巡回畳み込み
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巡回畳み込み（じゅんかいたたみこみ、英語: circular convolution）あるいは循環畳み込み（じゅんかんたたみこみ、英語: cyclic convolution）とは、二つの非周期関数に対し、一方の周期和を用いて、もう一方を通常の方法で畳み込むことを意味する。このような状況は巡回畳み込み定理の文脈において現れる。もし無限の積分区間が、ちょうど一周期分へと減らされた場合には、両方の関数の周期和として、同様の畳み込み作用を表現することが出来る。このような状況は離散時間フーリエ変換の文脈において現れ、周期畳み込みとも呼ばれる。特に、二つの離散シーケンスの積に対する離散時間フーリエ変換は、各シーケンスに対するその変換の周期畳み込みである[1]。
周期 T の周期関数 xT と、他の関数 h との畳み込みはふたたび周期関数となり、次のような形で、有限区間の積分として表現される:
- [math] \begin{align} (x_T * h)(t)\quad &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau \\ &= \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau. \end{align} [/math][2]
ここで to は任意のパラメータであり、hT は h の周期和で、それは次のように定義される:
- [math]h_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^\infty h(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^\infty h(t + kT).[/math]
この演算は関数 xT と hT の周期畳み込みである。もし xT が他の関数 x の周期和であるなら、同様の演算は関数 x と h の巡回畳み込みと呼ばれる。
離散シーケンス
同様に、周期 N の離散シーケンスに対して、関数 h と x の巡回畳み込みを次のように書くことが出来る:
- [math] \begin{align} (x_N * h)[n] \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{m=-\infty}^\infty h[m] \cdot x_N[n-m] \\ &= \sum_{m=-\infty}^\infty \left( h[m] \cdot \sum_{k=-\infty}^\infty x[n -m -kN] \right). \end{align} [/math]
関連項目
注釈
- ↑ もし連続関数 x(t) のサンプルからなるシーケンス x[n] のフーリエ変換が X(ƒ) であるなら、その離散時間フーリエ変換は X(ƒ) の周期和となる（離散時間フーリエ変換を参照されたい）。
- ↑ 証明:
- [math]\int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau[/math]
- [math] \begin{align} &= \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o+kT}^{t_o+(k+1)T} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau\right] \\ &\stackrel{\tau \rightarrow \tau+kT}{=}\ \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o}^{t_o+T} h(\tau+kT)\cdot x_T(t - \tau -kT)\ d\tau\right] \\ &= \int_{t_o}^{t_o+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\cdot \underbrace{x_T(t - \tau-kT)}_{x_T(t - \tau), \text{by periodicity}}\right]\ d\tau\\ &= \int_{t_o}^{t_o+T} \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\right]}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ h_T(\tau)}\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau \quad \quad \scriptstyle{(QED)} \end{align} [/math]
- [math]\int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau[/math]
参考文献
- Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 63–67. ISBN 0-13-914101-4.
- Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.