逆関係
数学における二項関係の逆関係（ぎゃくかんけい、英: inverse relation）は、関係（のグラフ）に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「～の子である」という関係の逆関係は「～の親である」という関係である。
定義
厳密に言えば、L ⊆ X × Y を X から Y への関係とするとき、その逆関係 L−1 は
- y L−1 x ⇔ x L y
によって定まる関係をいう {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}。これは
- [math]L^{-1} = \{(y, x) \in Y \times X \mid (x, y) \in L \}[/math]
とも書ける。逆関係 L−1 などと書く記法は逆写像の記法の流用である。写像はその多くが逆写像を持たないのに対し、関係は必ず逆関係を持つ。 ただし、このような記法を用いているにもかかわらず、逆関係は関係の合成の意味での逆元にはなっていない、つまり一般には
- [math]L \circ L^{-1} \neq \mathrm{id}[/math]
であることに注意しなければならない。
逆関係は反対関係 (converse relation) や（ダガー圏のよく知られた例として、転置行列と同様のものとして見て）転置関係 (transpose relation) とも呼ばれ、Lc, LT, L∼, L˘ などとも書かれる。
性質
- 自分自身を逆関係として持つ関係は対称関係（ダガー圏 の言葉で言えば、自己随伴 (self-adjoint)）である。
- 関係が反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移的、完全、三分的、 半順序、全順序、狭義弱順序、全前順序（弱順序）、同値関係であるという性質は、逆関係に遺伝する。
- 関係が拡張可能でも、その逆関係は必ずしも拡張可能ではない。
- 関係をその逆関係に写す操作は、関係の圏 Rel にダガー圏の構造を与える。
- 集合 X 上の二項関係全体の成す集合 B(X) は、関係を逆関係に写す操作を対合とする対合半群を成す。
例
通常の順序関係（狭義の順序でも半順序でもよい）の逆関係は、反対順序で与えられる。例えば
- [math] (\le)^{-1}= {\ge},\quad (\lt )^{-1}= {\gt } [/math]
などとなる（ここでの括弧は明確化のためのもので必ずしも必要ではない）。
写像の逆関係
写像が（写像として）可逆であるための必要十分条件は、写像の逆関係が再び写像となることである。このとき、逆関係が逆写像を与える。
写像 f: X → Y の逆関係 f−1: Y → X は
- [math]\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{(y, x) \mid y = f(x) \}[/math]
で定義される。これは必ずしも写像でなくてもよいが、f が単射であることを課さなければ f−1 は多価になってしまう。この条件は f−1 が部分写像であるためには十分であり、さらにこのとき f−1 が（全域）写像となるための必要十分条件が f が全射（したがって全単射）となることであるのは明らかである。f が全単射であるとき、f−1 は f の逆写像と呼ばれる。