正軸体
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正軸体（せいじくたい、cross-polytope）は、2次元の正方形、3次元の正八面体、4次元の正十六胞体を各次元に一般化した正多胞体。
なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は点、1次元正軸体は線分となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。
[math]\beta[/math]体（ベータたい）ともいい、n 次元正軸体を [math]\beta_n[/math] と書く。
正単体、超立方体（正測体）と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
作図
正軸体を作図するには、座標 [math](\pm1,0,0,\cdots,0)[/math] の巡回
[math](\pm1,0,0,\cdots,0), (0,\pm1,0,\cdots,0), \cdots , (0,0,\cdots,0,\pm1)[/math]
を頂点とし、最も近い（距離 [math]\sqrt{2}[/math] の）2点ずつを辺で結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、m + 1 (0 ≤ m ≤ n - 1) 点ずつが m 次元面を構成する。
なおこの作図は、超立方体
[math](\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1) [/math]
の双対の作図と等価である。
またこうして作図された正軸体は、n 次元ユークリッド空間を [math]\mathbb R^n [/math] で表して
[math]\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_1 \le 1\}[/math]
でも定義できる。
性質
特にことわらない限り、辺の長さが a の n (≥ 2) 次元正軸体について述べる。
超体積は
[math] \frac{ \sqrt{2}^n }{ n! } a^n[/math]
超表面積は
[math]\frac{ 2^n \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}[/math]
である。
ファセット（n - 1 次元面）は n - 1 次元正単体である。したがって一般に、 m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元正単体である。また m 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、
[math]\frac{ \sqrt{m+1} }{ m! \sqrt{ 2^m } } a^m[/math]
である。
対角線の長さは、作図法からわかるとおり、
[math]\frac{2}{\sqrt{n}}[/math]
で、全て直交する。
m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面の個数は
[math]2^{m+1} {}_{n}\operatorname{C}_{m+1}[/math]
である。特に、頂点は [math]2n[/math] 個、ファセットは [math]2^n[/math] 個である。
双対は超立方体（正測体）である。