整拡大

可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 b が A 係数のモニック多項式の根であるとき、b は A 上整である（integral over A）という。B のすべての元が A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大（integral extension）であるという。 本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。

定義

B を環、A をその部分環とする。b ∈ B が A 上整であるとは、

[math]b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \dotsb + a_1 b + a_0 = 0[/math]

を満たす自然数 n ≥ 1 と A の元 a₀, …, a_n−1 が存在することである。B の元がすべて A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大であるという。

B の元で A 上整であるものすべてのなす集合は B の部分環となり、これを B における A の整閉包という。B における A の整閉包が A 自身であるとき、A は B において整閉であるという。

A と B が体のとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、代数拡大、代数的閉包と呼ばれる。

例

• 整数環 Z 上整な有理数体 Q の元は整数しかない。言い換えると、Z は Z の Q における整閉包である。
• ガウス整数、すなわち [math]a + b \sqrt{-1}, a, b \in \mathbf{Z}[/math] の形の複素数は、Z 上整である。[math]\mathbf{Z}[\sqrt{-1}][/math] が Z の [math]\mathbf{Q}(\sqrt{-1})[/math] における整閉包である。
• Z の [math]\mathbf{Q}(\sqrt{5})[/math] における整閉包は、[math](a + b \sqrt{5})/2[/math] の形の元からなる。ただし、a と b は整数であって、[math]a^2-5b^2[/math] は4の倍数である。この例と直前の例は二次の整数(quadratic integer)の例である。
• ζ を1の冪根とすると、円分体 Q(ζ) における Z の整閉包は Z[ζ] である。
• Z の複素数体 C における整閉包は代数的整数の環と呼ばれる。
• [math]\overline{k}[/math] が体 k の代数的閉包であれば、多項式環 [math]\overline{k}[x_1, \dots, x_n][/math] は [math]k[x_1, \dots, x_n][/math] 上整である。
• 有限群 G が環 A に作用しているとする。このとき A は G によって固定される元の集合 A^G 上整である。ring of invariants を見よ。
• 任意の環において1の冪根と冪零元は Z 上整である。
• R を環とし、u を R を含む環における単位元とする。このとき

1. u⁻¹ が R 上整であるのは、u⁻¹ ∈ R[u] であるとき、かつそのときに限る。
2. [math]R[u] \cap R[u^{-1}][/math] は R 上整である。

• 形式冪級数環 C[[x]] の、ローラン級数体 C((x)) の有限次拡大における整閉包は、[math]\mathbf{C}[[x^{1/n}]][/math] の形である(cf. ピュイズー級数)。
• 正規射影多様体 X の斉次座標環の整閉包は切断の環(ring of sections)である。

[math]\bigoplus\nolimits_{n \ge 0} \operatorname{H}^0(X, \mathcal{O}_X(n))[/math]

整元の特徴づけ

B を環とし、A をその部分環とする。このとき B の元 b について次は同値。

• b は A 上整
• 部分環 A[b] ⊂ B は A-加群として有限生成
• A[b] は有限生成 A-加群である部分環 C ⊂ B に含まれる
• 忠実な A[b]-加群 M で A 上有限生成なものが存在する
• 有限生成部分 A-加群 M ⊂ B が存在し、bM ⊂ M であり、M の B における零化イデアルは0

関連項目

• 整閉整域
• 上昇定理

参考文献

• 堀田良之 『可換環と体』 岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9。

• Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative Rings, Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5. 

• テンプレート:Hartshorne AG

• J. S. Milne, "Algebraic number theory." available at http://www.jmilne.org/math/