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算木

ファイル:Yanghui triangle.PNG
朱世傑の四元玉鑑 (1303年) で書かれた楊輝の三角形

算木(さんぎ)または算筹(さんちゅう)とは中国数学や和算で用いられた計算用具である。縦または横に置くことで数を表した。算木に基づく算木数字も使われた。算木を用いた計算法を籌算という。

歴史

中国では紀元前から算木が使われていた。1954年湖南省長沙の左家公山15号墓で、戦国時代の算木が四十数本発掘された[1][2]。文献の記録はさらに古く、老子には「善く数える者は籌策(ちゅうさく)を用いず」とある[3]

13世紀そろばんが使われるようになるまで、算木で計算を行った。算木はそろばんと異なり高次の代数方程式を解くことができたが(別項参照)、中国ではそろばんの普及により解法が失われた。江戸時代の日本の数学者はそろばんと並んで算木を用い、数学の発展に貢献した。

算木の使用

算木は長さ 3〜14cm の木製または竹製の細長い直方体で、縦または横に並べて数を表し、配列を動かすことで四則演算開平開立などの計算をした。1から5まではその数だけ算木を並べ、6以上は異なる向きの1本で5を表した。

アラビア数字のように左を上位として横に並べることで数を示す。隣の桁と間違えないよう、桁によって算木の向きを変え、縦式によって奇数桁(一・百・万……の位)を、横式によって偶数桁(十・千……の位)を示した。孫子算経には「一は縦、十は横、百は立ち、千は倒れる」とある[4]

日本では算盤(さんばん)と呼ばれる格子を書いた布の上で算木を使用した。はじめは中国と同じく縦式横式のしくみを用いていたが、江戸後期になると算木を使って計算する時に横式を用いず、一位十位百位など位にかかわらず縦式のみを扱う者が多くなった(算盤の格子によって桁がわかるために、縦横の区別がいらなかったため)。ただし、紙の上では格子はなく続けざまに算木を書くので従来どおり縦式横式で書き続けた。

算木は2色に着色され、の算木は正の数を、の算木は負の数を表した。0 はその場所に算木を置かず空けておくことで示し、後に碁石を置いて明示するようになった。九章算術には、「(引き算の時)同符号は引き、異符号は加える。正を無入から引いて負とし、負を無入から引いて正とする」とある[5][6]。この「無入」とは「0」のことである。これから、0と正負の計算を理解していたことが分かる。

正の数
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
縦式   ファイル:Counting rod v1r.png ファイル:Counting rod v2r.png ファイル:Counting rod v3r.png ファイル:Counting rod v4r.png ファイル:Counting rod v5r.png ファイル:Counting rod v6r.png ファイル:Counting rod v7r.png ファイル:Counting rod v8r.png ファイル:Counting rod v9r.png
横式   ファイル:Counting rod h1r.png ファイル:Counting rod h2r.png ファイル:Counting rod h3r.png ファイル:Counting rod h4r.png ファイル:Counting rod h5r.png ファイル:Counting rod h6r.png ファイル:Counting rod h7r.png ファイル:Counting rod h8r.png ファイル:Counting rod h9r.png


負の数
  0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
縦式   ファイル:Counting rod v1.png ファイル:Counting rod v2.png ファイル:Counting rod v3.png ファイル:Counting rod v4.png ファイル:Counting rod v5.png ファイル:Counting rod v6.png ファイル:Counting rod v7.png ファイル:Counting rod v8.png ファイル:Counting rod v9.png
横式   ファイル:Counting rod h1.png ファイル:Counting rod h2.png ファイル:Counting rod h3.png ファイル:Counting rod h4.png ファイル:Counting rod h5.png ファイル:Counting rod h6.png ファイル:Counting rod h7.png ファイル:Counting rod h8.png ファイル:Counting rod h9.png


例:

231   ファイル:Counting rod v2r.png ファイル:Counting rod h3r.png ファイル:Counting rod v1r.png
5089 ファイル:Counting rod h5r.png   ファイル:Counting rod h8r.png ファイル:Counting rod v9r.png
-407   ファイル:Counting rod v4.png   ファイル:Counting rod v7.png
-6720 ファイル:Counting rod h6.png ファイル:Counting rod v7.png ファイル:Counting rod h2.png  

算木数字

算木を紙に記すときは正の数をそのまま書き、負の数は最後の桁に斜線を書いて示した。この算木数字は真の位取り記数法である。横式の字の縦棒は、字の高さを揃えるため短く書いた。

また当初「0」は空白だったが、「〇」を書くようになった。718年瞿曇悉達によりインド数字から導入されたとも[5]中国語で欠字を表した「」から来ているとも[7]言われる。漢数字#〇、零を参照すること。

13世紀南宋の数学者は 4、5、9の数字の画数を減らして書きやすくした[7]。この新しい数字の横式は最終的に蘇州号碼に変化した。日本では紙の上では従来の算木数字を使い続けた。

正の数
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
縦式 ファイル:Counting rod 0.png ファイル:Counting rod v1.png ファイル:Counting rod v2.png ファイル:Counting rod v3.png ファイル:Counting rod v4.png ファイル:Counting rod v5.png ファイル:Counting rod v6.png ファイル:Counting rod v7.png ファイル:Counting rod v8.png ファイル:Counting rod v9.png
横式 ファイル:Counting rod 0.png ファイル:Counting rod h1.png ファイル:Counting rod h2.png ファイル:Counting rod h3.png ファイル:Counting rod h4.png ファイル:Counting rod h5.png ファイル:Counting rod h6.png ファイル:Counting rod h7 num.png ファイル:Counting rod h8 num.png ファイル:Counting rod h9 num.png


負の数
  -0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
縦式 ファイル:Counting rod -0.png ファイル:Counting rod v-1.png ファイル:Counting rod v-2.png ファイル:Counting rod v-3.png ファイル:Counting rod v-4.png ファイル:Counting rod v-5.png ファイル:Counting rod v-6.png ファイル:Counting rod v-7.png ファイル:Counting rod v-8.png ファイル:Counting rod v-9.png


正の数 (南宋)
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
縦式 ファイル:Counting rod 0.png ファイル:Counting rod v1.png ファイル:Counting rod v2.png ファイル:Counting rod v3.png ファイル:Counting rod 4 song.png ファイル:Counting rod v5 song.png ファイル:Counting rod v6.png ファイル:Counting rod v7.png ファイル:Counting rod v8.png ファイル:Counting rod v9 song.png
横式 ファイル:Counting rod 0.png ファイル:Counting rod h1.png ファイル:Counting rod h2.png ファイル:Counting rod h3.png ファイル:Counting rod 4 song.png ファイル:Counting rod h5 song.png ファイル:Counting rod h6.png ファイル:Counting rod h7 num.png ファイル:Counting rod h8 num.png ファイル:Counting rod h9 song.png


例:

231 ファイル:Counting rod v2.pngファイル:Counting rod h3.pngファイル:Counting rod v1.png
5089 ファイル:Counting rod h5.pngファイル:Counting rod 0.pngファイル:Counting rod h8 num.pngファイル:Counting rod v9.png
-407 ファイル:Counting rod v4.pngファイル:Counting rod 0.pngファイル:Counting rod v-7.png
-6720 ファイル:Counting rod h6.pngファイル:Counting rod v7.pngファイル:Counting rod h2.pngファイル:Counting rod -0.png

代数記号

日本では関孝和が算木数字から傍書法という代数記号体系を作り出した。これにより未知数を含む筆算ができるようになり、和算を飛躍的に発展させた[5]。さらに関以降、数を表すのに算木による数の表示にならんで漢数字を位取り記数法で並べることもふえた。

西洋数学 関以降
x + y + 246 ファイル:Counting rod v1.pngファイル:Counting rod v1.pngファイル:Counting rod v2.pngファイル:Counting rod h4.pngファイル:Counting rod v6.png ファイル:Counting rod v1.pngファイル:Counting rod v1.pngファイル:Counting rod v1.png二四六
5x - 6y ファイル:Counting rod v5.pngファイル:Counting rod v-6.png ファイル:Counting rod v1.png五甲ファイル:Counting rod v-1.png六乙
7xy ファイル:Counting rod v7.png甲乙 ファイル:Counting rod v1.png七甲乙
8x / y (なし) 八乙ファイル:Counting rod v1.png

Unicode

Unicode第5.0版は追加多言語面 (SMP) の U+1D360-U+1D37F の範囲を算木に割り当てている。横式の 1 から 9 が U+1D360-U+1D368、縦式の 1 から 9 が U+1D369-U+1D371 である。上記の慣習とは逆に、横式が一の位 (unit digits)、縦式が十の位 (tens digits) となっている[8]。0 の算木は U+3007 (漢数字の〇)で、負の斜線は U+20E5 (combining reverse solidus overlay) で示す[9]

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+3007 1-1-27 〇
〇
IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO
𝍠 U+1D360 - 𝍠
𝍠
COUNTING ROD UNIT DIGIT ONE
𝍡 U+1D361 - 𝍡
𝍡
COUNTING ROD UNIT DIGIT TWO
𝍢 U+1D362 - 𝍢
𝍢
COUNTING ROD UNIT DIGIT THREE
𝍣 U+1D363 - 𝍣
𝍣
COUNTING ROD UNIT DIGIT FOUR
𝍤 U+1D364 - 𝍤
𝍤
COUNTING ROD UNIT DIGIT FIVE
𝍥 U+1D365 - 𝍥
𝍥
COUNTING ROD UNIT DIGIT SIX
𝍦 U+1D366 - 𝍦
𝍦
COUNTING ROD UNIT DIGIT SEVEN
𝍧 U+1D367 - 𝍧
𝍧
COUNTING ROD UNIT DIGIT EIGHT
𝍨 U+1D368 - 𝍨
𝍨
COUNTING ROD UNIT DIGIT NINE
𝍩 U+1D369 - 𝍩
𝍩
COUNTING ROD TENS DIGIT ONE
𝍪 U+1D36A - 𝍪
𝍪
COUNTING ROD TENS DIGIT TWO
𝍫 U+1D36B - 𝍫
𝍫
COUNTING ROD TENS DIGIT THREE
𝍬 U+1D36C - 𝍬
𝍬
COUNTING ROD TENS DIGIT FOUR
𝍭 U+1D36D - 𝍭
𝍭
COUNTING ROD TENS DIGIT FIVE
𝍮 U+1D36E - 𝍮
𝍮
COUNTING ROD TENS DIGIT SIX
𝍯 U+1D36F - 𝍯
𝍯
COUNTING ROD TENS DIGIT SEVEN
𝍰 U+1D370 - 𝍰
𝍰
COUNTING ROD TENS DIGIT EIGHT
𝍱 U+1D371 - 𝍱
𝍱
COUNTING ROD TENS DIGIT NINE


易占用の算木

易占で用いられる算木は算術用のものより大型で、2〜3寸程度。6 本を組にし、出た卦を即席に記録・表示するのに用いる。角材の4面のうち連続した2面の中央に浅い彫り込みがあり、陰爻を示す。両端に八卦の漢字が書かれたものもあり、この書き込みは本筮法、中筮法で用いる。

易者のシンボル

算木で表示した卦を意匠化したマークがしばしば易占いの商標のように用いられる。古くは恋愛を表す「」が、近代に入ってからは開運を表す「」が使われている。

参考文献

  1. 先秦时期竹林资源的利用, http://www.yiyangcity.gov.cn/zhuanti/nanzhu/bamboo_produce/20070716094037.htm . 2007閲覧. 
  2. 中国独特的计算工具, http://mkd.lyge.cn/zhanzheng/a04/x3/040.htm . 2007閲覧. 
  3. 老子: 善數者不用籌策。
  4. http://zh.wikisource.org/wiki/%E5%AD%AB%E5%AD%90%E7%AE%97%E7%B6%93 孫子算經: 先識其位,一從十橫,百立千僵,千十相望,萬百相當。
  5. 5.0 5.1 5.2 王青翔 (1999), 「算木」を超えた男, 東京: 東洋書店, ISBN 4-88595-226-3 
  6. http://zh.wikisource.org/wiki/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93 正負術曰: 同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。
  7. 7.0 7.1 銭宝琮 (1964), 中国数学史, 北京: 科学出版社 
  8. The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition, Unicode, Inc., (2006), p. 558, http://www.unicode.org/charts/PDF/U1D360.pdf 
  9. The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition, Unicode, Inc., (2006), pp. 499-500, http://www.unicode.org/versions/Unicode5.0.0/ch15.pdf 

関連項目

外部リンク