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虚時間

ファイル:Real-and-imaginary-time-axes.svg
実時間と虚時間の関係は直交する軸として視覚化できる。

虚時間(きょじかん、imaginary time)は、虚の時間、つまり、単位時間の虚数(純虚数)倍で表される時間である。

虚時間と特殊相対性理論

ローレンツ変換不変量である4次元距離

[math]s^2 = (ct)^2 - (x^2 + y^2 + z^2) \,[/math]

で表される。ここでは、時間と空間は対称ではない。しかし、虚時間を [math]\tau = it[/math] と置くと、

[math]s^2 = - \{(c\tau)^2 + x^2 + y^2 + z^2\} \,[/math]

となり、虚時間(の [math]c[/math] 倍)と空間との間に対称性が成立する。このため、特殊相対性理論を虚時間を使って記述すると、数学的取り扱いが容易になる。たとえば、ミンコフスキー時空4次元ユークリッド空間となり、ローレンツ変換回転となる。

虚時間と温度

温度[math]T[/math]と虚時間[math]\tau[/math]は反比例の関係にある。

[math]t=-i\hbar\beta=-\frac{i\hbar}{k_{\rm B}T}[/math]

すなわち

[math]\tau=\frac{\hbar}{k_{\rm B}T}[/math]

[math]k_{\rm B}[/math]ボルツマン定数[math]\hbar[/math]換算プランク定数である。(ここでは上記との対応づけのため [math]\tau=it[/math] としたが、統計力学の教科書では [math]\tau=-it[/math] とする定義が多い。この違いは単純に複素共役関係であるから、数学的には等価である)

関連項目