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http:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=1.114.8.134&feedformat=atom 2024-05-01T09:03:59Z 利用者の投稿記録 MediaWiki 1.31.0 2017-06-14T20:02:34Z

<p>1.114.8.134: /* 参考文献 */</p> <hr /> <div>[[File:Category SVG.svg|right|thumb|&#039;&#039;A&#039;&#039;, &#039;&#039;B&#039;&#039;, &#039;&#039;C&#039;&#039; を対象とし、1&lt;sub&gt;&#039;&#039;A&#039;&#039;&lt;/sub&gt;, 1&lt;sub&gt;&#039;&#039;B&#039;&#039;&lt;/sub&gt;, 1&lt;sub&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;/sub&gt;, &#039;&#039;f&#039;&#039;, &#039;&#039;g&#039;&#039;, &#039;&#039;g&#039;&#039;&amp;sdot;&#039;&#039;f&#039;&#039; を射とする圏]]<br /> [[数学]]の一分野である[[圏論]]において中核的な概念を成す&#039;&#039;&#039;圏&#039;&#039;&#039;（けん、{{lang-en-short|&#039;&#039;category&#039;&#039;}}）は、[[数学的構造]]を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす&#039;&#039;&#039;対象&#039;&#039;&#039;とそれらの間の関係を表す&#039;&#039;&#039;[[射 (圏論)|射]]&#039;&#039;&#039;の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、[[群 (数学)|群]]に類似した[[代数的構造]]として理解することができる<br /> <br /> 二つの圏が&#039;&#039;&#039;等しい&#039;&#039;&#039;（相等）とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩い{{仮リンク|圏同型|en|Isomorphism of categories}}でさえ強すぎる）、[[圏同値]]がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において[[等式]]で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。<br /> <br /> 圏論が初めて現れるのは [[サミュエル・アイレンバーグ|Eilenberg]]&amp;ndash;[[ソーンダース・マックレーン|Mac Lane]], &quot;General Theory of Natural Equivalences&quot; (1945) と題された論文である&lt;ref&gt;S. Eilenberg and S. Mac Lane &quot;General Theory of Natural Equivalences&quot;, Transactions of The American Mathematical Society 01/1945; 58(2):231-231. DOI: 10.2307/1990284&lt;/ref&gt;。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの &#039;&#039;{{仮リンク|Categories for the Working Mathematician|en|Categories for the Working Mathematician}}&#039;&#039;{{efn|和訳: 三好博之訳『圏論の基礎』丸善出版}}がある。<br /> {{Group-like structures}}<br /> <br /> == 定義 ==<br /> 圏の定義にはいくつか同値なものが存在する{{sfn|Barr|Wells|2005|loc=Chapter 1}}が、よく用いられるものの一つを以下に示す。<br /> &#039;&#039;&#039;圏&#039;&#039;&#039; {{mvar|C}} は以下のものからなる:<br /> * &#039;&#039;&#039;[[対象 (圏論)|対象]]&#039;&#039;&#039;の[[類 (数学)|類]] {{math|ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}}<br /> * 対象の間の&#039;&#039;&#039;[[射 (圏論)|射]]&#039;&#039;&#039;の類 {{math|hom(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}}<br /> ** 各射 {{math|&#039;&#039;f&#039;&#039; &amp;isin; hom(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} には[[始域]]と呼ばれる対象 {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039; &amp;isin; Ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} および[[終域]]と呼ばれる対象 {{math|&#039;&#039;b&#039;&#039; &amp;isin; ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} が付随して、&quot;{{mvar|f}} は {{mvar|a}} から {{mvar|b}} への射である&quot; と言い、{{math|&#039;&#039;f&#039;&#039;: &#039;&#039;a&#039;&#039; → &#039;&#039;b&#039;&#039;}} と書き表す。<br /> ** {{mvar|a}} から {{mvar|b}} への&#039;&#039;&#039;射の類&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;hom-class&#039;&#039;; ホム類) {{math|hom(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} は {{mvar|a}} から {{mvar|b}} への射全体の成す類を言う。<br /> このとき、任意の三対象 {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;, &#039;&#039;c&#039;&#039; &amp;isin; ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} に対し、&#039;&#039;&#039;射の合成&#039;&#039;&#039;と呼ばれる[[二項演算]] {{math|hom(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;) × hom(&#039;&#039;b&#039;&#039;, &#039;&#039;c&#039;&#039;) → hom(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;c&#039;&#039;); (&#039;&#039;f&#039;&#039;, &#039;&#039;g&#039;&#039;) {{mapsto}} &#039;&#039;g&#039;&#039; ∘ &#039;&#039;f&#039;&#039;}} が存在して以下の公理を満足する:<br /> * [[結合律]]: {{math|&#039;&#039;f&#039;&#039;: &#039;&#039;a&#039;&#039; → &#039;&#039;b&#039;&#039;}}, {{math|&#039;&#039;g&#039;&#039;: &#039;&#039;b&#039;&#039; → &#039;&#039;c&#039;&#039;}}, {{math|&#039;&#039;h&#039;&#039;: &#039;&#039;c&#039;&#039; → &#039;&#039;d&#039;&#039;}} ならば {{math|1=&#039;&#039;h&#039;&#039; ∘ (&#039;&#039;g&#039;&#039; ∘ &#039;&#039;f&#039;&#039;) = (&#039;&#039;h&#039;&#039; ∘ &#039;&#039;g&#039;&#039;) ∘ &#039;&#039;f&#039;&#039;}} が成り立つ。<br /> * 単位律: 各対象 {{math|&#039;&#039;x&#039;&#039; &amp;isin; ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} に対して {{mvar|x}} の&#039;&#039;&#039;恒等射&#039;&#039;&#039;と呼ばれる自己射 {{math|1=id{{sub|&#039;&#039;x&#039;&#039;}} = 1{{sub|&#039;&#039;x&#039;&#039;}}: &#039;&#039;x&#039;&#039; → &#039;&#039;x&#039;&#039;}} が存在して、任意の射 {{math|&#039;&#039;f&#039;&#039;: &#039;&#039;a&#039;&#039; → &#039;&#039;x&#039;&#039;}} および {{math|&#039;&#039;g&#039;&#039;: &#039;&#039;x&#039;&#039; → &#039;&#039;b&#039;&#039;}} に対して {{math|1=1&lt;sub&gt;&#039;&#039;x&#039;&#039;&lt;/sub&gt; ∘ &#039;&#039;f&#039;&#039; = &#039;&#039;f&#039;&#039; and &#039;&#039;g&#039;&#039; ∘ 1&lt;sub&gt;&#039;&#039;x&#039;&#039;&lt;/sub&gt; = &#039;&#039;g&#039;&#039;}} を満たす。<br /> <br /> これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。文献によっては各対象を対応する恒等射と同一視して、対象の存在を陽に仮定しない定義を採用するものもある。<br /> <br /> ; 記法についての注意<br /> :* 一般の圏を表すのに、しばしばラテン大文字の太字 {{math|&#039;&#039;&#039;C&#039;&#039;&#039;, &#039;&#039;&#039;D&#039;&#039;&#039;, …}} や、ラテン大文字のカリグラフ体 {{mvar|{{unicode|𝒞}}, {{unicode|𝒟}}, ℰ, …}} などが用いられる。特定の圏は、その対象を表す単語（の省略形）を用いて同様の仕方であらわす。例えば[[集合の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Set&#039;&#039;&#039;, &#039;&#039;{{unicode|𝒮ℯ𝓉}}&#039;&#039;}} や[[体の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Field&#039;&#039;&#039;, &#039;&#039;ℱ{{unicode|𝒾ℯ𝓁𝒹}}&#039;&#039;}} [[位相空間の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Top&#039;&#039;&#039;, &#039;&#039;{{unicode|𝒯}}ℴ{{unicode|𝓅}}&#039;&#039;}}, 束の圏 {{math|&#039;&#039;&#039;Bdl&#039;&#039;&#039;, &#039;&#039;ℬ{{unicode|𝒹𝓁}}&#039;&#039;}} のような具合である。<br /> :* 圏 {{mvar|C}} の射の類 {{math|hom(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} は {{math|mor(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} や {{math|arr(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} などとも書く。同様に対象 {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039; &amp;isin; ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} に対する射の類も {{math|mor(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} や {{math|arr(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} などとも書かれる。どの圏で射を考えているか紛らわしいときには、{{math|hom{{sub|&#039;&#039;C&#039;&#039;}}(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} や {{math|mor{{sub|&#039;&#039;C&#039;&#039;}}(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} のように圏を明示することもできる。より簡便な記法では、圏 {{mvar|C}} の対象の類を {{math|{{abs|&#039;&#039;C&#039;&#039;}}}} で表し、射の類を[[記号の濫用]]だが {{mvar|C}} で表す（この場合 {{mvar|a}} から {{mvar|b}} への射の類は単に {{math|&#039;&#039;C&#039;&#039;(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} と書く）。<br /> :* 射の合成を {{math|&#039;&#039;g&#039;&#039; ∘ &#039;&#039;f&#039;&#039;}} で（あるいは単に併置 {{mvar|gf}} で）表すのは[[写像]]とその[[写像の合成|合成]]の慣習に合わせたものだが、文献によっては「図式順」で {{math|&#039;&#039;f&#039;&#039;;&#039;&#039;g&#039;&#039;}} や {{mvar|fg}} と書くものもある{{efn|この目的でz記法の太いセミコロン {{math|{{unicode|&amp;#x2A1F;}}}} (U+2A1F) が用意されている}}。<br /> <br /> ; 圏の大きさ{{anchors|圏の大きさ|大きい|小さい|大きい圏|小さい圏|局所的に小さい圏}}<br /> : 圏 {{mvar|C}} が&#039;&#039;&#039;小さい&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;small&#039;&#039;) とは、対象の類 {{math|ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} および射の類 {{math|hom(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} がともに[[集合]]となる（つまり[[類 (数学)|真の類]]でない）ときに言い、さもなくば&#039;&#039;&#039;大きい&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;large&#039;&#039;) と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039; &amp;isin; ob(&#039;&#039;C&#039;&#039;)}} をとるごとに、射の類 {{math|hom(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} が集合となるならば（{{math|hom(&#039;&#039;a&#039;&#039;, &#039;&#039;b&#039;&#039;)}} を&#039;&#039;&#039;射集合&#039;&#039;&#039;、ホム集合などと呼び）、その圏は&#039;&#039;&#039;局所的に小さい&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;locally small&#039;&#039;) と言う{{sfn|Awodey|2006|loc=Definition 1.12}}。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。<br /> <br /> 文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある{{sfn|Weibel|1994|loc=Definition A.1.1}}{{sfn|Borceux|1994|loc=Definition 1.2.1}}。<br /> <br /> == 例 ==<br /> 以下は圏の例である。{{harvtxt|Borceux|1994|loc=Examples 1.2.5, Examples 1.2.6}}参照。<br /> * Etale&lt;sub&gt;&#039;&#039;K&#039;&#039;&lt;/sub&gt; - [[可換体|体]] &#039;&#039;K&#039;&#039; 上の[[エタール代数]]を対象とし、[[多元環|&#039;&#039;K&#039;&#039;-代数]]としての準同型を射とする。<br /> * {{仮リンク|コボルディズム|en|cobordism}}: {{仮リンク|ボルディズム|en|bordism}} の双対であるコボルディズムは圏と見なせる。<br /> <br /> {| class=&quot;wikitable&quot;<br /> ! width=&quot;1em&quot; | 分類<br /> ! 圏と記号 !! 対象の類 !! 射の類 !! 合成 !! 大きさ !! 備考<br /> |-<br /> ! rowspan=&quot;20&quot; width=&quot;1em&quot; | 具体圏<br /> || [[集合の圏]] &#039;&#039;&#039;Set&#039;&#039;&#039; || 全ての[[集合]] || 全ての[[写像]]<br /> | rowspan=&quot;20&quot; | [[写像の合成]]<br /> | rowspan=&quot;20&quot; | 大きい<br /> |-<br /> | [[マグマの圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Mag&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[マグマ (代数学)|マグマ]] || 全てのマグマ準同型<br /> |-<br /> | 半群の圏 {{math|&#039;&#039;&#039;SemiGrp&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[半群]] || 全ての半群準同型 <br /> |-<br /> | [[モノイドの圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Mon&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[モノイド]] || 全てのモノイド準同型<br /> |-<br /> | [[群の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Grp&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[群 (数学)|群]]<br /> | rowspan=&quot;2&quot; | 全ての[[群準同型]]<br /> |-<br /> | [[アーベル群の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Ab&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[アーベル群]] || 群の圏の充満部分圏&lt;br /&gt;{{math|&#039;&#039;&#039;Z&#039;&#039;&#039;}}-加群の圏と同じもの<br /> |-<br /> | [[擬環の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Rng&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[擬環]] || 全ての擬環準同型<br /> |-<br /> | [[環の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Ring&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[単位的環]] || 全ての単位的[[環準同型]]<br /> |-<br /> | [[加群の圏]] {{math|{{mvar|R}}-&#039;&#039;&#039;Mod&#039;&#039;&#039;}} || 全ての{{mvar|R}}-[[環上の加群|加群]] || 全ての{{mvar|R}}-[[加群準同型]] || {{mvar|R}} は任意に固定した[[環 (数学)|環]]&lt;br /&gt;非可換環なら左/右/両側加群の圏を考え得る<br /> |-<br /> | [[ベクトル空間の圏]] {{math|{{mvar|K}}-&#039;&#039;&#039;Vect&#039;&#039;&#039;}} || 全ての {{mvar|K}}-ベクトル空間 || 全ての {{mvar|K}}-[[線型写像]] || {{mvar|K}} は任意に固定した[[可換体]]&lt;br /&gt;{{mvar|K}}-加群の圏と同じもの<br /> |-<br /> | 表現の圏 {{math|{{mvar|G}}-&#039;&#039;&#039;Mod&#039;&#039;&#039;}} || 全ての {{mvar|G}}-アーベル群 || 全ての {{mvar|G}}-{{仮リンク|同変写像|en|equivariant map}} || {{mvar|G}} は固定した[[群 (数学)|群]]&lt;br /&gt;[[群環|{{math|&#039;&#039;&#039;Z&#039;&#039;&#039;[&#039;&#039;G&#039;&#039;]}}]]-加群の圏と同じもの<br /> |-<br /> | 線型表現の圏 {{math|{{mvar|G}}-&#039;&#039;&#039;Vect&#039;&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;K&#039;&#039;}}}} || 全ての ({{mvar|K}}-係数) {{mvar|G}}-線型空間 || 全ての {{mvar|G}}-同変線型写像 || {{mvar|G}} は固定した[[群 (数学)|群]]&lt;br /&gt;[[群環|{{math|&#039;&#039;&#039;K&#039;&#039;&#039;[&#039;&#039;G&#039;&#039;]}}]]-加群の圏と同じもの<br /> |-<br /> | 射影表現の圏 {{math|{{mvar|G}}-&#039;&#039;&#039;Proj&#039;&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;K&#039;&#039;}}}} || 全ての ({{mvar|K}}-係数) {{mvar|G}}-射影空間 || 全ての {{mvar|G}}-同変射影変換 || {{mvar|G}} は固定した[[群 (数学)|群]]<br /> |-<br /> | [[多元環の圏]] {{math|&#039;&#039;K&#039;&#039;-&#039;&#039;&#039;Alg&#039;&#039;&#039;}} || 全ての {{mvar|K}}-多元環 || 全ての {{mvar|K}}-多元環準同型 || {{mvar|K}} は固定した可換環または可換体&lt;br /&gt;[[結合多元環]]の圏は[[分配多元環]]の圏の充満部分圏&lt;br /&gt;可換多元環の圏は（可換とは限らない）多元環の圏の充満部分圏<br /> |-<br /> | [[位相空間の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Top&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[位相空間]] || 全ての[[連続写像]]<br /> |-<br /> | [[一様空間の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Uni&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[一様空間]] || 全ての[[一様連続|一様連続写像]]<br /> |-<br /> | [[距離空間の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Met&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[距離空間]] || 全ての[[縮小写像]] || 射は別の種類の写像を考え得る<br /> |-<br /> | [[多様体の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Man&#039;&#039;&#039;&lt;sup&gt;&#039;&#039;p&#039;&#039;&lt;/sup&gt;}} || 全ての {{mvar|C{{exp|p}}}}-級多様体 || 全ての {{mvar|C{{exp|p}}}}-級写像<br /> |-<br /> | ファイバー束の圏 {{math|&#039;&#039;&#039;Bdl&#039;&#039;&#039;}} || 全ての[[ファイバー束]] || 全ての[[束写像]]<br /> |-<br /> | [[前順序集合の圏]] &#039;&#039;&#039;Ord&#039;&#039;&#039; || 全ての前順序集合 || 全ての[[単調写像]]<br /> |-<br /> | || [[関係の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Rel&#039;&#039;&#039;}} || 全ての集合 || 全ての[[二項関係]] || [[関係の合成]] || 大きい || 具体圏同様に対象を制限して様々な部分圏を考え得る<br /> |-<br /> ! rowspan=&quot;2&quot; width=&quot;1em&quot; | 離散圏<br /> | {{仮リンク|離散圏|en|discrete category}} {{mvar|C}} || 類 {{mvar|C}} (任意)<br /> | rowspan=&quot;2&quot; | 恒等射のみ<br /> | rowspan=&quot;2&quot; |<br /> | 場合による<br /> |-<br /> | {{mvar|I}} 上の離散圏 {{mvar|I}} || 集合 {{mvar|I}} || 小さい<br /> |-<br /> | rowspan=&quot;2&quot; |<br /> | {{仮リンク|前順序集合|en|Preorder}} {{math|(&#039;&#039;P&#039;&#039;, ≤)}} <br /> | rowspan=&quot;1&quot; | 集合 {{mvar|P}} <br /> | rowspan=&quot;1&quot; | {{math|Hom(&#039;&#039;x&#039;&#039;, &#039;&#039;y&#039;&#039;) {{coloneqq}} {{mset|1= &#039;&#039;x&#039;&#039; → &#039;&#039;y&#039;&#039;}} (if &#039;&#039;x&#039;&#039; ≤ &#039;&#039;y&#039;&#039;)}},&lt;br /&gt; {{math|Hom(&#039;&#039;x&#039;&#039;, &#039;&#039;y&#039;&#039;) {{coloneqq}} &amp;empty; (otherwise)}} <br /> | rowspan=&quot;2&quot; | [[推移律]] <br /> | rowspan=&quot;2&quot; | 小さい<br /> | [[反射律]]は射の単位律に相当&lt;br /&gt;[[半順序]], [[全順序集合]], [[順序数]]などでも同じ<br /> |-<br /> | [[同値関係]] {{mvar|R}} を持つ集合 {{math|(&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;R&#039;&#039;)}} || 集合 {{mvar|X}} || {{math|Hom(&#039;&#039;x&#039;&#039;, &#039;&#039;y&#039;&#039;) {{coloneqq}} {{mset|1= &#039;&#039;x&#039;&#039; → &#039;&#039;y&#039;&#039;}} (if &#039;&#039;x&amp;thinsp;R&amp;thinsp;y&#039;&#039;)}},&lt;br /&gt; {{math|Hom(&#039;&#039;x&#039;&#039;, &#039;&#039;y&#039;&#039;) {{coloneqq}} &amp;empty; (otherwise)}} || {{mvar|R}} は {{mvar|X}} 上の固定した同値関係<br /> |-<br /> ! rowspan=&quot;3&quot; width=&quot;1em&quot; | 単対象圏<br /> | [[モノイド]] {{mvar|M}} <br /> | rowspan=&quot;3&quot; | * (任意)<br /> | {{mvar|M}}<br /> | rowspan=&quot;3&quot; | 与えられた演算<br /> | rowspan=&quot;3&quot; | 小さい<br /> |-<br /> | [[群 (数学)|群]] {{mvar|G}}<br /> | rowspan=&quot;2&quot; | {{mvar|G}}<br /> |-<br /> | {{仮リンク|亜群|en|groupoid}} {{mvar|G}}<br /> | 任意の射が同型射<br /> |-<br /> | || [[有向グラフ]] {{math|(&#039;&#039;V&#039;&#039;, &#039;&#039;E&#039;&#039;)}} || {{mvar|V}} || {{mvar|E}}（ループがあってもよい）|| 路の連接 || 小さい || {{仮リンク|自由圏|en|free category}}と同一視できる&lt;br /&gt;[[箙 (数学)|箙]]も参照<br /> |-<br /> ! 2-圏<br /> | [[小さい圏の圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Cat&#039;&#039;&#039;}} || 全ての小さい圏 || すべての[[函手]] || 函手の合成 || 大きい || [[自然変換]]も考えると{{仮リンク|2-圏|en|2-category}}の例となる<br /> |-<br /> | || [[函手圏]] {{math|&#039;&#039;&#039;Func&#039;&#039;&#039;(&#039;&#039;&#039;A&#039;&#039;&#039;, &#039;&#039;&#039;B&#039;&#039;&#039;)}} || 圏 {{math|&#039;&#039;&#039;A&#039;&#039;&#039;, &#039;&#039;&#039;B&#039;&#039;&#039;}} 間のすべての函手 || 函手間のすべての[[自然変換]] || 自然変換の垂直合成 || 大きい<br /> |-<br /> ! 擬圏<br /> | 圏の圏 {{math|&#039;&#039;&#039;CAT&#039;&#039;&#039;}} || 全ての圏 || 全ての函手 || 函手の合成 || 非常に大きい || 実際には圏ではない<br /> |}<br /> <br /> == 諸定義 ==<br /> 以下では特に断らない限り &#039;&#039;C&#039;&#039; を圏、&#039;&#039;X&#039;&#039; や &#039;&#039;Y&#039;&#039; をその対象、その間の射を &#039;&#039;ƒ&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; とする。{{harvtxt|Weibel|1994|loc=A.1 Categories}}参照。<br /> ; 圏の構成法<br /> * [[双対圏]] &#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt; - obj(&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt;) = obj(&#039;&#039;C&#039;&#039;), Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039;) = Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;Y&#039;&#039;, &#039;&#039;X&#039;&#039;) である圏 &#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt;<br /> * [[部分圏]] &#039;&#039;D&#039;&#039; - obj(&#039;&#039;D&#039;&#039;) &amp;sub; obj(&#039;&#039;C&#039;&#039;) であって、任意の対象 &#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039; &amp;isin; &#039;&#039;D&#039;&#039; に対して Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;D&#039;&#039;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039;) &amp;sub; Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039;) となる圏 &#039;&#039;D&#039;&#039;<br /> * [[充満部分圏]] &#039;&#039;D&#039;&#039; - 圏 &#039;&#039;C&#039;&#039; の部分圏であって、任意の対象 &#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039; &amp;isin; &#039;&#039;D&#039;&#039; に対して Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;D&#039;&#039;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039;) = Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039;) となる圏 &#039;&#039;D&#039;&#039;<br /> ; 対象の種類<br /> * [[始対象]] &#039;&#039;I&#039;&#039; - 任意の対象 &#039;&#039;Y&#039;&#039; に対して #Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;I&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039;) = 1 である対象 &#039;&#039;I&#039;&#039;<br /> * [[終対象]] &#039;&#039;T&#039;&#039; - 任意の対象 &#039;&#039;X&#039;&#039; に対して #Hom&lt;sub&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;/sub&gt;(&#039;&#039;X&#039;&#039;, &#039;&#039;T&#039;&#039;) = 1 である対象 &#039;&#039;T&#039;&#039;<br /> * [[零対象]] 0 - 始対象かつ終対象である対象0<br /> ; 射の種類<br /> * [[単射 (圏論)|単射]] &#039;&#039;ƒ&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; - 任意の対象 &#039;&#039;Z&#039;&#039; と射 &#039;&#039;g&#039;&#039;, &#039;&#039;h&#039;&#039; : &#039;&#039;Z&#039;&#039; → &#039;&#039;X&#039;&#039; に対して &#039;&#039;g&#039;&#039; ≠ &#039;&#039;h&#039;&#039; ⇒ &#039;&#039;ƒg&#039;&#039; ≠ &#039;&#039;ƒh&#039;&#039; である射 &#039;&#039;ƒ&#039;&#039;<br /> * [[全射 (圏論)|全射]] &#039;&#039;ƒ&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; - 任意の対象 &#039;&#039;Z&#039;&#039; と射 &#039;&#039;g&#039;&#039;, &#039;&#039;h&#039;&#039; : &#039;&#039;Y&#039;&#039; → &#039;&#039;Z&#039;&#039; に対して &#039;&#039;g&#039;&#039; ≠ &#039;&#039;h&#039;&#039; ⇒ &#039;&#039;gƒ&#039;&#039; ≠ &#039;&#039;hƒ&#039;&#039; である射 &#039;&#039;ƒ&#039;&#039;<br /> * 全単射 &#039;&#039;ƒ&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; - 単射かつ全射である射 &#039;&#039;ƒ&#039;&#039;<br /> * [[同型射]] &#039;&#039;ƒ&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; - &#039;&#039;gƒ&#039;&#039; = id&lt;sub&gt;&#039;&#039;X&#039;&#039;&lt;/sub&gt; かつ &#039;&#039;ƒg&#039;&#039; = id&lt;sub&gt;&#039;&#039;Y&#039;&#039;&lt;/sub&gt; となる射 &#039;&#039;g&#039;&#039; : &#039;&#039;Y&#039;&#039; → &#039;&#039;X&#039;&#039; がある射 &#039;&#039;ƒ&#039;&#039;<br /> * [[逆射]] &#039;&#039;ƒ&#039;&#039;&lt;sup&gt;&amp;minus;1&lt;/sup&gt; : &#039;&#039;Y&#039;&#039; → &#039;&#039;X&#039;&#039; - 同型射の定義における射 &#039;&#039;g&#039;&#039;<br /> : 以下では圏 &#039;&#039;C&#039;&#039; は零対象0をもつとする。<br /> * [[零射]] 0 : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; - 射 &#039;&#039;X&#039;&#039; → 0 と &#039;&#039;0&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; の合成<br /> * [[核 (圏論)|核]] &#039;&#039;i&#039;&#039; : &#039;&#039;W&#039;&#039; → &#039;&#039;X&#039;&#039; - より正確には、射 &#039;&#039;f&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; の核とは &#039;&#039;ƒi&#039;&#039; = 0 であって、&#039;&#039;ƒu&#039;&#039; = 0 を満たす任意の射 &#039;&#039;u&#039;&#039; : &#039;&#039;U&#039;&#039; → &#039;&#039;X&#039;&#039; に対して &#039;&#039;u&#039;&#039; = &#039;&#039;i v&#039;&#039; となる射 &#039;&#039;v&#039;&#039; : &#039;&#039;U&#039;&#039; → &#039;&#039;W&#039;&#039; が一意に存在する射 &#039;&#039;i&#039;&#039;<br /> * [[余核 (圏論)|余核]] &#039;&#039;p&#039;&#039; : &#039;&#039;Y&#039;&#039; → &#039;&#039;Z&#039;&#039; - より正確には、射 &#039;&#039;f&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; の余核とは &#039;&#039;pƒ&#039;&#039; = 0 であって、&#039;&#039;uƒ&#039;&#039; = 0 を満たす任意の射 &#039;&#039;u&#039;&#039; : &#039;&#039;Y&#039;&#039; → &#039;&#039;U&#039;&#039; に対して &#039;&#039;u&#039;&#039; = &#039;&#039;v p&#039;&#039; となる射 &#039;&#039;v&#039;&#039; : &#039;&#039;Z&#039;&#039; → &#039;&#039;U&#039;&#039; が一意に存在する射 &#039;&#039;p&#039;&#039;<br /> <br /> == 圏の種類 ==<br /> * [[前加法圏]] / [[加法圏]] / [[アーベル圏]]<br /> * {{仮リンク|完備圏|en|complete category}}<br /> * [[モノイド閉圏]] / [[デカルト閉圏]]<br /> * [[トポス]]<br /> <br /> == 関手 ==<br /> {{Main|関手}}<br /> 2 つの圏 &#039;&#039;C&#039;&#039;, &#039;&#039;D&#039;&#039; があったとき、<br /> * &#039;&#039;C&#039;&#039; の対象 &#039;&#039;X&#039;&#039; に対し &#039;&#039;D&#039;&#039; の対象 &#039;&#039;F&#039;&#039;(&#039;&#039;Y&#039;&#039;) を与える<br /> * 射 &#039;&#039;f&#039;&#039; : &#039;&#039;X&#039;&#039; → &#039;&#039;Y&#039;&#039; に対し射 &#039;&#039;F&#039;&#039;(&#039;&#039;f&#039;&#039;) : &#039;&#039;F&#039;&#039;(&#039;&#039;X&#039;&#039;) → &#039;&#039;F&#039;&#039;(&#039;&#039;Y&#039;&#039;) を与える<br /> という対応 &#039;&#039;F&#039;&#039; で射の合成や恒等射を保つものは（&#039;&#039;&#039;共変&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;covariant&#039;&#039;)）&#039;&#039;&#039;関手&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;F&#039;&#039; とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は &#039;&#039;C&#039;&#039; から &#039;&#039;D&#039;&#039; への&#039;&#039;&#039;反変関手&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;contravariant functor&#039;&#039;) とよばれる。&#039;&#039;C&#039;&#039; から &#039;&#039;D&#039;&#039; への反変関手を考えるということは &#039;&#039;C&#039;&#039; の双対圏 &#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt; から &#039;&#039;D&#039;&#039; への共変関手を考えるということと同じになる。<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;自然変換&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;natural transformation&#039;&#039;) は 2 つの関手間の[[関係 (数学)|関係]]である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の&#039;&#039;&#039;自然同型&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;natural isomorphism&#039;&#039;) にて表現される。<br /> 2 つの関手 &#039;&#039;F&#039;&#039;, &#039;&#039;G&#039;&#039; に対し、&#039;&#039;F&#039;&#039; から &#039;&#039;G&#039;&#039; への自然変換が存在して η&lt;sub&gt;&#039;&#039;x&#039;&#039;&lt;/sub&gt; が &#039;&#039;C&#039;&#039; に含まれる全ての対象 &#039;&#039;x&#039;&#039; に対して同型射となるとき、この自然変換は&#039;&#039;&#039;自然同型&#039;&#039;&#039; (&#039;&#039;naturally isomorphic&#039;&#039;) であるという。<br /> <br /> == 高次圏 ==<br /> 圏が与えられているとき、そこからより複雑な&#039;&#039;&#039;高次圏&#039;&#039;&#039;を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。<br /> <br /> 例えば、&#039;&#039;&#039;2-圏&#039;&#039;&#039;（&#039;&#039;bicategory&#039;&#039; もしくは 2-category、2 次圏）は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」(&#039;&#039;2-cell&#039;&#039;) は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの[[合成則]]においては 2 次元の「[[交換則]]」(&#039;&#039;exchange law&#039;&#039;) が成り立つ。この最も標準的な例は &#039;&#039;&#039;Cat&#039;&#039;&#039;、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の[[自然変換]]が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である&amp;mdash;これは(狭義)[[モノイダル圏]]である。<br /> <br /> この手法を任意の[[自然数]] &#039;&#039;n&#039;&#039; で拡張し、[[n-圏|&#039;&#039;n&#039;&#039;-圏]]（&#039;&#039;n-category&#039;&#039;、&#039;&#039;n&#039;&#039; 次圏）を定義することができる。さらに[[順序数]] ω に対する &#039;&#039;ω-category&#039;&#039; と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献として[http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html John Baez: The Tale of &#039;&#039;n&#039;&#039;-categories]が挙げられる。<br /> <br /> == 空間を圏で表す ==<br /> (O, ≤) が[[順序集合]]のとき、これを次のような圏 &#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt; と同一視することができる：obj(&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt;) = O とし、&#039;&#039;p&#039;&#039;, &#039;&#039;q&#039;&#039; &amp;isin; O = obj(&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt;) について &#039;&#039;p&#039;&#039; ≤ &#039;&#039;q&#039;&#039; のとき、およびそのときに限り &#039;&#039;p&#039;&#039; から &#039;&#039;q&#039;&#039; への射がただ 1 つ存在する、として &#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt; における射を定める。ここで順序関係の[[推移律]]が射の合成に、[[反射律]]が恒等射に対応している。特に[[位相空間]] &#039;&#039;X&#039;&#039; に対してその開集合系 &#039;&#039;O&#039;&#039;(&#039;&#039;X&#039;&#039;) を圏と見なすことができる。<br /> <br /> &#039;&#039;G&#039;&#039; が群のとき、対象 &#039;&#039;Y&#039;&#039; ただ 1 つからなり、Hom (&#039;&#039;Y&#039;&#039;, &#039;&#039;Y&#039;&#039;) ≡ &#039;&#039;G&#039;&#039; であるような圏を &#039;&#039;G&#039;&#039; と同一視することができる。また、位相空間の[[基本亜群]]や「[[集合の被覆|被覆]]」の[[ホロノミー亜群]]など、様々な[[亜群]]による[[幾何学]]的な情報の定式化が得られている。<br /> <br /> これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。[[層]]や[[トポス]]の概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。<br /> <br /> == 歴史 ==<br /> [[1945年]]の[[サミュエル・アイレンベルグ]]と[[ソーンダース・マックレーン]]による、[[代数的位相幾何学]]において直感的／[[組み合わせ]]的に定義されていた[[ホモロジー]]・[[コホモロジー]]を公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と[[可換群]]の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。<br /> <br /> その後[[アレクサンドル・グロタンディーク]]らによるホモロジー・コホモロジー理論を[[圏論]]に基づいて定式化する試みの中で、[[アーベル圏]]・[[三角圏]]など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つ[[クラス]]の圏が公理化されていった。一方、[[ガロア理論]]の圏論化を通じ、群が[[作用]]する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。<br /> &lt;!-- TBD: More modern geometry thing like mirror symmetry, Fukaya category etc. --&gt;<br /> <br /> == 注 ==<br /> === 注釈 ===<br /> {{reflist|group=&quot;注釈&quot;}}<br /> === 出典 ===<br /> {{reflist|2}}<br /> <br /> == 参考文献 ==<br /> * {{cite book<br /> |last1 = Awodey<br /> |first1 = Steve<br /> |year = 2006<br /> |title = Category theory<br /> |url = {{google books|IK_sIDI2TCwC|Category theory|plainurl=yes}}<br /> |publisher = Oxford University Press<br /> |isbn = 0-19-856861-4<br /> |ref = harv<br /> |zbl = 1100.18001<br /> }}<br /> *{{citation<br /> | last1 = Barr | first1 = Michael | author1-link = Michael Barr (mathematician)<br /> | last2 = Wells | first2 = Charles | author2-link = Charles Wells (mathematician)<br /> | edition = revised<br /> | series = Reprints in Theory and Applications of Categories<br /> | mr = 2178101<br /> | title = Toposes, Triples and Theories<br /> | url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html<br /> | volume = 12<br /> | year = 2005}}. <br /> * {{cite book<br /> |last1 = Borceux<br /> |first1 = Francis<br /> |year = 1994<br /> |title = Handbook of categorical algebra. 1. Basic category theory.<br /> |url = {{google books|YfzImoopB-IC|Handbook of categorical algebra. 1. Basic category theory.|plainurl=yes}}<br /> |publisher = Cambridge University Press<br /> |isbn = 0-521-44178-1<br /> |ref = harv<br /> |zbl = 0803.18001 <br /> }}<br /> * {{cite book<br /> |last1 = Weibel<br /> |first1 = Charles A. <br /> |year = 1994<br /> |title = An introduction to homological algebra<br /> |url = {{google books|flm-dBXfZ_gC|An introduction to homological algebra|plainurl=yes}}<br /> |publisher = Cambridge University Press<br /> |isbn = 0-521-43500-5<br /> |ref = harv<br /> |zbl = 0797.18001<br /> }}<br /> <br /> == 外部リンク ==<br /> * {{nlab|urlname=category|title=category}}<br /> * {{MathWorld|urlname=Category|title=Category}}<br /> * {{PlanetMath|urlname=Category|title=category}}<br /> * {{SpringerEOM|urlname=Category|title=Category}}<br /> <br /> {{DEFAULTSORT:けん}}<br /> [[Category:圏論]]<br /> [[Category:圏 (数学)|*]]<br /> [[Category:数学に関する記事]]</div>

1.114.8.134 2017-06-14T19:58:25Z

<p>1.114.8.134: /* 外部リンク */</p> <hr /> <div>{{Redirect|カテゴリー論|[[アリストテレス]]の著作|範疇論 (アリストテレス)}}<br /> &#039;&#039;&#039;圏論&#039;&#039;&#039;（けんろん、category theory）は、[[数学的構造]]とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。<br /> 考えている種類の「構造」を持った&#039;&#039;&#039;対象&#039;&#039;&#039;とその構造を反映するような対象間の&#039;&#039;&#039;[[射 (圏論)|射]]&#039;&#039;&#039;の集まりからなる[[圏 (数学)|圏]]が基本的な考察の対象になる。<br /> <br /> 数学の多くの分野、また[[計算機科学]]や[[数理物理学]]のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。<br /> <br /> == 概要 ==<br /> 圏 (category) の研究は、関連する様々なクラスの数学的構造に共通する性質を見出そうとする試みだといえる。<br /> <br /> 集合論的な数学理論の構成では集合やその元に対して写像や関係を導入し、それらが満たすべき[[公理]]を列挙する。その公理を満たすような「構造」を持った個々の集合が理論の具体的な実現を示していて、それら一つ一つの実現に共通の性質が公理から演繹的に証明される。たとえば、群に関する[[定理]]は公理系から演繹的に[[証明]]される。例えば群の[[単位元]]が一意に定まることは公理系から直ちに証明される。こうして各種の数学理論が建設されるが、これら異なった理論に共通する様々な構成ができることも認識された。<br /> <br /> 圏論の言葉を使えば、数学の多くの分野の研究からしかるべき圏を作り出し、異なった理論の間に平行して存在する手続きを統一的に理解することができる。例えば集合、群、位相空間の圏などである。これらの圏は、例えば[[空集合]]や 2 つの位相空間の[[直積]]など、何かしら特別な性質を持った「空間」が存在する。しかし、圏の定義においては対象は根源的なものとみなされ、それぞれの対象が具体的にどんな集合として実現されるのかは指定されていない。そこで、これらの特別な空間についての概念を、その「要素」を参照せずに定めることはできるだろうか、という問いが生まれる。<br /> <br /> 圏論的な解析においては、何かしら与えられた構造を持つ個々の対象（例えば群）とその「内部構造」だけを考えるよりも、対象間の[[射 (圏論)|射]] — 構造を保つ対応関係 — に力点が置かれる。群の圏の例で言えば、射は群の[[準同型|準同型写像]]にあたる。それぞれの圏における特別な対象は、他の対象とのあいだの射がどうなっているか、によって特徴づけることができる。たとえば集合の圏における空集合 ∅ は任意の集合 &#039;&#039;S&#039;&#039; について ∅ から &#039;&#039;S&#039;&#039; への射（つまり写像）がただ 1 つだけ存在するようなもの、として特徴づけられる。このような特徴づけは、&#039;&#039;&#039;[[極限#圏論|極限]]&#039;&#039;&#039;やその[[双対]]概念である&#039;&#039;&#039;余極限&#039;&#039;&#039;を用いた[[普遍性]]という考え方にまとめられる。実際、数多くの重要な構成がこのようにして純粋に圏論的な方法で記述できることがわかっている。<br /> <br /> === 関手 ===<br /> 一方で、圏そのものもある種の数学的構造であるため、圏の構造を保存する対応関係も考えることができる。このような対応関係は[[関手]]と呼ばれる。関手は、ある圏の中の全ての対象を、別の圏の対象に、一方が持つ全ての射をもう一方の射に関連づける。圏と関手を調べることで、ある類における数学的構造とその間の射だけでなく、「数学的構造を持つ様々な類の間の関係」をも追求することができる。<br /> <br /> 多くの数学理論は、ある特別な種類の構造から、別のよりシンプルな、よりわかりやすい構造を引き出そうとする試みであった。例えば[[代数的位相幾何学]]の中心的なテーマは、位相幾何学における非常に難しい問題を、より簡単な代数的問題に関連づけることである。例えば、[[点付き位相空間]]に対してその[[基本群]]を対応させる「自然な対応」は関手を用いて得られると考えることができる。<br /> <br /> 基本群とホモロジー群のような「似た」数学的変換はしばしば「自然に」関連づけられているが、これは[[自然変換]]、すなわちある関手から別の関手への変換、という考え方によって理解される。<br /> <br /> 圏と関手の考え方を積極的に用いて以下のような概念がさだめられる。<br /> <br /> ; [[関手圏]]<br /> : &#039;&#039;D&#039;&#039;&lt;sup&gt;&#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;/sup&gt; は &#039;&#039;C&#039;&#039; から &#039;&#039;D&#039;&#039; への関手を対象とし、その射はこれら関手の間の自然変換である。[[米田の補題]]は圏論における最も有名な基礎的結果の 1 つである。この補題は、関手圏において表現可能な関手を記述する。<br /> <br /> ; [[双対 (圏論)|双対性]]<br /> : 圏論におけるあらゆる言明、定理、定義はその&#039;&#039;&#039;双対&#039;&#039;&#039;を持つ。これらは基本的に「全ての射を逆向きにする」ことで得られる。ある圏 &#039;&#039;C&#039;&#039; においてある言明が真のとき、その双対はその双対圏 &#039;&#039;C&#039;&#039;&lt;sup&gt;op&lt;/sup&gt; によって真である。この双対性は、圏論のレベルでは自動的に成立し非常に解りやすいものであるが、その応用においてはしばしば明らかではなく、驚くような関係性をもたらすことがある。<br /> <br /> ; [[随伴関手]]<br /> : ある関手が他の関手に対し&#039;&#039;&#039;左随伴&#039;&#039;&#039;、もしくは&#039;&#039;&#039;右随伴&#039;&#039;&#039;であるということを定義できるが、多くの場合にこのような随伴関手の対は[[普遍性]]によって定義される構成から生まれる。これは、普遍性を調べるためのより抽象的で強力な手法を与えているとも考えられる。<br /> <br /> == 歴史 ==<br /> [[19世紀]]はじめの[[エヴァリスト・ガロア]]による代数方程式に群を関連づける研究には圏論的な考え方の萌芽がみられる。<br /> [[20世紀]]前半には[[エミー・ネーター]]が[[抽象代数学]]（特に加群の理論）の形式化を行い、ネーターはある種の数学的構造を理解するためには、その構造を保つ対応関係を理解する必要があることを悟っていた。<br /> <br /> [[1930年代]]後半から始まる[[ニコラ・ブルバキ]]の数学原論シリーズにおける集合論に基づいた数学の再構成の試みの中でも、構造、構造種と普遍性の概念が指導原理として取り上げられている。<br /> <br /> [[1945年]]の[[サミュエル・アイレンベルグ]]と[[ソーンダース・マックレーン]]による、[[代数的位相幾何学]]において直感的／組み合わせ的に定義されていた[[ホモロジー]]・[[コホモロジー]]を[[公理]]化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。[[スタニスワフ・ウラム]]らの主張するところによれば、同様のアイデアは 1930 年代後半にポーランドの大学に起こっていたという。アイレンベルグとマックレーンは、「構造」と「その構造を保つ対応関係」の間に成り立つ関係を[[公理]]的に形式化する手法を与えた。アイレンベルグとマックレーンは、そのゴールが異なる数学的体系の間の自然変換を理解することにあると述べていた。そしてそのためには関手を定義することが必要だった。そして関手を定義するために圏が必要だったのである。<br /> <br /> その後 [[1950年代]]から [[1960年代]]にかけてこの理論は、[[ホモロジー代数]]における様々な計算の抽象的な定式化を取り込むことによって、続いて、集合論に基づく定式化では不十分だった[[代数幾何学]]の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち[[高階論理]]との親和性があるようなより現代的な[[普遍的代数]]が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。<br /> <br /> [[トポス (数学)|トポス]]と呼ばれる特別な種類の圏は、数学基礎論としての[[公理的集合論]]に取って代わることすら可能である。圏論をこのように数学の全体的な基礎付けとして用いる考え方には疑義も呈されているが、実際[[構成的数学]]を記述する手段としても、トポスは非常に精緻に機能することが示されている。一方、公理的集合論はまだ圏論によって置き換えられたと見なさない人々もおり、例えば、&#039;&#039;バーコフ - マックレーン&#039;&#039;の &#039;&#039;A Survey of Modern Algebra&#039;&#039; と&#039;&#039;マックレーン - バーコフ&#039;&#039;の &#039;&#039;Algebra&#039;&#039;（この 2 冊の[[抽象代数学]]の教科書は署名の仕方で区別されている）の比較でしばしば指摘されるように、圏論を初期の学部生に教授することは強い反対にあっている。<br /> <br /> == 他の分野への影響 ==<br /> [[カテゴリカル・ロジック]]は現在、[[型理論]]に基づいて、[[直観主義的論理]]のためにうまく定義された分野である。そして、これの応用として[[関数型プログラミング]]の理論および[[領域理論]]がある。これらは全て、[[ラムダ計算]]の非構文的な記述として適用された[[デカルト閉圏]]を背景としている。圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。<br /> <br /> 代数的位相幾何学では空間の連続写像そのものよりも、そのホモトピー類を考えたほうがよいことがある。これは対応する圏を「変形」してホモトピー類を射として採用することにより圏論的に定式化できる。そこで、複体の射や位相線形環の準同型についてもこのような圏の変形を見いだし理解することが 20 世紀後半におけるほかの種類の「幾何学」の大きな問題意識となった。<br /> <br /> 20 世紀の半ば以降[[アレクサンドル・グロタンディーク]]らによって代数幾何学の圏論的な定式化が追求された。<br /> <br /> 正標数体上の[[数論幾何]]や、非可換環が「図形」を表していると考える[[非可換幾何]]などの非標準的な「幾何学」は、幾何学的な関手の構成可能性をもってそう名乗っている、という側面もある。<br /> <br /> == 参考文献 ==<br /> *{{Cite book|和書|author=竹内外史|authorlink=竹内外史|year=1978|month=1|title=層・圏・トポス　現代的集合像を求めて|publisher=日本評論社|isbn=4-535-78109-5}}<br /> *{{Cite book|和書|author=大熊正|authorlink=大熊正|year=1979|month=5|title=圏論(カテゴリー)|publisher=槙書店|series=数学選書|isbn=4-8375-0457-4}}<br /> *{{Cite book|和書|author=S.マックレーン|authorlink=ソーンダース・マックレーン|others=[[三好博之]]・[[高木理]]訳|year=2005|month=7|title=圏論の基礎|publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]]|isbn=4-431-70872-3}}<br /> *{{Cite book|和書|author=清水義夫|authorlink=清水義夫|year=2007|month=12|title=圏論による論理学　高階論理とトポス|publisher=東京大学出版会|isbn=978-4-13-012057-9}}<br /> <br /> == 関連項目 ==<br /> *[[圏 (数学)|圏]]<br /> *[[射 (圏論)|射]]<br /> *[[関手]]<br /> *[[トポス (数学)|トポス]]<br /> *[[サミュエル・アイレンベルグ]]<br /> *[[ソーンダース・マックレーン]]<br /> <br /> == 外部リンク ==<br /> * {{MathWorld|urlname=CategoryTheory|title=Category Theory}}<br /> * {{PlanetMath|urlname=CategoryTheory|title=category theory}}<br /> * {{nlab|urlname=category+theory|title=category theory}}<br /> <br /> {{数学}}<br /> {{Normdaten}}<br /> [[Category:圏論|*けんろん]]<br /> [[Category:数学に関する記事|けんろん]]</div>

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