類数公式

数論では、類数公式(class number formula)は、代数体の多くの重要な不変量（特にイデアル類群の位数である類数）をデデキントゼータ函数の特殊値に関係付ける公式である。

類数公式の一般的なステートメント

下記のことより始める。

• K を数体とする。
• [K : Q] = n= r₁ + 2r₂ であるとする。ここに [math]r_1[/math] は K の実埋め込みの数を表し、[math]2r_2[/math] は K の複素埋め込みの数を表す。
• [math] \zeta_K(s)[/math] を K のデデキントのゼータ函数とする。
• [math]h_K[/math] は類数、すなわち K のイデアル類群の元の数
• [math]\operatorname{Reg}_K[/math] は K の単数基準（レギュレータ）
• [math]w_K[/math] は K に含まれる1の冪根の数
• [math]D_K[/math] は代数拡大 K/Q の判別式

すると、

定理（類数公式） K のデデキントゼータ函数 [math]\zeta_K(s)[/math] は、[math]\Re(s)\gt 1[/math] で絶対収束し、s = 1 に唯一の一位の極を持つ複素平面全体で定義される有理型函数へ拡張（解析接続）できる。その極における留数は

[math] \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}[/math]

である。

これが最も一般的な「類数公式」である。特別な場合、例えば K が Q の円分拡大のときには、より精密な類数公式が存在する。

円分体の類数公式を参照のこと。

証明

類数公式の証明のアイデアは、K = Q(i) のときが一番簡単である。この場合には、K の整数環はガウス整数環である。

基本的な計算で、デデキントのゼータ函数の s = 1 での留数 (residue) は、デデキントのゼータ函数のディリクレ級数表現の係数の平均である。ディリクレ級数の n 番目の係数が本質的に、非負な整数の二乗の和として n を表す個数である。従って、デデキントのゼータ函数の s = 1 での留数は、表現の平均の数を計算することで求めることができる。ガウスの円の問題(Gauss circle problem)の中で、原点を中心とする円の中に入る格子点の数の近似によりこれを計算することができて、留数は π の 4分の 1 という結論となる。

K が任意の虚二次体の場合は、（類数公式の）証明はこれと非常に似ている。

一般の場合は、ディリクレ単数定理によって、K の整数環の単数群は無限群である。それにもかかわらず、留数の計算を格子点の数の問題に、実数への埋め込みと複素数への埋め込みという古典的な理論を使い、還元することができ、証明を完成するために、領域の体積によって格子点の数で近似できる。

ディリクレの類数公式

ペーター・グスタフ・ディリクレは1839年に二次体の類数公式の証明を出版したが、しかし、イデアルのクラスというより、二次形式の言葉で書かれていた。ガウスは既にこの公式を1801年には知っているように思われる。

この記述は、ダベンポート(Davenport)に従っている。

d を基本判別式とし、h(d) を判別式 d を持つ二次形式の同値類の数とする。[math]\chi = \left(\!\frac{d}{m}\!\right)[/math] をクロネッカーの記号とする。すると [math]\chi[/math] はディリクレ指標である。[math]\chi[/math] のディリクレのL-級数を [math]L(s,\chi)[/math] と書くことにする。d > 0 に対し t > 0 とし、u > 0 である u をペル方程式 [math]t^2 - d u^2 = 4[/math] の最小の解として、

[math]\epsilon = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d}).[/math]

と書くことにする。（すると ε は実二次体 [math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] 基本単数、もしくは基本単数の二乗）

d < 0 としたとき、判別式が d である二次形式の自己同型の数を w とする。すなわち、

[math]w = \begin{cases} 2, & d \lt -4; \\ 4, & d = -4; \\ 6, & d = -3. \end{cases} [/math]

としたときに、ディリクレは、

[math]h(d)= \begin{cases} \dfrac{w \sqrt{|d|}}{2 \pi} L(1,\chi), & d \lt 0; \\ \dfrac{\sqrt{d}}{\ln \epsilon} L(1,\chi), & d \gt 0. \end{cases}[/math]

となることを示した。このことは上記の定理 1 の特別な場合であり、二次体 K に対して、デデキントのゼータ函数は、まさに [math]\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi)[/math] となり、留数は [math]L(1,\chi)[/math] となる。またディリクレは、L-級数は有限の形に書くことが可能でなことをも示し、このことは類数が有限の形となることを意味している。素数である導手 [math]q[/math] では、[math]\chi[/math] が原始的(primitive)であると仮定すると、

[math] L(1, \chi) = \begin{cases} -\dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\ -\dfrac{1}{q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln 2\sin \dfrac{m\pi}{q} , & q \equiv 1 \mod 4. \end{cases}[/math]

となる。

二次体の類数公式も参照のこと。

有理数のガロア拡大

K を Q のガロア拡大とすると、アルティンのL-函数の理論を [math] \zeta_K(s)[/math] へ適用する。これはリーマンゼータ函数の一つのファクタを持っていて、留数が 1 の極を持ち、商が s = 1 で正則になる。このことは、類数公式の右辺が左辺である

[math]\prod L(1,\rho)^{\dim \rho}[/math]

に等しいとみなすことができる。ρ は次元 dim(ρ) の Gal(K/Q) の既約な非自明複素線型表現の類のすべてをわたる。これは、正則表現に従っている。

有理数のアーベル拡大

これは、上記のケースで Gal(K/Q) がアーベル群の場合（ガロア群がアーベル群の場合をアーベル拡大と言う）で、この場合はすべての ρ は（類体論を経由して）、導手と呼ばれるあるモジュラス f のディリクレ指標に置き換えることができる。従ってすべての L(1) の値は、ディリクレのL-函数となり、これに対して対数を含む古典的な公式が存在する。

クロネッカー・ウェーバーの定理により、解析的類数公式に必要とされるすべての値は、既に円分体を考えたときに既に発生している。この場合には、エルンスト・クンマーにより示されたことであるが、さらに定式化が存在する。レギュレータは、円分体の単数の対数によって割ることで得られる「対数空間」の中の体積の計算ですが、円分体の単数の対数として、L(1) から量を逆算することが出来る。類数は単数の全体の群の中の円分体の単数のインデックスによって決定することが可能という結論となる。

岩澤理論では、これらのアイデアは、スティッケルベルガーの定理(Stickelberger's theorem)とさらに深く結びついている。

参考文献

• W. Narkiewicz (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers, 2nd ed, Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN, 324–355. ISBN 3-540-51250-0.