actions

開立法

開立法(かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root)は、実数立方根小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。

立方九九

開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。

表:立方九九
計算 暗唱方法
[math]1^3=1[/math] いんいちがいち
[math]2^3=8[/math] ににんがはち
[math]3^3=27[/math] さざんにじゅうしち
[math]4^3=64[/math] ししろくじゅうし
[math]5^3=125[/math] ごごひゃくにじゅうご
[math]6^3=216[/math] ろくろくにひゃくじゅうろく
[math]7^3=343[/math] しちしちさんびゃくしじゅうさん
[math]8^3=512[/math] はっぱごひゃくじゅうに
[math]9^3=729[/math] くくななひゃくにじゅうく

近似計算法

計算式(1)

開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。

[math] (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3} [/math]

ここで、[math]a \gg b[/math]とすると、

[math] (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b [/math]
[math] b = \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}} [/math]

である。両辺にaを加えて、

[math] a + b = a + \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}} [/math]

となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の [math](a+b)^{3}[/math]を与えられた数として扱う。 ただし、[math]a^{3}[/math]は与えられた数に最も近い完全立方数である。

計算式(2)

また、

[math] (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b + 3ab^{2} - b^{3} [/math]

を用いて、[math] a \gg b [/math]として、

[math] (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b [/math]
[math] b = \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}} [/math]

である。したがって、

[math] a - b = a - \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}} [/math]

この式の左辺を近似立方根、右辺の [math](a-b)^{3}[/math]を与えられた数として扱う。 ただし、[math]a^{3}[/math]は与えられた数に最も近い完全立方数である。

近似計算法を用いた計算例

[math] \sqrt[3]{1361} [/math]
[math] \sqrt[3]{1000}=10,~ \sqrt[3]{1331}=11,~ \sqrt[3]{1728}=12 [/math][math] \sqrt[3]{1361} [/math] に近い数を求めると、[math] \sqrt[3]{1331} [/math] が最も近い数であることがわかる。
計算式(1)を用いて、[math](a+b)^{3}=1361,~ a=11,~ a^{3}=1331[/math] として求める数 [math]a+b[/math] は、
[math]a + b = 11+ \frac{1361 - 1331}{3 \times 11^{2}} = 11.08264463\cdots [/math]
となる。電卓により計算すると、
[math] \sqrt[3]{1361} \fallingdotseq 11.08203137\cdots [/math]
であり近似計算できることがわかる。

珠算による開立法

根の定位

  • 立方が整数のとき:立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
  • 立方が帯小数のとき:立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
  • 立方が小数のとき:立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

倍根法

例: [math] \sqrt[3]{314432}=68 [/math]

テンプレート:そろばん 立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。(根の定位による。)
テンプレート:そろばん 最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗([math]6^3=216[/math])を314から引く。
テンプレート:そろばん 初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を、初根6の右4けために商を得るけたまで割る。
テンプレート:そろばん 54を初根6で割って次根8を求める。
テンプレート:そろばん 8×1=8を引く。 次根8の2乗([math]8^2=64[/math])を66から引く。
テンプレート:そろばん 残った2に左の18を掛ける。(余りのかけ戻し)
テンプレート:そろばん 次根8の3乗([math]8^3=512[/math])を引く。
テンプレート:そろばん 立方根は68である。

電卓による開立法

関数電卓でない普通の電卓でも、開平を行うテンプレート:Keypressキーさえあれば立方根を求めることができる。

関連項目

外部リンク