多冪数

自然数 n が多冪数（たべきすう、powerful number）であるとは、素数 p が n を割り切るとき、p の平方も n を割り切ることをいう。

多冪数は無数に存在し、1 から小さい順に列記すると

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001694）

ポール・エルデシュと G. Szekeres がこの形の数を研究したが、ソロモン・ゴロムが初めてこの形の数を多冪数と名付けた。

例えば、36 は 2²×3² であるから 36 の素因数 2, 3 の平方 4, 9 で割り切れるので多冪数である。12 は 2²×3 であるから 12 の素因数 2, 3 の平方 4, 9 となるが 9 では割り切れないので多冪数でない。

性質

多冪数を素因数分解すると、現れる指数は常に 1 より大きくなる。

2r + 3s（r, s は非負整数）は 1 より大きなすべての整数を表すから、多冪数は a²b³（a, b は自然数）の形に表される。また、b が平方因子をもたない整数という条件の下では、多冪数はこの形に一意的に表される。

多冪数の逆数の和は

[math]\prod_p(1+\frac{1}{p(p-1)}) = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)[/math]（p は全ての素数を走る）

に収束する。ここで ζ(s) はリーマンゼータ関数である(Golomb, 1970)。

k(x) を 1≤n≤x となる多冪数 n の個数とすると

[math]cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c = \zeta(3/2)/\zeta(3) = 2.173\cdots[/math]

となる(Golomb, 1970)。

ペル方程式 x² − 8y² = 1 は無数に多くの自然数解を持つから、無数に多くの連続する多冪数が存在する(Golomb, 1970)。

奇数や 4 の倍数は多冪数、特に平方数の差で表されるが、ゴロムは

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²)

など、多冪数の差として表される単偶数の例を示し、6 はそのように表すことはできず、他にも多冪数の差として表すことができない無数に多くの数が存在すると予想したが、Narkiewicz は

6 = 5⁴7³ − 463²

など、6 は多冪数の差として無数に多くの方法で表されることを示し、McDaniel は全ての整数は互いに素な多冪数の差として無数に多くの方法で表されることを示した(McDaniel, 1982)。

エルデシュは十分大きな全ての整数は高々 3 つの多冪数の和として表されると予想し、Heath-Brown によって証明された(Heath-Brown, 1987)。

一般化

より一般的な概念として、素因数分解したときに現れる指数が少なくとも k であるような整数を k-多冪数（k-powerful number, k-ful number, k-full number）という。

• 2-多冪数… 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, …（オンライン整数列大辞典の数列 A013929）
• 3-多冪数… 8, 16, 24, 27, 32, 40, 48, 54, 56, …（オンライン整数列大辞典の数列 A046099）
• 4-多冪数… 16, 32, 48, 64, 80, 81, …（オンライン整数列大辞典の数列 A046101）
• 5-多冪数… 32, 64, 96, 128, 160, 192, …（オンライン整数列大辞典の数列 A122616）

(2^k+1-1)^k, 2^k(2^k+1-1)^k, (2^k+1-1)^k+1

は k-多冪数からなる等差数列である。また a₁, a₂, ..., a_s が k-多冪数からなる公差 d の等差数列であれば

a₁(a_s+d)^k, a₂(a_s+d)^k, ..., a_s(a_s+d)^k, (a_s+d)^k+1

は s+1 項からなる等差数列である。

k-多冪数による等式としては

a^k(a^l+...+1)^k+a^k+1(a^l+...+1)^k+...+a^k+l(a^l+...+1)^k=a^k(a^l+...+1)^k+1

というものもあり、ここから l+1 個の k-多冪数の和が k-多冪数となる例が無数にあることが分かる。Nitaj は互いに素な 3-多冪数で、その和が 3-多冪数となるものが無数にあることを示し(Nitaj, 1995)、Cohn は互いに素で、かつ立方数でない 3-多冪数で、その和が再び立方数でない 3-多冪数となるものが無数にあることを示した(Cohn, 1998)。Cohn の構成は次の通りである。

X=9712247684771506604963490444281, Y=32295800804958334401937923416351, Z=27474621855216870941749052236511

は方程式 32X³ + 49Y³ = 81Z³ の解であり、ここから X′=X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³)とし、その公約数を取り除くことによって新たに方程式 32X³ + 49Y³ = 81Z³ の解を構成する。32X³, 49Y³, 81Z³ が求める組である。

その他の性質

• 連続で k-多冪数が表れる数がある。個数の少ない順に書き表すと 4, 8, 48, 242, 844, 22020, 217070, …（オンライン整数列大辞典の数列 A045882)
  • 連続で k-多冪数が表れる数の小さい方の数は 8, 24, 27, 44, 48, 49, 63, 75, 80, 98, 99, 116, 120, 124, 125, 135, …（オンライン整数列大辞典の数列 A068781）
  • 3連続で k-多冪数が表れる数の最小の数は 48, 98, 124, 242, 243, 342, 350, 423, 475, …（オンライン整数列大辞典の数列 A070258）
    • このときの中央の値の数 (自身と両隣が k-多冪数) の数列は オンライン整数列大辞典の数列 A235578 を参照。
  • 4連続で k-多冪数が表れる数の最小の数は 242, 844, 845, 1680, 1681, …（オンライン整数列大辞典の数列 A070284）
  • 5連続で k-多冪数が表れる数の最小の数は 844, 1680, 2888, …（オンライン整数列大辞典の数列 A078144）
  • 6連続で k-多冪数が表れる数の最小の数は オンライン整数列大辞典の数列 A049535 を参照。
  • 7連続で k-多冪数が表れる数の最小の数は オンライン整数列大辞典の数列 A077640 を参照。
  • 8連続で k-多冪数が表れる数の最小の数は オンライン整数列大辞典の数列 A077647 を参照。
  • 9連続で k-多冪数が表れる数の最小の数は オンライン整数列大辞典の数列 A078143 を参照。
• 奇数の k-多冪数は 9, 25, 27, 45, 49, 63, 75, 81, 99, 117, 121, 125, 135, 147, 153, …（オンライン整数列大辞典の数列 A053850）

参考文献

• J. H. E. Cohn, A conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Math. Comp. 67 (1998), 439–440. [1]
• P. Erdös & G. Szekeres, Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem, Acta Litt. Sci. Szeged 7(1934), 95–102.
• S. W. Golomb, Powerful numbes, Amer. Math. Monthly 77(1970), 848–852.
• Richard Guy, Section B16 in Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 3rd edition, 2004; ISBN 0-387-20860-7.
• D. R. Heath-Brown, Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers, Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7, Birkhäuser, Boston, 1988.
• D. R. Heath-Brown, Sums of three square-full numbers, in Number Theory, I(Budapest, 1987), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51(1990), 163--171.
• Wayne L. McDaniel, Representations of every integer as the difference of powerful numbers, Fibonacci Quart. 20(1982), 85–87.
• A. Nitaj, On a conjecture of Erdös on 3-powerful numbers, Bull. London Math. Soc. 27 (1995), 317–318.

関連項目

• アキレス数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Powerful Number”. MathWorld（英語）.