
この方式では、5.における乗数が常に a なので、下位桁から計算する方式に比べて乗数の桁数が小さくてすみ、計算時間がかからない。このことは特に、レジスタに入りきらないような巨大な自然数を扱う場合に顕著となる。ただし（RSA暗号で冪算する時のように）冪乗の剰余を計算する場合であって法の大きさが a と同程度ならば、この効果はない。<br />
<br />
また5.における乗数が常に a なので、あらかじめ a が定数(2や10など、あるいは[[ディフィー・ヘルマン鍵共有]]の生成元gなど)であることがわかっている場合には5.の乗算そのものを最適化をすることができる。<br />
<br />
巨大な自然数の汎用的な冪算ルーチン（''a''が小さい可能性が高い）や、a が小さかったり定数であることがわかっている場合、冪乗の剰余を計算する場合であってモンゴメリー演算を用いず別途剰余を計算する場合、数を保持するコストが高い場合など、指数を二進表記するコスト以上の効率が得られる場合に選択される。<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{notelist}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{citation |和書|last= 鈴木 | first= 真治 |title= 「指数」はなぜ指数と云うのか? : その概念と用語の歴史的変遷を巡って | series= 第24回数学史シンポジウム(2013) | journal= 津田塾大学数学・計算機科学研究所報 |volume= 35 |pages= 315-397 |publisher= 津田塾大学数学・計算機科学研究所 |year=2013 | url= http://ci.nii.ac.jp/naid/40020080419|ref=harv}}{{PDFlink|[http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo24/24_16suzukishinji.pdf PDFファイル]}}<br />
== 関連項目 ==<br />
{{Commonscat|Exponentiation}}<br />
* [[冪函数]]<br />
* [[指数関数]] - 冪指数を[[実数]]へ拡張し、連続関数としたもの<br />
* [[平方数]]<br />
* [[立方数]]<br />
* [[2の冪]]<br />
* [[冪剰余]]<br />
* [[ゼロ除算]]<br />
* [[0の0乗]]<br />
* [[冪乗則]]<br />
<br />
{{二項演算}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=Exponentiation|title=Exponentiation}}<br />
* {{nlab|urlname=exponentiation|title=exponentiation}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=Exponentiation|title=exponentiation}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:へきしよう}}<br />
[[Category:算術]]<br />
[[Category:指数関数]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
非交和
2018-07-17T08:01:04Z
<p>125.9.201.214: 210.149.174.166 (会話) による ID:69258067 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{refimprove|date=May 2010}}<br />
<br />
[[集合論]]において、集合の族の'''直和''' ({{lang-en-short|direct sum}}) は、以下の緊密に関連した二種類の概念を指して用いられる。<br />
* 識別された和 ({{en|discriminated union}}): 通常の[[合併 (集合論)|合併]]の操作を少し改変して、合併に属する元がもともとどの集合に入っていたか識別することができるようにしたもの。<br />
* 交わりを持たない和 ({{en|disjoint union}}): その族に属する部分集合のどの二つも[[素集合|互いに素]] ({{en|pairwise disjoint}}) であるときの、通常の[[合併 (集合論)|合併]]。<br />
<br />
前者は識別のための補助的な添字を付与することで各集合は互いに素となるから後者の意味での直和でもあり、前者のことも非交和と呼ぶ場合もある。これらをともに「直和」と呼ぶのは[[直積集合|直積]]の双対であることを示すもので、[[圏論]]の言葉で言えば[[集合の圏]]における[[余積|圏論的直和]]（これは[[同型を除いて]]一意に定まる）の[[普遍性]]を上記の二つはともに満たす。<br />
<br />
本項においては主に前者について扱い、それを非交和と呼称する。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
{{math|{{mset|''A''<sub>''i''</sub> | ''i'' ∈ ''I''}}}} を {{mvar|I}} で添え字づけられた{{仮リンク|集合の族|en|Family of sets}}とする。この族の'''非交和''' (disjoint union) は集合<br />
: <math><br />
\bigsqcup_{i\in I}A_i := \bigcup_{i\in I}\{(x,i) \mid x \in A_i\}<br />
</math><br />
である。非交和の元は[[順序対]] {{math|(''x'', ''i'')}} である。ここで {{mvar|i}} はどの {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} から元 {{mvar|x}} が来たかを指し示す補助的な添字として働く。<br />
<br />
集合 {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} の各々は自然に集合<br />
: <math>A_i^* := \{(x,i) \mid x \in A_i\}</math><br />
に同型である。この同型を通して、{{math|''A''<sub>''i''</sub>}} は自然に非交和に埋め込まれていると考えることができる。<br />
{{math|''i'' ≠ ''j''}} に対して、集合 {{math|''A''<sub>''i''</sub>*}} と {{math|''A''<sub>''j''</sub>*}} とは集合 {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} と {{math|''A''<sub>''j''</sub>}} とが互いに素でないときでさえ互いに素である。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
* 固定された集合 {{mvar|A}} の {{mvar|I}} で添字付けられた反復的非交和 {{math|∐{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;''A'' {{=}} ''A'' &times; ''I''}} は {{mvar|A}} と {{mvar|I}} との[[デカルト積|直積]]である。特に、位数（濃度）について {{math|{{abs|∐{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;''A''}} {{=}} {{abs|''A''}} &times; {{abs|''I''}}}}。<br />
* 一般に、{{仮リンク|濃度の算術|en|cardinal arithmetic|label=濃度の和}}は非交和の[[濃度 (数学)|濃度]]で与えられる: {{math|{{abs|∐{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}}}} {{=}} &sum;{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;{{abs|''A''{{sub|''i''}}}}}}.<br />
* 非交和は[[集合の圏]]における[[余積]]としての[[普遍性]]を満たす。即ち、{{math|&iota;{{sub|''k''}}: ''A''{{sub|''k''}} → ∐{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}}}} を {{math|&iota;{{sub|''k''}}(''x'') {{=}} (''x'', ''k'')}} で定めると、任意の集合 {{mvar|X}} と写像の族 {{math|''f''{{sub|''i''}}: ''A''{{sub|''i''}} → ''X''}} に対し、{{math|''f''{{sub|''i''}} {{=}} ''f'' ∘ &iota;{{sub|''i''}}}} を満たす{{math|''f'': ∐{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}} → ''X''}} が一意的に存在する。<br />
* 集合族 {{math|''A''{{sub|''i''}}}} がどのふたつも互いに素、すなわち {{math|''i'' &ne; ''j''}} ならば {{math|''A''{{sub|''i''}} &cap; ''A''{{sub|''j''}} {{=}} &empty;}} を満たすとき、自然な同型 {{math|∐{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}} → ⋃{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}}}} が存在する。<br />
<br />
== 記法に関する注意 ==<br />
集合の[[濃度 (数学)|濃度]]の和に関する事実を示唆して、集合 {{math|''A'', ''B''}} の非交和を {{math|size=large|''A'' + ''B''}} で<ref>ProofWiki</ref>、あるいは集合の族の非交和を {{math|size=large|{{sum|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}} で表すことがある（これは乗法の記号を用いる集合族の[[デカルト積|直積]]と対照的な記法になっている。また、この記法に則れば、{{math|{{abs|{{sum|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}} {{=}} {{sum|''i''&isin;''I''}} {{abs|''A''{{sub|''i''}}}}}} と和をとる操作と濃度をとる操作が可換であるかのように書ける）。ときどき {{math|size=large|&#x2a04;{{sub|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}}<ref>nlab</ref> あるいは {{math|size=large|&#x2a03;{{sub|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}} とも書かれる。<br />
<br />
非交和が余積を表すという圏論的側面が、しばしば <math>\textstyle\bigsqcup</math> の代わりに <math>\textstyle\coprod</math> を非交和の記号として用いる理由を説明する。<br />
<br />
多くの目的にとって補助的な添字の付け方に深い意味は無く、[[記号の濫用|表記の簡素化のための濫用]]において、添字づけられた族は単純に集合の集まりとして扱うことができる。このとき、非交和の定義で用いる（各集合 {{mvar|A}} の元と添字との対からなる集合）{{mvar|A*}} を意図する表現として 「{{mvar|A}} の'''コピー'''」と言う。またこのとき <math>\textstyle\bigcup_{A \in C}^* A</math> と書くことがある。<br />
<br />
== 例 ==<br />
集合 {{math|1=''A''{{sub|0}} = {{mset|1, 2, 3}}}} と {{math|1=''A''{{sub|1}} = {{mset|1, 2}}}} の非交和 {{math|''A''{{sub|0}} ⊔ ''A''{{sub|2}}}} あるいは {{math|''A''{{sub|0}} &cup;* ''A''{{sub|1}}}}<ref>MathWorld</ref> は<br />
: <math><br />
\begin{align}<br />
A^*_0 & = \{(1, 0), (2, 0), (3, 0)\} \\<br />
A^*_1 & = \{(1, 1), (2, 1)\}<br />
\end{align}<br />
</math><br />
を用いて、<br />
: <math><br />
A_0 \sqcup A_1 = A_0 \cup^* A_1 := A^*_0 \cup A^*_1 = \{(1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (2, 1)\}<br />
</math><br />
のように計算される。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[余積]]<br />
*[[非交和 (位相空間論)]]<br />
*{{仮リンク|グラフの非交和|en|Disjoint union of graphs}}<br />
*[[集合の分割]]<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{notelist}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{Lang Algebra | edition=3r2004 | page=60}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld |title=Disjoint Union |urlname=DisjointUnion}}<br />
* {{nlab |title= disjoint union |urlname= disjoint+union}}<br />
* {{PlanetMath |title= disjoint union |urlname= DisjointUnion}}<br />
* {{ProofWiki |title= Definition:Disjoint Union (Set Theory) |urlname= Definition:Disjoint_Union_(Set_Theory)}} / {{ProofWiki |title= Definition:Disjoint Union |urlname= Definition:Disjoint_Union}}<br />
<br />
* {{SpringerEOM |title= Disjoint union |urlname= Disjoint_union}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ひこうわ}}<br />
[[Category:集合の基本概念]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
線型微分方程式
2018-07-14T09:57:50Z
<p>125.9.201.214: lk</p>
<hr />
<div>{{Differential equations}}<br />
'''線型微分方程式'''<ref group="注">'''線形'''等の用字・表記の揺れについては[[線型性]]を参照。</ref>（せんけいびぶんほうていしき、{{lang-en-short|''linear differential equation''}}）は、[[微分]]を用いた[[線型写像|線型作用素]]（線型[[微分作用素]]）{{mvar|L}} と[[未知関数]] {{mvar|y}} と既知関数 {{mvar|b}} を用いて<br />
: {{math|1=''Ly'' = ''b''}}<br />
の形に書かれる[[微分方程式]]のこと。<br />
<br />
== 概要 ==<br />
線型微分方程式<br />
:<math>Ly = b</math><br />
は、{{math|''b'' &ne; 0}} の場合、2 つの解 {{math|''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>}} を任意に取り、その差 {{math|''d'' {{=}} ''s''<sub>1</sub> &minus; ''s''<sub>2</sub>}} を考えると、{{mvar|L}} が線型作用素であることから<br />
: <math>\begin{align}<br />
Ld &= L\left(s_1 - s_2\right)\\<br />
&=Ls_1 - Ls_2\\<br />
&=b - b\\<br />
&=0<br />
\end{align}</math><br />
となり、{{math|''b'' {{=}} 0}} の場合に帰着する。この {{math|''b'' {{=}} 0}} の場合の線型微分方程式は（もとの方程式に属する）'''斉次'''あるいは'''同次'''な {{en|(homogeneous)}}{{efn2|name="homogeneous"|ここでいう {{en|homogeneous}} は[[斉次函数]]のような次数に関する語ではなく、解函数あるいは解空間のある種の「等質性」を表すために用いられており、むしろ[[等質空間]]などでの語法が近い。しかし、斉次（形、方程式）・同次（形、方程式）と訳すのが定訳であり、等質方程式や非等質形のように呼ぶことはないかあってもかなり稀。}}方程式と呼ばれる。{{math|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''d'' + ''s''<sub>2</sub>}} であることを考えれば線型微分方程式 {{math|''Ly'' {{=}} ''b''}} のすべての解は {{math|''Ly'' {{=}} ''b''}} の[[特殊解]]と、元の方程式に対応する斉次方程式<br />
:<math>Ly = 0</math><br />
の解の和となる。したがって、線型微分方程式を解くことは特殊解を見つける問題と、斉次方程式を解く問題に分けることができる。また、{{mvar|L}} が線型作用素であることから、斉次方程式の解は[[線型性]]を持ち、解同士の和や、解の定数倍も解になる。<br />
<br />
関数の代わりに[[数列]]を（同時に、[[微分]]の代わりに[[有限差分|差分]]を）考えると、類似の概念として[[漸化式]]（差分方程式）を捉えることができる（離散化）。線型差分方程式と線型微分方程式の間で、特性方程式を用いる解法など、いくつかの手法を共通に用いることができる。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
=== 高階単独型 ===<br />
{{mvar|x}} の関数 {{mvar|y}} の高階微分 {{math|{{sfrac|''d&thinsp;<sup>j</sup>y''|''dx&thinsp;<sup>j</sup>''}}}} および、可微分関数 {{math|''a<sub>j</sub>''(''x'') (1 &le; ''j'' &le; ''n''), ''b''(''x'')}} により<br />
:<math>\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)y = b(x)</math><br />
で表される微分方程式を'''単独高階型の線型微分方程式'''という。{{math|''b'' {{=}} 0}} であるとき'''斉次'''{{efn2|name="homogeneous"}}あるといい、<br />
:<math>\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)y = 0</math><br />
を元の方程式に'''属する斉次方程式'''という。<br />
<br />
微分作用素 {{math|''L''({{sfrac|''d''|''dx''}})}} を<br />
:<math>L\left(\frac{d}{dx}\right) = \frac{d^n}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)</math><br />
で定めると、未知関数 {{mvar|y}} への作用 {{math|''L''({{sfrac|''d''|''dx''}})''y''}} は {{mvar|y}} に関して線型性を持つ。<br />
:<math>\begin{align}<br />
&L\left(\frac{d}{dx}\right)\left(y_1(x) + y_2(x)\right) = L\left(\frac{d}{dx}\right)y_1(x) + L\left(\frac{d}{dx}\right)y_2(x),\\<br />
&L\left(\frac{d}{dx}\right)\lambda y(x) = \lambda L\left(\frac{d}{dx}\right)y(x).<br />
\end{align}</math><br />
<br />
=== 1 階連立型 ===<br />
各成分が変数 {{mvar|x}} の（適当な階数の）可微分関数である {{mvar|n}} 次元縦ベクトル {{math|'''y'''(''x'')}}, {{mvar|m}} 次元縦ベクトル {{math|'''b'''(''x'')}} および {{math|''m''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} 行列 {{math|''A''(''x'')}} に対し、<br />
:<math>\frac{d\mathbf{y}}{dx} = A(x)\mathbf{y} + \mathbf{b}</math><br />
で定義される微分方程式系を、{{math|''A''(''x'')}} を'''[[係数行列]]''' {{en|(coefficient matrix)}} とする''' 1 階連立型線型微分方程式'''などと呼ぶ。<br />
{{math|'''b'''(''x'') {{=}} '''0''' (for all ''x'')}} である場合、方程式は'''斉次'''<ref group="注" name="homogeneous" />であるといい、 <br />
:<math>\frac{d\mathbf{y}}{dx} = A(x)\mathbf{y}</math><br />
を元の方程式に'''属する斉次方程式'''という。右辺の {{math|''A''(''x'')'''y'''}} は {{math|'''y'''}} に関して線型性を持つ。<br />
:<math>\begin{align}<br />
&A(x)\left(\mathbf{y}_1(x) + \mathbf{y}_2(x)\right) = A(x)\mathbf{y}_1(x) + A(x)\mathbf{y}_2(x),\\<br />
&A(x)\lambda \mathbf{y}(x) = \lambda A(x)\mathbf{y}(x).<br />
\end{align}</math><br />
<br />
高階単独型線型微分方程式は、変換<br />
:<math>y_i := \frac{d^{i-1}y}{dx^{i-1}}, \qquad i = 1, 2,\dots, n.</math><br />
により 1 階連立型の線型微分方程式に変形できる。従って、1 階連立型の線型微分方程式について成り立つ性質は、そのまま高階単独型の線型微分方程式にも適用できる。<br />
<br />
== 解と解空間 ==<br />
=== 基本解 === <br />
斉次な線型微分方程式に対し、関数の集合 {{math|''B'' {{=}} {'''y'''<sub>1</sub>(''x''), '''y'''<sub>2</sub>(''x''), ..., '''y'''<sub>''n''</sub>(''x'')}}} がその微分方程式の解空間の[[基底]]となるならば、{{mvar|B}} に属する関数 {{math|'''y'''<sub>''j''</sub>(''x'') (''j'' {{=}} 1, 2, ..., ''n'')}} のことを、その微分方程式の'''基本解'''という。つまり、斉次な線型微分方程式の'''一般解'''はすべて基本解の[[線型結合]]として得られる。また、一般の線型微分方程式では、その方程式の 1 つの特殊解と、その方程式に属する斉次方程式の一般解<ref group="注">つまり基本解の[[線型結合]]</ref>の線型結合が一般解を与える。<br />
<br />
=== ロンスキー行列式 ===<br />
{{main|ロンスキー行列式}}<br />
斉次方程式の解としていくつかの関数が得られたとき、特に係数行列の形が {{math|''n''&thinsp;&times;&thinsp;''n''}} 成分の[[正方行列]]で、{{mvar|n}} 個の解 {{math|'''y'''<sub>1</sub>(''x''), '''y'''<sub>2</sub>(''x''), ..., '''y'''<sub>''n''</sub>(''x'')}} が得られたとき、それが基本解であるかどうかは次の行列式<br />
:<math> W(x) = \begin{vmatrix}<br />
y_{11}(x) & y_{12}(x) & \cdots & y_{1n}(x) \\<br />
y_{21}(x) & y_{22}(x) & \cdots & y_{2n}(x) \\<br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ <br />
y_{n1}(x) & y_{n2}(x) & \cdots & y_{nn}(x) <br />
\end{vmatrix}\quad <br />
(\mathbf{y}_j(x) = \begin{pmatrix}<br />
y_{1j}(x) \\ y_{2j}(x) \\ \vdots \\ y_{nj}(x)<br />
\end{pmatrix})<br />
</math><br />
が常に 0 でないことを確認することによって判定できる（実際には任意の 1 点で 0 でないといえば十分である）。<br />
<br />
また、単独高階型の場合には、既に述べた方法でこれを 1 階連立型に帰着すると、解は {{math|'''y'''<sub>''j''</sub> {{=}} (''y''<sub>''j''</sub>, {{sfrac|''dy<sub>j</sub>''|''dx''}}, ..., {{sfrac|''d''&thinsp;<sup>''n''&minus;1</sup>''y<sub>j</sub>''|''dx''&thinsp;<sup>''n''&minus;1</sup>}})}} の形で出てくるから、上の行列式は次のように書き換えられる:<br />
:<math> W(x) = \begin{vmatrix}<br />
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\[5pt]<br />
\cfrac{dy_1}{dx} & \cfrac{dy_2}{dx} & \cdots & \cfrac{dy_n}{dx} \\[5pt]<br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3pt] <br />
\cfrac{d^{n-1} y_1}{dx^{n-1}} & \cfrac{d^{n-1} y_2}{dx^{n-1}} & \cdots & \cfrac{d^{n-1} y_n}{dx^{n-1}} <br />
\end{vmatrix}.</math><br />
これを'''ロンスキー行列式''' {{en|(Wronski determinant)}} または'''ロンスキアン''' {{en|(Wronskian)}} という。<br />
<br />
== 定数係数の斉次常微分方程式の解法 ==<br />
{{mvar|a<sub>k</sub>}} を既知の定数とする斉次線型常微分方程式<br />
:<math>\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_0y = 0</math><br />
の左辺に対し、各 {{math|{{sfrac|''d&thinsp;<sup>k</sup>y''|''dx&thinsp;<sup>k</sup>''}}}} を {{mvar|t<sup>k</sup>}} に置き換えて得られる[[多項式]]<br />
<br />
:<math> F(t) = \sum_{k=0}^n a_k t^k = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \dots + a_0</math><br />
<br />
をこの常微分方程式の'''特性多項式''' {{en|(characteristic polynomial)}}、更に {{mvar|t}} の[[代数方程式]] {{math|''F''(''t'') {{=}} 0}} をこの常微分方程式の'''[[特性方程式]]''' {{en|(characteristic equation)}} という。<br />
<br />
{{mvar|&omega;}} を代数方程式 {{math|''F''(''t'') {{=}} 0}} の根とすれば、[[指数関数#一般化|指数関数]] {{math|exp(''&omega;x'')}} は {{math|{{sfrac|''d&thinsp;<sup>k</sup>''exp(''&omega;x'')|''dx&thinsp;<sup>k</sup>''}} {{=}} ''&omega;<sup>k</sup>''exp(''&omega;x'')}} を満たすから、<br />
:<math><br />
F\left(\frac{d}{dx}\right){\rm exp}(\omega x) <br />
= F(\omega){\rm exp}(\omega x) = 0<br />
</math><br />
となり、{{math|''y'' {{=}} exp(''&omega;x'')}} は元の常微分方程式の解である。ただし、{{math|''f''&thinsp;({{sfrac|''d''|''dx''}})}} は、多項式 {{math|''f''&thinsp;(''t'')}} の {{mvar|t<sup>k</sup>}} を {{math|{{sfrac|''d&thinsp;<sup>k</sup>''|''dx&thinsp;<sup>k</sup>''}}}} に置き換えた[[微分作用素]]である。<br />
<br />
特性多項式 {{math|''F''(''t'')}} が[[重根]]を持たなければ、[[線型代数学]]でよく知られた事実により集合 {{math|{exp(''&omega;x'') {{!}} ''&omega;'' は ''F''(''t'') の根}}} は元の常微分方程式の解を生成する<ref group="注">つまり、基本解になる。</ref>。重根を持つならば {{math|''x''exp(''&omega;x'')}} などがさらに必要となる。<br />
<br />
== 関数係数の斉次常微分方程式の解法 ==<br />
<br />
1960年以降の研究で，定数係数ではない関数係数<ref name="sugit-2007ngze" />の斉次常微分方程式の解法が報告されている<ref name="diffequ-2005ngzd" />。<br />
<br />
主に，求積法による解法が多く、2 階線型常微分方程式をはじめ、多くの非線型常微分方程式がある<ref name="diffequ-2005ngzd" />。<br />
これらの中に、一般の陰関数型の常微分方程式があるので、この陰関数型の関数に線型の関数型を与えれば、線型の常微分方程式が得られる。<br />
<br />
以下に，求積法で解ける主な関数係数の 2 階線型常微分方程式の例を記述する<ref name="diffequ-2005ngzd" /><ref name="diffeq-198205">長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441</ref>。<br />
<br />
{| class="wikitable" style="text-align:center"<br />
|+ 求積法で解ける 2 階線型常微分方程式の例<ref group="注">{{mvar|a}} と {{mvar|b}} および {{mvar|&alpha;}} と {{mvar|&beta;}} は定数、{{math|''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>}} は[[積分定数]]である。ただし、{{math|''a'' &ne; 0, ''b'' &ne; 0, ''&beta;'' &ne; 0}} を満たす。</ref> <br />
! 常微分方程式 !! 一般解<ref name="diffequ-2005ngzd" /><br />
|-<br />
| <math>\frac{{d}^2y}{{d}x^2}-xP(x)\frac{{d}y}{{d}x}+P(x)y=0</math>||<math>y=x \Bigl\{C_1 +C_2 \int \frac{1}{\,x^2 \,}\exp \Bigl( \int\! x P(x) \,dx \Bigr)\, dx \Bigr\}</math> <br />
|-<br />
| <math>\frac{{d}^2y}{{d}x^2}+P(x)\frac{{d}y}{{d}x}-a(a+P(x))y=0</math>||<math>y=e^{ax}\Bigl\{C_1 +C_2\! \int \exp \Bigl(\! -2ax -\!\! \int\! P(x)\,dx \Bigr)\, dx \Bigr\}</math><br />
|-<br />
| <math>P(x)\frac{{d}^2 y}{{d}x^2}+(a+bx)\frac{{d}y}{{d}x}-by=0</math>||<math>y= C_1\!\! \int \! \! \int \!\! \frac{1}{\,P(x)\,}\exp \Bigl(\! -\!\! \int \! \frac{\,a+bx\,}{P(x)}\,dx \Bigr)\, dx\, dx +C_2\Bigl(x+\frac{a}{\,b\,}\Bigr)</math><br />
|-<br />
| <math>\frac{{d}^2y\,}{{d}x^2}-\left(\frac{1}{2P(x)}\cdot\frac{{d}P(x)}{{d}x}\right)\frac{{d}y}{{d}x}+P(x)y=0</math>||<math>y=C_1\sin\left(\int\sqrt{P(x)}\,{d}x\right)+C_2\cos\left(\int\sqrt{P(x)}\,{d}x\right)</math><br />
|-<br />
| <math>\frac{{d}^2y\,}{{d}x^2}-\left(\frac{1}{P(x)}\cdot\frac{{d}P(x)}{{d}x}\right)\frac{{d}y}{{d}x}-\left(P(x)\right)^2 y=0</math>||<math>y=C_1\exp\left(\int P(x)\,{d}x\right)+C_2\exp\left(-\int P(x)\,{d}x\right)</math><br />
|-<br />
| <math>x\frac{{d}^2 y\,}{{d}x^2}+(\alpha + \beta x)\frac{{d}y}{{d}x}+\beta y = 0</math>||<math>y=x^{1-\alpha}e^{-\beta x} \left( C_1 \int{}x^{\alpha-2} e^{\beta x}\,{d}x + C_2 \right)</math><br />
|}<br />
<br />
== 注釈 ==<br />
{{notelist2}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
{{reflist|refs=<br />
<ref name="sugit-2007ngze">{{cite book|和書<br />
|editor=日本数学会<br />
|title=岩波・数学辞典<br />
|edition=第 4 版<br />
|year=2007<br />
|publisher=岩波書店<br />
|isbn=978-4-00-080309-0<br />
}}</ref><br />
<ref name="diffequ-2005ngzd">{{cite book|和書<br />
|last=長島<br />
|first=隆廣<br />
|title=常微分方程式 80 余例とその厳密解<br />
|publisher=近代文芸社<br />
|year=2005<br />
|isbn=4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京 本館書庫）<br />
}}</ref><br />
}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[関数解析学]]<br />
* [[微分方程式]]<br />
** [[常微分方程式]]<br />
** [[偏微分方程式]]<br />
* [[ロンスキー行列式]]<br />
* [[求積法]]<br />
* [[変数分離]]<br />
* [[線型代数学]]<br />
** [[線型性]]<br />
** [[線型方程式]]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:せんけいひふんほうていしき}}<br />
<br />
{{sci-stub}}<br />
<br />
[[Category:微分方程式]]<br />
[[Category:線型代数学]]<br />
[[Category:解析学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
基底 (線型代数学)
2018-06-17T09:16:07Z
<p>125.9.201.214: rv</p>
<hr />
<div>[[線型代数学]]における'''基底'''（きてい、{{lang-en-short|''basis''}}）は、[[線型独立]]な[[ベクトル]]から成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられた[[ベクトル空間]]の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「[[座標系]]」を定めるようなベクトルの集合である<ref>Halmos, Paul Richard (1987) ''Finite-dimensional vector spaces'' (4th edition) Springer-Verlag, New York, [http://books.google.co.uk/books?id=mdWeEhA17scC&pg=PA10 page 10], ISBN 0-387-90093-4</ref>。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な[[線型包|生成系]]のことである。<br />
<br />
ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には[[選択公理]]が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（[[濃度 (数学)|濃度]]）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の[[次元 (線型代数学)|次元]]と呼ぶ。<br />
[[File:Basis graph (no label).svg|thumb|400px|'''R'''<sup>2</sup> の[[標準基底]]を示した図。青とオレンジがこの基底の元である。緑のベクトルは基底ベクトルの一次結合で表されており、故にこの三者は[[線型従属]]である。]]<br />
<br />
== 定義 ==<br />
（[[実数]]全体 '''R''' や[[複素数]]全体 '''C''' のような）[[可換体|体]] '''F''' 上の[[線型空間]] ''V'' の'''基底''' ''B'' とは、''V'' の[[線型独立]]な部分集合で、''V'' を[[線型包|張る]]（[[生成 (数学)|生成]]する）ものを言う。より具体的には、''B'' = {''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>} をベクトル空間 ''V'' の有限部分集合とするとき、''B'' が基底であるとは、条件として<br />
; 線型独立性: ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> ∈ '''F''' に対して ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub> = 0 が成り立つならば、''a''<sub>1</sub> = … = ''a''<sub>''n''</sub> = 0 でなければならない。<br />
; 全域性: ''V'' のどんな元 ''x'' も、適当な ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> ∈ '''F''' を選んで ''x'' = ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub> が成り立つようにできる。<br />
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ''a''<sub>''i''</sub> は基底 ''B'' に関する ''x'' の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。<br />
<br />
上記の条件を満たす整数''n''が存在するとき、その線形空間は[[次元 (線型代数学)|有限次元]]であるという。そのような''n''が存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 ''B'' ⊂ ''V'' が基底であるとは、<br />
* 任意の有限部分集合 ''B''<sub>0</sub> ⊆ ''B'' が既に述べた意味で線型独立性を持つ。<br />
* 各 ''x'' &isin; ''V'' に対して、適当な有限個のスカラー ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> ∈ '''F''' とベクトル ''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> ∈ ''B'' を選んで ''x'' = ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub> と表すことができる（''n'' は ''x'' ごとに違ってよい）。<br />
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的な[[ベクトル空間]]の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、[[無限和]]に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については[[#関連概念|後述]]。<br />
<br />
基底ベクトルを特定の「順序」で並べることが便利なことがよくある（例えば、[[線型写像]]の基底に関する[[変換行列]]を考える場合など）。そこで、基底を ''V'' を張る線型独立なベクトルの（[[集合]]と考える代わりに）[[列 (数学)|列]]（あるいは[[タプル| ''n''-組]]）と見た、'''順序付けられた基底''' (''ordered basis'') がしばしば用いられる（短く「順序基底」や「順序付き基底」などともいう）。これについても[[#順序基底と座標系|後述]]。<br />
<br />
== 基底の延長 ==<br />
ベクトル空間 ''V'' の部分集合 ''S'' に対して「''S'' を基底に延長（拡張）する」というのは、''S'' を部分集合として含むような基底 ''B'' を求めることを意味する。これが可能となる必要十分条件は ''S'' が線型独立性を持つことである。このような ''B'' はほとんど常に複数存在し、一意的に決まることは稀（例えば ''S'' が既に基底である場合、''S'' が空集合である場合、''V'' が二元集合である場合など）である。<br />
<br />
同様の問題として「どのような部分集合 ''S'' が基底を含むか」ということを考えることができるが、これには ''S'' が ''V'' を張ることが必要十分である。この場合、''S'' は複数の異なる基底を含むのが普通である。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
ベクトル空間 ''V'' の部分集合 ''B'' が基底であるためには、以下に挙げるような互いに同値な条件のうちの何れか一つ（従って全部）を満足することが必要十分である。<br />
* ''B'' は ''V'' の極小生成系である。即ち、''B'' は ''V'' の生成系であって、かつ ''B'' に真に含まれるどの[[部分集合]]も ''V'' を生成しない。<br />
* ''B'' は ''V'' のベクトルからなる極大線型独立系である。即ち、''B'' は線型独立系であって、かつ ''B'' を真に含む ''V'' のどの部分集合も線型独立系でない。<br />
* ''V'' に属するどのベクトルも、''B'' に属するベクトルの線型結合としてただ一通りに表される。この基底が順序付けられているとき、この表示の係数はこの基底に関する「座標」を与える（[[#順序基底と座標系|後述]]）。<br />
<br />
任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には[[選択公理]]が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ[[濃度 (数学)|濃度]]（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の[[ハメル次元|次元]]と呼ぶ。この事実は[[ベクトル空間の次元定理|次元定理]]と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である[[超フィルター補題]]が必要である）。<br />
<br />
== 例 ==<br />
''a'', ''b'' がともに実数であるような座標（数ベクトル）(''a'', ''b'') 全てからなるベクトル空間 '''R'''<sup>2</sup> を考える。このとき、'''R'''<sup>2</sup> の任意のベクトル ''v'' = (''a'', ''b'') は ''v'' = ''a'' (1,0) + ''b'' (0,1) と書けて、'''e'''<sub>1</sub> := (1,0) と '''e'''<sub>2</sub> := (0,1) は明らかに線型独立だから、{'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>} は '''R'''<sup>2</sup> の基底になる。この自然で単純な基底を '''R'''<sup>2</sup> の標準基底という。これ以外にも、任意の二つの線型独立なベクトル（例えば (1,1) と (−1,2) など）が、やはり '''R'''<sup>2</sup> の基底を成す。<br />
<br />
一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (−1,2)} が '''R'''<sup>2</sup> の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。<br />
; 直接証明<br />
: 定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと '''R'''<sup>2</sup> を生成することとを示す。<br />
:; 線型独立性: 実数 ''a'', ''b'' に対して線型関係<div style="margin: 1ex 3em;"><math>a(1,1)+b(-1,2)=(0,0)</math></div>が成り立つとすると、(''a'' &minus; ''b'', ''a'' + 2''b'') = (0, 0), 即ち <div style="margin: 1ex 3em;"><math><br />
\begin{cases} a-b=0\\ a+2b=0\end{cases}<br />
</math></div>となり、辺々引いて ''b'' = 0, これを代入して ''a'' = 0 を得る。故に線型独立性が示せた。<br />
:; 全域性: 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が '''R'''<sup>2</sup> を生成することを示すには、いま (''a'', ''b'') を '''R'''<sup>2</sup> の勝手な元として、<div style="margin: 1ex 3em;"><math>r(1,1)+s(-1,2)=(a,b)</math></div>を満たす実数 ''r'', ''s'' の存在を言えばよい。これは即ち、方程式系<div style="margin: 1ex 3em;"><math><br />
\begin{cases} r-s=a\\ r+2s=b \end{cases}<br />
</math></div>が ''r'', ''s'' について解けることに他ならない。辺々引いて ''s'' が、それを代入して ''r'' がそれぞれ<div style="margin: 1ex 3em;"><math><br />
\begin{cases}s=(b-a)/3\\ r=(b+2a)/3\end{cases}<br />
</math></div>と求められるから、これで全域性も示された。<br />
; 次元定理による証明<br />
: (−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、(1,1) も明らかに[[零ベクトル]]ではないから、二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。これを延長して基底が得られるはずだが、'''R'''<sup>2</sup> の次元は 2 だから、{(1,1), (−1,2)} は既に '''R'''<sup>2</sup> の基底を成している。<br />
; 正則行列を用いた証明<br />
: 二つのベクトル (1,1), (−1,2) を並べてできる行列の[[行列式]]を計算すると<div style="margin: 1ex 3em"><math><br />
\det\!\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}=3<br />
</math></div>となり、行列式が 0 ではない（[[正則行列|正則]]である）から、この行列の二つの列ベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。従って '''R'''<sup>2</sup> の基底となる。<br />
<br />
* より一般に、''n''-次単位行列（対角成分が 1 でそれ以外の成分が 0 の ''n''&times;''n''-行列）の第 ''i''-列ベクトルを '''e'''<sub>''i''</sub> とするとき、ベクトル族 {'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>} は線型独立で、'''R'''<sup>''n''</sup> を生成する。故にこれは '''R'''<sup>''n''</sup> の基底を成し、また '''R'''<sup>''n''</sup> の次元は ''n'' であると分かる。この基底を '''R'''<sup>''n''</sup> の'''[[標準基底]]'''という。<br />
* ''V'' を二つの函数 ''e''<sup>''t''</sup> および ''e''<sup>2''t''</sup> で生成される[[実数|実]]線型空間とすると、これら二つの函数は線型独立であるから ''V'' の基底を成す。<br />
* 次数が高々 2 の多項式全体の成す集合 P<sub>2</sub> において、{1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>} は標準基底を成す。実数係数[[多項式]]全体の成す線型空間を '''R'''&#x5b;''x''&#x5d; で表せば、無限系列 (1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, …) は '''R'''&#x5b;''x''&#x5d; の基底を成す。従って、'''R'''&#x5b;''x''&#x5d; の次元は、可算濃度 [[アレフ数|&alefsym;<sub>0</sub>]] に等しい。<br />
* 2&times;2-行列全体の成す集合 M<sub>2,2</sub> において、(''m'',''n'')-成分が 1 でそれ以外の成分が 0 の 2&times;2-行列を ''E''<sub>''mn''</sub> と書けば、{''E''<sub>11</sub>, ''E''<sub>12</sub>, ''E''<sub>21</sub>, ''E''<sub>22</sub>} は標準基底である。<br />
全域的かつ線型独立なベクトルからなる集合を[[標準基底]]から無数に作ることができる。<br />
<br />
== 順序基底と座標系 ==<br />
基底はベクトルの成す「集合」に過ぎないのであって、基底ベクトルは順序付けられてはいないが、目的によっては'''順序付けられた基底''' (ordered basis) を用いるほうが有効であることも少なくない。例えば、ベクトルを座標表現して扱うとき、「第一座標」・「第二座標」のようなお決まりの表現を用いるには、基底に特定の順序付けがされていないと意味を成さない。有限次元ベクトル空間ならば、最初の ''n''-個の自然数を[[添字集合|添字]]に用いて (''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>) のようにするのが典型的である。順序付けられた基底は、'''標構''' あるいは'''枠''' (''frame'') とも呼ばれる。<br />
<br />
''V'' は[[可換体|体]] '''F''' 上の ''n''-次元ベクトル空間であるものとする。''V'' の順序基底を一つ選ぶことは、[[数ベクトル空間|座標空間]] '''F'''<sup>''n''</sup> から ''V'' への[[線型同型写像]] &phi; を一つ選ぶことと等価である。これを見るのに '''F'''<sup>''n''</sup> の標準基底が順序基底であることが利用できる。<br />
<br />
まず、線型同型 &phi;: '''F'''<sup>''n''</sup> → ''V'' が与えられているとき、''V'' の順序基底 (''v''<sub>''i''</sub>)<sub>1&le;''i''&le;''n''</sub> を<br />
: ''v''<sub>''i''</sub> = ''&phi;''('''e'''<sub>''i''</sub>) for 1 ≤ ''i'' ≤ ''n''<br />
で与えることができる。ただし ('''e'''<sub>''i''</sub>)<sub>1&le;''i''&le;''n''</sub> は '''F'''<sup>''n''</sup> の標準基底である。<br />
<br />
逆に、順序基底 (''v''<sub>''i''</sub>)<sub>1&le;''i''&le;''n''</sub> が与えられているとき、<br />
: <math>x=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\cdots+x_n\mathbf{e}_n \mapsto \varphi(x) := x_1v_1+x_2v_2+\cdots+x_nv_n</math><br />
で定まる &phi;: '''F'''<sup>''n''</sup> &rarr; ''V'' が線型同型であることを見るのは難しくない。<br />
<br />
これら二つの構成が互いに逆になっていることは明らかであるから、''V'' の順序基底と'''F'''<sup>''n''</sup> から ''V'' への線型同型との間に一対一対応があることがわかる。<br />
<br />
順序基底 (''v''<sub>''i''</sub>) によって定まる線型同型 &phi; の逆写像は ''V'' に「座標系」を定める。即ち、ベクトル ''v'' ∈ ''V'' に対して φ<sup>−1</sup>(''v'') = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) ∈ '''F'''<sup>''n''</sup> であるならば、各成分 ''a''<sub>''j''</sub> = ''a''<sub>''j''</sub>(''v'') は ''v'' = ''a''<sub>1</sub>(''v'') ''v''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub>(''v'') ''v''<sub>2</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>(''v'') ''v''<sub>''n''</sub> と書けるという意味で ''v'' の座標を与える。<br />
<br />
ベクトル ''v'' を各成分 ''a''<sub>''j''</sub>(''v'') へ写す各写像は、φ<sup>−1</sup> が線型ゆえ、''V'' から '''F''' への線型写像になる。即ちこれらは[[線型汎函数]]であり、またこれらは ''V'' の双対空間の基底を成し、'''双対基底'''と呼ばれる。<br />
<br />
== 関連概念 ==<br />
=== 解析学 ===<br />
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしば'''ハメル基底'''（[[ゲオルク・ハメル]]に由来）や'''代数基底'''という用語が用いられる。（ハメル基底は '''R''' の '''Q'''-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、[[ヒルベルト空間]]上の[[正規直交基底]]や[[ノルム線型空間]]上の[[シャウダー基底]]および[[マルクシェヴィチ基底]]が挙げられる。<br />
<br />
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（[[位相線型空間]]）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えば[[ヒルベルト空間]]や[[バナッハ空間]]あるいは[[フレシェ空間]]といったものを含む。<br />
<br />
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、''X'' が[[完備距離空間|完備]]な無限次元ノルム空間（つまり[[バナッハ空間]]）のとき、''X'' の任意のハメル基底が[[非可算]]となることが[[ベールの範疇定理]]から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。[[ほとんど (数学)|有限個の例外を除く]]全ての項が 0 となる実[[数列]]全体の成す空間 ''c''<sub>00</sub> にノルム &#x2016;''x''&#x2016; = sup<sub>''n''</sub>&#x7c;''x''<sub>''n''</sub>&#x7c; を入れたものを考えると、その[[標準基底]]は可算ハメル基底になる。<br />
<br />
; 例<br />
: [[フーリエ級数]]論において、函数系 {1} ∪ {sin(''nx''), cos(''nx'') : ''n'' = 1, 2, 3, …} が、区間 &#x5b;0, 2&pi;&#x5d; 上の実（または複素）数値自乗可積分函数、即ち<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\,dx<\infty</math></div>を満たす函数全体の成す実（または複素）線型空間の「正規直交基底」となることを知るはずである。即ち、函数系 {1} ∪ {sin(''nx''), cos(''nx'') : ''n'' = 1, 2, 3, …} は線型独立系であり、かつ区間 &#x5b;0, 2&pi;&#x5d; 上自乗可積分な任意の函数 ''f'' が適当な実（または複素）係数 ''a''<sub>''k''</sub>, ''b''<sub>''k''</sub> に対して<div style="margin: 1ex 2em;"><math><br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^{2\pi}\left|a_0+\sum_{k=1}^n (a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))-f(x)\right|^2 dx=0<br />
</math></div>を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の'''有限'''線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は[[連続の濃度]]をもつ<ref>http://www.scielo.cl/pdf/proy/v26n3/art01.pdf</ref>）。この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の[[正規直交基底]]は[[フーリエ解析]]において本質的である。<br />
<br />
=== アフィン幾何学 ===<br />
関連の深い[[アフィン空間]]、[[射影空間]]、[[凸集合]]、[[錐 (線型代数学)|錐]]といった空間には関連の深い'''アフィン基底'''<ref>Notes on geometry, by Elmer G. Rees, [http://books.google.com/books?id=JkzPRaihGIYC&pg=PA7 p. 7]</ref>（''n''-次元アフィン空間に対して[[一般の位置]]にある ''n''+1 点のこと）、'''射影基底'''（本質的にアフィン基底と同じで、ここでは射影空間の、一般の位置にある ''n''+1 点）、'''凸基底'''（多面体の頂点）、'''錐基底'''<ref>[http://www.springerlink.com/content/v8110k8n2864g32g/ Some remarks about additive functions on cones], Marek Kuczma</ref>（多角形錐の辺上の点の集合）といった基底が定義される。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[基底変換]]<br />
* [[自由加群]]<br />
<br />
== 注記 ==<br />
{{Reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
=== 全般 ===<br />
* {{Citation | last1=Blass | first1=Andreas | title=Axiomatic set theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics volume 31 | mr=763890 | year=1984 | chapter=Existence of bases implies the axiom of choice | pages=31–33|isbn=0-8218-5026-1}}<br />
* {{Citation | last1=Brown | first1=William A. | title=Matrices and vector spaces | publisher=M. Dekker | location=New York | isbn=978-0-8247-8419-5 | year=1991}}<br />
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-96412-6 | year=1987}}<br />
<br />
=== 歴史的文献 ===<br />
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Banach | first1=Stefan | author1-link=Stefan Banach | title=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf | year=1922 | journal=[[Fundamenta Mathematicae]] | issn=0016-2736 | volume=3}}<br />
* {{de icon}} {{Citation | last1=Bolzano | first1=Bernard | author1-link=Bernard Bolzano | title=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) | url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338 | year=1804}}<br />
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) | publisher=Hermann | location=Paris | year=1969}}<br />
* {{Citation | last1=Dorier | first1=Jean-Luc | title=A general outline of the genesis of vector space theory | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-C&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=2&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=fd995fe2dd19abde0c081f1e989af006 | mr=1347828 | year=1995 | journal=[[Historia Mathematica]] | volume=22 | issue=3 | pages=227–261 | doi=10.1006/hmat.1995.1024}}<br />
* {{fr icon}} {{Citation | last1=Fourier | first1=Jean Baptiste Joseph | author1-link=Joseph Fourier | title=Théorie analytique de la chaleur | url=http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ | publisher=Chez Firmin Didot, père et fils | year=1822}}<br />
* {{de icon}} {{Citation | last1=Grassmann | first1=Hermann | author1-link=Hermann Grassmann | title=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik | url=http://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik | year=1844}}, reprint: {{Citation | other1-last=Kannenberg | other1-first=L.C. | title=Extension Theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2031-5 | year=2000 | author=Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg.}}<br />
* {{Citation | last1=Hamilton | first1=William Rowan | author1-link=William Rowan Hamilton | title=Lectures on Quaternions | url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9 | publisher=Royal Irish Academy | year=1853}}<br />
* {{de icon}} {{Citation | last1=Möbius | first1=August Ferdinand | author1-link=August Ferdinand Möbius | title=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) | url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 | year=1827}}<br />
* {{Citation | last1=Moore | first1=Gregory H. | title=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940 | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-D&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=3&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=4327258ef37b4c293b560238058e21ad | year=1995 | journal=[[Historia Mathematica]] | volume=22 | issue=3 | pages=262–303 | doi=10.1006/hmat.1995.1025}}<br />
* {{it icon}} {{Citation | last1=Peano | first1=Giuseppe | author1-link=Giuseppe Peano | title=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva | year=1888 | location=Turin}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=Basis|title=Basis}}<br />
<br />
{{Linear algebra}}<br />
{{DEFAULTSORT:きてい}}<br />
[[Category:線型代数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
冪集合
2018-05-30T11:30:26Z
<p>125.9.201.214: /* 冪集合の濃度 */</p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2016年1月}}<br />
[[Image:Hasse diagram of powerset of 3.svg|300px|thumb|right|''S'' = {''x'', ''y'', ''z''} の冪集合 ''P''(''S'') = { {}, {''x''}, {''y''}, {''z''}, {''x'', ''y''}, {''y'', ''z''}, {''z'', ''x''}, {''x'', ''y'', ''z''} } の[[ハッセ図]]。要素数は 2<sup>3</sup> = 8 である。]]<br />
<br />
'''冪集合'''（べきしゅうごう、{{lang-en-short|power set}}）とは、[[数学]]において、与えられた[[集合]]から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。'''べき'''は[[冪乗]]の冪（べき）と同じもので、'''冪集合'''と書くのが正確だが、一部分をとった略字として'''巾集合'''とも書かれる。<br />
<br />
集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える[[公理的集合論]]では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（[[公理的集合論#ZF 公理系|冪集合公理]]）としてしばしば提示する。<br />
<br />
== 記法 ==<br />
集合 <math>S</math> の冪集合は、冪を表す {{lang|en|power}} からとって、通常は<br />
:<math>\mathfrak P(S),\ \mathcal P(S),\ \mathfrak{pow}(S),\ \mathrm{Power}(S),\ \Pi(S)</math>, ℙ(''S''), [[:w:Weierstrass p|&weierp;]](''S''), 2<sup>''S''</sup><br />
などのように記される。2<sup>''S''</sup> という表記は、一般に ''X''<sup>''Y''</sup> が ''Y'' から ''X'' への[[写像]]全体の集合を表すことによる（後述）。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
集合 ''S'' が与えられたとき、''S'' のどの部分集合をも元とする集合<br />
: <math>\mathfrak P(S) := \{A\colon\mbox{a set} \mid A \subseteq S\}</math><br />
を ''S'' の冪集合と呼ぶ。例えば<br />
* <math>\mathfrak P(\varnothing) = \{\varnothing\}</math><br />
* <math>\mathfrak P(\{a\}) = \{\varnothing, \{a\}\}</math><br />
* <math>\mathfrak P(\{x,y\}) = \{\varnothing, \{x\}, \{y\}, \{x,y\}\}</math><br />
* <math>\mathfrak P(\{1,2,3\}) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}</math><br />
などとなる。[[空集合]]の冪集合は空集合を唯一つの元として持つ[[一元集合]]であり、空集合とは別のものである。<br />
<br />
なおこの定義から明らかに<br />
: <math>A \in \mathfrak{P}(S)\iff A \subset S</math><br />
である．<br />
<br />
== 構造 ==<br />
=== 包含関係による順序 ===<br />
冪集合は[[包含関係]]を順序として[[順序集合]]になる。冪集合を底となる集合、包含関係を順序とする順序集合 <math>(\mathcal P(S), \subset)</math> （ここでの <math>\subset</math> は集合が一致する場合も含む）に[[順序集合#写像と順序|順序同型]]な順序集合は'''単体様半順序集合''' {{lang|en|(simplex-like Poset)}} と呼ばれ、[[単体 (数学)|単体]]の一つの組合せ論的な特徴づけを与える（底となる <math>\mathcal P(S)</math> から空集合を抜いた順序集合を指すこともある）。また、冪集合 <math>\mathcal P(S)</math> に包含関係と逆の順序 <math>\subset^{\mathrm{opp}}</math><br />
:<math>A \subset^{\mathrm{opp}} B \iff A \supset B</math><br />
を与えた順序集合 <math>(\mathcal P(S), \subset^{\mathrm{opp}})</math> は、もとの順序集合 <math>(\mathcal P(S), \subset)</math> に順序同型で、その対応は[[補集合]]をとる操作<br />
:<math>(\mathcal P(S),\subset^{\mathrm{opp}}) \ni A \ \stackrel{\simeq}{\longmapsto}\ A^c = S\smallsetminus A \in (\mathcal P(S),\subset)</math><br />
によって与えられる。またこの対応で、集合の[[合併 (集合論)|結び]]と[[共通部分 (数学)|交わり]]が互いに入れ替わる（双対性：[[ド・モルガンの法則]]）、[[対称差]]は不変（自己双対性）などを見て取ることができる。<br />
<br />
順序集合 <math>(\mathcal P(S), \subset)</math> の部分集合である集合族<br />
: <math>\mathfrak{M} \subset \mathcal P(S)</math><br />
が与えられたとき、集合族の[[合併 (集合論)|結び]]や[[共通部分 (数学)|交わり]]をとる操作<br />
: <math>\sup(\mathfrak{M}) = \bigcup \mathfrak{M} = \bigcup_{m\in\mathfrak{M}}m,<br />
\quad \inf(\mathfrak{M}) = \bigcap \mathfrak{M} = \bigcap_{m\in\mathfrak{M}}m</math><br />
は、この集合族に対して包含関係による順序に関する[[上限]]と[[下限]]を与える。とくに、<math>S</math> の二つの部分集合 <math>A, B</math> について<br />
:<math>A\vee B := \sup\{A,B\} = A\cup B</math><br />
:<math>A\wedge B := \inf\{A,B\} = A\cap B</math><br />
を考えることにより、組 <math>(\mathcal P(S), \land, \lor)</math> は[[束論#完備束|完備]]な[[束論|束]]となる。完備束の条件は空で無い部分集合族に対する上限・下限の存在を要求するものであるが、冪集合の束では集合族 <math>\mathfrak M \subset \mathcal P(S)</math> が空集合であるときにも<br />
:<math>\sup(\varnothing) = \varnothing,\quad \inf(\varnothing) = S</math><br />
が冪集合 <math>\mathcal P(S)</math> の中に存在する。<br />
<br />
=== 集合代数系 ===<br />
: {{main|ブール代数|集合の代数学|有限加法族|集合環}}<br />
冪集合に定義される様々な集合演算は、冪集合を[[代数系]]として取り扱う手段を与えてくれる。たとえば、集合の[[合併 (集合論)|結び]] <math>\cup</math> や[[共通部分 (数学)|交わり]] <math>\cap</math> は[[交換法則|交換可能]]で[[結合法則|結合的]]な演算であるから、[[半群]]として冪集合を見ることができる。さらに、結びに関する[[単位元|中立元]]は空集合 <math>\emptyset</math> であり、全体集合 <math>S</math> が交わりに関する中立元となるので、<math>(\mathcal P(S), \cup, \emptyset)</math> や <math>(\mathcal P(S), \cap, S)</math> は[[モノイド]]である。また、[[対称差]] <math>\Delta</math> を与えられた演算とする代数系 <math>(\mathcal P(S), \Delta)</math> は、空集合を単位元とし、[[補集合]]を逆元にもつ[[群 (数学)|群]]になる。<br />
<br />
結び <math>\cup</math> と交わり <math>\cap</math> は互いに他に対して[[分配法則|分配的]]であるので、<math>(\mathcal P(S), \cup, \cap)</math> に[[環 (数学)|環]]の構造を見て取ることができる。とくに冪集合 <math>\mathcal P(S)</math> を、集合の結び、交わり、補集合をとる操作および結び・交わりそれぞれに関する中立元を備えた代数系<br />
:<math>(P(S), \cap, \cup, ^\mathrm{c}, \varnothing, S)</math><br />
と考えたものは[[ブール代数]]の例を与える。一方、事実として、任意の有限ブール代数は[[有限集合]]のべき集合が作るこのブール代数によって同型的に実現することができる。<br />
<br />
== 冪集合の濃度 ==<br />
''S'' の部分集合 ''A'' とその[[指示関数]] <math>\chi_A</math> を対応づけることにより、冪集合 2<sup>''S''</sup> と Map(''S'', {0, 1}) =: {0 ,1}<sup>''S''</sup> が[[全単射|一対一に対応]]する。これは、''S'' の元 ''a'' が部分集合 ''A'' に属するとき 1、属さないとき 0 をラベル付けすることで部分集合 ''A'' が特定できるということに対応する。したがって特に ''A'' の[[濃度 (数学)|濃度]] card(''A'') が有限の値 ''n'' であるとき冪集合 2<sup>''A''</sup> の濃度 card(2<sup>''A''</sup>) は 2<sup>card(''A'')</sup> = 2<sup>''n''</sup> に等しい。一般に、有限集合 ''E'' から有限集合 ''F'' への写像の総数は card(''F'')<sup>card(''E'')</sup> となり、このことは ''E'' から ''F'' への[[写像全体のなす集合]]を ''F''<sup>''E''</sup> と記す（無限集合の場合にも記号を流用する）ことの根拠の一つとなっている。そして、冪集合やその濃度の[[2の冪]]としての記法はこれの特別の場合にあたる。<br />
<br />
冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい。有限集合のときにはこれは当たり前である。一般の場合は、[[カントールの対角線論法]]によって示される。<br />
<br />
==関連項目==<br />
* [[集合]]<br />
* [[族 (数学)]]<br />
* [[ブール代数]]<br />
* [[連続体濃度]]<br />
* [[連続体仮説]]<br />
<br />
{{集合論}}<br />
{{DEFAULTSORT:へきしゆうこう}}<br />
[[Category:集合論]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
特異点 (数学)
2018-05-14T16:02:09Z
<p>125.9.201.214: </p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2018年5月}}<br />
[[数学]]において、'''特異性'''（とくいせい、{{lang-en-short|''singularity''}}）とは、適当な枠組みの下で考えている数学的対象が「定義されない」「よく振舞わない」などと言ったことを理由に除外されること、もの、およびその基準である。特異性を示す点を'''特異点'''（とくいてん、{{lang|en|''singular point''}}）という。<br />
<br />
これに対して、ある枠組みの中で、よく振舞う {{lang|en|(well-behaved)}} ならば非特異 {{lang|en|(non-singular)}} または[[正則]] {{lang|en|(regular)}} であると言われる。<br />
<br />
== 実解析における特異性 ==<br />
{{main|不連続性の分類}}<br />
実解析においては、[[実函数]]に対してしばしば[[連続函数|連続性]]を基準に取り、函数の連続性に関して正則な振舞いをする点を連続点、特異な振舞いをする点を[[不連続性の分類|不連続点]]と呼ぶ。実函数の不連続性には二つの種別があり、またそれぞれの種別はそれぞれ二通りに細分される。<br />
: 第一種不連続点:<br />
:: 可除不連続点<br />
:: 跳躍不連続点<br />
: 第二種不連続点:<br />
:: 無限不連続点<br />
:: 真性不連続点<br />
<br />
== 複素解析における特異性 ==<br />
{{main|孤立特異点}}<br />
複素解析においては、[[複素函数]]に対してしばしば[[正則函数|微分可能性]]あるいは[[解析函数|解析性]]を基準として、正則性、特異性を論じる。<br />
: [[孤立特異点]] (''isolated singularity''): 特定の点における函数の有界性からのズレを示すもの<br />
:: [[可除特異点]] (''removable singularity'')<br />
:: [[極 (複素解析)|極]] (''pole'')<br />
:: [[真性特異点]] (''essential singularity'')<br />
: [[分岐点 (数学)|分岐点]]: 解析接続に関して一価の函数が[[多価性]]を示すこと<br />
<br />
== 代数幾何における特異性 ==<br />
{{main|代数多様体の特異点}}<br />
代数幾何における特異性は、多様体あるいは環の局所化が正則局所環とはならないこと。<br />
: fill in: {{ill2|結節点 (数学)|en|crunode|label=結節点}}、{{ill2|二重点|en|double point|label=重複点}}、[[尖点]]、{{ill2|孤立点 (特異点)|en|acnode|label=孤立点}}<br />
<br />
{{seealso|曲線の特異点|特異点解消}}<br />
<br />
== 函数方程式論における特異性 ==<br />
: fill in: {{ill2|確定特異点|en|Regular singular point}}（正則特異点/フックス型特異点<ref>{{PlanetMath|urlname=fuchsiansingularity|title=fuchsian singularity}}</ref>）、[[動く特異点]] <br />
<br />
== 微分幾何における特異性 ==<br />
{{main|臨界点 (数学)}}<br />
微分がランク落ちするような点を臨界点、フルランクの点を正常点とする<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[特異点論]]<br />
* [[超局所解析]] (microlocal analysis)<br />
* [[ローラン展開]]<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{notelist}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{reflist}}<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{cite journal |和書 |last= 阿部 |first= 剛久 |title= 特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (I): 初期の概念とその背景 |url= http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/43002/1/1317_05.pdf |format=PDF |year= 2003 |month= 05 |journal= 数理解析研究所講究録 |volume= 1317 |pages= 39–49}}<br />
* {{cite journal |和書 |last1= 阿部 |first1= 剛久 |last2= ニッケル |first2= グレゴール |title= 特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (II): 特異性問題に関する近代数学の発展・形成：1880–1940s |url= http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/25869/1/1392-16.pdf |format=PDF |year= 2004 |month= 09 |journal= 数理解析研究所講究録 |volume= 1392 |pages= 149–162}}<br />
* {{cite journal |和書 |last= 阿部 |first= 剛久 |title= 特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (III)-1: 20世紀後半から現代に至る主題の展望，および未知の課題をめぐって |url= http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/80778/1/1546-08.pdf |format=PDF |year= 2007 |month= 04 |journal= 数理解析研究所講究録 |volume= 1546 |pages= 88–103}}<br />
* {{cite journal |和書 |last= 阿部 |first= 剛久 |title= 特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (III)-2: 20世紀後半の主題 (1)：前半から引き継ぐもの（初期概念の系列） |url= http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/140296/1/1625-10.pdf |format=PDF |year= 2009 |month= 01 |journal= 数理解析研究所講究録 |volume= 1625 |pages= 95–107}}<br />
* {{cite journal |和書 |last= 阿部 |first= 剛久 |title= 特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (III)-2: 20世紀後半の主題 (2)：前半から引き継ぐもの（新概念と応用の系列） |url= http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/141282/1/1677-12.pdf |format=PDF |year= 2010 |month= 04 |journal= 数理解析研究所講究録 |volume= 1677 |pages= 103–119}}<br />
* {{cite journal |和書 |last= 阿部 |first= 剛久 |title= 特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (III)-2: 20世紀後半の主題 (3)：後半からの新しいもの（新々概念と応用の系列） |url= http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/170868/1/1739-24.pdf |format=PDF |month= 04 |year= 2011 |journal= 数理解析研究所講究録 |volume= 1739 |pages= 251–263}}<br />
<br />
* {{MathWorld|urlname=Singularity|title=Singularity}} / {{MathWorld|urlname=SingularPoint|title=Singular Point}}<br />
* {{nlab|urlname=singularity|title=singularity}} / {{nlab|urlname=singular+point|title=singular point}}<br />
* {{SpringerEOM|urlname=Singularity|title=Singularity|first=E.D.|last=Solomentsev}} / {{SpringerEOM|urlname=Singular_point|title=Singular point|first=E.D.|last=Solomentsev}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:とくいてん}}<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
[[Category:解析学]]<br />
[[Category:代数幾何学]]</div>
125.9.201.214
等式
2018-05-04T08:01:25Z
<p>125.9.201.214: 「両辺が定義可能である限りにおいて」に入っている: 118.236.1.55 (会話) による ID:68428190 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2017年6月}}<br />
'''等式'''（とうしき、{{lang-en-short|equation}}）とは、二つの対象の[[等価性]]・'''相等関係''' (<em lang=en>equality</em>) を表す[[数式]]のことである。<br />
<br />
== 導入 ==<br />
等式は[[等号]]（とうごう、<span lang=en>equal sign</span>）と呼ばれる記号 "=" によって、二つの対象 ''a'', ''b'' を結合させる[[二項関係]]として<br />
:<math>a = b</math><br />
のように記される。このとき、''a'' と ''b'' は（'''互いに'''）'''等しい'''、（'''相'''）'''等しい'''、'''相等'''であるなどという。また、''a'' にあたる対象を等式の'''左辺'''、''b'' にあたる対象を等式の'''右辺'''といい、左辺と右辺を総じて'''両辺'''、各々を'''各辺'''と呼ぶ。また、この否定を<br />
:<math>a \ne b</math><br />
で表し、''a'' と ''b'' は等しくない、あるいは'''異なる'''という。記号 "≠" は'''等号否定'''と呼ばれる。等式の示す相等関係は二項関係として以下の条件を全て満たさねばならない：<br />
* [[反射関係|反射律]]: 対象 ''a'' が何であっても ''a'' = ''a'' は常に成り立つ。<br />
* [[対称関係|対称律]]: 対象 ''a'', ''b'' について ''a'' = ''b'' が成り立っているときはいつでも ''b'' = ''a'' も同時に成り立つ。<br />
* [[推移関係|推移律]]: 対象 ''a'', ''b'', ''c'' に対して ''a'' = ''b'' と ''b'' = ''c'' が同時に成り立っているときには常に ''a'' = ''c'' も同時に成り立つ。<br />
* 代入原理: 対象 ''a'', ''b'' が ''a'' = ''b'' であるときには、一つの[[自由変数]] ''x'' を含むどんな式（あるいは命題関数） ''P''(''x'') についても ''P''(''a'') = ''P''(''b'') が（両辺ともに一意的な意味を持つ限りにおいて）常に成り立つ。<br />
これは、「相等性とは代入原理を満足する[[同値関係]]のことである」といっても同じことであり、また等式が数学において最も基本的な同値関係を与えるものであると見ることができる。<br />
<br />
ここで、見かけ上異なるものが等しいものを表したり、表記の都合などから見かけ上同じに見えるものが別の対象を指し示したりすることがあるため、何かが等しいというためには各辺にどのような対象をとるか、対象が何者であるかということを明確にしなければならないということを意識する必要がある。場合によっては相等といわず、[[同値]]、[[同型]]、[[合同]]などと呼んで、等号の代わりにそれぞれ特有の記号を用いることもある。<br />
<br />
代入原理はもう少し一般に、対象 ''a''<sub>''i''</sub>, ''b''<sub>''j''</sub> が、<br />
:<math>a_1 = b_1,\ a_2 = b_2,\ \ldots,\ a_l = b_l</math><br />
であるならば、''l'' 個の自由変数 ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''l''</sub> を持ついかなる[[命題関数]] ''P''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''l''</sub>) に対しても<br />
:<math>P(a_1,a_2,\ldots,a_l) = P(b_1,b_2,\ldots,b_l)</math><br />
が成り立つ、という形に述べることもある。これは[[命題関数]] ''P''(''x'') において自由変数 ''x'' が複数回現れるとき、命題 ''P''(''a'') に現れる ''a'' の一部をそれと等しいもので置き換えてもよいことを含意している。なんとなれば、全ての ''i'' について ''a''<sub>''i''</sub> = ''a'' で、いくつかの ''j'' について ''b''<sub>''j''</sub> = ''b'' かつそれ以外の ''j'' について ''b''<sub>''j''</sub> = ''a'' と置いてみるとよい。<br />
<br />
== 算術 ==<br />
[[四則演算]]について、''a'', ''b'', ''c'' を勝手な定数として、''a'' = ''b'' であるときには<br />
* ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''c'',<br />
* ''a'' &minus; ''c'' = ''b'' &minus; ''c'',<br />
* ''ac'' = ''bc'',<br />
* ''a''/''c'' = ''b''/''c''<br />
が両辺が定義可能である限りにおいて成り立つ。これは ''x'' &plusmn; ''c'', ''xc'', ''x''/''c'' なる式によって代入原理から導かれる。殊に、<br />
: ''a'' = ''b'' &plusmn; ''c''<br />
となることは複号同順で<br />
: ''a'' &minus;(&plusmn; ''c'') = ''b''<br />
となることに同値であることが従う。これは見かけ上、一方の辺における一部の項を、符号を変えて他方の辺に移す操作に見えることから、この等価な 2 式の一方を他方に入れ替えることを'''移項'''（いこう、<span lang=en>transpose</span>）と呼ぶ。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[不等式]]<br />
* [[恒等式]]<br />
* [[方程式]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* [http://encyclopedia-of-equation.webnode.jp/ 等式の百科事典]<br />
* {{MathWorld|urlname=Equality|title=Equality}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=Equality|title=equality}}<br />
<br />
{{math-stub}}<br />
{{DEFAULTSORT:とうしき}}<br />
[[Category:数式]]<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
一次方程式
2018-05-04T04:49:33Z
<p>125.9.201.214: 115.37.80.253 (会話) による ID:68418727 の版を取り消し</p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2018年5月}}<br />
[[数学]]における'''一次方程式'''（いちじほうていしき、{{lang-en|first-degree polynomial equation, linear equation}}）は[[多項式の次数|一次多項式]]の[[多項式の根|根]]を求めるものである。<br />
<br />
== 一変数の場合 ==<br />
''a'', ''b'' は[[実数]]の定数とするとき、<br />
: <math>ax+b=0</math> または <math>ax=b</math><br />
後者の形の場合は、''a'' &ne; 0 ならば（''a''<sup>&minus;1</sup> = 1&frasl;''a'' が存在するから）一意的に解けて ''x'' = ''b''&frasl;''a'' がその解である。''a'' = 0 のとき、''b'' &ne; 0 ならば不能、''b'' = 0 ならば不定である。<br />
<br />
[[file:Linear Function Graph.svg|thumb|right]]<br />
== 二変数の場合 ==<br />
{{main|一次函数}}<br />
一般形は<br />
: <math>ax+by+c=0</math><br />
で、これは {(''x'', ''y'') | ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0} なる集合、つまり[[平面]]上の直線を表すと考えられる。が<br />
: <math>y=mx+b</math><br />
なる形で扱われることも多い。これはふつう、''x'' を自由変数とし ''y'' を ''x'' の従属変数とみるとき、[[一次函数]]と呼ばれるものである。<br />
<br />
[[file:Affine_subspace.svg|thumb|right]]<br />
== 三変数および更に多変数の場合 ==<br />
{{main|超平面}}<br />
三変数の場合<br />
: <math>ax+by+cz=d</math><br />
はユークリッド空間 '''R'''<sup>3</sup> における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル '''n''' := (''a'', ''b'', ''c'') に直交し、平面上の一点 '''x'''<sub>0</sub> が与えられれば<br />
: <math>\mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)=0</math><br />
なる形に書きなおせる（[[平面における直線の標準形|平面の場合]]の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの[[点乗積]]である。このベクトル方程式は一般の ''n''-次元で考えれば、'''R'''<sup>''n''</sup> 内の[[超平面]]（余次元 1 の[[アフィン部分空間]]）を表す。すなわち ''n''-変数の一次方程式<br />
: <math>a_1 x_1+\cdots +a_n x_n = b</math><br />
は超平面の方程式である。一次形式<br />
: <math>L\colon (x_1,\ldots,x_n)\mapsto a_1x_1+\cdots+a_nx_n</math><br />
は[[線型汎函数]]で、「点・傾き標準形」は<br />
: <math>\{(x_1,\ldots,x_n)\mid a_1 x_1+\cdots +a_n x_n = b\}=x_0+\ker L</math><br />
の形に書くこともできる。<br />
<br />
== 更なる一般化 ==<br />
一次方程式の理論は係数や解を（実数や[[複素数]]のような数に限らず）一般の[[斜体 (数学)|（非可換）]]体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 ''K'' であるような一次方程式が拡大体 ''L''/''K'' で解を持つならば、既に ''K'' において解を持ち、''K'' における一般解がそのまま ''L'' における一般解になる。<br />
<br />
{{see also|線型方程式系}}<br />
''A'' が行列、''x'' がベクトル値の変数、''b'' を定ベクトルとするとき、一次方程式<br />
: <math>Ax=b</math><br />
は ''A'' が正則ならば解くことができて ''x'' = ''A''<sup>&minus;1</sup>''b'' となる。<br />
<br />
より一般に、集合 ''X'' に作用素の集合 ''T'' が与えられているとき、''X''-値の変数 ''x'' に対して作用 &tau; &isin; ''T'' および定元 ''b'' &isin; ''X'' を与えれば、方程式<br />
: <math>\tau x = b</math><br />
は意味を持ち、&tau; の逆作用素 &tau;<sup>&minus;1</sup>が存在すれば ''x'' = &tau;<sup>&minus;1</sup>''b'' となる。特に ''T'' が群 ''G'' で ''X'' が[[群上の加群|''G''-加群]] ''M'' のとき、<br />
: <math>gx + b = 0\quad (g\in G, b\in M)</math><br />
なども意味を持つ。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[線型性]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=LinearEquation|title=Linear Equation}}<br />
<br />
{{代数方程式}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:いちしほうていしき}}<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:解析幾何学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
125.9.201.214
Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46