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対称差

ファイル:Venn-Diagram-XOR.png
ベン図による対称差の表現
ファイル:Venn 0110 1001.svg
3つの集合の対称差

数学において、2 つの集合 AB との対称差(たいしょうさ、: symmetric difference)とは、“A に属し、B に属さないもの” と “B に属し、A に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である[1]。一般に、集合 AB との対称差を、記号

AB[1]  あるいは  AB  あるいは  AB

などで表す。例えば、{1, 2, 3}{3, 4} との対称差は {1, 2, 4} に等しい: {1, 2, 3}△{3, 4} = {1, 2, 4}

任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 算法としてアーベル群となる[2]空集合 はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 を加法とし共通部分 を乗法とするとき、ブール環English版となる[3]

性質

対称差は、和集合差集合の記号を用いて次のように表すことができる[1]

AB = (AB)∪(BA)

X を 1 つの集合とし、A, BX の 2 つの部分集合とする。集合 {0, 1} における二項演算として排他的論理和 ⊕ : {0, 1} × {0, 1}{0, 1} を定義すれば、X における指示関数に関して次が成り立つ: X の任意の元 x に対して

χ AB (x) = χ A (x) ⊕ χ B (x)

アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける:

[ xAB ] = [ xA ] ⊕ [ xB ]

対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる[1]

AB = (AB)−(AB)

特に、ABAB の部分集合である: ABAB。また、AB とが互いに素であるときかつそのときに限り AB = AB である。さらには、ABAB とは互いに素であって、集合 {AB, AB}AB の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式

AB = (AB)△(AB)

によって和集合を定義することもできる。

代数学的な性質

対称差について、次の 4 つが成り立つ[1]

  1. (AB)△C = A△(BC)    (結合法則)、
  2. A△∅ = ∅△A = A
  3. AA = ∅
  4. AB = BA    (交換法則)。

X を 1 つの集合とし、P(X)X の冪集合とする。P(X) × P(X) の元 (A, B)P(X) の元 AB を対応させれば、P(X) における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して P(X) はアーベル群となる。空集合 はその群の単位元である。P(X) の任意の元 A に対して AA の逆元であるから、P(X)ブール群でもある。X がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 P(X)クラインの四元群 Z2 × Z2[注釈 1]同型である。

共通部分は対称差に対して分配法則を満たす[1]

A∩(BC) = (AB)△(AC)

よって、X を 1 つの集合とするとき、P(X) × P(X) の元 (A, B)P(X) の元 AB を対応させて得られる二項算法を加法とし、P(X) × P(X) の元 (A, B)P(X) の元 AB を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、P(X)となる。また、P(X) はブール環でもある。

その他の性質

  • X を 1 つの集合とし、A, BX の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ:

AB = (XA)△(XB)

  • Λ を 1 つの集合とし、Λ の各元 λ に対して 2 つの集合 Aλ , Bλ が定められているとき、次が成り立つ:

[math]\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)\triangle\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda\right)\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_\lambda\triangle B_\lambda\right)[/math]

  • f を集合 S から集合 T への 1 つの写像とし、A, BT の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ:

f −1(AB) = f −1(A) △ f −1(B)

多項対称差

対称差は結合法則と交換法則を満たすので、n個の集合A0An-1の対称差A0△…△An-1=(…(A0A1)△…△An-1)は順番に依らない。このことから対称差はより一般に(各元における重複度が有限であるような)集合族 [math]\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}[/math] に対し以下のように拡張できる。

[math]\triangle_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \left\{ a \in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda : |\{\lambda\in\Lambda:a \in A_\lambda\}| \mbox{ が 奇 数 }\right\} [/math].

上記のような集合族について [math]\Lambda[/math] 及び各 [math]A_\lambda[/math] がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ(和集合の場合にも同様の公式が成り立つ)。

[math]|\triangle_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda| = \sum_{\Mu\subset\Lambda} (-2)^{|\Mu|-1} |\bigcap_{\lambda\in\Mu} A_\lambda|[/math].

測度空間上の対称差

2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。 今 μ を集合 X 上の測度とし Σ を測度有限な可測集合全体とする。 このときΣ×Σ上の関数のd

[math]d_\mu (A,B):=\mu(A\triangle B)[/math]

と定めると、これは Σ 上の擬距離になる。

この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が μ に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。

A,BΣ の元であるとき [math]|\mu(A) - \mu(B)| \leq \mu(A\,\triangle\,B)[/math] が成立する。

Hausdorff distance vs. Symmetric difference

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脚注

注釈

  1. Z2Z2Z による商群に等しい: Z2 = Z/2Z。ここで、Z加法群整数全体の集合)、2Z{2} によって生成される Z部分群偶数全体の集合)である。

出典

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 松坂 1968, pp. 21-22.
  2. 松坂 1976, p. 50.
  3. 松坂 1976, p. 111.

参考文献

関連項目


外部リンク

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