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垂心

ファイル:Hoehenschnittpunkt.svg
三角形の3本の垂線と垂心
ファイル:Höhenschnittpunktbeweis.svg
三角形ABCの垂心は三角形A'B'C'の外心に一致する

初等幾何学における垂心(すいしん、: orthocenter)は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。

性質

3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を Ha,Hb,Hc とする。

  • 重心外心と同一直線上にある。この線をオイラー線という。
  • 直角三角形の垂心は、直角となる頂点である。鈍角三角形の垂心は、その三角形の外部にある。
  • 垂心は三角形HaHbHc内心か傍心となる。
  • 垂心と外心の中点は九点円の中心である。
  • 三角形ABHの垂心は、Cである。
  • [math]\overline{AH} \cdot \overline{HH_{a}}= \overline{BH} \cdot \overline{HH_{b}} = \overline{CH} \cdot \overline{HH_{c}}[/math]
  • [math]\frac{a}{\sin \alpha} =\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{AH}{\cos \alpha} = \frac{BH}{\cos \beta} = \frac{CH}{\cos \gamma} = 2R[/math]
    • a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は外接円の半径である。
  • P を外接円上の点とし、M を PH の中点とする。
  • 各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る(右図参照)。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。

垂心の座標

座標平面において、3頂点の座標を(xa,ya), (xb,yb), (xc,yc)とすると、垂心の座標は以下のようになる。

[math]\left( \frac{\left| \begin{array}{ccc} -x_bx_c - y_a^2 & y_a & 1 \\ -x_ax_c - y_b^2 & y_b & 1 \\ -x_ax_b - y_c^2 & y_c & 1 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} x_a & y_a & 1 \\ x_b & y_b & 1 \\ x_c & y_c & 1 \end{array} \right|}, \frac{\left| \begin{array}{ccc} x_a & -x_a^2 - y_by_c & 1 \\ x_b & -x_b^2 - y_ay_c & 1 \\ x_c & -x_c^2 - y_ay_b & 1 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} x_a & y_a & 1 \\ x_b & y_b & 1 \\ x_c & y_c & 1 \end{array} \right|} \right).[/math]

3頂点が単位円周上にある場合、以下のように簡単に書くことができる。

(xa+xb+xc,ya+yb+yc)

重心座標による垂心の座標は tanα:tanβ:tanγ となる。

関連項目

外部リンク


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