L-函数
数学で、L-函数(L-function)は複素平面上の有理型函数であり、いくつかの数学的対象のカテゴリから出てくる有理型函数に付帯している。L-級数(L-series)は、ディリクレ級数であり、大抵は半平面上で収束し、解析接続を通してL-函数を導くとみられる。
L-函数の理論は、非常に重要であり、未だ予想の段階のものも多く、現代の解析的整数論の分野である。そこでは、リーマンゼータ函数や、ディリクレ指標におけるL-級数の、広い一般化が構成されており、それらの一般的性質は、大半の場合が証明されていなく、系統的な方法なく研究されている。
構成
最初に、L-級数(L-series)、無限級数での表現を考える。リーマンゼータ函数のディリクレ級数のような L-函数は、解析接続により複素平面の函数である。一般の構成は L-級数から始め、最初にディリクレ級数を定義し、続いて素数をインデックスとするオイラー積として表現する。オイラー積の収束はある複素上半平面での収束を証明することが見積もりに要求される。従って、定義すべき函数が解析的に複素平面の残りの部分へ解析的に接続できるか否かということが問題となる（おそらく極を持つであろう）。
この問題は、L-函数と呼ばれる複素平面上の有理型函数での解析接続を持つとの予想である。古典的な場合は、級数の表現が収束しないような点でのL-函数の値や振る舞いを含む有益な情報が、既に知られている。一般的には L-函数は、ゼータ函数の多くの知られているタイプを含んでいる。セルバーグクラスは、一連の公理系で L-函数の核となる性質を捉える一つの試みであり、個別の函数というよりも函数のクラスの性質の研究を行おうとしている。
予想される事実
既知の L-函数の例で一般化可能と期待される特徴付けを挙げる。
- 零点と極の位置
- L-函数の函数等式は、垂直な直線が存在するという観点で、Re (s) = 定数
- 整数での特殊値
例えば、応用すべき函数等式の正確なタイプについて、多くの妥当な予想が詳細な研究によりなされている。リーマンのゼータ函数が正の偶数での特殊値（負の奇数での特殊値）を通して、ベルヌイ数と結びついているので、この現象の一般化が探究されている。この場合の結果は、p-進L-函数として得られていて、これはあるガロア加群を表現する。
零点の分布(zero distribution)は、一般化されたリーマン予想や素数の分布などの問題と関連しているので、非常に興味が持たれる。ランダム行列論との関係や量子カオスとの関係も興味が持たれる。分布のフラクタル構造は、範囲リスケール解析(rescaled range analysis)を使い研究される。[1]
バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
さらに一般的な L-函数の歴史や未だ未解決の問題への影響の大きな例は、ブライアン・バーチ(Bryan Birch)とピーター・スィナートン＝ダイヤー(Peter Swinnerton-Dyer)により1960年代の前半に発見された予想である。この予想を楕円曲線 E へ適用すると、解決しようとする問題は有理数（もしくは他の大域体）上の楕円曲線のランクについての予想を解こうとする試みである。すなわち、有理点のなす群の生成子のランクを求める問題である。この分野の今までに多くの仕事が L-函数のより良い知見を統一することから始められた。このことは、L-函数の初期の理論のパラダイム的な例を求めることに、いくらか似ている。
一般論の起こり
ラングランズ・プログラムに数年先立つこの発見は、ラングランズプログラムを補うものと見なすことができる。ラングランズの仕事はアルティンのL-函数と大きく関連していて、一般的保型表現についてのヘッケのL-函数同様、数十年も前の発見されている。
ハッセ・ヴェイユのL-函数が有効なL-函数をもたらす役目を果たしたという意味で、このことが緩やかに明らかになってきている。解析的な意味で、解析からの入力であるべきで、このことは保型的な解析を意味する。現在は、一般的な場合は、概念的なレベルで、多くの異なる研究プログラムが統一されている。
参照項目
- 一般化されたリーマン予想
- ディリクレのL-函数
- 保型形式のL-函数
- ハッセ・ヴェイユのL-函数
- ヘッケのL-函数
- モジュラリティ定理
- アルティンのL-函数
- L-函数の特殊値
- 清水のL-函数(Shimizu L-function)
参考文献
- ↑ O. Shanker (2006). “Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions”. J. Phys. A: Math. Gen. 39 (45): 13983–13997. Bibcode 2006JPhA...3913983S. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.
外部リンク
- LMFDB, the database of L-functions, modular forms, and related objects
- Glimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008
- Creeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008
- Hunting the elusive L-function
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