Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-06-08T01:47:24Z
利用者の投稿記録
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エルマン環
2015-02-28T17:37:38Z
<p>114.19.56.19: /* 例 */</p>
<hr />
<div>[[Image:Herman Standard.png|200px|right|thumb|回転数が (&radic;5&minus;1)/2 となるように ''t''=.6151732... とされた三次有理関数 ''e''<sup>2&pi;''it''</sup>''z''<sup>2</sup>(''z''&minus;4)/(1&minus;4''z'') の[[ジュリア集合]]。影の部分がエルマン環。]]<br />
<br />
[[数学]]、特に[[複素力学系]]に於ける'''エルマン環'''（エルマンかん、{{Lang-en-short|''Herman ring''}} ）は[[ファトゥ成分の分類|ファトゥ成分]]の一つである<ref name=dyn>[[ジョン・ウィラード・ミルナー|John Milnor]], [http://books.google.com/books?id=DsthOelUMlkC&lpg=PR7&pg=PA161#v=onepage&f=false ''Dynamics in one complex variable'']: Third Edition, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006.</ref>。[[数学者]]{{仮リンク|マイケル・エルマン|en|Michael Herman}}の名に因む。<br />
<br />
エルマン環の[[有理関数]]は標準的な[[アニュラス]]の無理回転と共形共役である。<br />
<br />
== 正式な定義 ==<br />
''&fnof;'' が周期 ''p'' のエルマン環 ''U'' を持つとは、ある[[等角写像]]<br />
<br />
:<math>\phi:U\rightarrow\{\zeta:0<r<|\zeta|<1\}</math><br />
<br />
および[[無理数]] <math>\theta</math> が存在して、次が成り立つことを言う：<br />
<br />
:<math>\phi\circ f^{\circ p}\circ\phi^{-1}(\zeta)=e^{2\pi i\theta}\zeta.</math><br />
<br />
したがってエルマン環上の力学系は単純である。<br />
<br />
== 関数 ==<br />
* 多項式はエルマン環を持たない。<br />
* 有理関数はエルマン環を持つ。<br />
* 超越整関数はエルマン環を持たない<ref>Omitted Values and Herman rings by Tarakanta Nayak</ref>。<br />
<br />
== 例 ==<br />
エルマン環を持つ有理関数の一例として、次が挙げられる<ref name=dyn/>。<br />
<br />
:<math>f(z) = \frac{e^{2 \pi i \tau} z^2(z - 4)}{1 - 4z}</math><br />
<br />
ここで <math>\tau=0.6151732\dots</math> であり、単位円上での ''&fnof;'' の回転数は <math>(\sqrt{5}-1)/2</math> になる。<br />
<br />
下に示される図は ''&fnof;'' のジュリア集合である。すなわち、白いアニュラスの中の曲線は ''&fnof;'' の反復に対するいくつかの点の軌道であり、点線の部分が単位円である。<br />
<br />
エルマン環とある[[ファトゥ成分の分類|周期放物型ファトゥ成分]]を同時に持つ有理関数の一例を、次の図に挙げる。<br />
<br />
[[Image:Herman+Parabolic.png|600px|center|thumb|エルマン環とある周期放物型ファトゥ成分を同時に持つ有理関数 <math>f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^3\,\frac{1-\overline{a}z}{z-a}\,\frac{1-\overline{b}z}{z-b}</math>。ここで <math>t=0.6141866\dots,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i</math> であり、単位円上での <math>f_{t,a,b}</math> の回転数は <math>(\sqrt{5}-1)/2</math> である。図は回転されている。]]<br />
<br />
さらに、周期 2 のエルマン環を持つ有理関数の一例を次に挙げる。<br />
<br />
[[Image:Herman period=2.png|600px|center|thumb|<br />
周期 2 のエルマン環を持つ有理関数]]<br />
<br />
この有理関数の表現は次のようになる。<br />
<br />
:<math> g_{a,b,c}(z) = \frac{z^2(z-a)}{z-b} + c, \, </math><br />
<br />
ただし<br />
<br />
: <math><br />
\begin{align}<br />
a & = 0.17021425+0.12612303i, \\<br />
b & = 0.17115266+0.12592514i, \\<br />
c & = 1.18521775+0.16885254i.<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
この例は、周期 2 の[[ジーゲル円板]]を持つ二次多項式<br />
<br />
:<math>h(z)=z^2 - 1 - \frac{e^{\sqrt{5}\pi i}}{4} </math><br />
<br />
からの準共形手術によって構成される<ref>[[宍倉光広|Mitsuhiro Shishikura]], [http://archive.numdam.org/article/ASENS_1987_4_20_1_1_0.pdf ''On the quasiconformal surgery of rational functions'']. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) '''20''' (1987), no. 1, 1–29.</ref>。パラメータ ''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'' は試行錯誤によって得られたものである。<br />
<br />
現在を<br />
<br />
: <math><br />
\begin{align}<br />
a & = 0.14285933+0.06404502i, \\<br />
b & = 0.14362386+0.06461542i,\text{ and} \\<br />
c & = 0.18242894+0.81957139i,<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
とすると、''g''<sub>''a'',''b'',''c''</sub> のエルマン環の一つの周期は &nbsp;3 である。<br />
<br />
[[宍倉光広]]はまた別の例を与えている<ref>[[宍倉光広|Mitsuhiro Shishikura]], [http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/99208/1/0574-13.pdf ''Surgery of complex analytic dynamical systems''], in "Dynamical Systems and Nonlinear Oscillations", Ed. by Giko Ikegami, World Scientic Advanced Series in Dynamical Systems, 1, World Scientic, 1986, 93–105.</ref>。それもまた周期 2 のエルマン環を持つ有理関数であるが、パラメータは上記のものとは異なる。<br />
<br />
したがってより高次の周期のエルマン環を持つ有理関数の式を見つける方法はあるのかと言う、一つの疑問が生じる。<br />
<br />
宍倉の結果によると、有理関数 ''&fnof;'' がエルマン環を持つなら、''&fnof;'' の次数は少なくとも &nbsp;3 となる。エルマン環を持つ[[有理型関数]]も存在する。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[複素力学系]]<br />
* [[ファトゥ成分の分類]]<br />
* {{仮リンク|マイケル・エルマン|en|Michael Herman}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
{{reflist}}<br />
* {{Citation | last1=Herman | first1=Michael-Robert | title=Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1979__49__5_0 | mr=538680 | year=1979 | journal=[[:en:Publications Mathématiques de l'IHÉS|Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=49 | pages=5–233}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:えるまんかん}}<br />
[[Category:フラクタル]]<br />
[[Category:極限集合]]<br />
[[Category:複素力学系]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
114.19.56.19
複素力学系
2015-02-28T17:36:24Z
<p>114.19.56.19: </p>
<hr />
<div>'''複素力学系'''（ふくそりきがくけい、{{Lang-en-short|''Complex dynamics''}} ）は、[[複素数]]の空間上での関数の[[反復関数|反復適用]]によって定義される[[力学系]]の研究である。特に[[解析関数]]の力学系の研究を'''複素解析力学'''（{{Lang-en-short|''Complex analytic dynamics''}} ）と言う。<br />
<br />
== 手法 ==<br />
<br />
* 一般<br />
** [[モンテルの定理]]<br />
** [[ポアンカレ計量]]<br />
** [[シュワルツの補題]]<br />
** [[リーマンの写像定理]]<br />
** [[カラテオドリの定理 (等角写像)|カラテオドリの定理]]<br />
** [[ボッチャーの方程式]]<br />
* [[組み合せ数学]] <ref>{{Citation|url=http://comet.lehman.cuny.edu/keenl/FlekKeenJDEA.pdf|title=Boundaries of bounded Fatou components of quadratic maps|last1=Flek|first1=R|last2=Keen |first2=L|date=July 13, 2009|journal=Journal of Difference Equations and Applications|accessdate=2014-12-12}}</ref><br />
** ハバード木<br />
** スパイダーアルゴリズム<br />
** チューニング<br />
** [[ラミネーション (位相幾何学)|ラミネーション]]<br />
** [[カントール関数|悪魔の階段]]<br />
** [[軌道図]]<br />
<br />
== 細分 ==<br />
* '''正則力学系'''（[[正則関数]]の挙動）<ref>[http://www.math.sunysb.edu/surveys-dynamical-systems Surveys in Dynamical systems available on-line at Dynamical Systems Homepage of Institute for Mathematical Sciences SUNY at Stony Brook]</ref><br />
** 一変数の場合<br />
** 多変数の場合<br />
<br />
* '''共形力学系'''（ ''Conformal dynamics'' ）は、一変数の複素正則力学系と、一変数の実可微分力学系を融合するものである。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[複素解析]]<br />
* [[ジョン・ウィラード・ミルナー]]<br />
* [[複素二次多項式]]<br />
* [[ファトゥ集合]]<br />
* [[ジュリア集合]]<br />
* [[マンデルブロ集合]]<br />
* [[カオス理論]]<br />
* [[解析函数の無限合成]]<br />
<br />
== 注釈 ==<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* Lennart Carleson, Theodore W. Gamelin, ''[http://books.google.com/books?id=M-I8qRE8HGUC Complex dynamics]'', Springer, 1993, ISBN 978-0-387-97942-7<br />
* Shunsuke Morosawa, ''[http://books.google.com/books?id=9wb4S_ES4h4C Holomorphic dynamics]'', Cambridge University Press, 2000, ISBN 978-0-521-66258-1<br />
* Alan F. Beardon, ''[http://books.google.com/books?id=u3_FBg7nFHAC Iteration of rational functions: complex analytic dynamical systems]'', Springer, 2000, ISBN 978-0-387-95151-5<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ふくそりきかくけい}}<br />
[[Category:複素力学系|*]]<br />
[[Category:解析学関連のスタブ項目]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
{{Mathanalysis-stub}}</div>
114.19.56.19
ファトゥ成分の分類
2015-02-28T16:59:37Z
<p>114.19.56.19: </p>
<hr />
<div>[[数学]]、特に[[複素力学系]]に於ける'''ファトゥ成分'''（ファトゥせいぶん、{{Lang-en-short|''Fatou components''}} ）は、[[ファトゥ集合]]の[[連結空間|成分]]のことを言う。<br />
<br />
== 有理関数の場合 ==<br />
<br />
f が[[リーマン球面|拡張複素平面]]で定義された[[有理関数]]<br />
<br />
:<math>f = \frac{P(z)}{Q(z)}</math><br />
<br />
で、（次数が 1 より大きい）非線型関数であり、<br />
<br />
: <math>\max(\deg(P),\, \deg(Q))\geq 2 </math><br />
<br />
が成立するなら、ファトゥ集合の周期成分 <math>U</math> に対して、次のいずれか唯一つが成立する：<br />
<br />
# <math>U</math> は'''[[周期点|吸引周期点]]'''を含む；<br />
# <math>U</math> は'''放物型'''である<ref>[[:wikibooks:Fractals/Iterations in the complex plane/parabolic|wikibooks : parabolic Julia sets]]</ref>；<br />
# <math>U</math> は'''[[ジーゲル円板]]'''である；<br />
# <math>U</math> '''[[エルマン環]]'''である。<br />
<br />
この三つ目が成立するのは、''f''(''z'') が単位円板からそれ自身への上へのユークリッド回転と解析的に共役である場合のみであることが示される。また四つ目が成立するのは、''f''(''z'') がある[[アニュラス]]からそれ自身へのユークリッド回転と解析的に共役である場合のみであることが示される。<br />
<br />
=== 例 ===<br />
<gallery><br />
File:Fatou componenets 3.png|吸引的なサイクルを持つ[[ジュリア集合]]<br />
File:Parabolic Julia set for internal angle 1 over 15.png|放物型ジュリア集合<br />
File:Quadratic Golden Mean Siegel Disc Average Velocity - Gray.png|ジーゲル円板を含むジュリア集合<br />
File:Herman Standard.png|エルマン環を含むジュリア集合<br />
</gallery><br />
<br />
==== 吸引周期点 ====<br />
<br />
写像 <math>f(z) = z - (z^3-1)/3z^2</math> の成分は、<math>z^3=1</math> の解であるような吸引点を含む。これはなぜなら、そのような写像は方程式<math>z^3=1</math> の解を[[ニュートン法|ニュートン・ラフソン法]]によって見つけるために用いられるものであるからである。そのような解は自然、吸引的な不動点になる。<br />
<br />
==== エルマン環 ====<br />
<br />
写像<br />
<br />
:<math>f(z) = e^{2 \pi i t} z^2(z - 4)/(1 - 4z)\ </math><br />
<br />
と t = 0.6151732... によって、エルマン環が構成される<ref>{{citation|first=John W.|last=Milnor|authorlink=John Milnor|title=Dynamics in one complex variable|year=1990|arxiv=math/9201272}}</ref>。そのような写像の次数は、この例においては少なくとも 3 であることが[[宍倉光広]]によって示されている。<br />
<br />
== 超越的な場合 ==<br />
<br />
[[超越関数]]の場合、次の'''ベーカー領域'''（Baker domain）が存在する：その上での反復が[[真性特異点]]に近付くような領域（多項式および有理関数では起こり得ない）<ref>[http://pcwww.liv.ac.uk/~lrempe/Talks/liverpool_seminar_2006.pdf An Introduction to Holomorphic Dynamics (with particular focus on transcendental functions)by L. Rempe]</ref><ref>[http://www.ncnsd.org/proceedings/proceeding05/paper/185.pdf Siegel Discs in Complex Dynamics by Tarakanta Nayak]</ref>。次の関数がその例である<ref>[http://www.math.uiuc.edu/~aimo/anim.html A transcendental family with Baker domains by Aimo Hinkkanen , Hartje Kriete and Bernd Krauskopf ]</ref>。<br />
<br />
<math>f(z) = z - 1 + (1 - 2z)e^z</math><br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[複素力学系]]<br />
* [[ファトゥ集合]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* [[wikibooks:Fractals/Iterations_in_the_complex_plane/cremer|クリーマージュリア集合]]<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* [[レオナルト・カルレソン|Lennart Carleson]] and Theodore W. Gamelin, ''Complex Dynamics'', Springer 1993.<br />
* Alan F. Beardon ''Iteration of Rational Functions'', Springer 1991.<br />
<references/><br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ふあとううせいふんのふんるい}}<br />
[[Category:フラクタル]]<br />
[[Category:極限集合]]<br />
[[Category:複素解析の定理]]<br />
[[Category:複素力学系]]<br />
[[Category:力学系の定理]]<br />
[[Category:定理]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
114.19.56.19
ファトゥ集合
2015-02-27T14:41:59Z
<p>114.19.56.19: </p>
<hr />
<div>[[数学]]、特に[[複素力学系]]に於ける'''ファトゥ集合'''（ファトゥしゅうごう、{{Lang-en-short|''Fatou set''}} ）は、[[複素平面]]上のある[[近傍 (位相空間論)|近傍]]で[[反復関数]]が[[正規族]]となる点の[[集合]]である。[[数学者]][[ピエール・ファトゥ]]の名に因む。<br />
<br />
ファトゥ集合の[[差集合#補集合|補集合]]は[[ジュリア集合]]である。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[複素力学系]]<br />
* [[ファトゥ成分の分類|ファトゥ成分]]<br />
* [[ジュリア集合]]<br />
* [[ピエール・ファトゥ]]<br />
<br />
== 出典・参考 ==<br />
* http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1153-10.pdf#search='%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%88%E3%82%A6%E9%9B%86%E5%90%88'<br />
<br />
{{Mathanalysis-stub}}<br />
{{DEFAULTSORT:ふあとうしゆうごう}}<br />
[[Category:複素力学系]]<br />
[[Category:解析学関連のスタブ項目]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
114.19.56.19
最小不動点
2015-01-07T10:03:21Z
<p>114.19.56.19: </p>
<hr />
<div>'''最小不動点'''（さいしょうふどうてん、{{lang-en-short|Least fixed point, LFP}}）は、[[関数 (数学)|関数]]の[[不動点]]の中でも、何らかの[[順序集合|半順序関係]]において最も小さい不動点をいう。<br />
<br />
例えば、次の実関数<br />
<br />
:''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> <br />
<br />
の最小不動点は、実数の一般的な順序関係において ''x'' = 0 である。様々な[[不動点定理]]から最小不動点を求めるアルゴリズムが生み出されている。最小不動点は一般の不動点にはない属性があることが多い。<br />
<br />
数理論理学では、最小不動点は何らかの[[再帰的定義]]を構築することに関連している。そこから[[記述計算量]]の結果として、[[複雑性クラス]] '''[[P (計算複雑性理論)|P]]'''（多項式時間で計算可能な問題のクラス）は[[一階述語論理]]に最小不動点を追加したもので表される言語の集合と正確に一致する。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[最大不動点]] （あまり使われない）<br />
*[[クリーネ不動点定理]]<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* Immerman, Neil. ''Descriptive Complexity'', 1999, Springer-Verlag.<br />
* Libkin, Leonid. ''Elements of Finite Model Theory'', 2004, Springer.<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:さいしようふとうてん}}<br />
<br />
[[Category:順序構造]]<br />
[[Category:不動点]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
114.19.56.19
安定多様体
2015-01-07T08:38:50Z
<p>114.19.56.19: </p>
<hr />
<div>[[力学系]]において、'''安定多様体'''（あんていたようたい、Stable manifold）または'''安定集合'''（あんていしゅうごう、Stable set）とは、ある[[固定点]]に収束する[[点]]全体の[[集合]]。<br />
<br />
[[相空間]] ''X'' と[[関数 (数学)|関数]] ''f<sup>&nbsp;t</sup>'' により[[力学]]系が[[定義]]されているとする。 ''p'' をこの系での固定点とする。<br />
<br />
このとき、''p'' の安定多様体または安定集合とは、<br />
:<math>W^s(f,p) =\{q\in X: f^t(q)\rightarrow p \mbox{ as } t\rightarrow\infty \}</math><br />
である。<br />
<br />
また、 ''p'' の不安定多様体または不安定集合とは、<br />
:<math>W^u(f,p) =\{q\in X: f^{-t}(q)\rightarrow p \mbox{ as } t\rightarrow\infty \}.</math><br />
である。<br />
ここで、<math>f^{-1}</math>は<math>f</math> の逆写像、つまり、<br />
<math>f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f =id_{X}</math>を表す。ただし、<math>id_{X}</math>は<math>X</math>への恒等写像とする。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[アトラクター]]<br />
*[[リペラー]]<br />
{{math-stub}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:あんていたようたい}}<br />
[[Category:力学系]]<br />
[[Category:極限集合]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
114.19.56.19
Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46