Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-05-30T01:18:39Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
随伴作用素
2017-08-14T14:54:43Z
<p>1.114.3.210: /* 外部リンク */ +4</p>
<hr />
<div>[[数学]]の特に[[函数解析学]]において、[[ヒルベルト空間]]上の各[[有界線型作用素]]は、対応する'''随伴作用素'''（ずいはんさようそ、{{lang-en-short|''adjoint operator''}}）を持つ。作用素の随伴は[[正方行列]]の[[随伴行列]]の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。ヒルベルト空間上の作用素を「一般化された複素数」と考えれば、作用素の随伴は複素数に対する[[複素共軛]]の役割を果たすものである。<br />
<br />
作用素 {{math|''A''}} の随伴は、[[シャルル・エルミート]]に因んで'''エルミート共軛''' (''Hermitian conjugate'') とも呼ばれ、{{math|''A''<sup>&lowast;</sup>}} あるいは {{math|''A''<sup>†</sup>}} などで表される（後者は特に[[ブラケット記法]]とともに用いられる）。<br />
<br />
== 有界作用素に対する定義 ==<br />
{{math|''H''}} は[[内積]] {{math|&lang;,&rang;}} を備える[[ヒルベルト空間]]とし、[[連続線型作用素]] {{math|''A'': ''H'' → ''H''}}（線型作用素に対して、連続性はそれが[[有界作用素]]であることと同値）を考えるとき、{{math|''A''}} の随伴作用素 {{math|''A''<sup>∗</sup>: ''H'' → ''H''}} は、<br />
: <math> \langle Ax , y \rangle = \langle x , A^* y \rangle \quad (\forall x,y\in H)</math><br />
を満たす線型作用素である。随伴作用素の存在と一意性は[[リースの表現定理]]から従う<ref name=rs186>{{harvnb|Reed|Simon|2003|pp=186–187}}; {{harvnb|Rudin|1991|loc=§12.9}}</ref>。<br />
<br />
これは（標準複素内積に関して同様の性質をもつ）複素正方行列の随伴行列の一般化と見ることができる。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
[[有界作用素]]のエルミート随伴は以下の性質を満たす<ref name=rs186 />:<br />
# [[対合|対合性]]: {{math|1=''A''<sup>∗∗</sup> = ''A''}}<br />
# {{math|''A''}} が可逆ならば {{math|''A''<sup>∗</sup>}} もそうであり、かつ {{math|1=(''A''<sup>∗</sup>)<sup>−1</sup> = (''A''<sup>−1</sup>)<sup>∗</sup>}}<br />
# [[加法的写像|加法性]]: {{math|1=(''A'' + ''B'')<sup>∗</sup> = ''A''<sup>∗</sup> + ''B''<sup>∗</sup>}}<br />
# 半斉次性: {{math|1=(λ''A'')<sup>∗</sup> = {{overline|λ}}''A''<sup>∗</sup>}}, ただし {{overline|λ}} は[[複素数]] {{math|λ}} の[[複素共軛]]<br />
# [[逆転準同型|逆転性]]: {{math|1=(''AB'')* = ''B''* ''A''*}}<br />
加法性と半斉次性を合わせて{{仮リンク|反線型写像|label=反線型性|en|antilinear map}}、逆転性と対合性は合わせて [[*-環]]としての対合性を表す。<br />
<br />
{{math|''A''}} の[[作用素ノルム]]を<br />
:<math> \| A \|_\text{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \} </math><br />
で定義するならば、<br />
:<math> \| A^* \|_\text{op} = \| A \|_\text{op}</math><ref name=rs186 /><br />
および、さらに<br />
:<math> \| A^* A \|_\text{op} = \| A \|_\text{op}^2</math><ref name=rs186 /><br />
が成り立つ。この性質を満足するノルムは、自己随伴作用素の場合からの類推で、「最大値」のように振る舞うということができる。<br />
<br />
ヒルベルト空間 {{math|''H''}} 上の有界線型作用素全体の成す集合は、随伴をとる操作と作用素ノルムに関して[[C*-環| ''C''*-環]]の原型的な例である。<br />
<br />
== 密定義作用素の随伴 ==<br />
ヒルベルト空間 {{math|''H''}} 上の[[密定義作用素]] {{math|''A''}} は、その[[定義域]] {{math|''D''(''A'')}} が {{math|''H''}} において稠密で、かつその[[終域]]が {{math|''H''}} であるようなものを言う<ref>詳細は[[非有界作用素]]を参照。</ref>。 その随伴 {{math|''A''<sup>∗</sup>}} はその定義域 {{math|''D''(''A''<sup>∗</sup>)}}が<br />
<br />
: <math> \langle Ax , y \rangle = \langle x , z \rangle \quad (\forall x \in H)</math><br />
を満たす {{math|''z'' ∈ ''H''}} が存在するような {{math|''y'' ∈ ''H''}} 全体の成す集合で与えられ、かつ {{math|''A''<sup>∗</sup>(''y'') {{=}} ''z''}} となるものとして定義される<ref>{{harvnb|Reed|Simon|2003|pp=252}}; {{harvnb|Rudin|1991|loc=§13.1}}</ref>。<br />
<br />
上記性質 1.–5. は（定義域と終域が適当な条件を満たせば）成立する。例えば最後の性質について、随伴作用素 {{math|(''AB'')<sup>∗</sup>}} は（{{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''AB''}} が密定義作用素ならば）作用素{{math|''B''<sup>∗</sup>''A''<sup>∗</sup>}} の延長で与えられる<ref>{{harvnb|Rudin|1991|loc=Thm 13.2}}</ref>。<br />
<br />
作用素 {{math|''A''}} の[[像 (数学)|像]]とその随伴 {{math|''A''<sup>∗</sup>}} の[[核 (代数学)|核]]との間の関係性は、<br />
: <math>\begin{align}<br />
& \ker A^* = (\operatorname{im}A)^{\bot}\\<br />
& (\ker A^*)^\bot = \overline{\operatorname{im}A}<br />
\end{align}</math><br />
で与えられる（ここで上付き横棒は集合の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を表す。[[直交補空間]]も参照）。一つ目の式の証明<ref>有界作用素の場合は {{harvnb|Rudin|1991|loc=Thm 12.10}} を見よ。</ref>は<br />
:<math>\begin{align} A^* x = 0<br />
&\iff \langle A^*x,y \rangle = 0 \quad (\forall y \in H) \\<br />
&\iff \langle x,Ay \rangle = 0 \quad (\forall y \in H) \\<br />
&\iff x \mathrel{\bot} \operatorname{im}A<br />
\end{align}</math><br />
で、二つの式は一つ目の式の両辺の直交補空間をとることでわかる。一般に、像は閉とは限らないが連続線型作用素の核は常に閉である<ref>有界作用素の場合と同じ。</ref>。<br />
<br />
== エルミート作用素 ==<br />
[[有界作用素]] {{math|''A'': ''H'' → ''H''}} が[[自己随伴]]であるとは<br />
: <math> A = A^{*}</math><br />
あるいは同じことだが<br />
: <math> \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang \quad (\forall x,y\in H)</math><br />
を満たすことを言う<ref>{{harvnb|Reed|Simon|2003|pp=187}}; {{harvnb|Rudin|1991|loc=§12.11}}</ref>。<br />
<br />
適当な意味において、エルミート作用素は[[実数]]（自身とその複素共軛が等しい複素数）の役割を果たし、実[[ベクトル空間]]を成す。エルミート作用素は[[量子力学]]において[[観測可能量]]のモデルを提供する。エルミート作用素に関する詳細は[[自己随伴作用素]]の項を参照せよ。<br />
<br />
== 反線型作用素の随伴 ==<br />
{{仮リンク|反線型作用素|en|Antilinear map}}に対する随伴の定義は、複素共軛を相殺するために調整が必要である。ヒルベルト空間 {{math|''H''}} 上の反線型作用素 {{math|''A''}} の随伴は、反線型作用素 {{math|''A''<sup>∗</sup>: ''H'' → ''H''}} で<br />
: <math> \lang Ax , y \rang = \overline{\lang x , A^* y \rang} \quad (\forall x,y\in H)</math><br />
を満たすものを言う（上付き横棒は複素共軛を意味する）。<br />
<br />
== その他の随伴 ==<br />
等式<br />
: <math> \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang </math><br />
は形の上では[[圏論]]における[[随伴函手|随伴対]]を定義する性質と同じ形をしている。そしてこれは随伴函手の名の由来でもある。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* 数学的概念<br />
** [[内積]]<br />
** [[ヒルベルト空間]]<br />
** [[エルミート作用素]]<br />
** [[ノルム]]<br />
** [[作用素ノルム]]<br />
** [[転置写像]]<br />
* 物理学への応用<br />
** [[ブラケット記法]]<br />
** [[演算子 (物理学)]]<br />
** [[観測可能量]]<br />
<br />
== 注釈 ==<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{citation | first1 = Michael | last1 = Reed | first2 = Barry | last2 = Simon | title = Functional Analysis | publisher = Elsevier | year = 2003 | isbn = 981-4141-65-8 }}.<br />
* {{citation | first1 = Walter | last1 = Rudin | title = Functional Analysis | publisher = McGraw-Hill | year = 1991 | edition = second | isbn = 0-07-054236-8 }}.<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=Adjoint|title=Adjoint}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=Adjoint|title=adjoint}}<br />
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Adjoint|title=Definition:Adjoint}}<br />
* {{SpringerEOM|urlname=Adjoint_operator|title=Adjoint operator|author= Sobolev, V.I.}}<br />
<br />
{{Functional Analysis}}<br />
{{DEFAULTSORT:すいはんさようそ}}<br />
[[Category:作用素論]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
1.114.3.210
Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46