Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-04-26T21:08:37Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
判別式
2017-12-30T14:54:11Z
<p>124.110.98.50: /* 三次 */誤字修正</p>
<hr />
<div>{{refimprove|date=November 2011}}<br />
<br />
[[代数学]]において、[[多項式]]の'''判別式'''（はんべつしき、{{lang-en-short|discriminant}}）はその係数たちの[[関数]]であり、一般には大文字の 'D' あるいは大文字の[[Δ|ギリシャ文字デルタ]] (Δ) で表記される。それは[[多項式の根|根]]の性質についての情報を与えてくれる。例えば、二次多項式<br />
<br />
:<math>ax^2+bx+c\,</math><br />
<br />
の判別式は<br />
<br />
:<math>\Delta = \,b^2-4ac</math><br />
<br />
である。ここで、実数 {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} に対して、Δ > 0 であれば、多項式は 2 つの実根を持ち、Δ = 0 であれば、多項式は 1 つの実二重根を持ち、Δ < 0 であれば、多項式は実根を持たない。三次多項式<br />
<br />
:<math>ax^3+bx^2+cx+d\,</math><br />
<br />
の判別式は<br />
<br />
:<math>\Delta = \,b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math><br />
<br />
である。より高次の多項式に対しても、判別式は常にその係数たちの多項式関数であるが、非常に長くなる。''一般の''[[四次関数|四次式]]の判別式は 16 の項を持ち<ref>{{cite book<br />
|title=Elimination practice: software tools and applications<br />
|first1=Dongming<br />
|last1=Wang<br />
|publisher=Imperial College Press<br />
|year=2004<br />
|isbn=1-86094-438-8<br />
|page=180<br />
|url=http://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C}}, [http://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C&pg=PA180 Chapter 10 page 180]<br />
</ref>、[[五次関数|五次式]]の判別式は 59 の項を持ち<ref>{{cite book<br />
|title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants<br />
|first1=I. M.<br />
|last1=Gelfand<br />
|first2=M. M.<br />
|last2=Kapranov<br />
|first3=A. V.<br />
|last3=Zelevinsky<br />
|publisher=Birkhäuser<br />
|year=1994<br />
|isbn=3-7643-3660-9<br />
|page=1<br />
|url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96}}, [http://blms.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/28/1/96 Preview page 1]<br />
</ref>、六次多項式の判別式は 246 の項を持ち<ref>{{cite book<br />
|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications<br />
|first1=Alicia<br />
|last1=Dickenstein<br />
|first2=Ioannis Z.<br />
|last2=Emiris<br />
|publisher=Springer<br />
|year=2005<br />
|isbn=3-540-24326-7<br />
|page=26<br />
|url=http://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC}}, [http://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 Chapter 1 page 26]<br />
</ref>、項の個数は次数によって指数的に増加する{{citation needed|date=November 2012}}。<br />
<!-- Please don't add numbers of terms of higher degrees (like 7/1103 and 8/5247) without providing proper sources. Thanks --><br />
<br />
多項式が[[複素数]]において重根（すなわち[[重複度 (数学)|重複度]]が 1 よりも大きい根）を持つのは、その判別式が 0 であるとき、かつそのときに限る。<br />
<br />
この概念は多項式が複素数に含まれない[[可換体|体]]に係数を持つときにも適用される。この場合、判別式が消えることと多項式がその[[分解体]]において重根を持つことが同値である。<br />
<br />
判別式は係数たちの多項式関数であるので、係数たちが[[整域]] ''R'' に属していさえすれば定義され、この場合、判別式は ''R'' の元である。特に、整係数多項式の判別式は常に整数である。この性質は[[数論]]において広く用いられる。<br />
<br />
用語 "discriminant" はイギリス人数学者[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター|ジェイムズ・ジョセフ・シルヴェスター]] ({{Lang|en|James Joseph Sylvester}}) によって 1851 年に造り出された<ref>J. J. Sylvester (1851) "On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hyperdeterminants," ''Philosophical Magazine'', 4th series, '''2''' : 391-410; Sylvester coins the word "discriminant" on [http://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref>。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
<br />
根の言葉で、判別式は<br />
<br />
:<math>\Delta = a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2}\prod_{i \neq j}{(r_i-r_j)}<br />
</math><br />
<br />
によって与えられる、ただし <math>a_n</math> は最高次の係数であり <math>r_1, ..., r_n</math> は多項式の分解体における（[[重複度 (数学)|重複度]]を考慮した）根である。それは{{仮リンク|ファンデアモンド多項式|en|Vandermonde polynomial}}の平方掛ける <math>a_n^{2n-2}</math> である。<br />
<br />
判別式は根たちについて対称な関数であるから、多項式の係数たちの言葉で書くこともできる、なぜならば係数たちは根たちの{{仮リンク|基本対称多項式|en|elementary symmetric polynomial}}であるからだ。そのような公式は[[#多項式の判別式|下で]]与えられる。<br />
<br />
判別式を根によって表せば、その重要な性質、すなわちそれが 0 であることと重根が存在することが同値であること、が明白になるが、多項式を分解しなければ計算することができず、分解した後は判別式が提供する情報は冗長である（根がわかっていれば重複があるかどうかわかる）。したがって係数によって表された式によって根の性質が多項式を分解することなしに決定できる。<br />
<br />
==低次に対する公式==<br />
二次多項式<br />
:<math>\displaystyle ax^2+bx+c</math><br />
の判別式は<br />
:<math>\Delta=b^2-4ac\,</math><br />
である。<br />
<br />
三次多項式<br />
:<math>\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d</math><br />
の判別式は<br />
:<math>\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math><br />
である。<br />
<br />
四次多項式<br />
:<math>\displaystyle ax^4+bx^3+cx^2+dx+e</math><br />
の判別式は<br />
:<math>\Delta =256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e-27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e</math><br />
:<math>-80abc^2de+18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde-4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2</math><br />
である。<br />
<br />
これらはそれぞれ次数 2、4、6 の[[斉次多項式]]である。それらはまた根の斉次式でもあり、それぞれ次数 2、6、12 である。<br />
<br />
より単純な多項式はより単純な判別式の表示を持つ。例えば、[[単多項式|単]]二次多項式 ''x''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' は判別式 Δ = ''b''<sup>2</sup> − 4''c'' をもつ。<br />
<br />
二次の項がない単三次多項式 ''x''<sup>3</sup> + ''px'' + ''q'' は判別式 Δ = −4''p''<sup>3</sup> − 27''q''<sup>2</sup> をもつ。<br />
<br />
根の言葉では、これらの判別式はそれぞれ次数 2、6 の斉次多項式である。<br />
<br />
== 斉次性 ==<br />
判別式は係数たちの[[斉次多項式]]である。単多項式に対して、根たちの斉次多項式である。<br />
<br />
判別式は係数たちの次数 2''n''−2 の斉次式である。このことは 2 つの方法で確かめられる。根と最高次の係数による公式の言葉では、すべての係数を λ 倍しても根は変わらないが、最高次の係数が λ 倍される。(2''n''−1) ×(2''n''−1) 行列の行列式を ''a<sub>n</sub>'' で割ったものとしての式の言葉では、行列の行列式はその成分たちの次数 {{math|2''n'' &minus; 1}} の斉次式であり、''a<sub>n</sub>'' で割ることで次数が {{math|2''n'' &minus; 2}} になる。明示的には、係数を λ 倍すると行列のすべての成分が λ 倍され、したがって行列式は {{math|λ<sup>2''n''−1</sup>}} 倍される。<br />
<br />
単多項式に対して判別式は根たちだけの多項式であり（''a<sub>n</sub>'' の項は 1 なので）、根たちの ''n''(''n''−1) 次式である、なぜならば積には <math>\textstyle \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}</math> の項があり、それぞれ平方されるからである。<br />
<br />
多項式<br />
:<math> P=a_0x^n+a_1x_{n-1}+ \cdots +a_n</math><br />
を考えよう。上のことからその判別式は <math>a_i</math> の次数 2''n''−2 の斉次式であり、各 <math> a_i</math> がウェイト ''i'' を与えられていればウェイト ''n''(''n''−1) の{{仮リンク|quasi-homogeneous|en|quasi-homogeneous polynomial}}である。言い換えれば、判別式に現れるすべての[[単項式]] <math>a_0^{i_0}\cdots a_n^{i_n}</math> は 2 つの方程式<br />
:<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math><br />
と<br />
:<math>0\,i_0+1\,i_1+\cdots+n\,i_n=n(n-1)</math><br />
を満たす。これらはしたがって ''n''(''n''−1) のサイズ高々 ''n'' の 2''n''−2 の（非負の）パーツへの[[自然数の分割|分割]]に対応する。<br />
<br />
これは判別式の可能な項を制限する。二次多項式 <math> ax^2+bx+c</math> に対して、<math> [i_0,i_1,i_2]</math> に対して 2 つの可能性しかない、[1,0,1] かまたは [0,2,0] であり、2 つの単項式 ''ac'' と ''b''<sup>2</sup> を与える。三次多項式 <math> ax^3+bx^2+cx+ d</math> に対して、これらは 6 のサイズ高々 3 の 4 つのパーツへの分割である：<br />
:<math>\begin{align}<br />
a^2d^2 = aadd&: 0+0+3+3 &&& abcd&: 0+1+2+3 &&& ac^3 = accc&: 0+2+2+2 \\<br />
b^3d = bbbd&: 1+1+1+3 &&& b^2c^2=bbcc&: 1+1+2+2.<br />
\end{align}</math><br />
すべてのこれらの 5 つの単項式は判別式において実際に現れる。<br />
<br />
このアプローチは可能な項を与えるが、係数を決定しない。さらに、一般にはすべての可能な項が判別式に現れるわけではない。最初の例は四次多項式 <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e</math> に対してであり、このとき <math>(i_0, \ldots, i_4) = (0, 1, 4, 1, 0)</math> は <math>0 + 1 + 4 + 1 + 0 = 6</math> と <math>1\cdot 1 + 2\cdot 4 + 3\cdot 1 = 12</math> を満たすが、対応する判別式は単項式 <math>bc^4d</math> を含まない。<br />
<br />
== 二次方程式の解の公式 ==<br />
[[二次関数|二次多項式]] <math>\ p(x)= ax^2+bx+c</math> の判別式は<br />
:<math>\Delta = b^2-4ac \,</math><br />
であり、これは{{仮リンク|二次多項式の根の公式|en|quadratic formula}}のルート記号の中に入っている量である。実数 ''a'', ''b'', ''c'' に対して、次が成り立つ。<br />
<br />
* ''Δ'' > 0 のとき、''P''(''x'') は 2 つの相異なる実根<br />
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math><br />
をもち、そのグラフは ''x'' 軸と 2 回交差する。<br />
* ''Δ'' = 0 のとき、''P''(''x'') は 2 つの一致する実根<br />
:<math>x_1=x_2=-\frac{b}{2a}</math><br />
をもち、そのグラフは ''x'' 軸に接する。<br />
* ''Δ'' < 0 のとき、''P''(''x'') は実根をもたず、そのグラフは ''x'' 軸の真に上か下にある。多項式は 2 つの相異なる複素根<br />
:<math>z_{1,2}=\frac{-b \pm i \sqrt {-\Delta}}{2a}=\frac{-b \pm i \sqrt {4ac-b^2}}{2a}</math><br />
を持つ。<br />
<br />
二次式の判別式を理解する別の方法は「0 ⇔ 多項式が重根を持つ」という特徴づけを使うことである。このとき多項式は <math>(x-r)^2 = x^2-2rx+r^2</math> である。すると係数は <math>(-2r)^2=4(r^2)</math> を満たし従って <math>b^2=4c</math> であり、単二次式が重根を持つことと根が <math>r=-b/2</math> である場合であることは同値である。両項を片側に寄せ、leading 係数を含めると、<math>b^2-4ac</math> となる。<br />
<br />
== 多項式の判別式 ==<br />
係数の言葉による多項式の判別式の公式を見つけるには、[[終結式]]を導入するのが最も易しい。1 つの多項式の判別式が根の差の平方の積であるのとちょうどおなじように、2 つの多項式の終結式はそれらの根の差の積であり、判別式が消えるのと多項式が重根を持つのが同値なのとちょうど同じように、終結式が消えるのと 2 つの多項式が同じ根を持つのが同値である。<br />
<br />
多項式 <math>p(x)</math> が重根を持つことと導関数 <math>p'(x)</math> と根を共有することは同値であるから、判別式 <math>D(p)</math> と終結式 <math>R(p,p')</math> は両方消えるのと ''p'' が重根を持つのが同値であるという性質を持ち、それらはほとんど同じ次数を持つ（終結式の次数は判別式の次数より 1 大きい）、したがって次数 1 の因子を除いて等しい。<br />
<br />
終結式の利点はそれを[[行列式]]、すなわち (2''n''&nbsp;−&nbsp;1)×(2''n''&nbsp;−&nbsp;1) 行列の[[シルヴェスター行列]]の行列式として計算できることである。その最初の ''n''&nbsp;−&nbsp;1 行は ''p'' の係数を含み、最後の ''n'' 行はその導関数の係数を含む。<br />
<br />
一般の多項式<br />
:<math>p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0</math><br />
の終結式 <math>R(p,p')</math> は、因子を除いて、(2''n''&nbsp;−&nbsp;1)×(2''n''&nbsp;−&nbsp;1) シルヴェスター行列<br />
:<math>\left[\begin{matrix}<br />
& a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\<br />
& 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\<br />
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\<br />
& 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\<br />
& na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\<br />
& 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\<br />
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\<br />
& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & a_1 \\<br />
\end{matrix}\right]</math><br />
の行列式に等しい。<br />
<br />
<math>p(x)</math> の判別式 <math>D(p)</math> は今式<br />
:<math>D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,</math><br />
によって与えられる。<br />
<br />
例えば、''n'' = 4 の場合、上の行列式は<br />
<br />
:<math>\begin{vmatrix}<br />
& a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\<br />
& 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\<br />
& 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\<br />
& 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
& 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\<br />
& 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\<br />
& 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\<br />
\end{vmatrix}.</math><br />
<br />
次数 4 の多項式の判別式はすると <math>a_4</math> で割ることでこの行列式から得られる。<br />
<br />
根の言葉では、判別式は<br />
<br />
:<math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math><br />
<br />
に等しい、ただし ''r''<sub>1</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub> は多項式<br />
<br />
:<math>\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\<br />
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n)\end{matrix}</math><br />
<br />
の（[[重複度 (数学)|重複度]]を数えた）[[複素数|複素]]根である。<br />
<br />
2 番目の表現は ''p'' が重根を持つことと判別式が 0 であることが[[同値]]であることを明らかにする。（この重根は複素でもよい。）<br />
<br />
判別式は任意の[[可換体|体]]上の多項式に対して上と全く同じ方法で定義できる。根 ''r''<sub>''i''</sub> を含む積公式は有効なままである。根は多項式の[[分解体]]において取られなければならない。判別式は任意の[[可換環]]上の多項式に対してさえ定義できる。しかしながら、環が[[整域]]でなければ、<math>a_n</math> による終結式の上の割り算は行列の最初の列に 1 を <math>a_n</math> に代入することによって置き換えられなければならない。<br />
<br />
== 根の性質 ==<br />
判別式は単に重根があるかどうか以上に根の性質について追加の情報を与える： それはまた根が実か複素か、有理か無理かについての情報も与える。よりフォーマルには、それは次の情報を与える。根が多項式が定義されている体にあるかそれとも拡大体にあるか、したがって多項式が係数体上分解するかどうか。これは二次と三次の多項式に対して最も透明で容易に述べられる。次数 4 かそれより高い多項式に対してこれは述べるのがより難しい。<br />
<br />
===二次===<br />
{{仮リンク|二次多項式の根の公式|en|quadratic formula}}は二次多項式の根を判別式の''平方根''の言葉の有理関数として表すから、二次多項式の根が係数のと同じ体にあることと判別式が係数の体における平方であることは同値である： 言い換えると、多項式が係数の体上分解することと判別式が平方であることは同値である。<br />
<br />
実数が実平方根を持つことと非負であることは同値であり、これらの根が相異なることと正（0 でない）ことは同値であるから、判別式の符号によって実係数二次多項式の根の性質の完全な記述ができる：<br />
* Δ > 0： 2 つの相異なる実根： 実数上分解する；<br />
* Δ < 0： 2 つの相異なる虚根（複素共役）、実数上分解しない；<br />
* Δ = 0： 1 つの[[重複度 (数学)|重複度]] 2 の実根：実数上平方として分解する。<br />
さらに、有理係数の二次多項式に対して、有理数上分解することと判別式 - 多項式の係数が有理数だから有理数である - が実は平方であることが同値である。<br />
<br />
===三次===<br />
{{details|en:Cubic polynomial#The nature of the roots}}<br />
実係数の三次多項式に対して、判別式は根の性質を次のように反映する：<br />
* Δ > 0： 方程式は 3 つの相異なる実根を持つ；<br />
* Δ < 0， 方程式は 1 つの実根と 2 つの[[複素共役]]根を持つ；<br />
* Δ = 0： 少なくとも 2 つの根が一致し、根はすべて実である。<br />
*:方程式は 1 つの二重実根と別の異なる単実根を持つかもしれない； あるいは、すべての 3 つの根が一致し三重実根になる。<br />
<br />
三次多項式が三重根を持てば、それはその導関数と線型である二階導関数の根である。したがって、三次多項式が三重根を持つか持たないかを決めるには、二階導関数の根を計算しそれが三次式とその導関数の根であるかどうかを見ればよい。<br />
<br />
===高次===<br />
<br />
より一般に、実係数の次数 ''n'' の多項式に対して、<br />
* Δ > 0： <math>0 \leq k \leq \frac{n}{4}</math> なるある整数 ''k'' に対して、[[複素共役]]根の 2''k'' 個のペアと ''n''-4''k'' 個の実根があり、すべて異なる；<br />
* Δ < 0： <math>0 \leq k \leq \frac{n-2}{4}</math> なるある整数 ''k'' に対して、[[複素共役]]根の 2''k''+1 個のペアと ''n''-4''k''-2 個の実根があり、すべて異なる；<br />
* Δ = 0： 少なくとも 2 つの根が一致し、それは実かもしれないし実でない（このときそれらの複素共役も一致する）かもしれない。<br />
<br />
== 可換環上の多項式の判別式 ==<br />
終結式の言葉による多項式の判別式の定義は係数が任意の[[可換環]]に属しているような多項式に容易に拡張されるだろう。しかしながら、そのような環においては除法が常には定義されないから、判別式を leading 係数で割る代わりに、行列式の最初の列に 1 を leading coefficient に代入する。この一般化された判別式は[[代数幾何学]]において基本的な次の性質を持つ。<br />
<br />
''f'' を係数を可換環 ''A'' に持つ多項式とし、''D'' をその判別式とする。φ を ''A'' から体 ''K'' の中への[[環準同型]]とし、φ(''f'') を ''f'' の係数を φ によるそれらの像によって置き換えて得られる ''K'' 上の多項式とする。すると φ(''D'') = 0 であるのは ''f'' と φ(''f'') の次数の差が少なくとも 2 であるかまたは φ(''f'') が ''K'' の[[代数閉包]]において重根を持つとき、かつそのときに限る。1 つ目のケースは φ(''f'') が無限遠点で重根を持つと解釈できる。<br />
<br />
この性質が応用される典型的な状況は ''A'' が体 ''k'' 上の（一変数あるいは多変数）多項式環であり φ が ''A'' の不定元への ''k'' の[[体拡大]] ''K'' の元の代入であるときである。<br />
<br />
例えば、''f'' が実係数の ''X'' と ''Y'' の二変数多項式であって、''f'' = 0 は平面[[代数曲線]]の陰方程式であるとしよう。''f'' を係数が ''X'' に依る ''Y'' の一変数多項式と見ると、判別式は根が特異点、''Y'' 軸に平行な接線との点、''Y'' 軸に平行な漸近線のいくつか、の ''X'' 座標であるような、''X'' の多項式である。言い換えると ''Y''-判別式と ''X''-判別式の根の計算によって[[変曲点]]を除いて曲線のすべての注目すべき点を計算できる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
判別式の概念は一変数の多項式に加えて[[円錐曲線]]、[[二次形式]]、{{仮リンク|代数体の判別式|label=代数体|en|Discriminant of an algebraic number field}}を含む他の[[代数的構造]]に一般化されている。[[代数的整数論]]における判別式は密接に関係し、[[分岐 (数学)|分岐]]についての情報を含む。実は、分岐のより幾何的なタイプは判別式のより抽象的なタイプにも関係し、それによって多くの応用においてこれが中心的な代数的アイデアになる。<br />
<br />
=== 円錐曲線の判別式 ===<br />
実多項式<br />
:<math>Ax^2+ Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \,</math><br />
によって平面幾何において定義される[[円錐曲線]]に対して、判別式は<ref>{{citation<br />
|title=Math refresher for scientists and engineers<br />
|first1=John R.<br />
|last1=Fanchi<br />
|publisher=John Wiley and Sons<br />
|year=2006<br />
|isbn=0-471-75715-2<br />
|pages=44–45<br />
|url=http://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C}}, [http://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C&pg=PA45 Section 3.2, page 45]<br />
</ref><br />
<br />
:<math>B^2 - 4AC\,</math><br />
<br />
に等しく、円錐曲線の{{仮リンク|幾何学的形状|label=形|en|shape}}を決定する。判別式が 0 よりも小さければ、[[楕円]]か[[円]]の方程式である。判別式が 0 に等しければ、[[放物線]]の方程式である。判別式が 0 よりも大きければ、[[双曲線]]の方程式である。この公式は退化の場合（多項式が分解するとき）働かない。<br />
<br />
=== 二次形式の判別式 ===<br />
[[標数]] ≠ 2 の任意の[[可換体|体]] ''K'' 上の[[二次形式]] ''Q'' への substantive な一般化がある。標数 2 に対しては、対応する不変量は [[:en:Arf invariant|Arf invariant]] である。<br />
<br />
二次形式 ''Q'' が与えられると、'''判別式''' (discriminant) または'''行列式''' (determinant) は ''Q'' の[[対称行列]] ''S'' の行列式である<ref>{{cite book | first=J.W.S. | last=Cassels | authorlink=J. W. S. Cassels | title=Rational Quadratic Forms | series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>。<br />
<br />
行列 ''A'' による変数の変換は対称形式の行列を <math>A^TSA</math> によって変え、この行列式は <math>(\det A)^2\det S</math> なので、変数の変換の下で、判別式は 0 でない平方によって変化し、したがって判別式の類は ''K''/(''K''<sup>*</sup>)<sup>2</sup> において well-defined である、すなわち、0 でない平方を除いて定まる。[[:en:quadratic residue]] も参照。<br />
<br />
Less intrinsically, ヤコビによる定理によって、<math>K^n</math> 上の二次形式は、変数の線型変換の後、<br />
:<math>a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2</math><br />
として'''対角形式''' (diagonal form) において表現できる。より正確には、''V'' 上の二次形式は和<br />
:<math>\sum_{i=1}^n a_i L_i^2</math><br />
として表現できる、ここで ''L''<sub>''i''</sub> は独立な線型形式であり ''n'' は変数の数である（''a''<sub>''i''</sub> のいくつかは 0 でもよい）。すると判別式は ''a''<sub>''i''</sub> の積であり、これは ''K''/(''K''<sup>*</sup>)<sup>2</sup> における類として well-defined である。<br />
<br />
''K''='''R'''、実数体に対して、('''R'''<sup>*</sup>)<sup>2</sup> は正の実数全体であり（任意の正数は 0 でない数の平方である）、したがって商 '''R'''/('''R'''<sup>*</sup>)<sup>2</sup> は 3 つの元、正、0、負を持つ。これは{{仮リンク|符号 (二次形式)|label=符号|en|Signature (quadratic form)}} (''n''<sub>0</sub>,&nbsp;''n''<sub>+</sub>,&nbsp;''n''<sub>−</sub>) よりも粗い不変量である。ただし ''n''<sub>0</sub> は対角形式における 0 の数であり ''n''<sub>±</sub> は ±1 の数である。すると判別式は形式が退化 (<math>n_0 > 0</math>) であれば 0 であり、そうでなければ負の係数の数のパリティである、<math>(-1)^{n_-}.</math><br />
<br />
''K''='''C'''、複素数体に対して、('''C'''<sup>*</sup>)<sup>2</sup> は 0 でない複素数であり（任意の複素数は平方である）、したがって商 '''C'''/('''C'''<sup>*</sup>)<sup>2</sup> は 2 つの元、非零と零からなる。<br />
<br />
この定義は二次多項式の判別式に一般化する。多項式 <math>ax^2+bx+c</math> を斉次化すると二次形式 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> になりこれは対称行列<br />
: <math><br />
\begin{bmatrix}<br />
a & b/2 \\<br />
b/2 & c<br />
\end{bmatrix}<br />
</math><br />
をもちこの行列式は <math>ac-(b/2)^2=ac-b^2/4 </math> である。−4 の因子を除いてこれは <math>b^2-4ac </math> である。<br />
<br />
実形式の判別式の類の不変量（正、0、負）は対応する円錐曲線楕円、放物線、双曲線に対応する。<br />
<br />
===代数体の判別式===<br />
{{main|{{仮リンク|代数体の判別式|en|Discriminant of an algebraic number field}}}}<br />
<br />
==交代多項式==<br />
{{main|{{仮リンク|交代多項式|en|Alternating polynomials}}}}<br />
{{Expand section|date=December 2008}}<br />
判別式は根たちの[[対称多項式]]である。その平方根（各冪の半分：{{仮リンク|ファンデアモンド多項式|en|Vandermonde polynomial}}）を ''n'' 変数の対称多項式の環 <math>\Lambda_n</math> に添加すれば、{{仮リンク|交代多項式|en|alternating polynomials}}の環を得、これはしたがって <math>\Lambda_n</math> の二次拡大である。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html Mathworld article]<br />
*[http://planetmath.org/discriminant Planetmath article]<br />
<br />
<br />
<!-- paying only -- *[http://www.jstor.org/stable/3619560 The geometry of the discriminant of a polynomial (1996)]--><br />
<br />
{{DEFAULTSORT:はんへつしき}}<br />
[[Category:多項式]]<br />
[[Category:円錐曲線]]<br />
[[Category:二次形式]]<br />
[[Category:行列式]]<br />
[[Category:代数的整数論]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
124.110.98.50
次亜ヨウ素酸
2017-10-14T00:05:17Z
<p>124.110.98.50: 不自然な読点の修正</p>
<hr />
<div>{{Chembox<br />
| 出典 =<br />
| 画像ファイル = Hypoiodous-acid-CPK.png<br />
| 画像サイズ = 250px<br />
| IUPAC名 = 次亜ヨウ素酸{{br}}Hypoiodous acid<br />
| 別称 = <br />
| Section1 = <br />
{{Chembox Identifiers<br />
| CAS番号 = <br />
| PubChem =<br />
| SMILES = <br />
}}<br />
| Section2 = {{Chembox Properties<br />
| 化学式 = HIO<br />
| モル質量 = 143.982[[グラム毎モル|g/mol]]<br />
| 外観 = <br />
| 密度 = <br />
| 融点 = <br />
| 沸点 = <br />
| 溶解度 = <br />
}}<br />
| Section3 = {{Chembox Hazards<br />
| 主な危険性 = <br />
| 引火点 = <br />
| 発火点 = <br />
}}<br />
}}<br />
'''次亜ヨウ素酸'''（じあヨウそさん、{{Lang-en-short|Hypoiodous acid}}）は[[ヨウ素]]の[[オキソ酸]]の一種（次亜ハロゲン酸の一種）で、[[化学式]] '''HIO''' で表されるが、水素原子とヨウ素原子が酸素原子と結合している、<ce>H-O-I</ce> という構造をしている。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
[[遊離酸]]は単離できない。[[水溶液]]は[[弱酸]]性。<br />
<br />
[[ヨウ素]]を水に溶かしたとき、[[化学平衡|平衡]]により一部が[[ヨウ化水素]]と次亜ヨウ素酸となる。<br />
: <ce> I2\ + H_2O \ \overrightarrow\longleftarrow \ HI\ + HIO</ce><br />
また、徐々に分解し、ヨウ素酸となる。<br />
: <ce>5HIO -> HIO3\ + 2I2\ + 2H2O</ce><br />
<br />
==関連項目==<br />
*[[次亜臭素酸]]<br />
*[[次亜塩素酸]]<br />
*[[次亜フッ素酸]]<br />
<br />
{{水素の化合物}}<br />
{{ヨウ素の化合物}}<br />
{{DEFAULTSORT:しあようそさん}}<br />
[[Category:無機化合物]]<br />
[[Category:ヨウ素の化合物]]<br />
[[Category:オキソ酸]]</div>
124.110.98.50
ヘキサフルオロ白金酸キセノン
2017-07-16T04:43:50Z
<p>124.110.98.50: /* 合成の経緯 */</p>
<hr />
<div>'''ヘキサフルオロ白金酸キセノン'''（ヘキサフルオロはっきんさんキセノン、''xenon hexafluoroplatinate''）は世界で初めて作られた[[希ガス化合物]]である。<br />
[[分子式]]は [[キセノン|Xe]][[白金|Pt]][[フッ素|F<sub>6</sub>]] である。<br />
<br />
[[希ガス]]は他の[[元素]]と[[化合]]しないと思われていたが、キセノンに[[化合物]]を作ることが分かり、[[1962年]]5月に[[カナダ]]の[[ブリティッシュコロンビア大学]]のネイル・バートレットとD.H.ローマンによって発見された。<br />
<br />
単体は黄色の[[固体]]である。<br />
<br />
== 合成の経緯 ==<br />
バートレットは、1962年に[[六フッ化白金]](PtF<sub>6</sub>)と[[酸素]][[分子]](O<sub>2</sub>)を化合させて赤色の固体[[六フッ化白金|ヘキサフルオロ白金酸]][[ジオキシゲニル]](<ce>O2^+[PtF6]^-</ce>) を発見した。彼はこの反応から類推し、O<sub>2</sub> (12.2[[電子ボルト|eV]]) とほぼ同じ[[イオン化エネルギー]]を持つキセノン (12.13eV) を[[酸化]]できるのではと考え、成功させた。<br />
<br />
== 生成機構 ==<br />
六フッ化白金ではフッ素の[[有機電子論|電子求引性]]により、白金が極度の電子欠乏状態になる（[[ルイス酸]]化）。これがキセノンの最外殻電子を攻撃して生成する。<br />
<br />
上述の合成はこの二つの物質を反応させることによる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[キセノン#化合物]]<br />
*[[フッ素]]<br />
*[[白金]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
*[http://www.chemistry.org/portal/a/c/s/1/acsdisplay.html?DOC=HomeMolecule%5Carchive%5Cmotw_xenonhexafluoroplatinate_arch.html# Xenon hexafluoroplatinate]<br />
<br />
{{キセノンの化合物}}<br />
{{希ガス化合物}}<br />
{{Chem-stub}}<br />
{{DEFAULTSORT:へきさふるおろはつきんさんきせのん}}<br />
[[Category:無機化合物]]<br />
[[Category:キセノンの化合物]]<br />
[[Category:フッ化物]]<br />
[[Category:白金の化合物]]<br />
[[Category:配位化合物]]</div>
124.110.98.50
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