線形力学系
線形力学系（せんけいりきがくけい、英: linear dynamical system）とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。
定義
一般に Rn における線形力学系は、ベクトル値関数 x(t) ∈ Rn と、n 次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。
- [math] \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} \mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t) [/math]
ただしこれは、x が連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、
- [math] \mathbf{x}_{m+1} = A \mathbf{x}_{m} [/math]
で表される。
これが線形であるとは、x(t) と y(t) が解ならば、任意のスカラー a, b について、線形結合 ax(t) + by(t) も解である、ということを意味している。
線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 etA（連続系）、もしくは累乗 An（離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。 非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ（ハートマン＝グロブマンの定理）。
線形力学系の解
初期値 x(0) = x0 が、行列 A の固有ベクトル vk ならば、初期条件は
- [math] \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} \mathbf{x}(t)\right|_{t=0} = A \mathbf{v}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{v}_{k} [/math]
となる。ただし、λk は、固有ベクトル vk に対応する固有値である。このとき、解は、
- [math] \mathbf{x}(t) = \mathbf{v}_{k} \mathrm{e}^{\lambda_{k} t} [/math]
となる。
もし A が対角化可能ならば、任意の初期値 x0 は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 ak が一意に存在する。
- [math] \mathbf{x}_{0} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbf{v}_{k} [/math]
このとき解は、
- [math] \mathbf{x}(t) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbf{v}_{k} e^{\lambda_{k} t} [/math]
となる。
対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて
- [math] \mathbf{x}(t) = e^{t A} \mathbf{x}_0 \quad \biggl( e^{t A} =\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}A^n \biggr ) [/math]
と、解を導くことができる。
二次元の場合
二次元の線形力学系は、
- [math] \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} [/math]
で表される。この系では、A は 2 次正方行列である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、
- [math]\lambda_1=\frac{\tau+\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}[/math]
- [math]\lambda_2=\frac{\tau-\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}[/math]
のように書くことができる。
また、[math]\Delta=\lambda_1\lambda_2[/math] であり、[math]\tau=\lambda_1+\lambda_2[/math] である。
もし、[math]\Delta\lt 0[/math] ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 (saddle point) となる。
[math]\Delta=0[/math] ならば、原点は孤立した平衡点ではない。
[math]\Delta\gt 0[/math] ならば、固有値の符号が同じになり、[math]\tau\lt 0[/math] ならば(漸近)安定、[math]\tau=0[/math] ならば中立安定、[math]\tau\gt 0[/math] ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 (node) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 (degenerate node) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (spiral) となる。
参考文献
- (1974) Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press.