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累乗数

累乗数(るいじょうすう、: perfect power)とは、他の自然数累乗になっている自然数、すなわち、mkm, k は自然数で k2 以上)の形の数を指す。

累乗数を 1 から小さい順に列記すると

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, …(オンライン整数列大辞典の数列 A001597

累乗数の性質

4 を法として 2 と合同でない数は 2 つの累乗数の差として表される。実際、(n + 1)2n2 = 2n + 1, (n + 2)2n2 = 4n + 4 が成立する。

また、2 = 33 − 52, 10 = 133 − 37 など、4 を法として 2 と合同な数(単偶数)に関しても累乗数の差として表せる場合があることが知られている。6, 14, 34 などがそのように表せるかどうかは知られていない。

差が 1 となる累乗数の組は (8, 9) のみであると、1844年カタランEnglish版 (Eugène Charles Catalan) によって予想され(カタラン予想)、2002年プレダ・ミハイレスクによって証明された。

一般に、累乗数を小さいほうから a1 = 1, a2 = 4, … と並べるとき、ai + 1aii と共に無限大に発散すると予想されている(Pillai)。この予想は、任意の自然数 a に対して方程式 xnym = a は有限個の自然数解(x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2)しかないことと同値である。Chudnovsky はこれを証明したと主張したが、本当に証明されたのかは不明である。エルデシュai + 1ai > ic となる正の定数 c が存在すると予想している。

方程式 xnym = a(a は与えられた自然数, x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2)は a のほかにもう一つの変数を固定すれば、有限個の解しか存在しないことが知られている。m, n のいずれかを固定した場合には、Schinzel と Tijdeman の一般的な不定方程式 ym = P(x) に関する結果から従い、x, y のいずれかを固定した場合には一般の線形循環数列に関する Shorey と Tijdeman の結果から従う。

3, 7, 8, 15, … など、1 を除く累乗数から 1 を引いた数の逆和は、1 になる。すなわち、

[math]1 = \sum\limits_{ p \in \mathbb{P} } {\left( { \frac{1}{p - 1}} \right)} = {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+\frac{1}{15} + \frac{1}{24}} + \cdots [/math]

である。これは、ゴールドバッハ・オイラーの定理と呼ばれている。

累乗数に関する性質

数字和・数字根

  • ある数 m を 2 乗した数の各位の和(数字和)を求め、それをさらに 1 桁になるまで繰り返すと結果(数字根)は 1, 4, 7, 9 の 4 通りにしかならない。(例:642 = 4096 → 4 + 0 + 9 + 6 = 19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1)
  • ある数 mn 乗した数の各位の和が元の数 m に等しい数が存在する。(例:74 = 2401 → 2 + 4 + 0 + 1 = 7)
n m OEIS
2
1, 9
3
1, 8, 17, 18, 26, 27 テンプレート:OEIS2C
4
1, 7, 22, 25, 28, 36 テンプレート:OEIS2C
5
1, 28, 35, 36, 46 テンプレート:OEIS2C
6
1, 18, 45, 54, 64 テンプレート:OEIS2C
7
1, 18, 27, 31, 34, 43, 53, 58, 68 テンプレート:OEIS2C
8
1, 46, 54, 63
9
1, 54, 71, 81
10 1, 82, 85, 94, 97, 106, 117
11 1, 98, 107, 108
12 1, 108
13 1, 20, 40, 86, 103, 104, 106, 107, 126, 134, 135, 146
14 1, 91, 118, 127, 135, 154
15 1, 107, 134, 136, 152, 154, 172, 199
16 1, 133, 142, 163, 169, 181, 187
17 1, 80, 143, 171, 216
18 1, 172, 181
19 1, 80, 90, 155, 157, 171, 173, 181, 189, 207
20 1, 90, 181, 207

累乗和

  • 自然数の累乗和 [math]\sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + 3^m + \dotsb + n^m[/math]
m OEIS
1
三角数を参照
2
四角錐数を参照
3
立方数を参照
4
1, 17, 98, 354, 979, 2275, 4676, 8772, 15333, … テンプレート:OEIS2C
5
1, 33, 276, 1300, 4425, 12201, 29008, 61776, … テンプレート:OEIS2C
6
1, 65, 794, 4890, 20515, 67171, 184820, 446964, … テンプレート:OEIS2C
7
1, 129, 2316, 18700, 96825, 376761, 1200304, 3297456, … テンプレート:OEIS2C
8
1, 257, 6818, 72354, 462979, 2142595, 7907396, 24684612, … テンプレート:OEIS2C
OEIS
1n + 2n + 3n 3, 6, 14, 36, 98, 276, 794, 2316, 6818, … テンプレート:OEIS2C
1n + 2n + 3n + 4n 4, 10, 30, 100, 354, 1300, 4890, 18700, … テンプレート:OEIS2C
1n + 2n + 3n + 4n + 5n 5, 15, 55, 225, 979, 4425, 20515, 96825, … テンプレート:OEIS2C
1n + 2n + 3n + ⋯ + 6n 6, 21, 91, 441, 2275, 12201, 67171, 376761, … テンプレート:OEIS2C
1n + 2n + 3n + ⋯ + 7n 7, 28, 140, 784, 4676, 29008, 184820, 1200304, … テンプレート:OEIS2C
1n + 2n + 3n + ⋯ + 8n 8, 36, 204, 1296, 8772, 61776, 446964, 3297456, … テンプレート:OEIS2C
1n + 2n + 3n + ⋯ + 9n 9, 45, 285, 2025, 15333, 120825, 978405, 8080425, … テンプレート:OEIS2C
1n + 2n + 3n + ⋯ + 10n 10, 55, 385, 3025, 25333, 220825, 1978405, … テンプレート:OEIS2C
上記の表において最初の数は自然数、2 番目は三角数、3 番目は四角錐数、4 番目は三角数の 2 乗である。
(例. 288 = 11 + 22 + 33 + 44)
  • 同じ数の累乗和(整数乗) [math]\sum_{k=0}^{n} a^k = a^0 + a^1 + a^2 + \dotsb + a^{n} = \dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}[/math]
a OEIS
2
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, … テンプレート:OEIS2C
3
1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, … テンプレート:OEIS2C
4
1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, 1398101, … テンプレート:OEIS2C
5
1, 6, 31, 156, 781, 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406, … テンプレート:OEIS2C
6
1, 7, 43, 259, 1555, 9331, 55987, 335923, 2015539, 12093235, … テンプレート:OEIS2C
7
1, 8, 57, 400, 2801, 19608, 137257, 960800, 6725601, … テンプレート:OEIS2C
8
1, 9, 73, 585, 4681, 37449, 299593, 2396745, 19173961, … テンプレート:OEIS2C
9
1, 10, 91, 820, 7381, 66430, 597871, 5380840, 48427561, … テンプレート:OEIS2C
10 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111, … テンプレート:OEIS2C
11 1, 12, 133, 1464, 16105, 177156, 1948717, 21435888, 235794769, … テンプレート:OEIS2C
12 1, 13, 157, 1885, 22621, 271453, 3257437, 39089245, 469070941, … テンプレート:OEIS2C
13 1, 14, 183, 2380, 30941, 402234, 5229043, 67977560, 883708281, … テンプレート:OEIS2C
14 1, 15, 211, 2955, 41371, 579195, 8108731, 113522235, 1589311291, … テンプレート:OEIS2C
15 1, 16, 241, 3616, 54241, 813616, 12204241, 183063616, 2745954241, … テンプレート:OEIS2C
16 1, 17, 273, 4369, 69905, 1118481, 17895697, 286331153, 4581298449, … テンプレート:OEIS2C
17 1, 18, 307, 5220, 88741, 1508598, 25646167, 435984840, 7411742281, … テンプレート:OEIS2C
18 1, 19, 343, 6175, 111151, 2000719, 36012943, 648232975, 11668193551, … テンプレート:OEIS2C
19 1, 20, 381, 7240, 137561, 2613660, 49659541, 943531280, 17927094321, … テンプレート:OEIS2C
20 1, 21, 421, 8421, 168421, 3368421, 67368421, 1347368421, … テンプレート:OEIS2C
21 1, 22, 463, 9724, 204205, 4288306, 90054427, 1891142968, … テンプレート:OEIS2C
22 1, 23, 507, 11155, 245411, 5399043, 118778947, 2613136835, … テンプレート:OEIS2C
23 1, 24, 553, 12720, 292561, 6728904, 154764793, 3559590240, … テンプレート:OEIS2C
24 1, 25, 601, 14425, 346201, 8308825, 199411801, 4785883225, … テンプレート:OEIS2C
25 1, 26, 651, 16276, 406901, 10172526, 254313151, 6357828776, … テンプレート:OEIS2C
26 1, 27, 703, 18279, 475255, 12356631, 321272407, 8353082583, … テンプレート:OEIS2C
27 1, 28, 757, 20440, 551881, 14900788, 402321277, 10862674480, … テンプレート:OEIS2C
28 1, 29, 813, 22765, 637421, 17847789, 499738093, 13992666605, … テンプレート:OEIS2C
29 1, 30, 871, 25260, 732541, 21243690, 616067011, 17865943320, … テンプレート:OEIS2C
30 1, 31, 931, 27931, 837931, 25137931, 754137931, 22624137931, … テンプレート:OEIS2C
上記の表において3番目の数 (a0 + a1 + a2) は テンプレート:OEIS2C、4番目 (a0 + a1 + a2 + a3) は テンプレート:OEIS2Cを参照。
  • 同じ数の累乗和(自然数乗) [math]\sum_{k=1}^{n} a^k = a^1 + a^2 + \dotsb + a^{n} = \dfrac{a^{n+1}-a}{a-1} = \dfrac{a(a^{n}-1)}{a-1}[/math]
a OEIS
2
2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, 2046, 4094, 8190, … テンプレート:OEIS2C
3
3, 12, 39, 120, 363, 1092, 3279, 9840, 29523, … テンプレート:OEIS2C
4
4, 20, 84, 340, 1364, 5460, 21844, 87380, 349524, 1398100, … テンプレート:OEIS2C
5
5, 30, 155, 780, 3905, 19530, 97655, 488280, 2441405, … テンプレート:OEIS2C
6
6, 42, 258, 1554, 9330, 55986, 335922, 2015538, 12093234, … テンプレート:OEIS2C
7
7, 56, 399, 2800, 19607, 137256, 960799, 6725600, … テンプレート:OEIS2C
8
8, 72, 584, 4680, 37448, 299592, 2396744, 19173960, … テンプレート:OEIS2C
9
9, 90, 819, 7380, 66429, 597870, 5380839, 48427560, … テンプレート:OEIS2C
10 10, 110, 1110, 11110, 111110, 1111110, 11111110, 111111110, … テンプレート:OEIS2C
11 11, 132, 1463, 16104, 177155, 1948716, 21435887, 235794768, … テンプレート:OEIS2C
12 12, 156, 1884, 22620, 271452, 3257436, 39089244, 469070940, …
上記の表において 2 番目の数 (a1 + a2) は矩形数、3 番目 (a1 + a2 + a3) は テンプレート:OEIS2C、4 番目は テンプレート:OEIS2C、5 番目は テンプレート:OEIS2C、6 番目は テンプレート:OEIS2C、7 番目は テンプレート:OEIS2C、8 番目は テンプレート:OEIS2C、9 番目は テンプレート:OEIS2C、10 番目は テンプレート:OEIS2C を参照。

参考文献

  • Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
  • T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.
  • P. Mihăilescu, "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572 (2004), 167–195.

関連項目

外部リンク