4つの4

4つの4（よっつのよん）は、4つの4と数学記号を使い、さまざまな数（普通は整数）を作ることを目指すパズル（数学パズル）である。フォーフォーズ（Four fours）ともいう。

使用可能な記号

日本の場合、一般的には以下の記号（演算）が使われているようである。

• 四則演算
• 小数点
• 冪乗
• 平方根
• 階乗
• 循環小数の循環節を表す点 [math]\left( .\dot4 = 0.\dot4=0.444 \cdots = \frac{4}{9} \right)[/math]

以下の記号が用いられることもある。

• 二重階乗 !!（1または2からその数までの偶数のみまたは奇数のみの積）
• ガウス記号（小数点以下の端数を切り捨てる）
• ガンマ関数（xが整数ならばΓ(x)=(x-1)!）
• パーセント（4% = 0.04）
• Σ（その数までの和）

例

基本的な例

[math]44[/math]	[math]=44+4-4[/math]	・・・数を並べて2桁以上の数にしてもよい
	[math]={{4 \times 4.4} \over .4}[/math]	・・・整数部分が0の小数はその0を省略できる
	[math]=4!+4!- \sqrt{4} - \sqrt{4}[/math]	・・・階乗、平方根を使用した例

0から10までの例

• 0=44-44
• 1=44/44
• 2=4/4+4/4
• 3=(4+4+4)/4
• 4=4+(4-4)*4
• 5=(4*4+4)/4
• 6=4+(4+4)/4
• 7=44/4-4
• 8=4+4+4-4
• 9=4+4+4/4
• 10=(44-4)/4

記号を多用した例

[math] 149 = \sqrt{\sqrt{\sqrt{{(\sqrt{4}/.4)}^{4!}}}} + 4! [/math]

その他

このパズルは1881年に科学雑誌「ノレッジ」に掲載されたものであり、1から1000まで（ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く）の解答例が示された。解の示されていない113は、一般的に使われる記号（使用可能な記号の節の循環小数まで）では表すことができないといわれている。後半の記号を使った解としては、

[math]113[/math]	[math]=\Gamma (\Gamma (4))-{4!+4 \over 4}[/math]
	[math]=\left({4!+4 \over 4} \right) !!+4!![/math]
	[math]=\Sigma \Sigma 4 \times \sqrt{4} + \Sigma 4 - \Sigma \sqrt{4}[/math]
	[math]=[(4!+4.4) \times 4][/math]

などがあった。

自然対数を用いてよい場合、次の式によって3つの4ですべての正の整数が表現できる。

[math]n=-\frac{\log\left(\cfrac{\log{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}}{\log{4}}\right)}{\log{\sqrt{4}}}[/math]

これは、さらにシンプルに次の様にも書ける。

[math]n=-\log_{\sqrt{4}}{\log_{4}{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}}[/math]

これらのとき、√は n 個つける。

似た問題に、その年の数字（2004年なら 2,0,0,4）を使って数を作る遊びもある。

関連項目

• 小町算